reposo, v0= 0, y alcanza, en 10 segundos, la velocidad:
vm= 108 km/h = 108 · = 30 m/s Por tanto, comienza el movimiento con una aceleración:
a = = = 3 m/s2
Durante este tiempo la motocicleta y el vehículo han recorrido un espacio:
x0m= a · t2= · 3 · 102= 150 m; x0a= va· t = 20 · 10 = 200 m
A partir de este momento, la moto sigue un movimiento uniforme con velocidad, vm= 30 m/s, de forma que las ecuaciones de los movimientos de ambos en el instante del alcance serían:
x = 150 + 30 · (t – 10); x = 200 + 20 · (t – 10)
Igualando las posiciones y despejando el tiempo:
30 t – 150 = 20 t → 10 t = 150 → t = 15 s
El alcance se produce 15 segundos después de que la moto arrancó en persecución del automóvil. Sustituyendo este tiempo en cualquiera de las ecuaciones obtenemos la posición:
x = 200 + 20 · 15 = 500 m
Ahora ambos se detienen, v = 0, en 100 m, por tanto las aceleraciones de frenado se pueden cal- cular a partir de:
v 2= v 2
0+ 2 a · s → a =
aa= = –2 m/s2; am= = – 4,5 m/s2
¿Cuál crees que es la causa de que, aparentemente, los cuerpos más pesados caigan con más rapidez? ¿La forma del cuerpo tiene que ver con esa causa?
La causa fundamental es el rozamiento con el aire. El rozamiento depende de la aerodinámica del cuerpo. En consecuencia la forma es importante.
Dispones de una hoja de papel y una pelota de tenis. ¿Cómo comprobarías que ambos cuerpos, soltados desde la misma altura, llegan al suelo prácticamente al mismo tiempo?
Lo importante es que las formas que tienen los objetos sean lo más parecidas posibles. Por tanto, haría una bola con la hoja de papel y comprobaría que caen prácticamente al mismo tiempo. Desde la azotea de un edificio de 120 m de altura se lanza hacia abajo una pequeña bola que lleva una velocidad inicial de 20 m/s. Calcula:
a)El tiempo que tarda en llegar al suelo. b)La velocidad que tiene en ese momento.
a) Tomando como referencia el suelo y positivo hacia arriba, tendríamos: y0= 120 m; v0= –20 m/s y g = –9,81 m/s2.
y = y0+ v0 · t + g · t2 → y = 120 – 20 t – 4,91 t2
La posición del suelo es y = 0, por tanto, el tiempo que tarda en llegar al suelo se obtiene resol- viendo la ecuación: 0 = 120 – 20 t – 4,91 t2 → t = 3,31 s 1 2 26 25 24 –302 2 · 100 –202 2 · 100 –v 2 0 2 s 1 2 1 2 30 – 0 10 vm– v0 t 1 000 m 3 600 s FisicaQuimica1BacPD09a16 30/5/08 10:20 Página 191
b) La velocidad sería:
v = v0+ g · t → v = –20 – 9,81 t → v = –20 – 9,81 · 3,31 = –52,47 m/s
Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo con una velocidad de 200 m/s; al cabo de 4 s, se lanza otro igual con la misma velocidad. Calcula:
a)La altura a la que se encuentran. b)El tiempo que tardan en encontrarse.
c)La velocidad de cada cuerpo en el momento en que se encuentran.
a) y b) Las ecuaciones de los proyectiles que salen con velocidad inicial v0= 200 m/s, son:
y1= 200 · t1– · 9,81 t21; y2= 200 · t2– · 9,81 t22 En el momento del encuentro:
y = y1= y2; t1= t y t2= t – 4
Sustituyendo:
y = 200 t – 4,91 t2; y = 200 · (t – 4) – 4,91 · (t – 4)2
Igualando:
200 t – 4,91 t2= 200 · (t – 4) – 4,91 · (t – 4)2 → t = 22,4 s Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones de la posición se obtiene:
y = 200 · 22,4 – 4,91 · 22,42= 2 016,4 m
c) Las ecuaciones de las velocidades serían:
v1= 200 – 9,81 t; v2= 200 – 9,81 · (t – 4) Sustituyendo el tiempo:
v1= 200 – 9,81 · 22,4 = –19,7 m/s; v2= 200 – 9,81 · (22,4 – 4) = 19,5 m/s
El primero de los proyectiles, en el momento del encuentro, está bajando (velocidad negativa); y el segundo está subiendo.
En la piscina, un chico se deja caer desde un trampolín y llega al agua con una velocidad de 7,7 m/s.
a)¿A qué altura estaba el trampolín? Al llegar al agua, tarda 1,8 s en perder toda la velocidad.
b)Calcula la aceleración que ha soportado al entrar en el agua. a) Tomando referencia el trampolín y positivo hacia abajo, el
chico sale con velocidad inicial v0= 0, de forma que el tiem- po que tarda en adquirir la velocidad v = 7,7 m/s será:
v = v0+ g · t → 7,7 = 9,81 t → t = 0,78 s
En consecuencia, la altura del trampolín vendrá dada por la expresión:
h = g · t2
Sustituyendo valores se obtiene:
h = 4,91 · 0,782= 3 m x y 1 2 28 1 2 1 2 27
Física
b) Tras llegar al agua el chico pasa de tener v0= 7,7 m/s a v = 0, en un tiempo de 1,8 s, la acelera-ción será:
a = = = – 4,3 m/s2
¿Cuándo el módulo del vector desplazamiento coincide con el espacio recorrido por un móvil?
Solo cuando el movimiento es rectilíneo y no existen cambios en el sentido del movimiento. Viajas en autobús por una calle recta, con una velocidad constante, y se te cae el libro que llevas en la mano. Dibu- ja la trayectoria que sigue el libro hasta llegar al suelo vista por:
a)Un amigo que viaja contigo en el autobús.
b)Una persona que está en la calle, en reposo, esperando para cruzar.
a) Tu amigo, que viaja contigo, te ve en reposo respecto al autobús. Ve que el libro sale de tu mano y llega a tus pies, de forma que la trayectoria que dibuja es una recta vertical.
b) El señor ve pasar al autobús, y todo lo que va dentro, con velocidad constante. Ve que el libro sale de tu mano y llega a tus pies, de forma que, como respecto de él te has desplazado hori- zontalmente, la trayectoria que dibuja es una rama de parábola.
A la vista del gráfico, halla y expresa en centímetros: a)Las coordenadas de los puntos A y B.
b)Los vectores de posición r1y r2.
c)El vector desplazamiento Δry su módulo. 31 30 29 v – v0 t 0 – 7,7 1,8 y x 0 A B r2 r1 Δr1= r - r2 1 FisicaQuimica1BacPD09a16 30/5/08 10:20 Página 193
a) Las coordenadas de los puntos son A (1, 2) y B (4, 2).
b) Los vectores de posición de los puntos A y B tendrían como componentes las coordenadas de estos puntos:
r1= i + 2 j cm; r2= 4 i + 2 j cm c) El vector desplazamiento será:
Δr = r2– r1= (4 i + 2 j) – (i + 2 j) = 3 i cm Por tanto, su módulo es:
|Δr|=s = 3 cm
Una persona recorre 30 m hacia el norte en 30 s; después, 40 m hacia el este en 35 s; por último, recorre 60 m hacia el sur en 50 s. Determina la trayectoria, la posición final y el desplazamiento en cada etapa, así como el desplaza- miento total.
Se toma dirección y sentido norte el eje y, el este el x, y el sur el y’. La trayectoria es OABC. 32 32+ 02 x y A B C O
En la etapa OA, el vector posición es el del punto A (0, 30) m: rA= 30 j; que, al partir del origen, coincide con el desplazamiento.
En la etapa AB, el vector posición final es el del punto B (40, 30) m: rB = 40 i + 30 j. El desplaza- miento en esta etapa sería:
ΔrAB= rB– rA= (40 i + 30 j) – 30 j = 40 i
En la etapa BC, el vector posición final es el del punto C (40, –30) m: rC = 40 i – 30 j. El desplaza- miento en esta etapa sería:
ΔrBC= rC– rB= (40 i – 30 j) – (40 i + 30 j) = –60 j
Si observamos el movimiento total, la posición final viene dada por el vector posición del punto C (40, –30) en metros: rC= 40 i – 30 j; que, a partir del origen, coincide con el desplazamiento. La posición de una partícula viene dada por la ecuación
r(t ) = (5 – t) i+ 2 tj Halla el desplazamiento entre 3 y 4 s.
Los vectores posición en los instantes pedidos son:
r (3) = (5 – 3) i + 2 · 3 j = 2 i + 6 j; r (4) = (5 – 4) i + 2 · 4 j = i + 8 j El desplazamiento entre estos instantes será:
Δr = r (4) – r (3) = (i + 8 j) – (2 i + 6 j) = (1 – 2) i + (8 – 6) j = – i + 2 j 33
Física
El vector posición de una partícula viene dado por la ecuación vectorial en función del tiempo: r(t) = 4 ti+ (2 + t) j
Halla y representa la posición del móvil en los tiempos 0, 2, 4 y 5 s (en unidades del SI). Comprueba que la ecua- ción de la trayectoria es la recta que une los extremos de los vectores de posición.
Los vectores de posición en los diferentes intervalos serán:
r0= 4 · 0 i + (2 + 0) j = 2 j r4= 4 · 4 i + (2 + 4) j = 16 i + 6 j r2= 4 · 2 i + (2 + 2) j = 8 i + 4 j r5= 4 · 5 i + (2 + 5) j = 20 i + 7 j La ecuación de la trayectoria se halla eliminando el tiempo de las ecuaciones paramétricas:
x = 4 t; y = 2 + t
Despejando el tiempo de la primera y sustituyendo en la segunda se obtiene la ecuación de la recta:
y = + 2
Representada esta recta, que es la ecuación de la trayectoria, se comprueba que los extremos de los vectores pertenecen a la misma.
Dos coches hacen el viaje Sevilla - Cáceres en el mismo tiempo. Razona estas cuestiones: a)Han seguido la misma trayectoria.
b)La velocidad media de ambos es la misma. c)Han recorrido el mismo espacio.
a) No, pueden realizar el viaje en el mismo tiempo siguiendo trayectorias diferentes si van a distin- tas velocidades.
b) Sí.
c) No, si van por trayectorias diferentes recorrerán espacios diferentes. ¿Cuál de estas gráficas representa correctamente la velocidad del móvil?
La velocidad es tangente a la trayectoria, en consecuencia, la respuesta correcta será la b), que es la gráfica en la que se representa la trayectoria. La gráfica a) representa la posición frente al tiempo.
x t v y x v (a) (b) 36 35 x y 10 20 2 7 r0 r5 y = + 2x4 x 4 34 FisicaQuimica1BacPD09a16 30/5/08 10:20 Página 195
Una jugadora de balonvolea golpea el balón de forma que la ecuación del movimiento de este es: r(t ) = 7 ti+ (1 + 7 t – 5 t2) j
Calcula, en unidades del SI:
a)Los vectores posición en los instantes t = 0 y t = 1 s. b)El vector desplazamiento en el primer segundo.
c)La velocidad media en ese intervalo de tiempo y su módulo. d)La velocidad en el instante t = 1 s y su módulo.
a) Los vectores posición son:
r0= j m; r(1) = 7 i + 3 j m b) El desplazamiento será:
Δr = r1– r0= 7 i + 2 j m c) La velocidad media es:
vm= = = 7 i + 2 j m/s Su módulo será:
vm=s = 7,3 m/s
d) Para calcular la velocidad instantánea hay que derivar el vector posición: v = r = 7 i + (7 – 10 t) j
En t = 1 s, valdrá:
v1= 7 i – 3 j m/s Su módulo será:
v1=s = 7,6 m/s
Si el radio de la Tierra es R = 6 370 km, calcula la velocidad, respecto al eje terrestre, de un objeto situado sobre el Ecuador terrestre en reposo respecto al suelo.
Un objeto situado en el Ecuador recorre un espacio igual a la longitud de la circunferencia de radio
R, en un tiempo igual a 24 h.
v = = = = 1 667,7 km/h La posición de una partícula en el plano viene dada por la ecuación vectorial:
r(t ) = (t2– 6) i+ (t + 3) j Calcula, en unidades del SI:
a)La posición de la partícula para t = 2 s y t = 3 s. b)La velocidad media en ese intervalo.
c)La velocidad instantánea para t = 2 s y su módulo. a) Las posiciones en los instantes indicados son:
r (2) = (22– 6) i + (2 + 3) j = –2 i + 5 j m; r (3) = (32– 6) i + (3 + 3) j = 3 i + 6 j m b) La velocidad media está definida como:
vm= Δr Δt 39 s t 2π· R t 2π· 6 370 24 h 38 72+ (–3)2 37 d dt 72+ 22 7 i + 2 j 1 Δr Δt