Stability Number of a Sparse Graph

En la Figura 4.1, se muestra un diagrama de la estructura del modelo. En la misma, “Pk” es la lluvia diaria del día “k”, y “E” es la evapotranspiración potencial (EP) media del mismo día calendario.

Figura 4.1. Estructura del modelo GR4J (Perrin et al., 2003).

- Neutralización

El primer paso es la neutralización entre“Pk” y “E” para determinar una lluvia neta “Pn”, y la evapotranspiración neta“En”. Estas se calculan por las siguientes ecuaciones, según corresponda:

Si PkE, entonces – y (4.1)

Si Pk< E, entonces y – (4.2)

En el caso en que Pn es diferente de cero, una parte de Pn, denominada Ps, es asignada al tanque de producción. Esta porción es calculada por:

(4.3)

Donde X1 (mm) es la capacidad máxima del reservorio de producción Sk al comienzo del día “k”.

Cuando En es distinto de cero, una cantidad de En, denominada Es, abandona el tanque de producción. Esta cantidad, se calcula según la siguiente ecuación:

(4.4)

El contenido del reservorio resultante, está dado por:

– (4.5)

- Percolación

La Percolación (“Perc”) que se produce desde el tanque de producción se calcula con la siguiente ecuación:

Como resultado, el contenido del tanque se convierte en:

– (4.7)

La cantidad de agua Pr que finalmente llega a la etapa de transferencia del modelo está dada por:

– (4.8)

- Hidrogramas unitarios

Pr se divide en dos componentes de flujo, el 90% describe un hidrograma unitario, HU1, y se almacena en un depósito y el 10 % describe otro hidrograma unitario, HU2, el cual es simétrico. HU1 y HU2 dependen del mismo parámetro X4, que es el tiempo en la base de HU1 expresado en días.

Las ordenadas de los hidrogramas se calculan a partir de las curvas“S” denominadas SH1 y SH2, respectivamente, que corresponden a las funciones acumuladas de los hidrogramas.

SH1 se define por una función de tiempo:

Para t0, (4.9)

Para 0 < t < X4, (4.10)

Para t X4 (4.11)

Para 0 < t < X4, (4.13)

Para 0 < t <2 X4, (4.14)

Para t X4 (4.15)

Para el modelo con paso de tiempo horario, en lugar de utilizar un índice de potencia igual a 5/2, este se transforma a 5/4.

Los valores en las ordenadas de HU1 Y HU2 se calculan por medio de

– (4.16)

– (4.17)

Donde j es un número entero.

En cada paso de tiempo k, los caudales Q9 y Q1 salidos de los dos hidrogramas corresponden a la convolución de las lluvias anteriorespor el esquema de repartición dado por el hidrograma discretizado y son calculados por:

– (4.18)

– (4.19)

Donde l = int(X4) + 1 y m = int(2.X4) + 1, int(.) denota la parte entera.

- Función de intercambio con el exterior no atmosférico

El intercambio de agua subterránea se calcula a través de:

Donde Rk es el nivel en el reservorio al inicio del paso de tiempo, X3 es la capacidad del

tanque a un día, y X2es el coeficiente de intercambio de agua que puede ser positivo en el

caso que aporte o negativo en el caso de pérdidas a hacia las aguas subterráneas o bien puede ser nulo. La interpretación física de esta función de cambio, no es directa.

- Reservorio de transferencia

El nivel en el depósito de transferencia se modifica mediante la adición de Q9 que proviene del hidrograma HU1 y F:

R’ = max (0 ; RK + Q9 (k) +F)

El caudal Qr que se obtiene a la salida del depósito de transferencia es:

(4.21)

Entonces el nivel del reservorio se convierte en:

– (4.22)

- Total

La salida Q1 del hidrograma HU2 es sometida al intercambio para dar la componente de flujo Qd:

(4.23)

- Parámetros:

El modelo GR4J se compone de cuatro parámetros de calibración:

X1: Es la capacidad del reservorio de producción en mm.

X2: Es el coeficiente de intercambio subterráneo, en mm.

X3: Es la capacidad del reservorio de trasnferencia en mm

X4: Es el tiempo de base del hidrograma unitario HU1.

En una amplia muestra de las cuencas hidrográficas, los valores de parámetros que se obtuvieron se encuentran en la tabla 4.1.

Tabla 4.1. Parámetros modelo GR4J, (Perrin et al. 2003).

- Modo pronóstico:

El modelo en modo pronóstico, incorpora al proceso de simulación un algoritmo de actualización de datos de estado, que mejora el pronóstico aprovechando los propios datos de caudal medidos en tiempo real. En la figura 4.2. se presenta un esquema del modelo en modo pronóstico.

Figura 4.2. Modelo GR4J modo pronóstico.

En dicha figura se observa que existe un procedimiento de ajuste del reservorio de transferencia en función de los datos de caudales observados a tiempo real.

Como fue presentado arriba, un modelo de simulación utiliza como datos de entrada sólo la precipitación y la evapotranspiración potencial. Con una serie de estas variables, se estima una serie de caudales simulados, que representa la salida del modelo.

El modelo en modo pronóstico agrega a estas variables de entrada, también el caudal observado a tiempo real. De este modo, es posible estimar en cada paso de tiempo, cuál debería ser el estado del reservorio de transferencia para producir caudales como los que son observados a tiempo real.

De este modo, el modelo va ajustando (se podría decir también, calibrando) la variable de estado en cada paso de tiempo en función de los caudales que el sistema de colección de datos a tiempo real, va arrojando a la computadora.

Sintetizando, para aclarar conceptos se puede decir que en el tiempo “t0” el modelo recibe como datos de entrada P(t0) y EP(t0), y genera el hidrograma para t1 (siendo t1 = t0 + Dt), es decir el valor Q1, y para todo valor de t > t0 (es decir Q2, Q3…). Cuando transcurre un Dt, y ya estamos en t1, es posible verificar si el caudal generado Q1 cuando estábamos en t0, coincide con el valor actual Q1’ de caudal (conocido). Si no coincide, el modelo modifica su variable de estado R0 (para el paso de tiempo anterior), ajustando de este modo el estado del sistema para que Q1 sea igual al observado Q1’. Es decir, el modelo arroja el valor que tendría que haber tenido R en el paso de tiempo anterior, para haber arrojado un valor de caudal Q1, igual al medido Q1’. Una vez que ajustó R, vuelve a correr y calcula Q2, con los datos de entrada P1 y EP1. Y así sucesivamente con todo el periodo de tiempo simulado.