Statistical analysis of fMRI data

Cirug´ıa casiconforme es una manera de construir nuevas funciones racionales con ciertas propiedades din´amicas, a partir de las funciones ya existentes. Para hacer esto, se construye una transformaci´on que no es holomorfa (al menos en una parte de su dominio), pero que a´un es casi-regular. Despu´es, convocando al Teorema de la Transformaci´on Medible de Riemann, se recupera la holomorf´ıa. Con el paso por las transformaciones casi-regulares, se gana flexibilidad en la construcci´on.

Def inici´on 7.13. Una transformaci´_{on continua g : C → C es llamada casi-regular , si} existe una K ≥ 1, tal que en cada punto de C, g puede ser localmente escrita como una composici´on de una funci´on holomorfa y una funci´on K−casiconforme.

Las estructuras conformes medibles pueden ser regresadas por transformaciones casi-regulares. Por tanto, se puede hacer una construcci´on como en el teorema de la secci´on 5.1 para transformaciones casi-regulares. La pregunta es c´omo obtener una σ que sea invariante.

Lema 7.14. (Principio de cirug´ıa). Sup´_{ongase que g : C → C es una transformaci´on} casi-regular y σ es una estructura conforme medible acotada, tal que g?_{(σ) = σ (casi}

donde quiera) fuera de un conjunto medible X. Si cada ´orbita de g pasa por X a lo m´as una vez (o un n´umero acotado de veces), entonces existe una transformaci´on casiconforme ϕ : C → C, tal que h = ϕ ◦ g ◦ ϕ−1 es una funci´on racional.

Una demostraci´on de este lema puede consultarse en [17].

A continuaci´on, se establecen algunas aplicaciones de la cirug´ıa. Empezamos con la Teor´ıa de las transformaciones con parecido polinomial, introducidas por Douady- Hubbard, que de hecho inician los trabajos en cirug´ıa.

Def inici´on 7.15. Una transformaci´on con parecido polinomial , es un triplete f = (f, U, V ) donde, U , V son dominios conexos simplemente en C con U ⊂ V y f : U → V es una funci´on holomorfa propia. Su grado es el n´umero de im´agenes inversas de un punto z ∈ V , contadas con multiplicidad, que son independientes de z. Su conjunto de Julia lleno es:

Kf = {z ∈ U : fn(z) (n = 0, 1, 2, . . .) est´an definidas y pertenecen a U } .

Cualquier polinomio P puede ser restringido a un dominio U de modo que (P |U, U, P (U ))

se convierte en una transformaci´on con parecido polinomial del mismo grado. Teorema 7.16. (Rectificaci´on). Sea f = (f, U, V )una transformaci´on con parecido polinomial de grado d, y sup´ongase adem´as que las fronteras de U y V son curvas de Jordan anal´ıticas reales. Entonces, existe un ´unico polinomio P (z) y una transforma- ci´on casiconforme ϕ : V → V0⊂ C, tal que ϕ ◦ f = P ◦ ϕ sobre U. Adem´as, ϕ puede ser escogido de forma que∂ϕ_{/∂z= 0 casi donde quiera en Kf (lo cual unicamente tie-}

ne sentido si Kf tiene medida positiva). El polinomio P es ´unico, salvo conjugaci´on

af´ın si Kf es conexo.

Una demostraci´on puede consultarse en [6].

La noci´on de transformaci´on con parecido polinomial es de gran importancia en la Teor´ıa de las renormalizaciones, la cual es de gran importancia en la din´amica holomorfa.

Otro tipo de cirug´ıa es la que relaciona los anillos de Herman con los discos de Siegel. Un homeomorfismo de R en s´ı mismo, o de S1 _{en si mismo, es llamado}

casisim´etrico si ´este se extiende a una transformaci´_{on casiconforme de C.} Teorema 7.17. Sea f una funci´on racional que env´ıa S1

= {z ∈ C : |z| = 1} sobre s´ı mismo. Sup´ongase que f |S1 es casisim´etricamente conjugada a una rotaci´on irra-

cional z → exp (2πiα) z sobre S1

racional h y una transformaci´_{on casiconforme ϕ : C → C, tal que h = ϕ ◦ f ◦ ϕ}−1 so- bre ϕ C \ 4
y h tiene un disco de Siegel con n´umero de rotaci´on α, el cual contiene a

ϕ (4) como un subdisco invariante. La curva

ϕ S1

es una curva invariante en el disco de Siegel o su frontera, de acuerdo a cuando S1sea una curva invariante en un anillo de Herman de f o no.

Una demostraci´on puede consultarse en [16]. Si f tiene un anillo de Herman de per´ıodo 1, el cual contiene a S1 _{como una curva invariante, entonces f |}

S1 es

conjugado de forma real-anal´ıtica a una rotaci´on irracional; por tanto, esta cirug´ıa puede ser aplicada. Sin embargo, un ejemplo m´as interesante es el caso de la funci´on:

f (z) = exp (iω) z2 z − 3 1 − 3z,

la cual tiene un punto cr´ıtico en S1_{. Para cualquier n´umero irracional α, existe un}

ω ∈ R, tal que f |S1 tiene n´umero de rotaci´on α, lo cual significa en este caso que

las ´orbitas de f |S1 tienen el mismo orden c´ıclico como el de z 7→ exp (2πiα) z. Sujeta

α a una condici´on de teor´ıa de n´umeros llamada de tipo acotado, Herman fue capaz de demostrar que f |S1 es conjugado casisim´etricamente a la rotaci´on irracional. De

forma que obtuvo el siguiente:

Teorema 7.18. Si α es un n´umero irracional de tipo acotado, es decir, satisface que   α − p q    ≥ Cq 2 _{para cualquier} p

q ∈ Q con una constante fija C > 0, entonces

la funci´on Pα(z) = exp (2πiα) z + z2 tiene un disco de Siegel, cuya frontera es un

cuasic´ırculo conteniendo un punto cr´ıtico de Pα.

Una demostraci´on puede consultarse en [16].

Este art´ıculo constituye una introducci´on a los temas tratados. Nos resta solamen- te citar las referencias en las cuales se basa este art´ıculo y d´onde pueden encontrarse las demostraciones omitidas en esta presentaci´on, as´ı como mayor extensi´on en su tratamiento.

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Francisco Estrada Garc´ıa ([email protected]) Julio Poisot Mac´ıas ([email protected])

Facultad de Ciencias F´ısico Matem´aticas. Benem´erita Universidad Aut´ono- ma de Puebla - Ciudad Universitaria.