Chapter 2: Study One
2.2 Methods
2.2.5 Statistical analysis
La teoría de Fermi (1933-34) provee una descripción dinámica del decaimiento β. Esta teoría describe tanto la forma observada del espectro β (en energía o en cantidad de movimiento) como el tiempo de vida media de los emisores β. Adicionalmente, la teoría da una clasificación para las transiciones β y sus correspondientes reglas de selección.
Fermi desarrolló su teoría en términos de transición de probabilidad por unidad de tiempo, similar a la teoría que describe la fluorescencia de luz en átomos.
La Figura 5.21 muestra tanto la descripción del modelo para fluorescencia como para el decaimiento β.
Átomo excitado núcleo excitado Átomo núcleo
+
+
fotón de luz electrón neutrinoFigura 5.21: Analogía entre fluorescencia y emisión beta.
La transición del estado inicial al estado final se efectúa a través de un proce- so de interacción débil, con la emisión de un campo leptónico, (expresado por un Hamiltoniano).
Para la fluorescencia de átomos el campo de radiación es el electromagnético mien- tras que para la teoría del decaimiento β se tiene un campo de radiación leptónico.
El Hamiltoniano de interacción transforma al sistema nuclear de su estado inicial a uno de varios posibles estados finales a través de la creación de un campo leptónico por medio de la interacción débil. La fuerza de la interacción débil esta expresado por el elemento de matriz
Hf i=
Z
Ψ∗fHΨidV (5.75)
La segunda regla de oro de Fermi da la probabilidad de transición por unidad de tiempo
Wf i=
2π
~ ρ(Ef)|Hf i|
2 (5.76)
donde ρ(Ef) representa la densidad de estados finales y está dada por:
ρ(Ef) =
dn dE0
(5.77) Si las cantidades de movimiento de los electrones emitidos, correspondientes al in- tervalo de energía dE0 en la vecindad de Ef, varían de p a p + dp, se sigue que la
probabilidad de transición por unidad de tiempo permite calcular el número medio de partículas beta emitidas con ese rango de momentos. Así,
N (p)dp = Wf i= 2π ~ dn dE0|Hf i| 2 (5.78)
puesto que el núcleo hijo queda, después del proceso, con una energía de retroceso y excitación bien determinadas, la energía restante de la transición es compartida entre los leptones de muchas maneras diferentes. La energía leptónica no está bien definida sino que tiene una indeterminación dE0, que numéricamente es igual a la
indeterminación de la energía del sistema original, es decir, el núcleo padre. Así, ∆Ei=
~ τi
donde τi es el tiempo de vida media del núcleo padre. Debido a que se asume que
el hijo tiene una energía bien marcada, entonces el ensanchamiento o expansión de energía se encuentra en la energía leptónica.
La densidad de estados accesibles finales del núcleo hijo sobre el intervalo dE0, lla-
mado también factor estadístico, es la densidad de posibles estados finales del campo electrón-neutrino. Si se supone que el electrón está localizado dentro del volumen V el número de estados cuánticos en el intervalo de momentos entre p y p + dp, es3:
dne=
V 4πp2dp
h3 (5.80)
De igual forma para el neutrino, se tiene: dnν =
V 4πp2νdpν
h3 (5.81)
La probabilidad de encontrar a ambas partículas simultáneamente emitidas será: dn = dnednν y por tanto, dn dE0 = 16π 2V2 h6 p 2p2 ν dpν dE0 dp (5.82)
eliminando las variables correspondientes al neutrino, que se lo considera como una partícula de masa en reposo nula.
pν = Eν c E0 = E + Eν p2ν dpν dE0 = 1 c3(E0− E) 2 de manera que, dn dE0 = 16π 2V2 h6c3 p 2(E 0− E)2dp (5.83)
Si los elementos de matriz de interacción |Hf i|2 son independientes de la energía y
cantidad de movimiento, la forma del espectro β estaría dado como:
N (p)dp = Cp2(E0− E)2dp (5.84)
Sin embargo, |Hf i|2 no es independiente de E y p.
Considerando los elementos de la matriz de interacción Hf i=
Z
Ψ∗fHΨidV (5.85)
3No se considera las multipolaridades del electrón y el neutrino (se podrían tomar en cuenta más
si ϕi es la función de onda del núcleo padre y ϕf la del núcleo hijo, y si φe y φν
representan las funciones de onda del electrón y del neutrino, se tiene Ψi = ϕi
Ψf = ϕfφeφν
Hf i= gF
Z
(ϕfφeφν)∗M ϕidV (5.86)
donde gF es una constante empírica fundamental y M el operador Hamiltoniano de
interacción adimensional.
gF = 1,41 × 10−49erg · cm3
Esta constante llamada “de acoplamiento de Fermi”, expresa la fuerza de la interacción débil.
A causa de que la interacción entre el núcleo y los leptones es débil, las funciones de onda leptónicas son poco distorsionadas por el potencial nuclear y se las puede considerar como ondas planas. Así,
φe(r) = Neei~ke~r y φν(r) = Nνei~kν~r (5.87)
normalizando las funciones se encuentra que Ne= Nν = 1
V1/2
Las funciones de onda ϕi y ϕf son diferentes de cero dentro de las dimensiones
nucleares.
Puesto que la extensión del núcleo es muy pequeña comparado con el volumen en el cual los leptones son localizados, podemos desarrollar las funciones de onda del electrón y el neutrino en serie de potencias alrededor de (r = 0) (lugar del núcleo atómico) φe(~r) = V11/2 1 + i(~ke~r) + . . . φν(~r) = V11/2 1 + i(~kν~r) + . . . (5.88)
Si tan solo se considera el primer término de la serie, se tiene φe(0) = φν(0) =
1
V1/2 (5.89)
Por tanto, se podría escribir:
Hf i= gFφ∗e(0)φ∗ν(0)
R
ϕ∗fM ϕidV
Hf i= gVFMf i
donde
Hf i =
Z
ϕ∗fM ϕidV (5.91)
con un conocimiento poco preciso de ϕi, ϕf y M.
Los elementos de matriz Mf i es la integral del solapamiento de las funciones de
onda del núcleo padre e hijo. En el caso de las transiciones permitidas es indepen- diente de E y su magnitud es del orden de la unidad; mientras que para las así llamadas transiciones prohibidas tiende a cero. Su valor se lo puede calcular cuando la estructura del núcleo padre e hijo se conocen.
El espectro beta queda entonces como: N (p)dp = g 2 F 2π3c3~7|Mf i| 2p2(E 0− E)2dp (5.92)
Factor de corrección de Coulomb
A través de la interacción de coulomb con la carga nuclear, la velocidad y por tanto la energía de los electrones emitidos decrece (o de los positrones crece) afectando la forma del espectro y la probabilidad de decaimiento.
El cambio de la cantidad de movimiento debido al campo de coulomb es mejor cuando el movimiento de las partículas beta es lento. En consecuencia la influencia es mayor en la parte baja del espectro.
Se puede considerar que la perturbación causa una distorsión en la función de onda del electrón y la forma del espectro es deformado.
Si |φe(0)|Z representa la función de onda del electrón en el origen modificada por
la presencia de la carga nuclear. Se introduce la función de Fermi, F (E, Z) = |φe(0)|
2 Z
|φe(0)|2
(5.93) de manera que si considera la corrección de Coulomb, se tiene que:
|Hf i|2 = gF2F (E, Z)|φe(0)|2|φν(0)|2|Mf i|2 (5.94)
F ≥ 1 para emisión β negativa
F = 1 caso de no corrección de Coulomb F ≤ 1 para la emisión β positiva
Para una aproximación no relativista, la función F (E, Z) toma la forma:
F (E, Z) = x(1 − e−x)−1 (5.95) donde
x = ±2πZc137v para partículas β positivas o negativas con velocidad v. En la región baja del espectro x ≫ 1
F ≈ x para el decaimiento β negativo F ≈ |x|e−|x| para el decaimiento β positivo
β−
E β+
N (E)
Figura 5.22: Efecto del factor de Coulomb en el decaimiento beta.
Un efecto que no se ha tomado en cuenta en el factor F es el apantallamiento que sufre la carga nuclear por presencia de la nube electrónica.
El espectro beta lo podemos escribir como: N (p)dp = g 2 F 2π3c3~7|Mf i| 2F (E, Z)p2(E 0− E)2dp (5.96) Gráfico de Kurie
Es el procedimiento estándar para comparar la teoría con el experimento, y consiste en escribir la ecuación anterior como:
C(E0− E) = N (p) p2F (E, Z) 1/2 (5.97)
Figura 5.23: Representación de la gráfica de Kurie.
La masa del neutrino tiene una incidencia directa en la forma de la parte final del espectro beta, la pendiente en la energía de transición se hace infinita, como se puede observar en la Figura 5.24.
mν= 0 mν6= 0 p N (p) pmax E0 mνc2 E
Figura 5.24: Efecto de la masa del neutrino en el espectro beta.