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Los diagramas de Lattice fueron introducidos por Bewley y son de gran ayuda cuando se trabaja en el cálculo de ondas viajeras.

Este Método se apoya en una construcción gráfica de la evolución en el tiempo de estas ondas progresivas y regresivas.

Para el cálculo se asumirá la impedancia de onda o impedancia característica como:

Z0=

√

L C

Lo que implica indirectamente que tanto R=G=0 , y que la

velocidad de propagación viene dada por:

v = 1 √LC

Debe señalarse que el Método de Bewley es sólo apropiado para lidiar con formas de onda escalón.

La solución gráfica del Método consiste en:

1. Asociar a los extremos de cada Línea de la red los correspondientes coeficientes de reflexión y refracción.

2. Dibujar la red eléctrica a resolver, dando a cada elemento de la misma una longitud proporcional a su tiempo de tránsito de onda.

3. Discretizar el tiempo en intervalos coincidentes con el tiempo de tránsito del componente de menor tiempo de tránsito de todos los que formen parte de la red.

4. Trazar rayos descendentes en el Diagrama tiempo- distancia, los cuales se originarán en las proyecciones sobre éste de los puntos de discontinuidad que presente la red. 5. Respetando los puntos 2 y 3, todos estos rayos tendrán la misma pendiente y un único sentido: en la dirección positiva del tiempo. (Estos rayos representarán los desplazamientos de las ondas electromagnéticas a través de la red y el tiempo).

6. Luego, comenzando desde el punto de nacimiento del primer rayo y desplazándose siempre en la dirección positiva del tiempo, al llegar a cada punto de discontinuidad se obtendrán las ondas reflejadas y refractadas allí generadas

por la onda incidente, aplicando el coeficiente correspondiente. Se anotan en el diagrama tales valores.

7. El potencial que toma cada nudo en cada instante de tiempo se obtendrá superponiendo a su valor previo todas las variaciones de tensión que ocurran en ese mismo momento. La variación es la onda refractada. La notación tabular facilitará esta tarea, es decir la tensión en cada nudo y en cada instante de tiempo resulta de sumar al valor previo del mismo el de:

 La onda que en él se refracta o, alternativamente,

 Sumarle los valores de las ondas incidente más la

reflejada.

9. A partir de la tabla del punto 7, se construye la gráfica de

Vk(t) para el nudo k.

El Diagrama de celosía de Bewley tiene las siguientes propiedades: -

Todas las ondas viajan cuesta abajo, porque el tiempo siempre aumenta.

La posición de cualquier onda en cualquier momento se puede deducir directamente a partir del diagrama.

El potencial total (Perfil de Voltaje) en cualquier instante de tiempo es la superposición de todas las ondas que han llegado a ese punto hasta ese instante de tiempo, desplazada en posición el uno del otro por intervalos iguales a la diferencia en su tiempo de llegada.

La historia de la onda se traza fácilmente. Es posible encontrar de dónde viene y simplemente por lo que las otras ondas fueron.

La atenuación está incluida, por lo que la onda de llegada en el extremo final de una línea se corresponde con el valor que entra multiplicado por el factor de atenuación de la línea.

Ejemplo #1: Diagrama de Lattice

Para demostrar las aplicaciones del diagrama de Lattice, se investigara que ocurre cuando en la Figura 1, el interruptor cierra y energiza una línea sin carga en serie con un cable sin carga y un transformador sin carga.

Cuando los interruptores se cierran en t = 0 seg, el voltaje que suministra el transformador está en su máximo.

Las siguientes características aplican:

Línea de Transmisión:Impedancia característica, Zlinea=400 Ω

Velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas,

v_linea=300.000 km/s

Tiempo de viaje τlinea=10 us

Cable: Impedancia característica,

Z_cable=40 Ω

Longitud de la línea,

L_cable=3000 m

Velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas,

v_cable=100.000 km/s _{Tiempo de}

viaje τcable=1u s

Fuente de Voltaje: v (t )=cos (ωt) por unidad, frecuencia 50

Hz.

Figura 1. Diagrama Unificar de un interruptor (CB) cerrando una conexión serie de una línea sin carga, un cable sin carga y un transformador de

distribución sin carga

suministro posee un máximo valor de uno por unidad, y una onda de voltaje con una amplitud de 1 por unidad viaja a lo largo de la línea aérea. Una vez que al onda de voltaje alcanza la discontinuidad donde la línea está conectada al cable, la onda incidente se descompone e una onda reflejada con una

amplitud de r2=

(Z2−Z0)

(Z₂+Z₀)=

(40−400)

(40+400)=−0.818 por unidad y una

onda transmitida con amplitud de b2=

2 Z₂ (Z₂+Z₀)=

2∗40

(40+ 400)=0.182

por unidad. La onda transmitida se propaga a lo largo del cable hasta el transformador sin carga. El transformador sin carga posee una muy alta impedancia característica comparada con el cable y puede entonces se tratado como una terminación en circuito abierto; el voltaje es duplicado debido a que la onda reflejada se suma con la onda de voltaje incidente.

La onda viajera de voltaje que viene desde el transformador sin carga regresa al cable y esta se encuentra nuevamente con la discontinuidad donde la línea y el cable están conectados y la onda reflejada se regresa de nuevo al transformador, y una onda transmitida viaja hacia la fuente. Este proceso se repite sucesivamente. Debido a que el fenómeno de la onda es de la escala de tiempo de los

microsegundos, la fuente de voltaje puede ser asumida que permanece constante dotante el proceso de reflexión y refracción de la ondas electromagnéticas. Si se construye un diagrama en donde se coloque el tiempo de viaje a lo largo del eje vertical y la distancia a lo largo del eje horizontal se está construyendo el denominado DIAGRAMA DE LATTICE (ver Figura 2).

En este diagrama de Lattice, se puede observar cómo se efectúa las reflexiones y se descomponen las ondas viajeras. Cuando se comienza con una onda incidente de 1.0 p.u, las constantes de reflexión y refracción en las discontinuidades de las ondas de voltaje son también colocados en el eje horizontal, para determinar la amplitud de la onda de voltaje en un cierto lugar a lo largo de la línea y el cable, siendo la superposición de las amplitudes de las ondas que han arribado en ese instante.

Figura 2. Diagrama de Lattice mostrando las reflexiones y refracciones de las ondas viajeras en el circuito de la Figura 1. La línea de transmisión es

La amplitud de los voltajes en el transformador de suministro

Ustart, el lugar donde la línea y el cable se encuentra

conectados Udis, y en los terminales del transformador sin carga Uend, puede ser construido con la ayuda del diagrama de Lattice de la Figura 2, y las curvas de voltaje son

mostradas en la Figura 3.

Se puede ver desde la Figura 3, que los voltajes son discontinuos en el tiempo. En la forma de la onda de voltaje en el extremo de recepción, se reconoce la respuesta de una red de parámetros concentrados RC. Esta es lógica debido a

que la capacitancia distribuida en el cable es cargada y esto toma cierto tiempo. Cuando el interruptor cierra su valor de régimen estacionario gradualmente entonces el cable de cargado.

Figura 3. Forma del Voltaje Transitorio como una suma de las ondas viajeras de reflexión

1.-Considérese un sistema formado por una línea aérea (A-B) de 60 km y un cable subterráneo (B-C) de 20 km, ambos

ideales (efecto resistivo nulo). Estos están conectados uno a continuación del otro y con el extremo de carga en circuito abierto, tal como se muestra en la figura:

Ocurre una descarga (Rayo) de 200 kA en medio de la línea AB; esta descarga tiene una duración de 300 μseg.

Mediante Bergeron (o Reflexiones de Bewley), se requiere bosquejar durante 1000μseg, la evolución de la onda de tensión que llega a la subestación B (por el lado de la línea aérea).

Se puede suponer que la velocidad de propagación de la onda en la línea de transmisión aérea es aproximadamente igual a la velocidad de la luz y que en el cable subterráneo es aproximadamente 2/3 la velocidad de la luz.

5.6 BIBLIOGRAFIA

[1] Grainger, John J. - Stevenson Jr, William D. (1996). Análisis de sistemas de potencia.

[2] Luis Siegert. Líneas de Transmisión y Alta Tensión. [3] Lou van der Sluis. Transients in Power Systems.