Chapter 3: Exploring strategy, Accounting and the Environment: Methodology 3.0 Introduction
3.1 Strategy, Accounting and the Environment
O anterior esquema era un m ´etodo directo, xa que as regras de axuste consist´ıan en dicir- lle directamente ao controlador que par ´ametros utilizar. Un esquema diferente obtense se as estimaci ´ons dos par ´ametros do proceso son actualizadas e os par ´ametros do controlador son obtidos a partir deses par ´ametros estimados. Un diagrama de bloques deste tipo de sistema ´e o mostrado na figura 7.3.2.1. O control adaptativo neste caso est ´a pensado como formado por dous lazos. Un lazo de entrada, ao igual que no caso anterior, que est ´a composto polo pro- ceso e o controlador. Neste caso o lazo de sa´ıda, que ´e o encargado de axustar os par ´ametros do controlador, est ´a composto por un estimador recursivo para os par ´ametros e un elemento encargado do dese ˜no do controlador a partir destes. Hai que ter en conta que ´as veces non ´e posible estimar os par ´ametros do proceso sen introducir sinais de control de proba ou per- turbaci ´ons, ´e dicir, ser ´a necesario que o proceso pase por todos os estados posibles para que as´ı a estimaci ´on sexa o m ´ais exacta posible.
Un controlador desta construci ´on, como o da figura 7.3.2.1, ´e co ˜necido como regulador autoaxustable ou STR (Self-tuning regulator) para, dalg ´un xeito, resaltar que o ´e propio contro- lador o que axusta automaticamente os seus par ´ametros para obter as propiedades desexadas do sistema en bucle pechado.
Figura 7.3.2.1 –Diagrama de bloques dun regulador autoaxustable
Nos controladores autoaxustables os par ´ametros do controlador son estimados en tem- po real para logo ser usados coma se fosen iguais aos par ´ametros verdadeiros. Ademais, en moitos esquemas de estimaci ´on ´e posible obter unha medida da calidade do estimado. Por exemplo no caso deste traballo, cando chegue a hora da implementaci ´on deste tipo de con- trolador na planta, mostrarase en pantalla, ´a vez que se calcula, o erro existente entre a sa´ıda real da planta e a sa´ıda estimada.
Figura 7.3.2.2 –Proceso para decidir que tipo de controlador utilizar
A continuaci ´on pres ´entase un algoritmo de autoaxuste baseado no criterio cl ´asico de fixar unha marxe de fase desexada para o sistema en bucle pechado. Aqu´ı, por primeira vez no traballo, util´ızase un algoritmo de identificaci ´on en li ˜na para estimar os par ´ametros dun modelo que sirva de base para calcular os par ´ametros do regulador. Para a estimaci ´on util´ızase o
m ´etodo de m´ınimos cadrados recursivos (RLS, siglas en ingl ´es de Recursive Least Squares). P ´artese da descrici ´on do proceso mediante a funci ´on de transferencia discreta estimada.
Gp(z−1) = y(t) u(t) = b0·z−k 1−a1·z−1−a2·z−2 (7.3.2.1) que corresponde a un sistema de segundo orde incompleto conkpasos de retardo.
O regulador ten a estrutura:
Gr(z−1) =
u(t) e(t) =
p0+p1·z−1+p2·z−2
1−z−1 (7.3.2.2)
que ´e a dun PID na s ´ua versi ´on de velocidade, cos seguintes par ´ametros:
p0 =
1 ˆb0·T2
c ·(2K+ 1)
; p1 =−ˆa1·p0; p2 =−ˆa2·p0;
ondeˆb0,ˆa1eaˆ2deben interpretarse como as estimaci ´ons destes par ´ametros, obtidas en tempo real mediante o m ´etodo de m´ınimos cadrados recursivos,Tc como o periodo de control, eK
como a asignaci ´on do marxe de fase. De acordo con 7.3.2.2, se pasamos a ecuaci ´on en diferenzas, a lei de control calc ´ulase mediante:
u(k) =p0·e(k) +p1·e(k−1) +p2·e(k−2) +u(k−1) (7.3.2.3) Comentar que, para atenuar ou eliminar as sobrecrestas que son t´ıpicas do comportamento deste algoritmo, se pode introducir unha ganancia axustableKm con valor xeralmente menor
que 1 e cuxo valor preciso se determina de forma heur´ıstica.
u(k) =Km·(p0·e(k) +p1·e(k−1) +p2·e(k−2)) +u(k−1) (7.3.2.4) A pesar da extraordinaria simplicidade deste regulador, p ´uidose comprobar un comporta- mento axeitado deste en varios exemplos simulados con sistemas significativos de varios tipos. Ditas simulaci ´ons poden ser vistas na correspondente secci ´on de ‘Exemplos de Simulaci ´on’.
7.3.2.1. M ´etodo de M´ınimos Cadrados Recursivos (RLS)
Este m ´etodo permite a identificaci ´on en tempo real de modelos coa condici ´on de que os par ´ametros destes sexan lineais. Polo tanto, ´e aplicable tanto a modelos lineais como non lineais que sexan lineais nos par ´ametros.
Se se considera o un modelo param ´etrico da forma:
y(k) +a1y(k−1) +. . .+any(k−n) =b1u(k−1) +. . .+bnu(k−n) (7.3.2.5)
´e inmediato comprobar que corresponde ´a seguinte funci ´on de transferencia:
G(z−1) = b1z
−1+. . .+b
nz−n
1 +a1z−1+. . .+anz−n
y(k) =m(k)θ (7.3.2.6) onde o vectorm ´e chamado regresor
m(k) = [−y(k−1) . . . −y(k−n) u(k−1) . . . u(k−n)] (7.3.2.7) e o vectorθ ´e o vector de par ´ametros
θ= [a1 . . . an b1 . . . bn]T (7.3.2.8)
Dado un valor do vector de par ´ametrosθˆo erro de predici ´on para o instantekser ´a
e(k,θˆ) =y(k)−y(ˆk) =y(k)−m(k)ˆθ
Se o proceso a identificar correspondese exactamente cun modelo como o da ecuaci ´on 7.3.2.5 poder´ıase determinar o valor do vector de par ´ametros a partir de2nmedidas ou obser- vaci ´ons da sa´ıda para unha serie de entradas co ˜necidas. ´E dicir, formar´ıase un sistema de2n
ecuaci ´ons co que se poder´ıa determinar o valor((real))deθ.
O m ´etodo de m´ınimos cadrados parte deN pares(y(k), m(k))onde N ´e xeralmente moi- to maior que 2n (este ser´ıa o conxunto de estimaci ´on) e permite axustar un modelo do tipo 7.3.2.5. Na pr ´actica o proceso non se pode describir ´a perfecci ´on mediante un modelo lineal do tipo (7.3.2.5) polo que o sistema de ecuaci ´ons non ten soluci ´on no sentido de que non existe un valor do vector de par ´ametros que faga que o erro de predici ´on sexa cero para todas as medidas do conxunto de estimaci ´on. Non obstante si se pode encontrar un valor do vector de par ´ametros que faga m´ınimo o erro de predici ´on, de xeito m ´ais preciso que faga m´ınima a suma dos cadrados dos erros de predici ´on do conxunto de estimaci ´on. Esta ´e precisamente a estratexia do m ´etodo de m´ınimos cadrados.
As medidas obtidas dendek=natak=N agr ´upanse en vectores de xeito que se obt ´en:
E(N, θ) =Y(N)−M(N)θ
donde os vectoresE(N, θ)eY(N)son
E(N, θ) = [e(n, θ) . . . e(N, θ)]T Y(N) = [y(n) . . . y(N)]T
e a matrizM(N)est ´a formada polos regresores correspondentes, ´e dicir
M(N) = m(n) .. . m(N)
J(θ) =kE(N, θ)k2 =
N
X
k=n
e2(k, θ)
Este ´ındice p ´odese reescribir como
J(θ) = (Y(N)−M(N)θ)T(Y(N)−M(N)θ)
O m´ınimo valor deJ(θ)darase no valor do vector de par ´ametros que cumpra que
dJ(θ) dθ = 0
´e dicir,
2(M(N)θ−Y(N))TM(N) = 0
de onde se obt ´en que o valor do vector de par ´ametros que fai m´ınimo o ´ındice de bondade de axuste ´e
θ∗ = [MT(N)M(N)]−1MT(N)Y(N) (7.3.2.9) e ese ´e polo tanto o valor do vector de par ´ametros do modelo identificado.
A expresi ´on 7.3.2.9 implica a inversi ´on dunha matriz que pode ter unhas dimensi ´ons apre- ciables, tanto m ´ais se se ten en conta que para identificar correctamente un sistema se deben ter suficientes medidas para eliminar o efecto de ru´ıdos e perturbaci ´ons alleas ´a din ´amica do sistema. Polo tanto este algoritmo dest´ınase ´a identificaci ´on f ´ora de li ˜na. En li ˜na empr ´egase outro procedemento que se mostra a continuaci ´on.
A estimaci ´on para o instantekusando as medidas obtidas dende o instantenvir ´a dada por
ˆ θ(k) = [MT(k)M(k)]−1MT(k)Y(k) = P(k)MT(k)Y(k) = P(k)(MT(k−1)Y(k−1) +mT(k)y(k)) (7.3.2.10) onde P(k) = [MT(k)M(k)]−1= " k X i=n mT(i)m(i) #−1
´e a chamada matriz de covarianza. P ´odese comprobar que
P−1(k−1) =P−1(k)−mT(k)m(k) Por outra parte tam ´en se pode obter que
MT(K−1)Y(k−1) = P−1(k−1)ˆθ(k−1)
= P−1(k)ˆθ(k−1)−mT(k)m(k)ˆθ(k−1) Combinando as d ´uas ´ultimas expresi ´ons con 7.3.2.10 obtense
ˆ
θ(k) = θˆ(k−1)−P(k)mT(k)m(k)ˆθ(k−1) +P(k)mT(k)y(k)
= θˆ(k−1)−P(k)mT(k)(y(k)−m(k)ˆθ(k−1)) (7.3.2.11) = θˆ(k−1) +K(k)(y(k)−m(k)ˆθ(k−1))
donde K(k) = P(k)mT(k). Polo tanto θˆ(k) p ´odese expresar en forma recursiva, ´e dicir, en funci ´on do valor do estimador no instante anterior m ´ais un termo corrector que consiste no erro de predici ´on no instante actual cometido polo estimador calculado no instante anterior multiplicado por unha ganancia de adaptaci ´on K(k). Esta f ´ormula d ´a lugar ao algoritmo de m´ınimos cadrados recursivos, que consiste en:
1. Dar valores iniciais ´a matrizP e ao vector de par ´ametrosθ.
2. En cada instantek
Ler os valores dey(k)eu(k).
Formar o vector regresorm(k)segundo a expresi ´on (7.3.2.7). CalcularP(k)mediante
P(k) =P(k−1)− P(k−1)m
T(k)m(k)P(k−1)
1 +m(k)P(k−1)mT(k)
CalcularK(k)segundo a expresi ´on
K(k) =P(k)mT(k) Calcularθ(k) :
ˆ
θ(k) = ˆθ(k−1) +K(k)[y(k)−m(k)ˆθ(k−1)] ´
As veces ´e conveniente dar m ´ais peso a algunhas medidas que a outras na estimaci ´on. Por exemplo se se identifica un proceso cuxa din ´amica cambia co tempo interesar ´a dar mais peso ´as medidas m ´ais recentes, pois estas ser ´an as que reflictan a din ´amica m ´ais actualizada. Para conseguir isto hai que modificar o ´ındice de bondade de axuste, de maneira que se use
J(θ) =E(N, θ)TW(N)E(N, θ)k2 =
N
X
k=n
sendoW(N)a matriz diagonal de pesos W(N) = w(n) . .. w(N)
A soluci ´on do problema de axuste ´e neste caso
θ∗= [MT(N)W(N)M(N)]−1MTW(N)Y(N) (7.3.2.12) O esquema de ponderaci ´on m ´ais habitual ´e o chamado esquecemento exponencial. Neste caso
w(k) =λN−K
onde λ∈ (0, 1) ´e o chamado factor de esquecemento. ´E doado entender por que se lle chama esquecemento exponencial: o peso dado ´a medida dimin ´ue exponencialmente canto m ´ais antiga sexa. Deste xeito as medidas moi antigas esqu ´ecense, pois o seu peso ´e tan pequeno que ´e coma se non se contribu´ısen ´a estimaci ´on. Habitualmente ´usaseλ∈[0.98, 1). Por exemplo, se λ= 0.99 o estimador ter ´a unha ((memoria)) dunhas 100 mostras. Naqueles casos que a din ´amica do proceso cambie moi rapidamente p ´odese optar por valores m ´ais baixos (por exemplo,λ= 0.95).
No caso da t ´ecnica de esquecemento a formulaci ´on recursiva pode aplicarse modificando as expresi ´ons para o calculo deP(k)de maneira que:
P(k) = P(k−1)
λ −
P(k−1)mT(k)m(k)P(k−1) λ+m(k)P(k−1)mT(k)
Pode observarse que, dado queK(k) =P(k)mT(k), a ganancia de adaptaci ´onK(k)depende
de λ e a menor λ maior ganancia de adaptaci ´on. Isto quere dicir que a menor λ mellor se adaptar ´a a identificaci ´on a unha din ´amica cambiante, xa que se considerar ´a na optimizaci ´on s ´o a informaci ´on m ´ais recente.
Non obstante se no sistema ou nas medidas hai moito ru´ıdo, ´e conveniente que a din ´amica se identifique sobre un conxunto amplo de medidas xa que se non se identificar ´a o ru´ıdo m ´ais que a din ´amica do proceso. Polo tanto nestes casos conv ´en queλnon sexa moi pequeno. Polo tanto hai que chegar a un compromiso entre a capacidade de seguir unha din ´amica cambiante e o rexeitamento do ru´ıdo na identificaci ´on.