Appendix 2.A: Additional Figures and Tables
2.3. Structural Models
Definición 5.1.1 Un grafo G = (V, A) consiste en un conjunto no vacío V (cuyos elementos se denominan
vértices) y una familia A de parejas no ordenadas de vértices; estas parejas de vértices se denominan aristas
y diremos que cada arista une los dos vértices que la forman y que incide en cada uno de ellos. Estas parejas pueden aparecer repetidas en la familia A; además, pueden tener los dos elementos iguales. Si una arista se repite se denomina múltiple; las aristas que unen un mismo vértice se denominan bucles (o lazos).
a) Si en A no hay aristas múltiples ni bucles, se dice que G es un grafo simple.
b) Si en A hay aristas múltiples, pero no bucles, diremos que G es un multigrafo.
c) Si en A hay bucles (y, eventualmente, aristas múltiples) se dice que G es un pseudografo. 2 Observación 5.1.2 Salvo que se diga lo contrario, supondremos que V y A son conjuntos finitos. 2 Observación 5.1.3 Es importante hacer notar que en la literatura no siempre se utilizan estos mismos nombres y que muchas veces es difícil saber si un resultado se prueba para grafos simples, multigrafos o para pseudografos en general. 2
Ejemplo 5.1.4
a) Una liguilla entre los cuatro equipos de fútbol madrileños (a: Atlético de Madrid, g: Getafe, m: Real Madrid y r: Rayo Vallecano) en la que jueguen todos contra todos una vez, constituye un grafo si se consideran como aristas los partidos celebrados. El conjunto de vértices es V ={a, g, m, r}, siendo la familia de aristas A ={{a, g}, {a, m}, {a, r}, {g, m}, {g, r}, {m, r}}. Se trata de un grafo simple. b) En el conjunto V = {0, 1, 2, 3} se considera la relación de congruencia módulo 2, y se toman como
aristas la familia A ={{0, 0}, {0, 2}, {1, 1}, {1, 3}, {2, 2}, {3, 3}}, es decir, los pares de números que están relacionados mediante dicha relación. Puesto que existen bucles, se trata de un pseudografo. 2 Observación 5.1.5 Un grafo suele visualizarse como un dibujo en el que cada vértice se representa me- diante un punto y cada arista mediante una línea que une los puntos que representan sus dos vértices (véase la Figura5.1). Es importante destacar que un mismo grafo se puede representar por dibujos muy distintos, lo que puede dar lugar a confusiones.
Ejemplo 5.1.6 En la Figura5.2encontramos representaciones de los siguientes grafos:
a) Un torneo de cualquier deporte se puede modelizar mediante un grafo en el que los vértices son los equipos y hay una arista que une dos equipos si éstos se enfrentan. Por ejemplo, en un torneo de tipo liga, en el que cada equipo juega contra todos los demás, a una vuelta, se tendría un grafo simple.
b) La red del Metro de Madrid constituye un grafo donde los vértices son las estaciones y hay una arista que une dos estaciones cuando son consecutivas en la misma línea. La existencia de estaciones como Argüelles y Moncloa (consecutivas en las líneas 3 y 6) hace que este grafo sea un multigrafo.
c) Una relación de equivalencia da lugar a un grafo en el que los vértices son los elementos del conjunto y hay una arista entre ellos si están relacionados. Se trata de un pseudografo pues, a pesar de no tener aristas múltiples, tiene un bucle para cada vértice. 2
(a) Torneo entre 5 equipos. (b) Plano del Metro de Madrid. (c) Congruencia módulo 3 en{0, 1, · · · , 9}.
Figura 5.2: Grafos del Ejemplo5.1.6.
La siguiente definición introduce el concepto de orientación en un grafo, que implica que cada arista se recorre en un sentido determinado:
Definición 5.1.7 Un grafo (V, A) se dice orientado (o dirigido) si las parejas de vértices de A que definen las aristas son pares ordenados. 2
Observación 5.1.8 Intuitivamente, en los grafos orientados las aristas tienen un origen y un final. En este contexto, también se habla de grafos dirigidos simples, multigrafos dirigidos y pseudografos dirigidos. 2
Figura 5.3: Grafo orientado.
Ejemplo 5.1.9 Los mensajes de correo electrónico enviados entre un grupo de colaboradores se puede modelizar mediante un multigrafo orientado: los vértices son cada uno de los colaboradores y hay una arista entre dos colaboradores cuando el primero ha enviado un mensaje al segundo. Si se admite que uno se escriba a sí mismo (por ejemplo, para tener una copia de seguridad de los mensajes), se trata de un pseudografo dirigido. 2
Elementos de Matemáticas y aplicaciones Definiciones. Lema del apretón de manos 177
A continuación damos la noción de camino; intuitivamente, una cadena de aristas consecutivas.
Definición 5.1.10 Sea G = (V, A) un grafo no orientado y v, v′ ∈ V . Llamaremos camino de longitud k entre v y v′(o que une v y v′) a una secuencia de aristas a1, a2, . . . , akde forma que
a1={v, v1}, a2={v1, v2}, . . . , ak−1 ={vk−2, vk−1}, ak ={vk−1, v′}.
Llamaremos camino cerrado (o circuito) a un camino en el que v = v′. Si todas las aristas son distintas, hablaremos de camino simple. 2
Observación 5.1.11 Nótese que, si el grafo es simple, todo camino queda determinado por la secuencia de los vértices (que pueden repetirse). Si no lo es, pueden existir caminos distintos que pasen por los mismos vértices, en el mismo orden. 2
Definición 5.1.12 En un grafo simple no orientado, se denomina ciclo (o camino cíclico) a todo camino simple cerrado en el que no hay vértices repetidos (salvo, obviamente, los extremos). Si un grafo no tiene ciclos, se denomina árbol. 2
Ejemplo 5.1.13 Consideremos el grafo de la Figura5.4(a). Caminos de v1a v3:
a) De longitud 1:{v1, v3}.
b) De longitud 2:{v1, v2}, {v2, v3} y {v1, v5}, {v5, v3}.
c) De longitud 3:{v1, v5}, {v5, v4}, {v4, v3}, pero también {v1, v5}, {v1, v5}, {v1, v3},. . .
Además,{v5, v3}, {v3, v2}, {v2, v1}, {v1, v3}, {v3, v5} es un camino cerrado y {v5, v3}, {v3, v2}, {v2, v5}
un ciclo. En la Figura5.4(b)se muestra un árbol. 2
(a) Grafo simple. (b) Árbol.
Figura 5.4: Grafos del Ejemplo5.1.13.
Observación 5.1.14 Si el grafo está orientado, el camino que une v con v′debe seguir la orientación de las aristas. 2
A continuación se definen distintos tipos de grafos simples:
Definición 5.1.15 Diremos que un grafo simple no orientado es:
a) Un grafo completo cuando cada vértice se une con el resto de los vértices.
b) Un grafo bipartito si el conjunto de vértices se divide en dos conjuntos disjuntos de tal manera que las aristas únicamente unen vértices de un subconjunto con vértices del otro subconjunto. Diremos que es un grafo bipartito completo si cada vértice del primer subconjunto está unido mediante una arista con cada vértice del segundo.
c) Un ciclo si consiste únicamente en un camino cíclico.
d) Una rueda si se trata de un ciclo más un vértice adicional unido a cada uno de los demás mediante una arista. 2
Figura 5.5: Algunos ejemplos de grafos simples.
Ejemplo 5.1.16
a) Un torneo de tipo liga a una vuelta, en el que cada equipo juega contra todos los demás, es un grafo completo.
b) Un grupo de amigos heterosexuales (que serán los vértices) en el que las aristas las forman parejas que han mantenido alguna relación entre ellos, constituye un grafo bipartito. Si se han dado todos los emparejamientos posibles, estamos ante un grafo bipartito completo.
c) Una red local de ordenadores constituye un ciclo.
d) Una red local de ordenadores junto con el servidor constituyen una rueda. 2
A continuación, introducimos el concepto de conexión, que tiene que ver con la idea intuitiva de dividir un grafo en partes separadas entre sí:
Definición 5.1.17 Diremos que un grafo no orientado es conexo si cualquier par de vértices puede unirse mediante un camino (véase la Figura5.6). 2
Figura 5.6: Conexión de grafos no orientados.
Para grafos orientados la noción de conexión es más sutil. Antes de establecer su definición, introduci- mos el siguiente concepto:
Definición 5.1.18 Llamaremos grafo no orientado subyacente a un grafo orientado dado, al grafo que re- sulta de suprimir en éste la dirección en las aristas, eliminando el orden entre los dos vértices que las componen (Figura5.7). El grafo no orientado subyacente tiene el mismo número de aristas que el grafo orientado del que proviene. 2
Elementos de Matemáticas y aplicaciones Definiciones. Lema del apretón de manos 179
Definición 5.1.19 Un grafo orientado G = (V, A) se dice que es:
a) Fuertemente conexo si dados v, v′ ∈ V hay un camino que va de v a v′. b) Débilmente conexo si el grafo no orientado subyacente es conexo. 2
Figura 5.8: Conexión de grafos orientados.
Observación 5.1.20 Obviamente, todo grafo orientado fuertemente conexo es débilmente conexo. 2 Otras nociones importantes están relacionadas con la construcción de grafos nuevos a partir de grafos preexistentes.
Definición 5.1.21
a) Un subgrafo de un grafo G = (V, A) es un grafo H = (W, F ) que verifica W ⊂ V y F ⊂ A.
b) La unión de dos grafos G1= (V1, A1) y G2= (V2, A2) es un nuevo grafo G = (V, A) con V = V1∪V2
y A = A1∪ A2. 2
Un primer resultado relevante de la teoría de grafos es el lema que vamos a ver a continuación. Primero introducimos la siguiente noción:
Definición 5.1.22 El grado de un vértice v ∈ V es el número de aristas grad(v) que inciden en él.1En el
caso de que de un vértice v no parta ninguna arista (es decir, grad(v) = 0), se dice que el vértice v está
aislado. 2
Observación 5.1.23 Aunque por el momento no lo necesitamos, cuando el grafo está orientado se habla entonces de grado saliente, Sgrad(v), cuando se cuentan el número de aristas que parten de v ∈ V , y de
grado entrante, Egrad(v), para el número de aristas que terminan en v. 2
Teorema 5.1.24 (Lema del apretón de manos) Para todo grafo G = (V, A) se verifica que ∑
v∈V
grad(v) = 2a,
siendo a el número de aristas.
DEMOSTRACIÓN. La demostración es sencilla. Como cada arista tiene dos extremos, al contar todos los
grados estamos contando cada una de las aristas dos veces. 2
Corolario 5.1.25 La suma de los grados de los vértices de un grafo es par. En consecuencia, un grafo no
puede tener un número impar de vértices de grado impar. 2
Ejemplo 5.1.26 Si se quieren conectar 9 ordenadores en red con 3 puertos cada uno aprovechando todos los puertos, obtendríamos un grafo imposible. Esto nos demuestra la imposibilidad de tal red. 2