Cuando buscamos estudios sobre los problemas aritméticos escolares (PAE) encontramos múltiples publicaciones y autores, entre ellas Puig y Cerdán, 1988; Maza, 1989; Bermejo, 1990; Bermejo y Rodríguez, 1991; Blanco y Calderón, 1994; Castro, Rico y Gil, 1992.
Cuando proponemos un enunciado de un problema con referencia a una operación arti- mética lo hacemos pensando en una situación cotidiana que se desarrolla en tiempo y lugar determinados y que transmitimos con lenguaje específico. Esta referencia a la situación repre- sentada en el enunciado del problema debe ser un elemento necesario para comprender los problemas y darle significado a las operaciones implicadas. Sin embargo, los problemas escolares planteados en las aulas se enuncian pensando más en el algoritmo que en la situa- ción planteada. Su evaluación será más en función de si el algoritmo está bien resuelto que si el alumno ha comprendido la situación que se le plantea.
En relación a ello, podríamos formular diferentes problemas conteniendo las mismas cantidades y sugiriendo el mismo algoritmo para su solución, pero que representan situacio- nes diferentes. Ello, implicaría necesariamente que esos problemas deban ser considerados de diferente manera cuando se trabaja en clase. Ello sería así si nos interesa que los alumnos analicen la situación que se les plantea.
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Así podremos considerar los ejemplos sencillos enunciados en la Figura 1 que se resuel- ven con el mismo procedimiento algorítmico: 3 + 4 = ?.
“Abel tenía tres caramelos, compró cuatro caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene ahora?”
“Abel tiene tres caramelos y Helia tiene cuatro caramelos. ¿Cuántos caramelos tienen entre los dos juntos?”
“Abel tiene tres caramelos, y Helia tiene cuatro caramelos más que Abel. ¿Cuántos caramelos tiene Helia?”
“Abel tenía tres caramelos. Y compró cuatro caramelos más para tener tantos como Helia, ¿cuántos caramelos tiene Helia?”
figura 1. Problemas que presentan diferentes situaciones que se resuelven con el mismo algoritmo.
Estos ejemplos muestran enunciados que se resuelven con la misma operación pero tra- ducen situaciones distintas. Si quisiésemos dramatizar la situación en clase para favorecer la comprensión del enunciado por parte de los alumnos, representaríamos ‘obras de teatro’ diferentes para cada ejemplo. Esta idea nos debe llevar a asumir que los problemas que se resuelven con la misma operación, e incluso teniendo los mismos datos y resultados, no tie- nen porqué ser todos iguales.
Pero también podemos encontrar ejemplos de situaciones diferentes que se resolverían con la misma operación de multiplicar. Así, presentamos los tres enunciados presentados en la Figura 2:
“Hugo tiene tres paquetes de caramelos. Cada paquete tiene 10 caramelos. ¿Cuántos caramelos tiene Hugo?”
“Ana tiene 10 caramelos. Hugo tiene tres veces más caramelos que Ana. ¿Cuántos camelos tiene Hugo?”
“Hugo tiene 10 camisetas y tres pantalones. Si se pone una camisa y un pantalón cada vez, ¿de cuántas formas distintas puede vestirse?”
figura 2. Problemas que presentan diferentes situaciones que se resuelven con la misma operación de multiplicar.
Todas estas situaciones se comunican a través de un lenguaje (oral, escrito, gráfico, ima- gen, etc) que los alumnos de primaria están adquiriendo en ese momento. Por otra parte, debemos procurar que los alumnos expresen con claridad y en términos precisos sus expe- riencias. De esta manera, el lenguaje debe de ser el vehículo de expresión de la actividad que realiza, e imprescindible para la evaluación.
Por todo ello, el lenguaje y la estructura linguística del problema adquiere singular importancia. Hay que recordar que los alumnos condicionados por una enseñanza tradicio- nal y mecanicista, suelen hacer una traducción directa del proceso verbal a la expresión
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matemática, teniendo escasamente en cuenta el significado del problema planteado de forma oral o por escrito. “Maestro, ¿este problema, es de sumar?”.
La mayor importancia dada a los procesos algorítmicos sobre los conceptuales, en la enseñanza de las matemáticas, provoca en los niños una obsesión de búsqueda del algoritmo correspondiente al problema sin plantearse previamente el significado del mismo. “Algunos investigadores parecen pensar que la correspondencia entre ambos lenguajes se establece fundamentalmente por medio de palabras claves. Imaginan, por tanto, un proceso de traduc- ción secuencial en el que el sujeto decide la operación que tiene que realizar en función del significado que atribuye a la ‘palabra clave’ con que se encuentra al recorrer el enunciado” (Puig y Cerdán, 1988, p. 116).
Así, nos encontramos con algunas asociaciones como ‘dar’, ‘comprar’ o ‘más’ que se asocian a la operación de sumar. Otras palabras como ‘menos’ o ‘comer’ quese asociarían a la resta, o la de ‘repartir’ a la división. Estas asociaciones se fomentan erróneamente, en las propias aulas y en algunos libros de texto.
Esta rutina de asociar palabras claves a operaciones, provoca que cuando forzamos a los estudiantes para maestro una repuesta rápida ante el problema enunciado en la Figura 3, nos encontremos que un grupo importante de ellos da 12 caramelos como solución al problema, inducidos por el vocablo ‘menos’ y la acción de ‘comer’.
Tengo 20 caramelos y me los como todos menos 8. ¿Cuántos me quedan?
figura 3. Enunciado con palabras claves que inducen a la resta.
De manera similar, si planteamos a los alumnos de primaria el problema expuesto en la Figura 4, nos encontramos que algunos alumnos resuelven este problema con la operación de sumar: 3 + 7 = 10. Las palabras ‘compró’ y `más’ inducen a la operación suma, dando una respuesta incorrecta.
Miguel tenía tres caramelos, compró algunos más y ahora tiene 7, ¿cuántos compró?
figura 4. Enunciado con palabras clave que inducen a la suma.
Pero, si proponemos el problema enunciado en la Figura 5, los niños resolverán correc- tamente mediante la operación: 8 - 3 = 5, inducidos por la palabra “comió”, que sugiere disminución de la cantidad.
Miguel tenía 8 caramelos, se comió algunos y ahora tiene 3. ¿Cuántos comió?
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Ya Mialaret en su libro Las Matemáticas. Cómo se aprenden. Cómo se enseñan, (Miala- ret,1977) daba una serie de enunciados similares y señalaba los porcentajes de alumnos que los respondían, para ejemplificar que el lenguaje y la acción representada son fundamentales. Así, por ejemplo, propuso los dos problemas presentados en la Figura 6 a alumnos de 7 a 9 años.
“¿Cuánto cuestan tres lápices a 12 francos cada uno?”
“Un ciclista recorre 12 Km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en tres horas?”
figura 6. Enunciados que evidencian que el lenguaje y la acción representada son fundamentales (Mialaret, 1977).
Los porcentajes del primero están entre el 56,3 % y el 79,6% según grupos, mientras que en el segundo se mantiene del 35,5 % al 66,5%. Era evidente que los niños estaban más familiarizados con los francos pero no con los kilómetros (Mialaret, 1977, 39).
Ya hemos señalado que la comprensión del problema implica una representación de la situación planteada que viene referida en términos de espacio y del tiempo, por lo que los términos empleados y la estructura del enunciado tienen mucha importancia. Así, el pasado, presente y futuro de los verbos indica una secuencia de hechos que puede presentarse de una manera ordenada o no. El uso del condicional (Si… entonces..) en los enunciados de los problemas implicaría una capacidad deductiva que algunos alumnos, por su edad, no tienen. La utilización incorrecta de los tiempos de los verbos o el abuso de los adverbios en los enunciados supone, así mismo, una dificultad añadida, como lo es, el orden de los números en relación a la operación implícita en el enunciado.
Para ejemplificar estas aportaciones vamos a enunciar una misma situación de diferente manera, que nosotros proponemos como trabajo a los estudiantes para maestro (EMP) con los que trabajamos.
Así, les proponemos que analicen los enunciados presentados en la Figura 7, mostrando y debatiendo sobre sus semejanzas y diferencias.
“Tenía siete caramelos, me comí cuatro, ¿cuántos me quedan?” “Si tengo siete caramelos y me como cuatro, ¿cuántos me quedan?” “Si tengo siete caramelos y me como cuatro, ¿cuántos me quedarán?” “Tenía siete caramelos, ¿cuántos me quedan si me he comido cuatro?” “¿Cuántos caramelos me quedarán, si de siete que tenía me como cuatro?” “Si me como cuatro caramelos de los siete que tenía, ¿cuántos tendré?” “Me como cuatro caramelos, tenía siete, ¿cuántos tendré?”
“Tengo siete caramelos, me como cuatro caramelos ¿cuántos tengo?”
“Me como cuatro caramelos, ¿cuántos caramelos me quedarán de los siete que tenía?” “Si tengo siete caramelos y me como cuatro, ¿cuántos tengo?”
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El análisis de los enunciados nos descubren diferentes variables que debemos considerar en el trabajo con los problemas escolares, que hacen que no todos los enunciados que repre- sentan una misma situación sean iguales y presenten las mismas dificultades.
Así señalamos algunas de ellas:
– La operación aritmética que resuelve el problema no es el elemento que deba definir la dificultad de compresión de los enunciados.
– La compresión del problema viene determinada por la representación que realicemos de la situación planteada y del análisis que hagamos de ello.
– Los “problemas de sumar y restar”, o de “multiplicar y dividir” pueden implicar más de una operación y estrategia en su resolución.
– Existen ‘palabras clave’ que inducen a los alumnos a una determinada operación arit- mética. En algunos casos induciendo al error.
– La estructura del texto puede condicionar la resolución de problema. Así, la secuencia seguida en el enunciado y el orden de los números es un aspecto importante.
– Una misma situación puede ser enunciada de maneras diferentes, no todas igualmente comprensibles.
– La comprensión del problema implica una representación de la realidad que viene referida en términos de espacio y del tiempo, lo que se comunica con el uso de dife- rentes términos o expresiones lingüísticas.
– Las formas gramaticales implicadas en el enunciado (tiempo de los verbos, adverbios o uso del condicional) son variables importantes para la comprensión de las situaciones planteadas.
– Las formas de presentación concreta (escrita, gráfica, textos largos o no, etc.) favorecen o dificultan la compresión del problema.
– La secuencia establecida para mostrar la historia del enunciado es importante. – El uso de términos conocidos/desconocidos por los estudiantes es también un referente
para comprender el enunciado.
Finalmente, queremos indicar que las dificultades señaladas por el uso de determinadas variables no debe implicar su eliminación de los enunciados que propongamos. Puesto que son expresiones usuales en el lenguaje cotidiano lo que debemos recordar es su dificultad para que las tratemos con mayor cuidado e intensidad en las actividades del aula.