Part IV – Analytical Framework
8.4 Summary
La distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (1781-1840), francés que desarrolló esta distribución. La distribución de Poisson se puede utilizar también para aproximar una distribución de probabilidad binomial cuando n es “grande” y p es “pequeño”, y cuando E(X) = n p de la distribución binomial es aproximadamente menor que 7.
La distribución de Poisson es un buen modelo para la distribución de frecuencias relativas del número de eventos raros que ocurren en una unidad de tiempo, de distancia de espacio, etc.
Una variable aleatoria X tiene distribución de Poisson con parámetro >0, si su función de probabilidad es dada por: x e P(X x) , x 0,1, 2,. . . , x!
= lambda, representa el número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo. e = 2.71728 (base de los logaritmos neperianos o naturales)
La notación utilizada será: X Po ()
Parámetros de la Distribución de Poisson
Media = E(X) = = n p Varianza = V(X) =
Ejemplo 57
Supóngase que se está investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de ocurrencia de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado.
Aplicando el modelo de Poisson, se tiene que:
P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674
P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552
Para saber cuál es la probabilidad de 3 ó menos, se suman las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a : P(0) = 0.00674 P(1) = 0.03370 P(2) = 0.08425 P(3) = 0.14042 P(3 o menos) = 0.26511
Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489.
Resolución del Ejemplo 57 con Infostat
1. Ingreso desde el menú
Ejemplo 58
Si la probabilidad de que una persona sufra una reacción dañina al ingerir un determinado antibiótico es de 0.001. Calcule la probabilidad de que de un total de 3000 pacientes sufran el malestar:
a) Exactamente 3 personas
b) Más de 3 personas presenten reacción dañina
Solución: = (3000) (0.001) = 3 a) 3 3 e 3 P(X 3) 0.2240 3! b) P(X>2) = 2 i i 0
1
P(x )
P(X=0) = 0.0498 P(X>2) = 1 0.4232 = 0.5768 P(X=1) = 0.1494 P(X=2) = 0.2240 0.4232Ejemplo 59: Aproximación de la distribución Poisson a la distribución binomial
Se puede utilizar la distribución de probabilidad de Poisson como aproximación a la distribución binomial cuando:
a) La probabilidad de éxito p es pequeña ( p ≤0.05 ), y
b) El número n de ensayos es grande ( n≥20 )
c) Sí n 100, la aproximación es generalmente excelente, siempre y cuando np 10.
Por ejemplo: si se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones
defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la distribución binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución binomial.
Solución:
a) n = 100
p = 0.05 = p(encuadernación defectuosa) = p(éxito) q = 0.95 = p(encuadernación no defectuosa) = p(fracaso)
x = variable que define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra= 0, 1, 2, 3,....,100
encuadernaciones defectuosas b) n = 100 encuadernaciones p = 0.05 = np = (100)(0.05)= 5
x = variable que define el número de encuadernaciones defectuosas en la muestra = 0, 1, 2, 3,....,100 encuadernaciones defectuosas ` x 5 5 e 5 (2.718) p(x 2, 5) 0.0843 x! 2!
Al comparar los resultados de las probabilidades con una y otra distribución, se observa que la diferencia entre un cálculo y otro es de tan solo 0.0031, por lo que la aproximación de Poisson es una buena opción para calcular probabilidades binomiales.
0812 0 95 0 05 0 4950 95 0 05 0 05 0 100 2 2 98 2 98 2 100C ( . ) ( . ) ( )( . ) ( . ) . ) . p , n , x ( P
LISTA DE EJERCICIOS 5
1. Si X ~ B (15,0.4), encontrar los siguientes valores de probabilidad: a) P (X 14)
b) P (8< X 10) c) P (X < 2)
2. Un equipo de fútbol tiene probabilidad de victoria igual a 0.92 siempre que juega. Si el equipo juega 4 partidos, determine la probabilidad de que gane:
a) Todos los juegos. b) Exactamente 2 juegos. c) Por lo menos un juego. d) A lo sumo 3 juegos.
3. En una planta industrial los lotes grandes de artículos recibidos se inspeccionan para detectar los defectuosos, por medio de un esquema de muestreo. Se examinan 10 artículos, el lote será rechazado si se encuentran 2 o más artículos defectuosos. Si un lote contiene 5% de artículos defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) El lote sea aceptado. b) El lote sea rechazado.
4. Un experimento consiste en la siembra de 50 semillas de maíz híbrido, las cuales tienen 85% de poder germinativo. Con base en la anterior información, calcule los siguientes valores de probabilidad:
a) Que germinen 8 semillas.
b) Por lo menos 3 semillas germinen.
c) Calcule la esperanza matemática y la varianza.
5. Sea X ~ B (n,p), y sabiendo que E(X) = 12 y Var (X) = 3, determine: a) n
b) p
c) P (X 14) d) P (X < 12)
6. Calcule la probabilidad de acertar correctamente por lo menos 6 de 10 respuestas en un examen de tipo falso-verdadero.
7. Un agente de una compañía de seguros vende pólizas a 5 personas, todas de edad idéntica y con buena salud. De acuerdo con las tablas de actuarios la probabilidad de que una persona de esta edad específica esté viva en 30 años es de 2/3. Hallar la probabilidad de que en 30 años:
a) Las 5 personas estén vivas. b) Al menos 3 estén vivas. c) Solamente 2 estén vivas d) Por lo menos 1 esté viva.
8. Sea X la variable aleatoria número de plantas con mutación en un total de 1000 plantas irradiadas, y p= 0.0001 la probabilidad de que una planta irradiada presente mutación. Se le pide calcular, usando la distribución de Poisson:
a) La probabilidad de que no aparezca alguna planta con mutación. b) La probabilidad de que aparezca por lo menos una planta con mutación. c) El número medio ( E[X] ) de plantas con mutación.
9. Se sabe que dos pacientes de cada 1000 reaccionan a la penicilina. Si el día de hoy se someten 2000 pacientes a la prueba, calcule las siguientes probabilidades:
a) Que 3 tengan reacción alérgica.
b) Que más de 2 individuos tengan reacción. c) Calcule la E [X] y la Var [X].
10. Según la National Office of Vital Statistics of the US Department of Health, Education and Welfare, el promedio de ahogados por año es de 3.0 por cada 100,000 habitantes. Hallar la probabilidad de que en una ciudad cuya población es de 200,000 ocurran:
a) 0 ahogados por año. b) 2 ahogados por año. c) 8 ahogados por año.
d) Entre 4 y 8 ahogados por año. e) Menos de 3 ahogados por año.
11. Sí se sabe que en una cierta región ocurre en promedio una crecida de 550 m3/seg a cada 20 años, calcule:
a) La probabilidad de que ocurran dos o más crecidas en un año. b) La probabilidad de que no ocurra alguna creciente en un año. c) La probabilidad de que ocurran dos ó más crecidas en 10 años. d) La probabilidad de que no ocurra alguna crecida en 10 años. e) La varianza y el valor experado del número de crecidas en 20 años.
12. Sea X la variable aleatoria número de higos impropios para el consumo por caja con un cierto número de higos. Suponiendo que la probabilidad p de que un higo esté impropio para el consumo sea igual a 0.1, calcule:
a) La probabilidad de que una caja con 8 higos, escogida al azar: No contenga higos impropios al consumo,
Contenga a lo sumo 1 higo impropio para el consumo. b) La probabilidad de que una caja con 9 higos, escogida al azar:
No contenga higos impropios al consumo,
Contenga un máximo de 1 higo impropio por caja.
c) El número medio esperado de higos impropios al consumo por caja con 8 higos y Var (X).
13. Un director de producción sabe que el 5% de las piezas producidas en cierto proceso de fabricación tiene algún defecto. Se examinan seis de estas piezas, cuyas características se asumen independientes.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de estas piezas tenga un defecto? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una de estas piezas tenga un defecto?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de estas piezas tengan un defecto?
14. Si el 3% de las lámparas eléctricas producidas por una compañía son defectuosas, encuentre la probabilidad de que en una muestra de 100 lámparas eléctricas, hallan exactamente:
a) 0 b) 1
c) 2 lámparas defectuosas d) 3
e) 5
f) entre 1 y 3 lámparas defectuosas g) más de 5 lámparas defectuosas
15. Un vendedor de seguros sabe que la oportunidad de vender una póliza es mayor mientras más contactos realice con clientes potenciales. Si la probabilidad de que una persona compre una póliza de seguro después de la visita, es constante e igual a 0.25, y si el conjunto de visitas constituye un conjunto independiente de ensayos, ¿cuántos compradores potenciales debe visitar el vendedor para que la probabilidad de vender por lo menos una póliza sea de 0.80?
16. De cada 2,000 personas a las que se suministra cierto medicamento 6 resultan alérgicas al mismo, por término medio. Si en un determinado día se ha administrado el medicamento a 400 personas, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos una alérgica?
17. La probabilidad de que un golfista haga hoyo en un cierto tipo de lanzamiento es 0.2. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que:
a) no acierte alguna vez;
b) acierte por lo menos dos veces.
c) Supongamos que lanzara 10,000 veces y su capacidad de acierto se mantuviera (ni aumentara por la práctica ni disminuyera por el cansancio). ¿Qué probabilidad hay de que acierte más de 2.080 veces?
18. Un lote de semillas de Eucalyptus saligna con una proporción de 5% de semillas híbridas (E.
saligna × E. cloeziana) fue utilizado para la plantación de área. Sí diez árboles de esta área fueran
seleccionadas al azar, cuál es la probabilidad de que:
a) ninguna de ellos sea híbrido;
b) por lo menos uno de ellos sea híbrido; c) todos sean híbridos.
19. En un bosque de Eucalyptus grandis la tasa de ocurrencia de cáncer es de 2.5%. En un inventario forestal fueron seleccionados al azar 30 árboles, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos un árbol tenga cáncer?
20. Una empresa agroexportadora ubicada en el valle de la Fragua, Zacapa, asegura que el 90% de los melones embarcados están maduros y listos para comer. Calcule la probabilidad de que entre 18 melones embarcados, por lo menos 16 estén maduros y listos para comer. Calcule la esperanza matemática e interprétela.
21. En promedio, cinco pájaros chocan contra el monumento a Washington y mueren por este motivo cada semana. Bill Garcy, un oficial del Servicio de Parques Nacionales de Estados Unidos, ha solicitado que el Congreso estadounidense asigne fondos para adquirir equipo que aleje a los pájaros del monumento. Un Subcomité del Congreso le ha respondido que no pueden asignarle fondos para tal fin a menos que la probabilidad de que mueran más de tres pájaros cada semana sea mayor a 0.7. ¿Deben destinarse los fondos para espantar pájaros?
22. La concertista de piano Donna Prima está muy molesta por el número de tosidos que se presentan en la audiencia justo antes que empiece a tocar. Durante su última gira, Donna estimó un promedio de ocho tosidos justo antes de empezar su concierto. La señora Prima le ha advertido a su director que si escucha más de cinco tosidos en el concierto de esa noche, se rehusará a tocar. ¿Cuál será la probabilidad de que la artista toque esa noche?
23. Un director regional tiene la responsabilidad del desarrollo de una empresa, y le preocupa la cantidad de quiebras de empresas pequeñas. Si la cantidad promedio de quiebras de empresas pequeñas por mes es de 10, ¿cuál es la probabilidad de que quiebren exactamente cuatro empresas pequeñas durante un mes? Suponga que la probabilidad de una quiebra es igual en dos meses cualesquiera, y que la ocurrencia o no ocurrencia de una quiebra en cualquier mes es independiente de las quiebras en los demás meses.
24. Un supervisor de seguridad en una empresa cree que el número esperado de accidentes laborales por mes es de 3.4
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo mes ocurran exactamente dos accidentes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo mes ocurran tres o más accidentes?
c) ¿Qué supuestos debe hacer usted para resolver estas preguntas mediante la distribución Poisson?
25. Como una forma de hacer control de calidad en una empresa comercializadora de puertas de madera, el dueño exige que antes de salir de la fábrica cada puerta sea revisada en busca de imperfecciones en la superficie de madera. El encargado de control de calidad encontró que el número medio de imperfecciones por puerta es 0,5. El dueño decidió que todas las puertas con dos o más imperfecciones sean rechazadas y sean devueltas para su reparación.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una puerta falle la inspección y sea devuelta para su reparación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una puerta pase la inspección?
26. El número medio de pacientes admitidos por día en la sala de emergencias de un hospital pequeño es 2.5. Si solo hay cuatro camas disponibles en dicha sala ¿cuál es la probabilidad de que un día cualquiera el hospital no tenga camas suficientes para acomodar a los pacientes que lleguen?
27. Las últimas estadísticas de salud, afirman que en la zona del oriente antioqueño (en Colombia) se presenta una alta incidencia de cáncer de estómago (120 casos por cada 100,000 habitantes). Suponga que se realizan exámenes a 1000 habitantes del municipio de Guarne y se asume que para éstos la tasa de incidencia es la misma que para toda la región del oriente antioqueño.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas examinadas tenga cáncer? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 personas tengan cáncer?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 8 personas tengan cáncer?
28. Un productor de naranjas tiene dos alternativas para la venta de su producto, que es empacado en cajas de 10 docenas.
a) Un comprador A que paga a US$10 la caja y no examina el producto;
b) Un comprador B que para cada caja recibida, retira 6 naranjas y las examina: si todas están perfectas él paga US$12 la caja; si entre las 6 encuentra 1 deteriorada, él paga US$10 la caja y, si entre las 6 encuentra de 2 a 4 deterioradas, él paga apenas US$6 por la caja; si encuentra más de 4 deterioradas él descarta la caja.
Si el porcentaje real de naranjas deterioradas es de 8%, ¿cuál es la mejor alternativa para la venta del producto? Y si el porcentaje de naranjas deterioradas fuera de 15%, ¿qué pasaría?
29. En una carretera de poco movimiento, pasa en promedio, 1 carro cada 20 minutos. Calcule la probabilidad de que en 30 minutos pasen:
d) Ningún carro,
e) Por lo menos 2 carros.
Dos apostadores se colocan en un punto estratégico de la carretera y hacen la siguiente apuesta, referente al número de carros que pasan en 1 hora de observación:
1 carro, A recibe de B US$ 20, 2 carros, A recibe de B US$30, 3 carros, A recibe de B US$40, 4 carros, A recibe de B US$ 50.
Si no pasa algún carro, A paga a B US$100. Si pasan más de 4 carros, la apuesta no tiene validez.
¿Cuál es la ganancia media del apostador A?