Part II: Geriatric Depression Scale.
SUMMARY CONCLUSION, IMPLICATIONS AND RECOMMENDATIONS
En análisis anterior no proporciona una distribución precisa para el espesor de la capa límite en una cierta posición x, pero si proporciona una estimación para su orden de magnitud
(
e-12)
LR ≈
δ . La velocidad del fluido crece a través de la capa límite desde un valor nulo en la superficie del cuerpo hasta alcanzar asintóticamente el valor Ue. Se puede definir el espesor de la capa límite como la distancia a la
superficie del cuerpo donde el valor de la velocidad alcanza una fracción de Ue, por
Puesto que el perfil de velocidad surge continua y asintóticamente en la corriente libre, el espesor de perturbación de la capa límite, δ, es difícil de medir. Para evitarlo, se definen el espesor de desplazamiento δ∗ y el espesor de cantidad de movimiento θ, cantidades que además, conllevan un significado físico claro.
2.3.3.1 Espesor de desplazamiento.
Se define el espesor de desplazamiento δ∗(x) como la distancia que hay que desplazar la pared del cuerpo hacia el interior del fluido para que, suponiendo que todo el fluido se mueve con la velocidad de la corriente exterior Ue(x), el fluido másico
sea el mismo que existe en realidad en la presencia de la capa límite. Para un fluido incompresible, esta condición se reduce a
∫
δ∞∗Uedy=∫
0∞udyde donde se obtiene la siguiente expresión explicita para δ∗
( )
∫
∞ ∗ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 1 U dy u x e δEl concepto de espesor de desplazamiento se ilustra en la figura 2.14; δ∗es tal que
las áreas sombreadas son iguales de manera que el fluido másico asociado a los dos perfiles tienen el mismo valor.
Figura 2.14 Espesor de desplazamiento de la capa límite [16].
2.3.3.2 Espesor de cantidad de movimiento.
Se define el espesor de cantidad de movimiento θ(x) de modo que δ∗+θ sea la distancia que hay que desplazar la pared del cuerpo hacia el interior del fluido para que, suponiendo que todo el fluido se mueve con la velocidad de la corriente Ue(x), el
flujo de cantidad de movimiento sea el mismo que el que el que existía con la capa límite original. Esto es
∫
∞+∫
∞ ∗ θ = δ 0 2 2 dy u dy Uede donde se puede obtener la siguiente expresión explícita para θ
( )
∫
∞ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = 0 1 U dy u U u x e e θSe denomina factor de forma del perfil F1 como la relación entre el espesor de
desplazamiento δ∗ y el espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite θ,. y a F2 a la relación entre el espesor de energía, δ3, y el espesor de la cantidad de
movimiento θ. θ δ* 1 = F y θ δ3 2 = F 2.3.4 DESPRENDIMIENTO DE LA CAPA LÍMITE.
La capa límite permanece adherida al cuerpo y por tanto la solución potencial resulta ser válida en primera aproximación. En los cuerpos, la capa límite se desprende, dando lugar a la aparición de una estela limitada por capas de torbellinos, cuya posición se desconoce a priori. La solución potencial correspondiente a un cuerpo bidimensional, típicamente presenta un punto de estancamiento en la zona anterior y un segundo punto de estancamiento en la zona posterior, tal y como se representa en la figura 2.15, donde también se esquematiza la evolución del perfil de velocidad en el interior de la capa límite. De acuerdo a la ecuación de Bernoulli, en estos puntos de estancamiento se alcanza la presión máxima. Para valores crecientes de x, esto es, corriente abajo del punto de estancamiento anterior, la solución potencial da un valor de Ue creciente, lo que lleva asociado un gradiente de presión negativo
(dpe dx<0), esto es, favorable al movimiento (por ejemplo, en la posición x1 de la
figura 2.15). En algún punto de la superficie del cuerpo (x2 de la figura 2.15) se
alcanza la máxima velocidad y, por tanto, la mínima presión. Para valores mayores de x el flujo potencial se desacelera, dando lugar a la aparición de un gradiente de presión adverso (por ejemplo, en x3).
Para entender como este gradiente de presión interactúa con la capa límite, dando lugar a su desprendimiento, se debe de recordar que la presión no varía de forma apreciable a través de la capa límite. Por tanto, el gradiente de presión de la solución exterior es el gradiente de presión que esta actuando sobre la capa límite, de manera que todas las partículas fluidas, independientemente de su distancia a la pared, sienten el mismo empuje de la presión. Para x < x2, la velocidad en la capa límite
aumenta debido al gradiente de presión favorable.
En la zona de gradiente de presión adverso, el fluido en cambio se desacelera. La magnitud de esta desaceleración se puede estimar a partir de la ecuación 2.2.12, sin mas que comparar el termino convectivo con el gradiente de presión para dar
u p ∆ u x e ρ ~ ∆ 2.2.17 La ecuación así obtenida indica que el decremento de velocidad es tanto mayor cuando menor sea la velocidad de la partícula fluida. El fluido cerca de la pared lleva poca velocidad y es, por tanto, muy sensible al gradiente de presión adverso.
La evolución del perfil de velocidad es tal que se reduce progresivamente el valor de y
u ∂
∂ en la pared. Si el gradiente de presión adverso actúa durante un tiempo lo suficientemente largo, la velocidad en la vecindad de la pared acaba siendo negativa. Esta aparición de una región de flujo inverso o zona de depresión en la solución de las ecuaciones de capa límite indica que la corriente exterior se ha desprendido, (Figura 2.16). Una vez que esto ocurre, las ecuaciones de capa límite dejan en general de representar el campo fluido cerca de la pared. Además, al desprenderse la corriente, el campo de presiones sobre el cuerpo deja de estar determinado por la solución potencial.
Inmediatamente antes del desprendimiento ∂u ∂y=0 en la pared. La condición de
esfuerzo de fricción nulo en la pared determina por tanto la posición del punto de desprendimiento. Nótese que el perfil de velocidad asociado a este punto, necesariamente contiene un punto de inflexión donde ∂2u ∂y2 =0, esto es, cerca de
la pared la curvatura del perfil de velocidad resulta ser positiva
(
, mientras que suficientemente lejos de la pared ∂2u ∂y2 <0. Particularizando ahora la ecuación2.2.12 en y = 0, donde u = v = 0 , se obtiene
)
0 2 2 ∂ > ∂ u y 2 2 y u dx dpe ∂ ∂ =µ 2.2.18 como en el momento del desprendimiento ∂2 ∂ 2 <0y
u en la pared, se demuestra que
el desprendimiento está necesariamente asociado con regiones donde el gradiente de presión es adverso.
El diseño de cuerpos aerodinámicos debe por tanto garantizar que el punto de máxima velocidad se alcanza tan cerca del punto de estancamiento posterior que sea posible, de manera que se evite el desprendimiento de la capa límite o se retrasa tanto que el efecto del desprendimiento es despreciable. En el diseño de dichos cuerpos se hace uso de la teoría de flujo potencial para determinar la distribución pe(x) que aparece con capa límite adherida. La integración de las ecuaciones 2.2.11
y 2.2.12 permite entonces predecir si la capa límite se mantiene adherida.
Figura 2.16 Zonas de capa límite [15].