Otra característica interesante de las entrevistas a los profesores chinos fue que ellos tendían a referirse a conexiones entre los temas matemáticos. Por ejemplo, la mayoría de los profesores chinos mencionó la “sustracción dentro de la veintena” como la base conceptual, así como procedimental, de la resta con reserva.
Señalaron que la idea de reagrupación en la resta, de descomponer una 9<;:>: :8 =>E36 F>B36 8< 9<;:>:84 :8 =8<36 F>B36G 48 :84>663BB> > 26>FD4 del aprendizaje de tres niveles de problemas.
En el primer nivel se incluyen problemas con minuendos entre 10 y 20 C3=3 HI J KG HL J MG 82CN O< 8428 <;F8BG B34 8429:;><284 >568<:8< 8B C3<C8523 de descomponer una decena y la habilidad que se deriva de esto. Apren1 den que al descomponer una decena, podrán restar números de un dígito :8 <P=8634 :8B HQ >B HR C3< :ST;234 8< B>4 9<;:>:84 =8<3684 U98 8B 4941 traendo. Este paso es crucial puesto que, antes de eso, la resta era directa, se sustraían números pequeños de un dígito a números mayores de un dígito o a números en el rango de las decenas, con las unidades mayores que las del sustraendoV. El concepto y la habilidad aprendidos en este nivel sustentarán los procedimientos de reagrupación en otros niveles.
O< 8B 48T9<:3 <;F8B 48 ;<CB9E8< 563AB8=>4 C3< =;<98<:34 8<268 HR E HQQ C3=3 IW J XIG KX J VMG 82CN O< 8B 48T9<:3 <;F8BG B> :8C8<> U98 48 :84C3=53<8 48 combina con varias decenas. La idea nueva es separarla de las otras decenas.
El tercer nivel incluye problemas con minuendos más grandes, es de1 C;6G =;<98<:34 C3< W 3 =Y4 :ST;234N Z> ;:8> <98F> 8< 8B 286C86 <;F8B 84 B> descomposición consecutiva. Cuando la siguiente posición de mayor valor en el minuendo es cero, se debe descomponer una unidad en un valor
V OB 4;428=> <9=D6;C3 C[;<3 598:8 C3<26;A9;6 > B> 5>62;C9B>6 >28<C;\< U98 B34 5637843684 chinos prestan a la composición y descomposición de una decena. En chino los numeros dentro de la decena tienen la forma “diez y un número de un dígito”. Por ejemplo, once 84 ]:;8^19<3_G :3C8 84 ]:;8^1:34_G E >4SN `a8;<28 84 ]:34 :;8^_G 268;<2> 84 ]2684 :;8^_ E >4SN a8;<2;9<3 48 BB>=> ]:34 :;8^19<3_G F8;<2;:\4 84 ]:34 :;8^1:34_ E >4SN b36 8<:8G :84C3=1 53<86 :8C8<>4 2;8<:8 > 486 9<> 43B9C;\< 3AF;> 5>6> 8B 563AB8=> :8 ]cC\=3 B8 53:8=34 6842>6 I > :;8^1:34d_N
posicional más alejado. Los problemas implican descomponer más de una vez y, en algunos casos, incluso varias veces. Por ejemplo, en el problema 345%6%789%:;<;%=<;>;?;<%@AB%C;D%EBFG;GHD9%DH%GH>H%GHD@AI:ABH<%7%@HB=HB;%HB% 10 decenas y, luego, descomponer 1 decena en 10 unidades. Según los proJ KHDA<HD%@LFBAD9%C;%FGH;%>MDF@;%GH%C;%<HD=;%@AB%<HDH<N;%DH%GHD;<<ACC;%;%=<;NOD% de tres niveles. Sin embargo, la “semilla” conceptual y la habilidad básica que cruzan todos los niveles del problema ocurren tan pronto como en el primer nivel, resta dentro de la veintena.
Aquí se da una diferencia interesante de comprensión entre ambos :;PDHDQ% ,B% CAD% ,,QRRQ9% CAD% :<A>CHI;D% @AIA% S8% T% U% V% 73W% X% S73% 6% U% V% 8W% DH%@ABDFGH<;B%SG;=AD%;<F=IO=F@AD%>MDF@ADW%YEH%CAD%;CEIBAD%DFI:CHIHB=H% memorizan. Sin embargo, en China, se consideran problemas de “adición con composición y resta con descomposición dentro de la veintena”8 El aprendizaje de la “adición con composición y resta con descomposición dentro de la veintena” es la primera oportunidad en que los alumnos deJ ben recurrir a conocimientos previos, en este caso, su habilidad para comJ :ABH<%Z%GHD@AI:ABH<%EB;%GH@HB;%HD=M%FB@A<:A<;G;%DF[BF\@;=FN;IHB=H6.
];%^<AKQ%_EB%HD=M%@H<@;B;%;%CAD%@E;<HB=;%Z%L;%HBDH`;GA%:A<%7a%;`AD%HB% escuelas primarias en varias ciudades. Incluso cuestionó mi pregunta de la HB=<HNFD=;9%:HBD;BGA%YEH%BA%H<;%CA%DE\@FHB=HIHB=H%<HCHN;B=H+
El tema que mencionó es resta con reserva, pero los problemas que me mostró, de los cuales todos tienen minuendos mayores que 20 y meJ nores que 100, son sólo un tipo de problema en el aprendizaje de este tema. De hecho, este no es el tipo de problema crucial para aprender este tema. Me cuesta hablar acerca de cómo enseñar este tema basándoJ me sólo en el enfoque hacia estos problemas.
Luego de discutir los tres niveles de problemas para aprender resta con <HDH<N;%HCC;%DF[EFX%Hb:CF@;BGA%:A<%YEO%:HBD;>;%YEH%IF%:<H[EB=;%H<;%:<AJ blemática:
Existen nuevos aspectos en cada uno de los niveles de aprendizaje, pero son, de hecho, formas desarrolladas de la idea básica que se presenta
8% ,B%cLFB;9%C;%DEI;%@AB%<HDH<N;%DH%CC;I;%SDEI;%@AB%@AI:ADF@FXBW%Z%C;%<HD=;%@AB%<HDH<@;%DH% llama “resta con descomposición”..La “suma con composición y la resta con descomposiJ ción dentro de la veintena” se enseñan dentro del segundo semester de primero básico. 6 En los textos de matemáticas escolares chinos, antes de la sección “suma con composición
y resta con descomposición dentro de la veintena” hay una sección acerca de la composiJ ción de una decena. Empero, antes de que lleguen a la sección de suma y resta dentro de C;%NHFB=HB;9%CAD%HD=EGF;B=HD%BA%=FHBHB%@C;<A%HC%DF[BF\@;GA%I;=HIM=F@A%GH%@AI:ABH<%Z%GHDJ componer una decena Durante las entrevistas, los profesores chinos a menudo comentaJ <AB%YEH%C;%<HC;@FXB%HD%HB%GA>CHJDHB=FGA+%;:<HBGH<%:<FIH<A%EB%@AB@H:=A%>MDF@A%DED=HB=;%HC% ;:<HBGFd;?H%GH%EB%=HI;%IMD%;N;Bd;GA%:H<A9%HC%;:<HBGFd;?H%GH%EB%=HI;%>MDF@A%=;I>FOB%DH% refuerza por este último.
!"" #$%$&'(')%*$"+")%,)-.%/."0)"1.,"(.*)(2*'&.,")1)()%*.1),"
cuando uno aprende a restar dentro de la veintena. Lo que uno apren de en el primer nivel se aplica en todos los niveles más altos de resta. Una vez que los alumnos tienen una buena comprensión del concepto y la capacidad para resolver problemas de resta dentro de la veintena, su futuro aprendizaje de la resta tendrá una base sólida sobre la cual construir. Por ejemplo, muchos de ellos podrán deducir cómo resolver los problemas que me muestras acá en gran parte por sí mismos o con una pequeña ayuda mía o de sus compañeros. Por ende, la resta dentro de la veintena es fundamental para aprender resta con descomposición. Este es el conocimiento de mayor peso de los tres niveles. La suma y la resta en la veintena es donde mayormente enfocamos nuestros esfuerzos educativos. Así que me parece imposible hablar acerca de cómo abordar la resta con reserva partiendo de los problemas que me presentaste.
Las acotaciones de la Prof. E eran típicas de los profesores chinos:
Dado que mis alumnos no tienen una comprensión sólida de problemas !"#$%&'!"'()'*"+#$"#)',-./&'0&!%1)#'%"2&(*"%'0%&3("/)2'-&/&'45'6'78' 9':;'6'45<'=)!)'*">'?@"'2+A)#'"(')(A&%+$/&'2"'"#B%"#$)%C#')'0%&3("/)2' -&/&'75'6'8'D'<'9'7;'6'5'D'<',=&#E)%"/&2'"#'?@"'2+"/0%"'-@"#$"#'0) (+$&2<' F"20@G2' !"' $&!&H' $&!&2' (&2' 0%&-"2&2' !"' %"2$)' -&#' #I/"%&2' /C2' grandes se transforman en resta entre 10 y 20. Es por eso que el primer nivel es tan importante.
Mientras que los profesores chinos hablaban acerca de la importancia de aprender a restar dentro de la veintena, no suponen que era lo único ?@"' @#&' !"3"%1)' 2)3"%' )#$"2' !"' )0%"#!"%' (&2' 0%&3("/)2' ?@"' ("2' /&2$%GJ' Los ítemes que ellos mencionaron como necesarios para que los alumnos aprendieran este tema conformaban una lista bastante más larga que la mencionada por los profesores norteamericanos. En promedio, los profe 2&%"2' -K+#&2' /"#-+&#)%&#' LH5' 1$"/"2' /+"#$%)2' ?@"' (&2' 0%&B"2&%"2' #&%$" americanos mencionaros 2,1.
El Prof. Chen era un profesor cercano a los sesenta que había enseñado en una escuela rural por más de treinta años. Describió los tres niveles de )0%"#!+>)M"'!"'%")A%@0)-+.#'"#'()'%"2$)'9'("'0%"A@#$G'2+'G('2@0)'?@"'"(' aprendizaje matemático es una secuencia que va paso a paso y señaló:
Más bien diría que aprender un tema matemático nunca está aislado del aprendizaje de otros temas, uno apoya al otro. Las conexiones entre los tres niveles son importantes pero existen otras ideas importantes que $)/3+G#'2"'+#-(@9"#'"#'()'%"2$)J'N&%'"M"/0(&H'"('2+A#+E-)!&'!"'()'%"2$)H'"$-J' La operatoria de la resta con descomposición es la aplicación de varias ideas en lugar de una sola; es más bien un paquete que una secuencia de conocimiento. El paquete de conocimiento que veo cuando enseño los problemas que presentaste se expande más allá de los tres niveles que )-)3&'!"'!+2-@$+%J'N@"!"'$)/3+G#'+#-(@+%')'()'2@/)'!"#$%&'!"'()'*"+#$"#)H'
resta de números de dos dígitos sin descomposición, suma de números de dos dígitos con reserva, la idea de tasa de descomposición de una uni5 dad de mayor valor, resta con decimales, etc. etc. Algunos de ellos susten5 tan el conocimiento previo y otros se sustentan en el conocimiento actual.
67%897:;<=>%?@%A9BCD%EF7<%GHI%?J79J?%K7@%L8?M;7=7%K7%JB<BJNGN7<=BO%P% su tamaño y componentes y me respondió:
No existe una forma estricta, rígida o única de “empaquetar” el conoci5 miento. Todo depende del punto de vista de cada uno. Diferentes pro5 fesores, en distintos contextos o, el mismo profesor, con distintos alum5 nos puede “empaquetar” el conocimiento en formas distintas. Pero el punto es que debes ver un “paquete” de conocimiento cuando enseñas un cierto conocimiento y debes conocer el papel de ese conocimiento en el paquete. Tienes que saber que el conocimiento que enseñas se apoya por tales ideas o procedimientos de manera que lo que tu enseñanza se apoyará, se reforzará y elaborará el aprendizaje de estas ideas. Cuando se enseña una idea importante, que sustentará otros procedimientos, se deben dedicar esfuerzos especiales para asegurarse de que los alumnos entienden bien la idea y que pueden desarrollar el procedimiento de G?<79?%7QJN7<=7D
6?%G?PB9R?%K7%@BI%89BC7IB97I%JFN<BIS%?@%N:;?@%M;7%7@%A9BCD%EF7<S%I7%97Q5 rió a un grupo de conocimientos en lugar de un solo conocimiento. Se es5 bozó la siguiente red basada en su discusión de la resta con reserva. Como dijo el Prof. Chen, “empaquetar el conocimiento” (ver los temas matemá5 ticos grupo a grupo en lugar de pieza a pieza) es una forma de pensar. Las opiniones de los profesores acerca de cuáles y cuántos conocimientos se deben incluir en el “paquete” diferían un poco. Lo que compartían eran los principios de cómo “empaquetar” el conocimiento y cuáles eran las 8N7T?I%LJ@?U7IOD%6?%Q:;9?%VD3%N@;I=9?%@?I%NK7?I%89N<JN8?@7I%;=N@NT?K?I%8B9%@BI% profesores chinos cuando “empaquetaban” los conocimientos relaciona5 KBI%JB<%@?%97I=?%JB<%97I79U?D%,@%97J=H<:;@B%97897I7<=?%7@%=7G?%M;7%8@?<=7>% en la entrevista, las elipses representan los conocimientos relacionados; las 7@N8I7I% IBGW97?K?I% JB997I8B<K7<% ?% @BI% JB<BJNGN7<=BI% J@?U7IX% ;<?% Y7JF?% de un tema a otro indica que el primer conocimiento apoya al segundo, es decir que, según los profesores se debe enseñar antes que el segundo7.
,<%@?%GN=?K%K7%@?%Q:;9?%F?P%;<?%I7J;7<JN?%K7%J;?=9B%=7G?I+%LI;G?%P% resta dentro de la decena”, “suma y resta dentro de la veintena”, “resta con reserva de números entre 20 y 100” y “resta con reserva de núme5 ros grandes”. De acuerdo a los profesores chinos, el concepto procedi5
7 Durante las entrevistas, los profesores chinos a menudo comentaron que la relación es en KBW@75I7<=NKB+%?897<K79%89NG79B%;<%JB<J78=B%WHINJB%I;I=7<=?%7@%?897<KNT?Z7%K7%;<%=7G?% GHI%?U?<T?KB%879BS%7@%?897<KNT?Z7%K7%;<%=7G?%WHINJB%=?GWN><%I7%97C;79T?%8B9%7I=7%[@=NGBD
!"" #$%$&'(')%*$"+")%,)-.%/."0)"1.,"(.*)(2*'&.,")1)()%*.1)," 345678"94":4;67"<=5":4;4:>7";4"94;7::=887"?7;="7"?7;="7"6:7>@;"94"4;67" secuencia, de una forma primaria y simple a una forma avanzada y compleja. El tema de la “suma y resta dentro de la veintena” se consiA dera la pieza clave de la secuencia a la que los profesores les dedican el mayor esfuerzo en todo el proceso de enseñanza de la resta con reserva. Ellos creen que tanto el concepto como la habilidad de cálculo, que se presentan con el tema “suma y resta dentro de la veintena”, constituyen la base para el posterior aprendizaje de formas más avanzadas de resta con reserva. Por ende, les brindará a los alumnos un fuerte apoyo para el posterior aprendizaje de la resta, tanto en los conceptos como en el procedimiento.
Resta con reserva de números grandes
Resta con reserva de números entre 20 y 100
Tasa de composición de una
unidad mayor
Resta sin reserva
Suma sin reserva
La composición de 10
Suma y resta como operaciones inversas Suma y resta
dentro de la decena Suma y resta dentro
de la veintena Composición de números dentro de la centena Composición y descomposición de una
unidad de mayor valor
Fig. 1.2. Un paquete de conocimiento para la resta con reserva.
B943C;"94"87";4<D45<E7"<456:78F"48"?7GD464"94"<=5=<E3E456="673HE@5" contiene algunos otros temas. Conectados directamente con uno o más eslabones de la secuencia, estos temas engloban la secuencia en forma diA recta o indirecta. Durante las entrevistas, algunos profesores discutieron acerca de una “subsecuencia” de este “círculo”, desde la “composición de una decena” a la “suma sin reserva” y a la “resta sin reserva”. Con un cambio de perspectiva podemos imaginar que, por ejemplo, si nuestro tema es como enseñar resta sin reserva, esta subsecuencia podría ser la secuencia central en el paquete de conocimientos del profesor. El tema en
el “círculo”, “composición y descomposición de una unidad de mayor va5 lor” se considera otra pieza clave en el paquete puesto que es el concepto central que subyace al algoritmo de la resta.
El propósito del profesor al organizar el conocimiento en dicho pa5 quete es promover el aprendizaje sólido de un cierto tema. Es obvio que todos los ítemes del paquete de la resta se relacionan con el aprendizaje de este tema, ya sea apoyándolo o apoyándose en ella. Algunos ítemes, por ejemplo, la resta sin reserva, se incluyen principalmente para apoyar el procedimiento. Otros ítemes, por ejemplo, componer y descomponer una unidad de mayor valor, se consideran principalmente como apoyo conceptual. Sin embargo otros, como el concepto de operación inversa, se consideraron tanto como apoyo conceptual como apoyo procedimental6. Las redes de cada profesor variaron de acuerdo al tamaño y los temas es5 789:;9<=%>?9@A>B<=C%D>?%8EFGHI<J%@G=%H8@G9><?8=%8?KH8%@<=%K8EG=%L%G@IA?<=% puntos claves coincidieron.