El inmortal aburrimiento de la calma sideral. La añoranza de un Sol cuya pérdida lloramos... Jean de La Ville de Mirmont, L'Horizon Cbimérique
La solución de Schwarzschild
En diciembre de 1915, un mes después de la aparición de los artículos de Einstein que proporcionaban las ecuaciones de la Relatividad General, el astrofísico alemán Karl Schwarzschild descubre la solución que describe el campo gravitatorio de una masa esférica rodeada de vacío. Desde el frente ruso en el que combate 1, Schwarzschild
comunica su manuscrito a Einstein y le confía el cuidado de su publicación. Einstein está muy impresionado. Él responde: «Yo no esperaba que pudiese ser formulada una solución exacta del problema. Su tratamiento analítico me parece espléndido.»
El interés de la geometría espacio-temporal descubierta por Schwarzschild es doble. Por una parte, describe notoriamente bien el campo gravitatorio que reina en el Sistema Solar. El Sol es prácticamente esférico, y el conjunto de la materia que le acompaña tiene respecto a él una masa tan débil que puede asimilarse al vacío.
Muy patriota, Schwarzschild se enroló como voluntario en el ejército prusiano, a época en que se descubrió su solución, contrajo una enfermedad incurable, el pénfigo; repatriado urgentemente, murió en mayo de 1916.
Los movimientos de los rayos luminosos, de los planetas, de los cometas y de todos los cuerpos en caída libre hacia el Sol siguen pues geodésicas 2 del espacio-tiempo curvo de Schwarzschild. Estos movimientos pueden ser calculados con precisión y concuerdan con los valores observados de la desviación de los rayos luminosos que bordean el Sol y del avance del perihelio de los planetas, que la fuerza de atracción de Newton era incapaz de explicar.
Por otra parte la solución de Schwarzschild presenta un interés universal pues es
independiente de la naturaleza del astro que la engendra. No depende más que de una sola magnitud: la masa. El campo gravitatorio exterior del Sol y el de una estrella son idénticos con tal de que su masa sea la misma. En el límite, una masa estrictamente puntual
engendraría también el espacio-tiempo de Schwarzschild.
Ahí empiezan las dificultades. El comportamiento de la geometría empieza a ser
desconcertante a partir del momento en que se aproxima «muy de cerca» a la fuente puntual de gravitación. Más precisamente, a la distancia crítica dada por r = 2 GM/c2, en el que M es la masa del astro central, G la constante de atracción universal de Newton y c la velocidad de la luz 3. Como se ve, esta distancia es proporcional a la masa gravitatoria. Es igual a 3 km para la masa del Sol, y alcanza tres millones de kilómetros para un millón de masas solares y se reduce a un centímetro para la masa de la Tierra. Este radio de Schwarzschild no es nada más que el tamaño crítico de un astro por debajo de la cual la velocidad de liberación de su superficie calculada «a la Newton» alcanzaría la velocidad de
la luz. Sin saberlo, Schwarzschild acababa de reabrir la puerta a las especulaciones olvidadas de Michell y Laplace referentes a los astros invisibles.
El círculo mágico
A partir de la solución de Schwarzschild, el camino que lleva a la teoría de los agujeros negros está todavía sembrado de dos grandes trampas: una de orden matemático, otra de orden astronómico.
2 Equivalente de las rectas en una geometría curva, ver p. 63.
3 Adoptaré en lo que sigue la fórmula simplificada r = 2M, considerando las constantes fundamentales G y c como unidades.
En la versión proporcionada por Schwarzschild, el espacio y el tiempo pierden su identidad en el interior del radio crítico r = 2 M. Las «reglas» que permiten medir distancias e intervalos temporales en la región exterior tienen allí un comportamiento aberrante; una se hace infinita, el otro nulo. Arthur Eddington describe esta «singularidad» de la geometría en estos términos: «hay un círculo mágico a cuyo interior ninguna medida nos puede
conducir.»
La cuestión del círculo mágico fue objeto de discusiones apasionadas en el Coloquio de París de 1922. Alrededor de Einstein se reunió el más bello «ramillete de relativistas» que imaginarse pueda, entre ellos, Jean Becquerel, Henri Brillouin, Elie Cartan, Jacques Hadamard y Paul Langevin. Sin embargo, este ejército de físicos teóricos no fue capaz de resolver el problema matemático planteado por el radio crítico. A lo sumo, presintieron la eventualidad del colapso gravitatorio.
El círculo mágico será durante largo tiempo considerado como una incoherencia de la Relatividad General y frenará el desarrollo de la teoría de los agujeros negros. Hasta los años 1950 los teóricos no se pusieron de acuerdo para reabsorber la singularidad del radio de Schwarzschild. El comportamiento «patológico» de la geometría sólo es un artificio matemático. David Finkesltein ha demostrado que sólo se debe a una mala elección del sistema de coordenadas 4. Bastantes años antes, Eddington había descubierto la llave del enigma construyendo por primera vez un sistema de coordenadas en el cual la geometría de Schwarzschild pierde su magia en el radio crítico. Pero Eddington no había sabido o querido sacar las consecuencias de ello, pues estaba preocupado por un problema astronómico: el de los astros gravitatoriamente condensados.
La idea de que una estrella como el Sol pueda contraerse en una esfera de 3 km de radio es tan inadmisible en el principio del siglo XX como en el tiempo de Laplace, puesto que implica una densidad de materia que desafía a la imaginación. En 1931, el japonés
Recuerdo que en Relatividad General todos los sistemas de coordenadas son equivalentes para describir los fenómenos físicos, pero en algunos de ellos los cálculos se efectúan más simplemente que en otros.
Yusuke Hagihara publica un impresionante trabajo matemático en el que calcula todas las geodésicas del espacio-tiempo de Schwarzschild, incluidas las que penetran en el «círculo mágico». Pero concluyó: «de hecho, es del todo improbable que en una estrella real la distancia r = 2 M medida a partir del centro sea más grande que su radio. Para que el radio de una estrella de masa comparable a la de nuestro Sol sea igual a la distancia r = 2 M, sería preciso que su densidad fuese alrededor de 1017 veces la del agua, mientras que la estrella
más densa, el compañero de Sirius, una enana blanca, tiene una densidad de cerca de 6 X 104 veces la del agua 5. No hay tal diversidad en la masa de las estrellas para permitir un
valor tan pavoroso de la densidad crítica. Por consiguiente, una órbita que penetra en el interior de r = 2 M es físicamente muy improbable.»
Esta cita resume perfectamente la actitud pragmática que adoptan la mayor parte de los astrofísicos. Sólo se interesan por las lejanas regiones de la geometría de Schwarzschild, aplicables al Sistema Solar, e ignoran su extraño comportamiento en el radio crítico.
Algunos osan incluso ir más lejos. A partir de 1920, William Anderson se interroga sobre el destino que espera a una estrella que se reduce hasta un volumen tan pequeño como el de su círculo mágico: «el astro solar iría contrayéndose y llegaría un momento en el que sería sepultado en las tinieblas, no porque no tuviese más luz que emitir, sino porque su campo gravitatorio habría llegado a ser impermeable a la luz.» Un año más tarde, Sir Oliver Lodge vuelve a tomar casi palabra por palabra el viejo razonamiento de Michell y Laplace: «Si la luz tiene peso, un cuerpo suficientemente masivo y concentrado sería capaz de retener la luz e impedir que se escape. El Sol debería concentrarse en una esfera de 3 km, lo que está más allá de lo razonable, y la Tierra en un globo de 1 cm. Pero si para una masa aislada esta condición es apenas imaginable, un grupo de estrellas de masa igual a 1016 M® podría tener
un radio de 1.000 años-luz con una densidad media de 10~15 g/cm3, sin que pueda escaparse
de ella mucha luz... Esta concentración de materia no parece completamente imposible.» Como se ve, si los astrofísicos tropiezan todavía en las fabulosas densidades implicadas por astros de algunas masas solares condensadas por debajo de su radio de Schwarzschild, algunos están dispuestos
Las observaciones ulteriores han revelado que las enanas blancas tienen una densidad diez veces superior a la indicada por Hagihara, ver capítulo 5.
a admitir su existencia en escalas de masas mucho más grandes, simplemente porque la densidad correspondiente se hace «razonable», es decir comparable a las ya conocidas en la Naturaleza.
Paralelamente, la entonces reciente teoría de la Mecánica Cuántica acredita la tesis del colapso gravitatorio prediciendo la existencia de estados «degenerados» de la materia, de una densidad que nadie hubiera osado imaginar hasta entonces. El terreno parece preparado para la rehabilitación de los astros invisibles. Pero su hora no ha sonado todavía. Arthur Eddington, el gran astrofísico inglés, es paradójicamente el más celoso defensor de la Relatividad General y el más terco oponente a la idea de un astro condensado por debajo de su radio de Schwarzschild: «¡Yo pienso que debe existir una ley de la naturaleza que impida a una estrella comportarse de manera tan absurda!» Para mantener su idea, Eddington debe modificar artificialmente la ley de degeneración descubierta por Fermi, a fin de que cualquier masa fría, tan grande como sea, pueda permanecer en equilibrio. Desarrolla sus ideas en la reunión de 1935 de la Unión astronómica internacional — sociedad de la que llegará a ser presidente cuatro años más tarde—. Un joven astrofísico de origen hindú de apellido Chandrasekhar desliza una nota al presidente de la sesión a fin de pedirle permiso para exponer un punto de vista contrario. ¡Permiso rehusado; la notoriedad de Eddington es tal que su opinión no puede ser puesta en duda!
A pesar de estas peripecias, la historia de las ciencias está en marcha. Chandrasekhar se hace célebre al construir los primeros modelos de astros condensados: las enanas blancas. EA teoría del colapso gravitatorio nace verdaderamente en 1939, gracias al trabajo de Oppenheimer y Snyder (ver capítulo 8). Utilizando las ecuaciones de la Relatividad General, logran calcular el colapso de una masa esférica por debajo de su radio de
Schwarzschild. Demuestran rigurosamente que la materia, y con ella el espacio-tiempo se colapsa para formar una región de la que ni siquiera la luz puede escaparse.
El término de agujero negro se utiliza por primera vez el 29 de diciembre de 1967, con motivo de una conferencia dada en New York por John Archibald Wheeler. Entra un tiempo en competición con la denominación francesa de «astro ocluido» y después se im- pone definitivamente. EA fulgurante carrera de los agujeros negros Puede comenzar... Más negro de lo que usted se piensa
El astrofísico hindú Jay Narlikar ha narrado la siguiente anécdota. En el siglo XVIII había en Calcuta una fortaleza llamada Fort William, que abrigaba una celda oscura conocida como el «agujero negro de Calcuta». Esta celda de 5 X 4 m estaba concebida para encerrar a tres prisioneros. En 1757, una revuelta terrible ensangrentó Bengala. En represalia, el cruel gobernador de la provincia hizo encerrar en el agujero negro de Calcuta 146 prisioneros del ejército enemigo. Estuvieron allí durante diez horas en el período más ca- liente del verano. Veintidós de ellos sobrevivieron.
Este episodio es tan horrible que algunos historiadores dudan de su autenticidad. Simboliza en todo caso el mito del agujero negro glotón que devora todo lo que pasa a su alcance. Esta connotación macabra, extendida en el gran público por cierta prensa, no es sin embargo más que uno de los múltiples aspectos del agujero negro. El agujero negro es un «objeto» a la vez simple y desconcertante por las distorsiones que imprime al espacio-tiempo.
Comencemos por despojar de su cáscara la imagen tradicional del agujero negro, la de la prisión cósmica,
Para esto es preciso remontarse a la fuente y recordar la definición elemental del agujero negro: una región del espacio-tiempo en el interior de la cual el campo gravitatorio es tan intenso que impide a toda materia y toda radiación escaparse. Quien dice campo gravi- tatorio fuerte dice concentración de materia importante. Para «fabricar» un agujero negro, es preciso pues que cierta masa esté encerrada en un cierto volumen crítico, cuyo tamaño está dado en el caso esférico por el radio de Schwarzschild. Como indica el cuadro 3, el agujero negro es un astro verdaderamente excepcional en la medida en que esta condición está lejos de ser satisfecha por los cuerpos habituales desde los átomos a las estrellas. Hagamos por el momento abstracción de los posibles mecanismos de formación de los agujeros negros. Pueden existir teóricamente agujeros negros de todas las tallas y de todas las masas. Agujeros negros microscópicos que tienen el tamaño de una partícula elemental y la masa de una montaña, agujeros negros de 10 M<§> y de algunos kilómetros de radio, agujeros negros gigantes de varios miles de millones de M® y tan grandes como el Sistema Solar (ver Apéndice 2). Por consiguiente, en contra de una opinión extendida co-
rrientemente, la densidad media de un agujero negro no es necesariamente elevada. Es inversamente proporcional al cuadrado de su masa. Si es cierto que un agujero negro de 10 M(D formado por el colapso gravitatorio de una estrella masiva más allá del estadio de estrella de neutrones, requiere una densidad «supernuclear» de 1016 g/cm3, un agujero negro
de mil millones de masas solares tiene una densidad media cien veces más débil que la del agua. El agujero negro no es forzosamente un astro denso: es un astro bastante compacto para, aprisionar la luz 6.
El aprisionamiento de la luz
He aquí el combate del día y de la noche. Ultimas palabras de Víctor Hugo
Supongamos que una estrella, perfectamente esférica y rodeada de vacío, se hunde sin ninguna distorsión por debajo de su radio de Schwarzschild. Su superficie es caliente y emite radiación. ¿Cómo se efectúa el aprisionamiento progresivo de la luz y la transición hacia el estado de agujero negro?
General responde de manera sutil. G. Birk-hoff demostró en 1923 que la solución de Schwarzschild describe no sólo la geometría del espacio-tiempo exterior a una masa estática, sino más generalmente la que rema alrededor de un astro en colapso o en
expansión, a condición de que éste siga siendo exactamente esférico. Si el Sol se pusiese a vibrar inflándose y desinflándose en la misma forma en todas las direcciones, o incluso si se le reemplazase por un agujero negro esférico de misma masa, la geometría del Sistema Solar no cambiaría. Las órbitas de los cometas y de los planetas no se verían afectadas. Simplemente no habría ya luz. Gracias al teorema de Birkhoff, se sabe pues que el comportamiento de los rayos luminosos emitidos por una estrella en contracción esférica está descrito fielmente por geodésicas de la geometría de Schwarzschild.
La figura 26 muestra cuatro episodios del colapso gravitatorio de una estrella esférica con retención progresiva de la luz. Antes del colapso (Figura 26a) la masa de la estrella está repartida en un volumen mucho más grande que el delimitado por el del radio de
Schwarzchild. Según la teoría de la Relatividad General, su campo gravitatorio marca con una huella todavía ligera el «tejido elástico» del espacio-tiempo. La luz que abandona un punto en la superficie de la estrella puede escaparse en línea recta y en cualquier dirección. Después la estrella se colapsa (Figura 26h). A medida que su radio real se acerca al radio crítico de Schwarzschild, el pozo gravitatorio se ahonda, la curvatura del espacio-tiempo se acentúa y en virtud del Principio de Equivalencia, las trayectorias de los rayos luminosos
obligados a seguir la curvatura, se desvían de la línea recta pero manteniéndose como geodésicas. Cuando el radio de la estrella alcanza una vez y media el radio de
Schwarzschild las señales luminosas transmitidas tangencialmente «caen» a la superficie como el chorro de agua de una fuente. Tejen una «esfera fotónica», especie de envoltura tenue de luz que rodea a la estrella en colapso gravitatorio, de la que los astrónomos lejanos verán huir indefinidamente algunos fotones.
A medida que el colapso prosigue, cada vez menos rayos luminosos son capaces de evadirse. El «cono de escape» de la luz se estrecha (Figura 26c). Cuando la estrella alcanza el tamaño crítico de Schwarzschild, todos los rayos luminosos son capturados, incluso los que son emitidos radialmente (es decir, perpendicularmente a la superficie). El cono de escape se cierra completamente, la esfera fotónica ha desaparecido (Figura 26d). Es la extinción total. El agujero negro propiamente dicho ha nacido. Su superficie, la esfera de Schwarzschild, es una frontera más allá de la cual se hace imposible ver. Es un horizonte. El horizonte de sucesos
El horizonte terrestre, delimitado por la curvatura de nuestro planeta, es una frontera de espacio más allá de la cual, el navegante no ve. El horizonte terrestre es relativo. Es un círculo centrado en el navegante, que se desplaza con él.
Por contraste, el horizonte del agujero negro es absoluto. Es una frontera del espacio- tiempo, independiente de todo observador, que divide los sucesos en dos categorías. En el exterior del horizonte es posible comunicar a distancias arbitrariamente grandes mediante señales luminosas. Este es el Universo ordinario en el que nosotros evolucionamos. En el interior del horizonte, los rayos luminosos no se encuentran ya libres para viajar entre los sucesos sino que son focalizados hacia el centro. EA comunicación entre sucesos queda sometida a severas limitaciones. Es el agujero negro.
EA figura 27 es un diagrama de espacio-tiempo que representa la geometría de
Schwarzschild alrededor de una estrella esférica en contracción gravitatoria conducente a la formación de un agujero negro. Es la figura más importante de este libro pues proporciona la primera clave de una comprensión seria de los agujeros negros. Por ello reclama una atención particular.
Como todo diagrama de espacio-tiempo, la curvatura se visualiza por medio de los conos de luz. Recuérdese que en cada suceso el cono de luz está generado por las trayectorias de las ondas electromagnéticas y circunscribe las líneas de universo de todas las partículas materiales, que no pueden sobrepasar la velocidad de la luz. En ausencia de gravitación, todos los conos de luz son «paralelos» entre ellos, en el sentido en que sus lados están inclinados 45° y su abertura es de 90°. Tejen el espacio-tiempo plano de Minkowski, soporte de la Relatividad Restringida. En presencia de un campo gravitatorio, es decir de curvatura de la geometría subyacente, los conos de luz son desviados y su abertura se reduce.
Para simplificar el esquema, se representan únicamente los rayos luminosos que se propagan en dirección radial (entrante y saliente). La esfera fotónica de la que se habló anteriormente no aparece pues. Lejos de la región en colapso, el espacio-tiempo es prácticamente plano y los conos de luz son rectos. En efecto, el campo gravitatorio