a) Anulación del efecto causado por el campo magnético terrestre
a.1)Medición y ubicación del ángulo de inclinación magnética
Se debe tener en cuenta la ubicación adecuada de las brújulas de inclinación (𝒆)
y declinación magnética (𝒇), para medir el ángulo de inclinación magnética
(𝜷), las agujas magnéticas tanto de la brújula de inclinación y declinación magnética deben encontrarse en un mismo plano, en este caso el plano 𝑺 tal y como se muestra en la figura N°75. [46, 47, 48, 49]
Una vez medido el ángulo de inclinación magnética (β), lo ubicamos luego en el equipo midiéndolo en un disco graduado de 0° a 360°, lo realizamos girando la parte móvil del equipo que contiene a los dos electroimanes y el porta muestra, junto con la parte giratoria se mueve una aguja partiendo de 0° ya sea que se mueva girando a la derecha o la izquierda, esta marcará el ángulo de inclinación magnética (𝜷) que se midió inicialmente en el sentido indicado. La intención que se busca es ubicar la muestra y las líneas del campo magnético terrestre de forma
paralela y así quedará anulado el efecto físico que consiste en formar o generar una fuerza magnética o fuera de Lorenz sobre los portadores de carga que se encuentran móviles en la muestra, ya sea que el sentido y dirección de los portadores de carga estén en contra o a favor del sentido y dirección de las líneas del campo magnético terrestre, el efecto quedará anulado. [46, 47, 48, 49]
a.2) Fundamento físico de la anulación del efecto causado por el campo
magnético terrestre
Este fundamento simplemente se basa en la solución de la ecuación propuesta por Hendrick Lorentz sobre la fuerza magnética. En esta solución se busca anular la fuerza magnética 𝑭 𝒎𝑻 que el campo magnético terrestre 𝑩 𝑻 causa sobre los portadores de carga móviles en la muestra. Para tratar de cumplir con este objetivo, el valor de la fuerza magnética 𝑭 𝒎𝑻al resolver la ecuación debe darnos un valor de cero bajo ciertas condiciones de trabajo. El ángulo de inclinación magnética 𝜷 medido por las brújulas permitirá ubicar la muestra, en forma paralela a las líneas del campo magnético terrestre 𝑩 𝑻 tal y como se muestra en la figura N°75. Para resolver dicha ecuación según la figura N°76, se puede apreciar que las líneas del campo magnético terrestre 𝑩 𝑻presentan una dirección – 𝒛 en el eje de coordenadas y la velocidad de deriva 𝒗 𝒅 de los portadores de carga también presentan una dirección – 𝒛 en el eje de coordenadas, por lo tanto se pueden considerar que los valores de 𝑩 𝑻 y 𝒗 𝒅 vectorialmenteson: [46, 47, 48, 49]
𝑩 = 𝟎𝒊 + 𝟎𝒋 − 𝑩
𝑻 𝑻𝒛𝒌
Reemplazando los valores vectoriales de 𝑩 𝑻 y 𝒗 𝒅 en la ecuación de fuerza
magnética y resolviendo la matriz del producto vectorial 𝒗 𝒙𝑩𝒅
𝑭 = 𝒒
𝒎𝑻𝒊
𝒋
𝒌
𝟎 𝟎
−𝑩
𝑻𝒛𝟎 𝟎
−𝒗
𝒅𝒛Se llega al resultado en que 𝑭 𝒎𝑻presenta un valor nulo es decir es igual a 0. [46, 47, 48, 49]
Figura N°76: Líneas del campo magnético terrestre paralelas con la dirección del movimiento del electrón.
b) Deducción físico matemático de la ecuación que describe al fenómeno de efecto Hall
Se toma como muestra una lámina de cierto material conductor tal y como se observa en la figura N°77.
Cuando la muestra es conectada a una fuente de voltaje ∆𝑽sin presencia de un campo magnético externo, sobre los portadores de carga negativa (mayormente electrones), se genera solo una fuerza eléctrica, esta fuerza es producida a causa del voltaje suministrado por la fuente, tal y como se observa en la figura N°78. La fuerza eléctrica se puede expresar de la siguiente manera:
𝑭 = 𝒒. 𝑬𝒆 𝟖)
Figura N°77: Muestra de forma rectangular.
Figura N°78: Muestra sin presencia de campo magnético. Fuente: Elaboración propia.
Cuando la muestra es conectada a la fuente en presencia de un campo magnético externo perpendicular a ella, sobre los portadores de carga en movimiento se genera una nueva fuerza llamada fuerza magnética, esta fuerza es perpendicular al campo magnético externo tal y como se observa en la figura N°79. La fuerza magnética se puede expresar de la siguiente manera:
𝑭 = 𝒒 𝒗𝒎 𝒙 𝑩𝒅 𝟗)
Se debe entender que la fuerza magnética desplaza a los portadores de carga negativa al bode inferior de la muestra, generándose así una acumulación excesiva de carga negativa en ese extremo y por ello se induce un exceso de carga positiva en el borde superior, generándose así una diferencia de potencial inducida llamada voltaje Hall inducido ∆𝑽𝑯 y este produce sobre los portadores de carga otra fuerza eléctrica llamada fuerza eléctrica Hall 𝑭 𝒆𝑯tal y como se muestra en la figura N°80. La fuerza eléctrica Hall se puede expresar de la siguiente manera:
𝑭 = 𝒒. 𝑬𝒆𝑯 𝟏𝟎)𝑯
Para poder deducir la ecuación que describe al fenómeno de efecto Hall, debemos encontrar una relación entre el campo magnético externo 𝑩 y el
voltaje Hall inducido ∆𝑽𝑯, debido a esto igualamos por equilibrio a fuerza magnética 𝑭 𝒎 expresada en la ecuación 𝟗) y la fuerza eléctrica Hall 𝑭 𝒆𝑯 expresada en la ecuación 𝟏𝟎), este equilibrio se puede observar en la figura N°80.
Igualando por equilibrio 𝟗)y 𝟏𝟎):
𝑭 = 𝑭𝒎 𝒆𝑯 𝒒. 𝑽 𝒙 𝑩𝒅 = 𝒒. 𝑬 𝑯 𝒒. (𝑽𝒅. 𝑩. 𝐬𝐢𝐧 𝜽) = 𝒒. 𝑬𝑯
𝑩
: Campo magnético
𝑽𝒅. 𝑩. 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒒. 𝑬𝑯 𝟏𝟏) Como: 𝜽 = 𝟗𝟎° 𝟏𝟐) Reemplazando 𝟏𝟐) en 𝟏𝟏): 𝑽𝒅. 𝑩. 𝐬𝐢𝐧 𝟗𝟎° = 𝑬𝑯 𝑬𝑯= 𝑽𝒅. 𝑩 𝟏𝟑)
Se multiplica la expresión 𝟏𝟑)por 𝒍, que es el ancho de la muestra.
𝑬𝑯 = 𝑽𝒅. 𝑩 . 𝒍
𝑬𝑯. 𝒍 = 𝒍. 𝑽𝒅. 𝑩
∆𝑽𝑯 = 𝒍. 𝑽𝒅. 𝑩 𝟏𝟒)
Se sabe que la densidad de corriente y la carga neta son:
𝑱 = 𝑰
𝑨 𝟏𝟓)
𝑸 = 𝑵. 𝒒 𝟏𝟔)
𝑸 = 𝑰. 𝒕 𝟏𝟕)
De las ecuaciones 𝟏𝟓), 𝟏𝟔) y 𝟏𝟕), se deduce:
𝑱 = 𝑰 𝑨= 𝑸 𝒕.𝑨 𝑱 = 𝑸 𝒕.𝑨= 𝑵.𝒒 𝒕.𝑨 𝑱 = 𝑵.𝒒 𝒕.𝑨 𝟏𝟖)
Del movimiento experimentado por un electrón, se tiene:
Reemplazando 𝟏𝟗)en 𝟏𝟖): 𝑱 =𝑵.𝒒 𝒕.𝑨 = 𝑵.𝒒.𝑽𝒅 𝑳.𝑨 𝑱 = 𝑵 𝑨.𝑳 . 𝒒. 𝑽𝒅 𝟐𝟎)
Considerando que el volumen de la muestra es:
𝑽 = 𝑨. 𝑳 𝟐𝟏) Reemplazando 𝟐𝟏)en 𝟐𝟎): 𝑱 = 𝑵 𝑽 . 𝒒. 𝑽𝒅 𝑱 = 𝒏. 𝒒. 𝑽𝒅 𝑽𝒅 = 𝑱 𝒏.𝒒 𝟐𝟐) Reemplazando 𝟐𝟐) y 𝟏𝟓)en 𝟏𝟒): ∆𝑽𝑯= 𝒍.𝑱.𝑩 𝒏.𝒒 ∆𝑽𝑯= 𝒍.𝑰.𝑩 𝒏.𝒒.𝑨 𝟐𝟑)
Asumiendo que el área de la sección transversal de la muestra es:
𝑨 = 𝒍. 𝒅 𝟐𝟒)
Reemplazando 𝟐𝟒)en 𝟐𝟑), finalmente se obtiene la ecuación que relaciona el campo magnético externo y el voltaje Hall inducido.
∆𝑽𝑯 = 𝒍.𝑰.𝑩 𝒏.𝒒. 𝒍.𝒅
∆𝑽𝑯
=
𝑰.𝑩
𝒏.𝒒.𝒅
𝑳𝒒𝒒𝒅
c) Cálculo de la intensidad del campo magnético generado por los electroimanes del equipo de efecto Hall
Consideraciones: 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅: 𝒍 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎. 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅: 𝒙𝟏= 𝟐. 𝟐 𝒄𝒎. 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒔𝒐𝒍𝒆𝒏𝒐𝒊𝒅𝒆: 𝑳 = 𝒍 + 𝒙𝟏= 𝟐𝟎. 𝟐 𝒄𝒎. 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅: 𝒙𝟐= 𝟎. 𝟓 𝒄𝒎. 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅: 𝒓 = 𝟏𝟓 𝒎𝒎. 𝑼𝒃𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂: 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒒. 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒍é𝒄𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂: 𝒊 = 𝟑. 𝟓 𝑨. 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒆𝒔 𝒆𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒔: 𝑵 = 𝟗𝟎𝟎 𝒆𝒔𝒑𝒊𝒓𝒂𝒔. 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒆𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒎𝒂𝒈𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒄í𝒐: 𝒖𝒐 = 𝟒. 𝝅 𝒙𝟏𝟎−𝟕 𝑻. 𝒎. 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒆𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒎𝒂𝒈𝒏é𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒏ú𝒄𝒍𝒆𝒐: 𝒖𝒓 = 𝟓𝟎𝟎𝟎. 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 = 𝑳 + 𝒙𝟐 𝒓𝟐+ 𝑳 + 𝒙 𝟐 𝟐= 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 = 𝒙𝟏+ 𝒙𝟐 𝒓𝟐+ 𝒙𝟏+ 𝒙𝟐 𝟐= 𝟎. 𝟑𝟑𝟑
Se debe calcular el módulo de la intensidad del campo magnético B generado por el electroimán en el punto 𝒒que es donde estará ubicada la película delgada.
La expresión matemática 𝟒)
𝑩 = 𝒙 𝒊.𝒖𝟎.𝑵
𝟐.𝒍 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏− 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐
sirve para determinar el módulo de la intensidad del campo magnético 𝑩 𝒙
generado por el solenoide (Cableado de cobre) y para poder obtener el valor de
𝑩
se debe multiplicar 𝑩 𝒙 por 𝒖𝒓 y sustituir 𝒍 por 𝑳, obteniendo la siguiente expresión:
𝑩 = 𝒊.𝒖𝟎.𝒖𝒓.𝑵
𝟐.𝑳 . 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏− 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 𝟐𝟓) Reemplazando los datos en forma adecuada con las unidades en el sistema internacional se llega a obtener que el valor de 𝑩 es aproximadamente 𝟑𝟐. 𝟕 𝑻, como el equipo de efecto Hall consta de dos electroimanes (figura N° 82) alimentados por la misma intensidad de corriente 𝒊, entonces al valor obtenido se le deberá multiplicar por 2, obteniendo un valor neto o resultante igual a 𝑩 =𝑻 𝟔𝟓. 𝟒 𝑻.
La ecuación que describe el fenómeno de efecto Hall incluyendo la intensidad de campo magnético resultante queda de la siguiente manera:
∆𝑽𝑯= 𝑩 .𝑰𝑻
𝒏.𝒒.𝒅 𝟐𝟔)
APÉNDICE 3: DEDUCCIONES DE LAS FORMULAS IMBOLUCRADAS EN