Part III User’s Guide
13.2 What is not supported
Los espacios topológicos de Hausdorff conteniendo un subespacio denso completamente metrizable poseen propiedades tan interesantes como las estudiadas anteriormente en esta sección. Tales espacios son de Baire (véase el Teorema 2.2.112, página 389) y cuando ellos son metrizables coinciden con los espacios Oxtoby-completos.
Sea U= (Us)s∈Suna familia de subconjuntos de un espacio topológico X . U se llama localmente finita
si, para cualquier punto x∈ X, existe un entorno abierto U de x tal que el conjunto {s ∈ S : U ∩Us6= ∅} es
finito. Si U=S∞n=1Un, donde cada Un es una familia localmente finita, entonces se dice que la familia U
esσ-localmente finita. Recordemos que una familia U se dice que es un cubrimiento de X si X =Ss∈SUs.
Si todos los Usson abiertos (respectivamente, cerrados), entonces se dice que U es un cubrimiento abierto
(respectivamente, cerrado). Un cubrimiento U de X se llama exhaustivo si cualquier conjunto no vacío
S⊆ X posee un subconjunto relativamente abierto de la forma U ∩ S con U ∈ U. La familia U es un cuasi-
cubrimiento abierto de X si cada elemento de U es abierto y su unión, SU∈UU , es denso en X . Observe
que cualquier pseudo-base de X es un cuasi-cubrimiento abierto de X .
Sean U y V dos colecciones de subconjuntos de X . Diremos que V es un refinamiento de U si, para cada V ∈ V, existe un U ∈ U tal que V ⊆ U. Si los elementos de V son conjuntos abiertos (respectivamen- te, cerrados) de X llamamos a V un refinamiento abierto (respectivamente, refinamiento cerrado) de U. Similarmente, diremos que V es un refinamiento fuerte de U si V es un refinamiento de U y para cada ele- mento V ∈ V existe un elemento U ∈ U tal que V ⊆ U. La colección V se dice que es una familia disjunta si cualesquiera dos elementos de V tienen intersección vacía. Finalmente, decimos que V es una familia
σ-disjunta si V=S∞n=1Vn, donde cada Vnes una familia disjunta.
Comencemos por recordar el siguiente resultado (véase, por ejemplo, [324], Lema 39.2, p. 280) cuya prueba daremos sólo para entender la técnica para construir familias disjuntas con ciertas propiedades a partir de una familia dada.
Teorema 1.11.14. Sea(X , d) un espacio métrico. Si U es un cubrimiento abierto de X , entonces existe un
cubrimiento abierto V de X tal que:
(1) V es una familiaσ-disjunta,
(2) V refina a U, y
(3) V esσ-localmente finita.
Prueba. Sin perder generalidad, podemos suponer que U= (Us)s∈S, donde S es un conjunto bien ordenado
(de índices) por la relación<. Fijemos ahora un n ∈ N y para cada Us∈ U definamos
Sn(Us) =
x∈ X : U(x,1/n) ⊆ Us
,
Sec. 1.11 Espacios completamente metrizables y ˇCech-completos 75
donde U(x, r) es la bola abierta en X con centro x y radio r. Usemos ahora el buen ordenamiento de S para definir el conjunto
Tn(Us) = Sn(Us)r [ t<s
Ut.
Afirmamos que(Tn(Us))s∈Ses una familia disjunta. En efecto, sean Us,Ut elementos distintos de U con s< t
y sean x∈ Tn(Us) y y ∈ Tn(Ut). Dado que x ∈ Tn(Us), entonces x ∈ Sn(Us) y, por lo tanto, U (x, 1/n) ⊆ Us.
Por otro lado, como s< t y y ∈ Tn(Ut) = Sn(Ut)rSr<tUr, resulta que y6∈ Us y así, y6∈ U(x,1/n). Esto
prueba que
d(x, y) ≥1
n para todo x∈ Tn(Us) y todo y ∈ Tn(Ut).
De lo anterior se sigue nuestra afirmación. Los conjuntos Tn(Us) no son todavía los que realmente andamos
buscando; sin embargo, dilatando a cada uno de ellos ligeramente podemos lograr lo que queremos. Sea entonces
En(Us) = [ x∈Tn(Us)
U(x, 1/3n).
Notemos que los conjuntos(En(Us))s∈Sson abiertos, disjuntos dos a dos y En(Us) ⊆ Uspara todo s∈ S. Si
ahora definimos
Vn=En(Us) : s ∈ S
resulta que la familia Vn es disjunta y refina a U ya que En(Us) ⊆ Us para todo s∈ S. Para ver que Vn es
localmente finita, sea x∈ X. Entonces la bola abierta U(x,1/6n) intersecta a lo sumo un elemento de Vn.
Finalmente, definiendo V= ∞ [ n=1 Vn
tenemos que dicha familia es σ-disjunta, refina a U y es σ-localmente finita. Falta por verificar que ella también cubre a X . En efecto, sea x∈ X. Puesto que X =Ss∈SUs, existe un s∈ S tal que x ∈ Us. Por ser S
un conjunto bien ordenado, podemos elegir a s como el primer elemento en S para el cual x∈ Us. Como Us
es un conjunto abierto, podemos escoger un n∈ N tal que bola abierta U(x,1/n) esté contenida en Us. Por
definición, x∈ Sn(Us) y como s es el primer elemento de S tal que x ∈ Us, resulta que x∈ Tn(Us). Esto prueba
que x∈ En(Us) ∈ Vn⊆ V.
Ya hemos visto que en todo espacio métrico (X , d), cada subconjunto cerrado es un Gδ. En espacios topológicos no métricos el resultado anterior no es, en general, cierto. Sin embargo, si nuestro espacio topo- lógico X es regular con una baseσ-localmente finita, entonces dicho resultado se cumple puesto que, gracias al Teorema de Metrización de Nagata-Smirnov, X resulta ser metrizable (véase, [324], Lema 40.3, p. 285).
Recordemos la siguiente definición.
Definición 1.11.8. Sea F una familia no vacía de subconjuntos de un espacio topológico de Hausdorff X :
(1) Diremos que F es un filtro base sobre X si (a) F 6= ∅ para todo F ∈ F, y
(b) si F1, F2∈ F, entonces existe F ∈ F tal que F ⊆ F1∩ F2.
(2) F se dice controlado por una sucesión (Un)∞n=1de subconjuntos de X si, para cada n∈ N, existe F ∈ F
Observemos que, por definición, todo filtro base sobre X tiene la propiedad de intersección finita y que si F es un filtro base sobre X controlado por una sucesión (Un)∞n=1 de subconjuntos de X , entonces dicha
sucesión también posee la propiedad de intersección finita.
Definición 1.11.9. Sea (X ,τ) un espacio de Hausdorff completamente regular. Una sucesión (Un)∞n=1 de
subconjuntos de X se dice completa si, para cualquier filtro base F sobre X controlado por (Un)∞n=1, se
cumple que \
F∈F
F6= ∅.
Si en la definición anterior la familia F se toma numerable, entonces se dice que la sucesión(Un)∞n=1
es numerablemente completa. Una sucesión (Un)∞n=1 de familias de subconjuntos de X se dice comple-
ta (respectivamente, numerablemente completa) si (Un)∞n=1 es una sucesión completa (respectivamente,
numerablemente completa) siempre que Un∈ Unpara todo n∈ N.
En lo que sigue, asumiremos que todos nuestros espacios topológicos son espacios de Hausdorff com- pletamente regulares. Los espacios casi ˇCech-completos se pueden caracterizar por medio de sucesiones completas del modo siguiente (véase, [311], Proposition 4.2, p. 118):
Teorema (X). Un espacio topológico de Hausdorff completamente regular (X ,τ) es casi ˇCech- completo si, y sólo si, X posee una sucesión completa(Un)∞n=1 de cuasi-cubrimientos abiertos tal
que cada Unes una familia disjunta, n≥ 1. Lema 1.11.1. Sea(X ,τ) un espacio topológico.
(1) Si (Un)∞n=1 es una sucesión completa de subconjuntos de X y si para cada n∈ N, existe un conjunto
Vn⊆ Un, entonces(Vn)∞n=1también es una sucesión completa.
(2) Si (Us)s∈Ses una colección de subconjuntos abiertos de X , entonces para cada s∈ S, existe un abierto
Vs⊆ Ustal que la familia(Vs)s∈Ses disjunta y Ss∈SVses denso enSs∈SUs.
Prueba.(1) es inmediata. Para demostrar (2), suponga que < es un buen-orden para S, y para cada s ∈ S
defina Vs= UsrSt<sUt. Entonces la familia(Vs)s∈Ssatisface las condiciones establecidas.
Lema 1.11.2. Si el espacio topológico (X ,τ) posee una sucesión completa (Un)∞n=1 de cuasi-cubrimientos
abiertos, entonces existe una una sucesión completa (Vn)∞n=1 de cuasi-cubrimientos abiertos tal que, para
cada n∈ N,
(1) Vnes una familia disjunta, y
(2) Vn+1es refinamiento fuerte de Vn.
Prueba. Sea (Un)∞n=1 una sucesión completa de cuasi-cubrimientos abiertos. Para cada n ∈ N, podemos
suponer que Un= (Uns)s∈Sn, donde el conjunto de índices Snestá bien-ordenado. Sea
V1= (V1s)s∈S1, donde V1s= U1sr
[ t<s
U1t.
Supongamos que hemos construido V1, V2, . . . , Vnsatisfaciendo las propiedades(1) y (2). Sea
W=W : W es abierto en X y W⊆ Un+1∩Vn para algún Un+1∈ Un+1 y Vn∈ Vn
.
Sec. 1.11 Espacios completamente metrizables y ˇCech-completos 77
Puesto que X es regular y ya que tanto Un+1, así como Vn, son cuasi-cubrimientos abiertos de X , resulta que
W también es un cuasi-cubrimiento abierto de X . Por el Lema 1.11.1 (2), existe un un cuasi-cubrimiento abierto disjunto Vn+1 de X tal que cada Vn+1∈ Vn+1 es un subconjunto de algún W ∈ W. De esto se sigue
que Vn+1es un refinamiento fuerte de Vn,(n = 1, 2, . . .) y termina la prueba.
La siguiente caracterización de los espacios completamente regulares que contienen un subespacio denso completamente metrizable se debe fundamental a Michael [311] y Nagamizu [327].
Teorema 1.11.15. Sea(X ,τ) un espacio topológico. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) X contiene un subespacio Gδ-denso completamente metrizable.
(2) X contiene un subespacio denso completamente metrizable.
(3) X posee una sucesión completa (Un)∞n=1 de cuasi-cubrimientos abiertos con la siguiente propiedad:
para cada sucesión(Un)∞n=1con la propiedad de intersección finita, donde Un∈ Unpara todo n∈ N, se
cumple que ∞
\ n=1
Un= {x0}, para algún x0∈ X.
(4) X posee una sucesión completa (Un)∞n=1 de cuasi-cubrimientos abiertos tal que:
(a) Unes disjunta para todo n∈ N,
(b) Un+1es un refinamiento fuerte de Unpara cada n∈ N, y
(c) para cada sucesión decreciente {Un: Un∈ Un, n ∈ N}, se cumple que
∞
\ n=1
Un= {x0}, para algún x0∈ X.
Prueba. Claramente(1) ⇒ (2).
(2) ⇒ (3). Supongamos que X tiene un subespacio denso completamente metrizable Y y seaρuna métrica completa generando la topología relativa de Y . Siendo(Y,ρ) un espacio ˇCech-completo y puesto queβX es
una compactificación de Y , el Teorema 1.11.10 nos garantiza que Y es un GδenβX . Sea(Gn)∞n=1una sucesión
de subconjuntos abiertos deβX tal que Y=T∞n=1Gn. Observe que como X es denso enβX , U∩βX6= ∅ para
cada abierto no vacío U ⊆βX , lo cual permite, para cada n∈ N, definir la familia
Un:=nU∩ X : U ⊆βX es abierto, UβX⊆ Gn, diam(U ∩Y ) < 1/n
o . Se sigue de la regularidad deβX que Unes un cuasi-cubrimiento de X .
Observemos en primer lugar que la sucesión (Un)∞n=1 satisface la conclusión de (3). En efecto, sea
(Un)∞n=1 una sucesión con la PIF, donde Un∈ Un para todo n∈ N. Para cada n ∈ N, usando la definición
de Un, elijamos un abierto VnenβX tal que Un= Vn∩X, Vnβ X
⊆ Gn, y diam(Vn∩Y ) < 1/n. Sea xn∈ Vn∩Y ,
(n = 1, 2 . . .). Puesto que (Un)∞n=1tiene la PIF, resulta que la sucesión(xn)∞n=1es de Cauchy en Y y entonces
xn→ x0∈ Y . Por esto,T∞n=1Vn∩YY = {x0} ya que diam(Vn∩YY) < 1/n. Además,
∞ \ n=1 UnX = ∞ \ n=1 Vn∩ X X ⊆ ∞ \ n=1 VnβX ⊆ ∞ \ n=1 Gn = Y,
de donde se obtiene que ∞ \ n=1 UnX = ∞ \ n=1 Vn∩YY = {x0}. (1.11.6)
Veamos finalmente que la sucesión (Un)∞n=1 es completa. De nuevo, sea(Un)∞n=1una sucesión con Un∈ Un
para todo n∈ N y sea F un filtro base sobre X controlado por (Un)∞n=1. Para cada n∈ N, escojamos un Fn∈ F
tal que Fn⊆ Un. Como antes, sea xn∈ Vn∩Y , (n = 1,2...). Por ser F un filtro base sobre X controlado por
(Un)∞n=1, tenemos que la sucesión(Un)∞n=1 posee la PIF y, entonces, por lo demostrado anteriormente vemos
que (1.11.6) se cumple.
Notemos a continuación que
\ F∈F FX ⊆ ∞ \ n=1 FXn ⊆ ∞ \ n=1 UnX = {x0} y ∞ \ n=1 FnβX ⊆ ∞ \ n=1 Gn = Y,
de modo queT∞n=1FnβX =T∞n=1FnX, y comoβX es compacto,TF∈FFβX 6= ∅. Por esto,
∅ 6= \ F∈F FβX ⊆ ∞ \ n=1 FnβX = ∞ \ n=1 FnX ⊆ ∞ \ n=1 UnX = {x0},
de donde se sigue que
\ F∈F
FβX = {x0}
y puesto que x0∈ Y ⊆ X, concluimos queTF∈FF
X
= {x0}. Esto prueba que (Un)∞n=1es completa.
(3) ⇒ (4). Sea (Un)∞n=1una sucesión completa de cuasi-cubrimientos abiertos de X satisfaciendo (3). Por el
Lema 1.11.2, existe una sucesión completa(Vn)∞n=1 de cuasi-cubrimientos abiertos de X tal que Vn es una
familia disjunta y Vn+1es un refinamiento fuerte de Vn, para todo n∈ N.
Sea(Vn)∞n=1 una sucesión decreciente, donde Vn∈ Vn para cada n∈ N. Por la construcción de los Vn,
para cada n∈ N, existe un Un+1 ∈ Un+1 tal que Vn+1 ⊆ Vn∩ Un+1. Puesto que (Vn)∞n=1 es una sucesión
decreciente, entonces ella resulta ser un filtro base controlado por la sucesión(Un)∞n=1, de donde se sigue que
T∞
n=1Vn6= ∅. Por otro lado, comoT∞n=1Vn⊆Tn∞=1Un y ya que, por hipótesis,T∞n=1Un= {x0} para algún
x0∈ X, se concluye queT∞n=1Vn= {x0}.
(4) ⇒ (1). Supongamos que (4) se cumple. Entonces, por el Teorema (X), X es casi ˇCech-completo, y gracias al Corolario 1.11.3, un espacio de Baire. Para cada n∈ N, sea Gn=SU∈UnU . Entonces Gn es un
subconjunto abierto denso en X y, en consecuencia, por el Teorema de Categoría de Baire, Y =T∞n=1Gnes
un Gδ-denso en X .
Notemos que por la condición(c), si x, y ∈ Y , con x 6= y, existe un n ∈ N tal que Unsepara a tales puntos;
es decir, existen diferentes elementos Uxy Uy en Untales que x∈ Ux y y∈ Uy. Esto nos permite definir la
siguiente métricaρsobre Y del modo siguiente:
ρ(x, y) = ( 0, si x= y m´ınn : Unsepara a x y a y −1 , si x 6= y.
Usando las condiciones (b) y (c) se puede demostrar, sin mucha dificultad, queρes una métrica completa sobre Y . Más aun, para cada Un∈ Uny x∈ Un∩Y , el conjunto Un∩Y es una bola abierta con centro en x y
radio 1/n de modo que la topología original de Y ,τ|Y, es más fuerte que laρ-topología. Para demostrar que
Sec. 1.11 Espacios completamente metrizables y ˇCech-completos 79
Afirmación: Sean F un subconjunto cerrado de Y y suponga que x∈ Y r F. Entonces existe un
n∈ N y un Un∈ Untal que x∈ Un y Un∩ F = ∅.
Prueba de la Afirmación. Suponga que, para cada n∈ N, x ∈ Unpero que Un∩F 6= ∅. El Axioma
de Elección nos permite escoger en cada Un∩ F, un punto, digamos xn. Pongamos
Fn=
xm: m≥ n + 1
para cada n∈ N. Por la condición (b), la sucesión (Un)∞n=1es decreciente, y por(c),
T∞ n=1Un= {x}. De aquí se sigue ∅ 6= ∞ \ n=1 Fn⊆ ∞ \ n=1 Un= {x}
y, en consecuencia, x∈ F. Esta contradicción establece nuestra afirmación.
Por lo acabado de probar, resulta que la ρ-topología es más fuerte que la topología original τ|Y de Y , y
entonces Y es un subespacio Gδ-denso completamente metrizable de X .
El siguiente lema es más fuerte que la equivalencia(1) ⇔ (2) del Teorema 1.11.15.
Lema 1.11.3. Sea(X ,τ) un espacio de Hausdorff completamente regular y sea Y un subespacio denso com-
pletamente metrizable de X . Entonces Y es un Gδen X .
Prueba. Según el Teorema 1.11.10, Y es ˇCech-completo, de modo que, por el mismo teorema, Y es un Gδ en cualquier compactificaciónυY . En particular, si tomamosυY =βX , se sigue que Y es un GδenβX , y en
consecuencia, también en X .
Una de las caracterizaciones interesantes de los espacios métricos que contienen un subespacio denso completamente metrizable es la siguiente (véase, por ejemplo, [2]).
Teorema 1.11.16. Sea(X , d) un espacio métrico. Las siguientes condiciones son equivalentes: (1) X es casi ˇCech-completo.
(2) X es Oxtoby-completo.
(3) X contiene un subespacio denso completamente metrizable.
Prueba.(1) ⇒ (2) es el Corolario 1.11.3.
(2) ⇒ (3). Suponga que (2) se cumple y sea (Bn)∞n=1 una sucesión de pseudo-bases de X con respecto a la
cual X es Oxtoby-completo. Nuestro objetivo inmediato es construir, inductivamente, una sucesión(Vn)∞n=1
de familias de subconjuntos abiertos de X satisfaciendo, para cada n∈ N, las siguientes condiciones: (a) Vn⊆ Bn,
(b) Vnes un cuasi-cubrimiento abierto de X , sus miembros son disjuntos dos a dos y cada elemento de Vn
tiene diámetro< 1/n. (c) Vn+1 refina a Vn, y
(d) Vn+1⊆ Vnsiempre que Vn+1∈ Vn+1 y Vn∈ Vn.
Fijemos n∈ N. Para construir Vn, consideremos todas las familias V de subconjuntos abiertos de X tales
(1) V es disjunta,
(2) V ⊆ Bn, V es un cuasi-cubrimiento abierto de X y
(3) diam(V ) < 1/n, para todo V ∈ V. La relación
V′ V′′ si, y sólo si, V′⊆ V′′
es un orden parcial. Es un ejercicio sencillo verificar que todo conjunto totalmente ordenado (= a una cadena) admite una cota superior y, en consecuencia, el Lema de Zorn nos provee de una familia, denotada por Vn,
que es maximal, es decir, que no puede ser extendida. Observe ahora que la maximalidad de Vn garantiza
que [ V∈Vn V ⊇ [ U∈Bn U. (1.11.7)
En efecto, si W :=SU∈BnU\SV∈VnV 6= ∅, entonces como W es abierto en X, existe una bola abierta Unen
W con diámetro menor que 1/n. Ahora, por ser Bnuna pseudo-base, existe V∈ Bn, V6= ∅, con V ⊂ Un⊆ W .
Por esto, diam(V ) < 1/n y, por lo tanto, V′:= Vn∪{V }, es una nueva familia contiendo estrictamente a Vnlo
que, evidentemente, viola la maximalidad de Vn. Esto prueba (1.11.7). Puesto que Bnes un cuasi-cubrimiento
abierto de X se sigue de (1.11.7) que
[ V∈Vn
V= X ,
de modo que Vn también es un cuasi-cubrimiento de X . Uno puede, con un poco de cuidado, arreglar las
cosas para que Vn+1 sea un refinamiento (fuerte) de Vn(véase la prueba del Lema 1.11.2). Si ahora Vn∈ Vn
y la sucesión(Vn)∞n=1es decreciente, entonces Vn+1⊆ Vn(n = 1, 2, . . .), de modo queT∞n=1Vn6= ∅ por ser X
Oxtoby-completo. Además, como diam(Vn) < 1/n, resulta queT∞n=1Vn= {x0}, para algún x0∈ X. Notemos
también que, evidentemente, (Vn)∞n=1 es una sucesión completa. La conclusión deseada sigue ahora de la
implicación(4) ⇒ (1) del Teorema 1.11.15.
(3) ⇒ (1). Sea Y un subespacio denso completamente metrizable de X. Seaρuna métrica completa sobre
Y compatible con su topología relativa. Entonces(Y,ρ) es un espacio métrico completo y, por consiguiente, un espacio ˇCech-completo denso en X . Se sigue del Lema 1.11.3 que Y es un espacio ˇCech-completo que es
Gδ-denso en X , es decir, X es casi ˇCech-completo.
Comentario Adicional 1.11.5 Los espacios completamente metrizables juegan un papel importante en mu-
chas ramas del quehacer matemático y por esa razón han sido objeto de un estudio amplio y profundo de sus propiedades. Además del Teorema de Alexandroff-Hausdorff, las siguientes caracterizaciones de tales espacios constituyen una muestra de algunas de las investigaciones en esa área (véase, por ejemplo, [310]).
Teorema 1.11.17. Sea(X ,τ) un espacio metrizable. Son equivalentes: (1) X es completamente metrizable.
(2) X es un Gδde algún espacio métrico completo.
(3) X tiene una sucesión completa (Un)∞n=1de cubrimientos abiertos.
(4) X tiene una sucesión completa (Un)∞n=1de cubrimientos exhaustivos.
Sec. 1.11 Espacios completamente metrizables y ˇCech-completos 81
(6) X tiene una criba exhaustiva completa ({Uα:α∈ An},πn)∞n=1.
(7) X tiene una criba estrictamente exhaustiva pseudo-completa ({Uα:α∈ An},πn)∞n=1.
(8) El jugador II posee una estrategia estacionaria ganadora para G(X ). (9) El jugador II posee una estrategia ganadora para G(X ).
(10) El jugador II posee una estrategia estacionaria ganadora para G∗(X ). (11) El jugador II posee una estrategia ganadora para G∗(X ).
Todas las nociones no definidas que aparecen en el teorema anterior se pueden leer, por ejemplo, en el artículo de E. Michael [310]. En el mismo artículo, Michael obtiene, para los espacios casi ˇCech- completos, las siguientes caracterizaciones.
Teorema 1.11.18. Sea(X ,τ) un espacio de Hausdorff completamente regular. Son equivalentes: (1) X es casi ˇCech-completo.
(2) X tiene una sucesión completa (Un)∞n=1 de cuasi-cubrimientos abiertos, donde cada Un es dis-
junta, n≥ 1.
(3) X tiene una cuasi-criba abierta completa disjunta ({Uα:α∈ An},πn)∞n=1.
(4) X tiene una sucesión completa (Un)∞n=1de cuasi-cubrimientos abiertos.
(5) X tiene una cuasi-criba abierta completa ({Uα:α∈ An},πn)∞n=1.
(6) El conjunto GT = { f ∈ C(X) : (X, f ) es Tykhonov bien-formulado generalizado} es residual en
C(X ).
Una demostración de la última caracterización del resultado anterior se puede ver en el artículo de ˇ
Coban, Kenderov y Revalski ([100], Theorem 6.2, p. 546).
Recordemos que un espacio topológico de Hausdorff X es de tipo numerable si cualquier compacto
K de X está contenido en un subconjunto compacto F⊆ X que tiene una base numerable de entornos
abiertos en X . Todos los espacios métricos y así como todos los espacios localmente compactos son de tipo numerable. En [14], Arhangel’ski˘i se formula la siguiente pregunta:
¿Cuándo, un espacio completamente regular X , admite una compactificación bX tal que bXr X pertenece a una clase dada de espacios topológicos?
Un resultado clásico, pero no trivial es esta dirección, es el siguiente teorema de M. Henriksen y J. Isbell [211]:
Teorema de Henriksen-Isbell. Un espacio de Hausdorff completamente regular (X ,τ) es de tipo
numerable si, y sólo si, el resto en cualquier (o alguna) compactificación de X es de Lindelöf.
Se sigue del Teorema de Henriksen-Isbell que cualquier resto de un espacio metrizable es un espacio de Lindelöf y, en consecuencia, paracompacto.
Es Arhangel’ski˘i, en [14], quien introduce la siguiente definición con el objetivo de estudiar propie- dades generalizadas de metrizabilidad de restos de compactificaciones, poniendo especial atención en los grupos topológicos:
Definición 1.11.10. Un espacio de Hausdorff completamente regular (X ,τ) se llama Ohio-completo
si en cualquier compactificación bX de X , existe un subconjunto Z⊆ bX que es un Gδtal que X⊆ Z y para cualquier x∈ Z r X existe un subconjunto S ⊆ bX, que también es un Gδ, tal que x∈ S y S∩ X = ∅.
En dicho artículo, Arhangel’ski˘i demuestra que si X es un espacio ˇCech-completo, Lindelöf, p-espacio, o posee una Gδ-diagonal, entonces X es Ohio-completo.
Una de las grandes deficiencias que posee la clase Ba de los espacios de Baire, es que ella no es productiva; es decir, el producto de espacios de Baire no es necesariamente un espacio de Baire. El
problema de unificación de Baire consiste en encontrar subclases de Ba que sean productiva y tengan
algunas otras “buenas” propiedades.
Clase perfecta de compactos. Una familia E de subconjuntos compactos se llama perfecta si ella
es estable bajo imágenes continuas, productos numerables y subconjuntos cerrados. (Mercourakis-
Negrepontis [307], p. 529)
Ejemplos de clases perfectas son: la clase de los compactos de Eberlein, la clase de los compactos de Talagrand, la clase de los compactos de Gul’ko, la clase de los compactos de Corson, la clase de los compactos fragmentables, la clase de los compactos de Stegall, etc. Detalles y propiedades de los espacios antes mencionados se pueden ver en el artículo de Negrepontis [337], en el de Mercourakis- Negrepontis [307] y en el libro de Fabian [157].
Para otros ejemplos y caracterizaciones interesantes de espacios de Baire el lector puede consultar la excelente monografía de Haworth-Mccoy [208].