TABLE : COMPLICATIONS FACED POSTOPERATIVELY

Partiendo del echo de que los dos únicos valores que pueden cambiar dentro del ejercicio de valuación de una opción por el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales son la volatilidad y la tasa de interés; en esta parte del capítulo, se llevan a cabo dos ejercicios de valuación, en ambos casos, todos los parámetros permanecen constantes, pero en el primer ejercicio la tasa de interés modifica su valor y en el segundo ejercicio es la volatilidad la que cambia. El objetivo que se persigue es saber cual de las dos variables tiene mayor influencia en la determinación del precio teórico de las opciones. Los ejercicios se llevan a cabo con los tres primeros contratos de opción analizados anteriormente.

Tasa de interés variable y volatilidad constante para el call del 15 de septiembre de 2008

T 2 de enero de 2008 T 15 de septiembre de 2008 St 10.907 MEXDER 0,688 σ 5.4% Precio de ejercicio 10,5

Tabla 10. Efecto de las variaciones de la tasa de interés en la valuación de la opción del 15 de septiembre de 2008

Tasa libre de riesgo

promedio d1 d2 N(d1) N(d2) B-S 3,00000% 1,2762 1,2310 0,89906309 0,89083145 $ 0,65 3,50000% 1,3686 1,3234 0,91444394 0,90714381 $ 0,68 4,00000% 1,4610 1,4158 0,92799874 0,92157973 $ 0,71 4,50000% 1,5535 1,5082 0,93984277 0,93424652 $ 0,75 5,00000% 1,6459 1,6006 0,95010402 0,94526654 $ 0,78 5,50000% 1,7383 1,6930 0,95891846 0,95477243 $ 0,81 6,00000% 1,8307 1,7854 0,96642576 0,96290256 $ 0,85 6,50000% 1,9231 1,8778 0,97276543 0,96979695 $ 0,88 7,00000% 2,0155 1,9702 0,97807359 0,97559374 $ 0,92 7,50000% 2,1079 2,0626 0,98248030 0,98042627 $ 0,95 8,00000% 2,2003 2,1550 0,98610757 0,98442071 $ 0,98 8,50000% 2,2927 2,2474 0,98906790 0,98769434 $ 1,02 9,00000% 2,3851 2,3399 0,99146338 0,99035445 $ 1,05 9,50000% 2,4775 2,4323 0,99338532 0,99249765 $ 1,09 10,00000% 2,5699 2,5247 0,99491423 0,99420971 $ 1,12 10,50000% 2,6624 2,6171 0,99612015 0,99556574 $ 1,15 11,00000% 2,7548 2,7095 0,99706323 0,99663066 $ 1,19

En la tabla anterior, se observa que un cambio de medio punto porcentual en la tasa de interés, tiene un efecto promedio de $0,030 en el precio teórico de la opción de compra obtenido por el enfoque de Black y Scholes, lo que deja claro que la tasa de interés tiene una fuerte influencia en la caución de opciones por el método Black y Scholes.

Tasa de interés constante y volatilidad variable de la opción del 15 de septiembre de 2008

T 2 de enero de 2008 T 15 de septiembre de 2008 St 10.907 MEXDER 0,688 r 7,42% Precio de ejercicio 10,5

Tabla 11. Efecto de las variaciones de la volatilidad en la valuación de la opción del 15 de septiembre de 2008 Volatilidad anualizada d1 d2 N(d1) N(d2) B-S 0,1000% 112,0061 112,0053 1,00000000 1,00000000 $ 0,94 0,5000% 22,4029 22,3987 1,00000000 1,00000000 $ 0,94 1,0000% 11,2041 11,1957 1,00000000 1,00000000 $ 0,94 2,0000% 5,6073 5,5905 0,99999999 0,99999999 $ 0,94 3,0000% 3,7440 3,7189 0,99990946 0,99989995 $ 0,94 4,0000% 2,8142 2,7806 0,99755484 0,99728739 $ 0,94 5,0000% 2,2576 2,2157 0,98801623 0,98664511 $ 0,94 10,0000% 1,1551 1,0713 0,87598063 0,85798146 $ 1,00 15,0000% 0,7993 0,6736 0,78794413 0,74970458 $ 1,12 20,0000% 0,6302 0,4625 0,73570712 0,67813955 $ 1,27 25,0000% 0,5357 0,3261 0,70391532 0,62783148 $ 1,42 30,0000% 0,4786 0,2271 0,68387378 0,58981278 $ 1,58 35,0000% 0,4428 0,1493 0,67102934 0,55935962 $ 1,74 40,0000% 0,4203 0,0850 0,66286306 0,53385431 $ 1,91

Fuente: Elaboración propia

Este ejercicio, muestra que la volatilidad no tiene un efecto elevado en la valuación de la opción de compra, ya que al pasar de una volatilidad de 0,1% a 5%, no se observa ninguna modificación en el resultado obtenido por el enfoque Black y Scholes. En definitiva la volatilidad si tiene influencia en la determinación del precio teórico de la opción, pero no en la misma proporción en que influye la tasa de interés.

Tasa de interés variable y volatilidad constante para la opción del 15 de diciembre de 2008 t 01 de abril de 2008 T 15 de diciembre de 2008 St 10,595 MEXDER 5,40 σ 5.78% Precio de ejercicio 10,5

Tabla 12. Efecto de las variaciones de tasa de interés en la valuación de la opción del 15 de diciembre de 2008 Tasa libre de riesgo promedio d1 d2 N(d1) N(d2) B-S 0 0,17586849 0,12731802 0,56980137 0,55065565 0,25516118 0,01 0,34853388 0,29998341 0,63628036 0,6179051 0,29900231 0,02 0,52119928 0,47264881 0,69888602 0,68176812 0,34643804 0,03 0,69386467 0,6453142 0,75611646 0,7406382 0,39722973 0,04 0,86653007 0,81797959 0,80690023 0,79331558 0,45109383 0,05 1,03919546 0,99064499 0,85064308 0,83907052 0,50771031 0,06 1,21186085 1,16331038 0,88721718 0,8776482 0,56673234 0,07 1,38452625 1,33597578 0,91690131 0,9092214 0,62779745 0,08 1,55719164 1,50864117 0,9402875 0,93430475 0,69053994 0,09 1,72985704 1,68130657 0,95817209 0,95364831 0,7546036 0,1 1,90252243 1,85397196 0,97144856 0,96812841 0,81965362 0,11 2,07518783 2,02663736 0,98101543 0,97865024 0,88538657 0,12 2,24785322 2,19930275 0,98770722 0,9860718 0,95153736 0,13 2,42051862 2,37196814 0,99225081 0,99115319 1,0178829 0,14 2,59318401 2,54463354 0,99524541 0,99453038 1,08424232 0,15 2,7658494 2,71729893 0,99716126 0,99670914 1,15047454

Fuente: Elaboración propia

Tasa de interés constante y volatilidad variable para el la opción del 15 de diciembre de 2008 t 2 de enero de 2008 T 15 de septiembre de 2008 St 10.595 MEXDER 0,540 R 7,25% Precio de ejercicio 10,5

Tabla 13. Efecto de las variaciones de la volatilidad en la valuación de la opción del 15 de diciembre de 2008 Volatilidad anualizada d1 d2 N(d1) N(d2) B-S 0,1000% 81,3448 81,3439 1,00000000 1,00000000 $ 0,62 2,0000% 4,0743 4,0575 0,99997692 0,99997520 $ 0,62 4,0000% 2,0477 2,0141 0,97970496 0,97800018 $ 0,62 3,0000% 2,7220 2,6968 0,99675601 0,99649999 $ 0,62 4,0000% 2,0477 2,0141 0,97970496 0,97800018 $ 0,62 5,0000% 1,6445 1,6025 0,94996268 0,94547671 $ 0,63 6,0000% 1,3769 1,3265 0,91572294 0,90765734 $ 0,65 7,0000% 1,1867 1,1279 0,88232863 0,87032104 $ 0,67 8,0000% 1,0450 0,9778 0,85198182 0,83590674 $ 0,69 9,0000% 0,9355 0,8599 0,82523812 0,80508228 $ 0,71 10,0000% 0,8487 0,7647 0,80196238 0,77776125 $ 0,74 11,0000% 0,7782 0,6858 0,78178116 0,75358849 $ 0,76 12,0000% 0,7201 0,6193 0,76427413 0,73214793 $ 0,79 13,0000% 0,6715 0,5623 0,74904766 0,71304395 $ 0,82 14,0000% 0,6303 0,5127 0,73575800 0,69592836 $ 0,85 15,0000% 0,5951 0,4691 0,72411409 0,68050491 $ 0,88

Fuente: Elaboración propia

Para la opción del 15 de diciembre de 2008, el comportamiento tanto de la tasa de interés como de la volatilidad, es muy semejante al observado en la opción del 15 de septiembre del mismo año.

Tasa de interés variable y volatilidad constante para la opción del 13 de marzo de 2009

t 02 de julio de 2008 T 13 de marzo de 2009 St 10,368 MexDer 0,74 σ 8,74% Precio de ejercicio 10

Tabla 14. Efecto de las variaciones de la tasa de interés en la valuación de la opción del 13 de marzo de 2009 Tasa libre de riesgo promedio d1 d2 N(d1) N(d2) B-S 0,01 0,55726191 0,48428306 0,71132575 0,6859075 0,56360706 0,02 0,67145024 0,59847138 0,74903313 0,72523728 0,61403115 0,03 0,78563857 0,71265971 0,78396037 0,76197182 0,66610669 0,04 0,89982689 0,82684804 0,81589381 0,7958384 0,71968709 0,05 1,01401522 0,94103637 0,84471226 0,82665689 0,77462425 0,06 1,12820355 1,05522469 0,87038302 0,85433871 0,83076993 0,07 1,24239187 1,16941302 0,89295399 0,87888137 0,88797711 0,08 1,3565802 1,28360135 0,91254268 0,90035926 0,94610131 0,09 1,47076853 1,39778967 0,92932314 0,91891188 1,00500185 0,1 1,58495686 1,511978 0,94351193 0,93473027 1,06454316 0,11 1,69914518 1,62616633 0,95535408 0,94804286 1,12459596 0,12 1,81333351 1,74035466 0,9651098 0,95910162 1,18503844 0,13 1,92752184 1,85454298 0,97304269 0,96816924 1,24575728 0,14 2,04171017 1,96873131 0,97940986 0,97550802 1,30664841 0,15 2,15589849 2,08291964 0,9844542 0,98137073 1,36761765

Fuente: Elaboración propia

Tasa de interés constante y volatilidad variable para la opción del 13 de marzo de 2009

t 02 de julio de 2008 T 13 de marzo de 2009 St 10,368 r 7,38% MexDer 0,74 Precio de ejercicio 10

Tabla 15. Efecto de las variaciones de la volatilidad en la valuación de la opción del 13 de marzo de 2009 Volatilidad anualizada d1 d2 N(d1) N(d2) B-S 0,5000% 21,9457 21,9415 1,00000000 1,00000000 $ 0,87 1,0000% 10,9755 10,9671 1,00000000 1,00000000 $ 0,87 1,5000% 7,3199 7,3073 1,00000000 1,00000000 $ 0,87 2,0000% 5,4929 5,4762 0,99999998 0,99999998 $ 0,87 2,5000% 4,3975 4,3766 0,99999452 0,99999397 $ 0,87 3,0000% 3,6678 3,6427 0,99987766 0,99986511 $ 0,87 3,5000% 3,1470 3,1178 0,99917531 0,99908898 $ 0,87 4,0000% 2,7569 2,7235 0,99708250 0,99677041 $ 0,87 4,5000% 2,4539 2,4163 0,99293369 0,99216042 $ 0,87

5,0000% 2,2118 2,1700 0,98650949 0,98499818 $ 0,87 5,5000% 2,0140 1,9681 0,97799740 0,97547268 $ 0,87 6,0000% 1,8495 1,7994 0,96780997 0,96402535 $ 0,88 6,5000% 1,7106 1,6563 0,95642361 0,95117320 $ 0,88 7,0000% 1,5918 1,5333 0,94428295 0,93740276 $ 0,89 7,5000% 1,4890 1,4264 0,93175957 0,92312352 $ 0,89 8,0000% 0,4971 0,4303 0,69044970 0,66652059 $ 0,35 8,5000% 0,4168 0,3458 0,66157878 0,63525383 $ 0,34 9,0000% 0,3458 0,2706 0,63524777 0,60666409 $ 0,33 9,5000% 0,2827 0,2033 0,61128615 0,58056844 $ 0,33 10,0000% 0,2263 0,1428 0,58949880 0,55675858 $ 0,32

Fuente: Elaboración propia

Las dos tablas anteriores, en conjunto con las de los contratos de opción del 15 de septiembre y del 15 de diciembre, ambos del 2008, muestran que la influencia de la tasa de interés en la determinación del precio de la opción es más fuerte que la de la volatilidad; por lo que todo cambio en la tasa de interés libre de riesgo, o bien toda modificación de los CETES, ejercerá eleva influencia en la valuación de las opciones, mientras que los cambios en la volatilidad serán en menor grado.

Los resultados obtenidos, permiten concluir, que la tasa de interés es la variable que tiene mayor efecto en la valuación de un contrato de opción sobre divisas, cuando esta se lleva a cabo mediante el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales de Black y Scholes.

Conclusiones

Resulta importante tener en cuenta que en el caso particular de los futuros y las opciones sobre divisas, para lograr el flujo de mercancías entre países en un mundo global las divisas juegan el papel protagónico; y los productos derivados permiten fijar un precio para la adquisición o venta de divisas, logrando con esto una cobertura ante variaciones de tipo de cambio que se refleja en el precio de los productos y afecta al riesgo de los negocios, la aplicación de derivados tiene una función relevante en la reducción del riesgo.

La evolución de las finanzas se ve marcada por el descubrimiento de Robert Brown en el año de 1927, del movimiento errático y continuo que se asocia al comportamiento de muchos fenómenos físicos y económicos y es la base para la interpretación del comportamiento de precios; su investigación se conoce como movimiento geométrico browniano, que se convirtió en parte esencial para la construcción de los modelos de riesgos financieros y económicos que sustentan a la economía financiera moderna.

El análisis de los seis enfoques metodológicos utilizados para la valuación de productos derivados en esta tesis, permite afirmar que es necesario incorporar el estudio multidisciplinario para determinar el precio teórico de los derivados financieros; se encontró que la combinación de las teorías de economía, matemáticas, física, estadística y finanzas, permitió el desarrollo de modelos para representar el comportamiento del riesgo y la posibilidad de desarrollar estrategias para su cobertura.

Del análisis de los seis enfoques metodológicos para la determinación del modelo de valuación de opciones propuesto por Black y Scholes se encontró que tienen entre sí supuestos comunes, tal es el caso de la distribución lognormal que se utiliza para describir el comportamiento del precio del activo subyacente, la consideración de que la volatilidad es constante en el periodo de valuación y la existencia de un mercado de crédito sin restricciones; lo que implica que los seis enfoques utilizan herramientas teóricas multidisciplinarias que son comunes, sin embargo se encontró que es importante tener en cuenta que no por el hecho de que los enfoques tienen supuestos comunes, se pueden utilizar de forma indistinta. En el caso del enfoque probabilista, las hipótesis comunes se integran en la modelación de la función de densidad del precio del activo subyacente, mientras que en los enfoques de ecuaciones diferenciales parciales y portafolios replicantes autofinanciables las hipótesis referentes al riesgo se utilizan para la construcción de portafolios y a partir de esta consideración, se calcula la ecuación diferencial parcial de Black y Scholes.

Se comprobó la hipótesis de que el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales, presenta mayores ventajas que los otros enfoques, Un resultado relevante de la investigación es que los seis enfoques tanto en el modelado como en la solución, es del grado de dificultad para obtenerla y depende del contexto teórico y la dificultad de aplicación de las herramientas involucradas en la lógica multidisciplinaria; utilizada.

Se encontró que todos los enfoques llegan al mismo resultado y son igualmente precisos, en todos los casos se obtiene la ecuación diferencial parcial propuesta por Black y Scholes

para determinar el precio teórico de opciones financieras, el valor de la investigación es comprobar la generalización del modelo en forma multidisciplinaria.

El trabajo de investigación permitió comprender la valuación, uso y aplicaciones de los productos derivados, tanto como estrategias de inversión y como medida de control de riesgos; y relacionar los conocimientos de diversas áreas tales como: economía, finanzas, física, estadística y matemáticas y de manera más especifica en las áreas de probabilidad, ecuaciones diferenciales parciales, cálculo estocástico y ecuación de difusión de calor. La aplicación práctica del modelo permitió obtener el precio teórico de una opción de compra sobre el dólar norteamericano por el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales, y se comparó con el resultado publicado por el MexDer, se concluye que ambos métodos presentan etapas de equilibrio, sobrevaluación y subvaluación del contrato de opción, y sus resultados son similares, por lo que el enfoque de ecuaciones diferenciales resulta útil en el análisis de riesgos.

Un resultado relevante fue observar que la tasa de interés juega un papel sumamente importante en la valuación de opciones, ya que su influencia es elevada en comparación con el efecto de la volatilidad.

Se encontró que se puede continuar la investigación al modificar los supuestos de los seis enfoques que consideran una volatilidad constante, y la realidad indica que no solo no es constante, sino además hay una concentración de los periodos de elevada variación de precios, es decir las elevadas variaciones de precios no se presentan de manera aislada a través del tiempo, se concentran temporalmente, esto es existe heterocedasticidad.

Es posible incluir el análisis de discontinuidades en el modelo de difusión del precio que no es posible analizar con el modelo de movimiento geométrico browniano que solo tiene trayectorias continuas y no permite incluir un comportamiento discontinuo que refleje la realidad de los mercados financieros.

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