PROBLEMA
Cuando un elemento estructural presenta una discontinuidad geométrica, como un agujero o un cambio de sección, ocurren altos esfuerzos en esos puntos. Estos esfuerzos se han estudiado experimentalmente, y los resultados dependen únicamente de las relaciones entre los parámetros geométricos involucrados. La relación del valor máximo del esfuerzo inducido con respecto al valor medio del esfuerzo en la sección más estrecha de la discontinuidad se denomina factor de concentración de esfuerzos, K.
med máx K σ σ =
Los factores de concentración de esfuerzos se calculan en términos de las relaciones geométricas, y se resumen en tablas o gráficas como la mostrada en la Figura 6.17.
El problema consiste en modelar una placa rectangular de 2” por 6” con un espesor de 0.5” y con un agujero central de 1” de diámetro, como se observa en la Figura 6.18. La placa está fabricada en acero 1020, y estará sometida a una carga axial de 1000 lb. Se debe determinar el factor de concentración de esfuerzos para estas condiciones geométricas de la placa.
2"
6" 1"
1000 lb
Figura 6.18. Placa sometida a carga axial. TIPO DE ANÁLISIS
Después de haber iniciado ANSYS, seleccione Preferences... del menú principal, y active la casilla correspondiente a análisis estructural.
GEOMETRÍA
La geometría puede dibujarse sobre una rejilla con espaciamiento de 0.5 (pulgadas). Dibuje como áreas el rectángulo de la placa y el círculo del agujero, y réstele el agujero a la placa mediante una operación booleana. La Figura 6.19 muestra el aspecto final del dibujo de la placa.
Figura 6.19. Geometría de la placa. MATERIAL
El material de la placa es un acero 1020, que es uno de los materiales predefinidos por ANSYS. Para importar el archivo, seleccione Preprocessor>Material Props>Material
Library>Import Library..., con lo cual se abre la ventana de la Figura 6.20. Indique como
sistema de unidades BIN, es decir, Sistema inglés, con longitudes medidas en pulgadas. El sistema BFT también incluye unidades inglesas, pero la longitud se mide en pies.
Al aceptar la selección del Sistema de Unidades, busque dentro del directorio MATLIB de ANSYS el archivo stl_ai~2.bin, que corresponde al acero deseado. Cierre posteriormente la ventana que le muestra las propiedades del material seleccionado.
TIPO DE ELEMENTO
Seleccione Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete... para añadir el elemento PLANE42 para este análisis, como se observa en la Figura 6.21.
Figura 6.21. Ventanas de selección del elemento.
Las opciones del elemento se pueden observar picando el botón Options... en la ventana mostrada en la parte derecha de la Figura 6.21. Podrá observar la ventana de la Figura 6.22. Puede seleccionar el sistema coordenado del elemento paralelo al sistema global o definido por los nodos I y J, como se indica en la Figura 6.1. En la opción de comportamiento del elemento puede seleccionar esfuerzo o deformación plana, elemento axisimétrico o esfuerzo plano con espesor. Si selecciona esfuerzo plano solamente, ANSYS asumirá un espesor unitario para la placa dibujada; seleccionando esfuerzo plano con espesor se debe introducir como constante real el espesor de la placa.
Figura 6.22. Ventana de opciones del elemento PLANE42. CONSTANTES REALES
Puesto que se ha seleccionado un elemento PLANE42 en esfuerzo plano con espesor, se debe añadir una constante real. Para ello, seleccione Preprocessor>Real
Constants>Add/Edit/Delete..., y agregue un grupo de constantes para el elemento
PLANE42. Se abrirá la ventana mostrada en la Figura 6.23. Introduzca el valor del espesor de la placa, y pique el botón OK.
ENMALLADO
Seleccione Preprocessor>MeshTool... para abrir el menú gráfico de enmallado, que se muestra en la Figura 6.24. Pique el botón Mesh para realizar el enmallado del área de la placa; seleccione el área dibujada y acepte la selección.
Figura 6.24. Menú gráfico de enmallado.
Después de realizar el enmallado automático, puede obtener un mensaje como el mostrado en la Figura 6.25. Este indica que hay algunos elementos que tienen formas muy distorsionadas. Cierre el mensaje de advertencia.
Figura 6.25. Mensaje de advertencia en el enmallado.
Puede revisar las distorsiones de los elementos seleccionando Preprocessor>-Meshing-
Check Mesh>-Individual Elm-Plot Bad Elms..., lo cual muestra la ventana de la Figura
6.26. Allí puede escoger los elementos que desea observar en el área gráfica. Al activar todas las casillas se mostrará el enmallado con los elementos de buena forma en color azul, los que tienen mensajes de advertencia en color amarillo y los elementos inaceptables en color rojo, como se observa en la Figura 6.27.
Figura 6.26. Ventana para dibujo de elementos con distorsiones.
Figura 6.27. Dibujo de elementos con distorsiones en su forma.
Si se desea, se puede continuar el trabajo con estos elementos. Si existieran elementos de color rojo, deben modificarse obligatoriamente, pues incidirían en gran medida en los resultados del modelo. Los elementos de color amarillo pueden refinarse, como se explica más adelante, o pueden utilizarse para el análisis; si se aceptan, es probable que no modifiquen de manera importante los resultados del modelo.
APLICACIÓN DE RESTRICCIONES Y CARGAS
Antes de aplicar las restricciones, seleccione Plot>Elements para dibujar nuevamente todos los elementos. Para aplicar las restricciones de desplazamiento, seleccione
Preprocessor>Loads>-Loads-Apply>-Structural-Displacement>On Lines+. Seleccione el
borde vertical izquierdo de la placa y aplíquele todas las restricciones (All DOF), que corresponde a impedir la traslación en los ejes X y Y.
La carga axial se aplicará ahora como una fuerza distribuida; la carga es de 1000 lb y se aplica sobre un área de 2*0.5 = 1 pulg2, por lo cual la presión aplicada será de 1000 psi. Seleccione Preprocessor>Loads>-Loads-Apply>-Structural-Pressure>On Lines +, y pique el borde vertical derecho de la placa; luego acepte la selección. Aparecerá la ventana de la Figura 6.28. Introduzca como valor de presión –1000; el valor debe ser negativo porque está apuntando hacia fuera de los elementos del enmallado.
Se obtiene así el modelo completo de la placa en Elementos Finitos, como se muestra en la Figura 6.29.
Figura 6.29. Modelo de Elementos Finitos de la placa. SOLUCIÓN DEL MODELO
Para ejecutar el análisis deseado seleccione Solution>-Solve-Current LS. Obtendrá un mensaje de advertencia similar al de la Figura 6.25, en donde se le indica que hay elementos con distorsiones en su forma. Aparecerá además un mensaje como el de la Figura 6.30 que le pide confirmar si realizará el análisis con estos elementos. Acepte el mensaje para solucionar el modelo.
Figura 6.30. Mensaje de verificación de solución del modelo. POSTPROCESAMIENTO
1. Deformación de la placa.
Para observar la deformación de la placa bajo las condiciones de carga especificadas seleccione General Postproc>Plot Results>Deformed Shape....La deformación obtenida se observa en la Figura 6.31, en donde se observa en líneas punteadas el contorno inicial de la placa. Note el alargamiento de la placa en dirección axial, y su acortamiento en la dirección perpendicular. Observe también la deformación sufrida por el agujero central. El borde izquierdo de la placa se ha conservado en su posición inicial ya que es el punto en donde se ha restringido el movimiento de la placa.
Figura 6.31. Deformación de la placa bajo carga axial.
2. Desplazamientos en la placa.
Para observar los desplazamientos en escala de colores, seleccione General Postproc>Plot
Results>-Contour Plot-Nodal Solu... y luego indique el desplazamiento total (USUM)
como la variable a graficar. El resultado se observa en la Figura 6.32. El desplazamiento máximo es de 0.252x10-3 pulgadas; el resultado teórico para la misma placa sin el agujero central es de 0.2 x10-3 pulgadas, inferior al resultado obtenido pues no tiene en cuenta el
mostrados en la gráfica no lo son. Esto es una indicación de la necesidad de refinar el enmallado realizado.
Figura 6.32. Desplazamientos nodales en la placa.
Los desplazamientos dibujados en forma de vector se pueden obtener seleccionando
General Postproc>Plot Results>-Vector Plot-Predefined..., y en la ventana de diálogo se
escoge traslación (U) como la variable a graficar. El resultado se observa en la Figura 6.33. Los vectores de desplazamientos nodales pueden relacionarse con el sentido de flujo del material bajo las cargas especificadas.
Figura 6.33. Gráfica vectorial de desplazamientos nodales.
3. Reacciones en los apoyos.
Las reacciones generadas en los apoyos se pueden obtener mediante General Postproc>List
Results>Reaction Solu....y luego indicando “All Items” en la siguiente ventana. La lista de
reacciones se observa en la Figura 6.34. Se comprueba que la suma de reacciones en la dirección X iguala la carga axial aplicada, y la suma de reacciones en la dirección Y es de cero (aproximadamente).
Figura 6.34. Lista de reacciones en los apoyos.
4. Esfuerzos en dirección de la carga.
Los esfuerzos se pueden dibujar como resultados nodales o por elemento. Para realizar la comparación en la presentación de los resultados, se utilizarán los esfuerzos en la dirección X. Los resultados por elemento se pueden obtener seleccionando General Postproc>Plot
Results>-Contour Plot-Element Solu...; en la siguiente ventana, seleccione X-Direction
(SX) como el resultado a dibujar. Obtendrá una gráfica como la mostrada en la Figura 6.35. Debe observarse la gran concentración de esfuerzos en la zona cercana al agujero, como era de esperarse.
Figura 6.35. Resultados de esfuerzo por elemento en dirección X.
Para dibujar los esfuerzos como resultados nodales, seleccione General Postproc>Plot
Results>-Contour Plot-Nodal Solu..., y en la ventana que aparece seleccione X-Direction
(SX), como se observa en la Figura 6.36. Al aceptar, observará en la pantalla la Figura 6.37.
Figura 6.37. Resultados de esfuerzo nodal en dirección X.
Observe que los resultados por elemento se representan como líneas de contorno discontinuas, mientras que los resultados nodales se representan con líneas de contorno continuas; esto se debe a que los contornos en los resultados nodales se obtienen realizando un promedio de los resultados obtenidos. Con los resultados nodales y el esfuerzo en la dirección X se realizará el estudio de la concentración de esfuerzos en el agujero. Nótese primero que en la gráfica de la Figura 6.37 la distribución de esfuerzos no es simétrica, como se esperaba; esto indica nuevamente que se requiere trabar con una discretización más fina. El esfuerzo máximo presente en el agujero es de 4032 psi. El esfuerzo medio al que está sometida la zona de menor área transversal (la sección que contiene el agujero) es de: psi 2000 pulg) pulg)(0.5 2(0.5 lb 1000 = = med ο
Por tanto, el factor de concentración de esfuerzos obtenido con este modelo es de: 016 . 2 2000 4032 max = = = med K σ σ
5. Otros resultados nodales.
Puede observar también los resultados de esfuerzo en la dirección Y (SY), los esfuerzos principales (S1, S2 y S3) o el esfuerzo equivalente de Von Mises (SEQV) realizando la selección apropiada en la ventana de la Figura 6.36. La Figura 6.38 muestra los resultados del esfuerzo de Von Mises para la placa.
Los esfuerzos cortantes se pueden estudiar de la misma forma. Para ello, seleccione la opción de cortante XY (SXY) en la ventana de la Figura 6.36. La Figura 6.39 muestra los resultados de esfuerzos cortantes.
Figura 6.39. Esfuerzos cortantes en la placa.
Se pueden observar también resultados nodales de deformación en las direcciones X (EPTOX) y Y (EPTOY), en las direcciones principales (EPTO1, 2 o 3), por cortante (EPTOXY) o equivalente (EPTOEQV). La Figura 6.40 muestra los resultados de deformación equivalente para la placa.
Figura 6.40. Deformaciones equivalentes totales en la placa.
6. Animación de resultados
Los resultados del análisis pueden observarse en una corta animación que muestra una secuencia de imágenes desde el estado inicial hasta el estado final. Para animar la deformación de la placa, seleccione en el menú principal de ANSYS
PlotCtrls>Animate>Deformed Shape, con lo que aparece la ventana de la parte izquierda
retardo entre cada uno de ellos (0.5). Al aceptar los valores, comenzará la animación, que se puede controlar con un menú como el que aparece en la parte derecha de la Figura 6.41.
Figura 6.41. Ventanas de animación de deformación.
Se puede animar cualquier otro resultado del análisis. Para ello, seleccione
PlotCtrls>Animate>Deformed Results, con lo que aparecerá la ventana de la Figura 6.42.
Seleccione allí el parámetro que desea animar, y pique el botón OK para comenzar la animación. Puede controlar de nuevo los parámetros de la animación con un menú como el mostrado en la parte derecha de la Figura 6.41. Toda animación genera un archivo con el nombre del trabajo y extensión .AVI que se guarda en el directorio de trabajo.
Figura 6.42. Ventana de animación de resultados.
7. Esfuerzos a través de una sección.
Es posible definir en ANSYS una gráfica de la variación de los esfuerzos a través de la sección transversal de la placa. Para ello, se definirá primero el camino (o sección) en la que interesa conocer el comportamiento. Seleccione General Postproc>Path
Operations>Define Path, con lo que obtendrá el menú de la Figura 6.43.
Puede definir un camino por medio de nodos en los elementos existentes, o trazando una línea en el plano de trabajo. Este último método será el usado; dibuje primero todos los elementos, muestre el plano de trabajo y luego seleccione la opción On Working Plane + del menú de la Figura 6.43. Seleccione un par de puntos en la parte más angosta de la placa, como se muestra en la Figura 6.44.
Figura 6.44. Definición gráfica de un camino.
Al aceptar los puntos seleccionados, aparecerá la ventana mostrada en la Figura 6.45, en donde debe introducir el nombre del camino que acaba de definir.
Figura 6.45. Ventana de definición de camino.
Ahora debe escoger los datos de su interés en el camino ya definido. Para ello, seleccione
General Postproc>Path Operations>Map Onto Path..., con lo que aparece la ventana de la
Figura 6.46. Indique allí el resultado de su interés y luego pique el botón OK.
Figura 6.46. Ventana de definición de datos para un camino.
Por último, obtendrá la gráfica de variación de esfuerzos en X a través del camino previamente definido. Seleccione General Postproc>Path Operations>-Plot Path Item-On
Graph..., con lo que aparece la ventana de la Figura 6.47. Seleccione el resultado que desea,
Figura 6.47. Ventana de gráfica de resultados en un camino.
Figura 6.48. Variación de esfuerzos en X a lo largo de un camino.
Observe en la Figura 6.48 la distribución de esfuerzos en la sección adyacente al agujero central; el esfuerzo aumenta rápidamente a medida que el punto de análisis se encuentra más cercano al agujero, hasta lograr un valor máximo de 4032 psi. En la zona más alejada del agujero (borde de la placa) el esfuerzo es de 1321 psi. Si desea manipular de alguna forma la gráfica (hacer un zoom, por ejemplo), debe introducir en la ventana de comandos de ANSYS el comando GROPTS, como se muestra en la Figura 6.49.
Figura 6.49. Comando para manipulación de gráficas.
8. Convergencia de resultados
Hasta ahora se han observado algunos indicios de que la malla puede ser muy gruesa para la solución del problema planteado, por lo cual las gráficas observadas hasta el momento no presentan un comportamiento del todo simétrico. Se realizará ahora el estudio de la convergencia de los resultados obtenidos con el modelamiento, para lo cual se trabajará con refinamiento de malla. Antes de empezar, dibuje nuevamente los elementos del enmallado en la pantalla. Para refinar la malla, seleccione Preprocessor>-Meshing-Modify Mesh>-
Refine At-Elements + (el mismo comando lo puede acceder desde el menú gráfico de
enmallado con el botón Refine). Seleccione los elementos que desea refinar; para mayor comodidad puede utilizar la selección mediante caja o círculo. Un ejemplo de selección se
observa en la Figura 6.50. Nótese que no se han seleccionado los elementos cercanos al borde de la placa, ya que el área de interés es aquella que rodea el agujero central.
Figura 6.50. Selección de elementos para refinamiento de malla.
Después de aceptar la selección de elementos, aparecerá la ventana de la Figura 6.51. En ella se pedirá un valor de refinamiento de 1 a 5, en donde 5 es el máximo refinamiento posible. En este caso se escogerá un valor de 1. Pique el botón OK.
Figura 6.51. Ventana de nivel de refinamiento.
Probablemente obtenga un mensaje de advertencia como el mostrado anteriormente en la Figura 6.25. Ciérrelo, y obtendrá un enmallado similar al de la Figura 6.52. Compárelo con el mostrado en la Figura 6.50 para observar el efecto del refinamiento. Recuerde al realizar un refinamiento que las transiciones bruscas entre elementos grandes y pequeños causa problemas en la solución del modelo, por lo que deben evitarse.
Figura 6.52. Malla refinada para la placa.
Con esta malla refinada puede volver a solucionar el modelo de Elementos Finitos. Los resultados de esfuerzo en dirección X para el modelo refinado se observan en la Figura 6.53. Nótese que los resultados parecen más simétricos ahora, y el valor máximo de esfuerzo ha aumentado respecto al anterior enmallado.
El proceso de refinamiento de la malla debe continuar hasta que el parámetro de la solución que se ha tomado como representativo (en este caso, el esfuerzo máximo en X) se haya estabilizado en un valor, es decir, haya obtenido la convergencia. En este caso, el refinamiento se llevó hasta obtener 14511 elementos; la gráfica de esfuerzo nodal se observa en la Figura 6.54. Observe que los contornos son mucho más suaves que los de la Figura 6.53.
Figura 6.54. Esfuerzo nodal en dirección X para el mayor refinamiento usado.
El estudio de la convergencia se puede observar en la Figura 6.55. En ella, se ha representado en el eje horizontal el número de elementos del enmallado, y en el eje vertical el valor del máximo esfuerzo en X. Nótese que al final un incremento en el número de elementos no cambia la solución del modelo; un número ideal de elementos es de cerca de 4000, ya que no es tan bajo, lo que implicaría una solución no confiable, ni tan alto, lo que implica un mayor tiempo de procesamiento.
4000 4050 4100 4150 4200 4250 4300 4350 4400 4450 0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 Número de elementos
Esfuerzo máximo [psi]
Figura 6.55. Estudio de convergencia del modelo.
Con base en los resultados obtenidos para el último modelo, se obtiene un factor de concentración de esfuerzos para el agujero de K=2.22, que era el valor esperado de acuerdo a la gráfica de la Figura 6.17.
9. Simplificación del modelo.
El modelo de la placa pudo haberse realizado de una forma más sencilla aprovechando la simetría que posee. Basta con dibujar un cuarto de la placa, como se observa en la Figura 6.56.
Figura 6.56. Geometría de un cuarto de placa.
El enmallado se realizará ahora definiendo el tamaño de los elementos. Para ello,