Assessment of urban sewers and treatment facilities in Kampala and Kisumu as interplay of flows, networks and spaces
3.7 Assessment of urban sewerage systems dimensions
3.7.1 Technical and spatial scale: large versus small-scale systems
SRN: Exponencial
Capitulo 6: Análisis de la Conceptualización
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Los invariantes operatorios que parecen guía la acción de A2 en situación, son en cada sistema de representación, los siguientes:
SRP Función
exponencial
T.A.N: El aumento se calcula sobre la cantidad de personas infectadas en la hora anterior.
SRA1
Función lineal
T.A.A1: Es posible utilizar una expresión algebraica lineal para calcular la cantidad de personas infectadas por hora. Función
exponencial
T.A.A1: La expresión algebraica es: f(t)=k . at.Donde t es la hora para la cual se quiere saber la cantidad de contagiados; a es la tasa de contagio y k la cantidad inicial de infectados.
Dominio T.A.N: El dominio de una es un intervalo formado por
todos los valores que toma la variable independiente.
Imagen T.A.N: La imagen de una es un intervalo formado por
todos los valores que toma la variable dependiente.
SRN Función
exponencial
T.A.N: La cantidad de personas infectadas no aumenta lo mismo cada hora.
T.A.A1: La expresión algebraica es: f(t)=k . at.Donde t es la hora para la cual se quiere saber la cantidad de contagiados; a es la tasa de contagio y k la cantidad inicial de infectados.
SRG
Dominio T.A.G: El dominio de una se gráfica sobre el eje horizontal
del sistema de coordenadas cartesianas.
Imagen T.A.G: La imagen de una se gráfica sobre el eje vertical del
sistema de coordenadas cartesianas.
Escala T.A.G: La E debe permitir representar los datos, lo mejor posible.
Curvas T.A.G: Es posible dibujar los puntos en el grafico y unirlos mediante segmentos no rectos.
Función exponencial
T.A.G: La representación gráfica del crecimiento de personas infectadas es una curva creciente.
Resultados de la Situación 4
En esta primera situación relativa a la función exponencial se advierten en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], básicamente los siguientes tres tipos de resoluciones.
Lineal: Hace referencia al veinticinco porciento de las resoluciones que parecen guiadas por invariantes operatorios lineales. Esto se puede advertir en que, en cada expresión algebraica se observan rasgos de las funciones lineales, las exponenciales
Capitulo 6: Análisis de la Conceptualización
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y el interés compuesto. Sin embargo, la fuerza que tienen los esquemas lineales, se puede advertir en que las expresiones que pretenden ser exponenciales tienen la variable independiente en la base. Por otra parte, esta sucesión de bosquejos y reformulaciones permite advertir la ausencia de un único esquema que dirija la acción. Así, es posible observar en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], el esbozo sucesivo de esquemas lineales, que entran en competición y que a pesar de ser acomodados, separados y recombinados, no logra formular una respuesta adecuada.
Exponencial: Este tipo de resolución compone el cincuenta porciento de los alumnos y hace referencia a todas aquellas resoluciones en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], que parecen estar guiadas por invariantes operatorios exponenciales. Así, se podría decir que estos alumnos han logrado extender sus esquemas lineales en una dirección no lineal primero, y ahora exponencial. En estos casos también es posible advertir una sucesión de bosquejos y reformulaciones que procuran dar respuesta al problema planteado. Pero a diferencia del caso anterior, todas estas formulaciones, o la gran parte de ellas no son expresiones lineales.
Pictórico: Son todas aquellas resoluciones en las que para poder formular la expresión algebraica exponencial, los alumnos construyeron bosquejos en el sistema de representación pictórico [SRP]. Así, este grupo de alumnos que representa un veinticinco porciento del total, construyó a partir del enunciado, un bosquejo de la situación que los terminó conduciendo a estrategias exponenciales en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1]. Esta forma de resolver los problemas mediante dibujos o bosquejos no es nueva, ya Poincaré (1913, p.27) afirmaba que “la geometría es el arte de razonar bien sobre figuras mal hechas”. Sin embargo, esta modificación en las estrategias del alumno, no habría sido posible sin los esquemas de toma de información y de control.
La formulación del dominio y la imagen en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], siguen presentando dificultades para los alumnos, que no logran establecer qué valores pertenecen o no al intervalo. Mientras que en la representación gráfica, la casi totalidad de los estudiantes los gráfico adecuadamente. La escasa cantidad de alumnos que tuvieron dificultades en este sistema de representación permite inferir que no fue desacertado haber incluido los ejes de sistemas coordenados en las situaciones 1 y 2, cuando los alumnos estaban recién comenzando a trabajar en este sistema de representación. Inhibir los invariantes ligados a la escala en las primeras situaciones ayudó a que la atención del alumno se centre en el interés compuesto, y no en los problemas de escala. En la tarea en que se permitía al alumno escoger el sistema de representación, se advierte que en la mayoría de los casos los alumnos optan por formular únicamente la expresión algebraica. Mientras que los que acompañan la expresión algebraica con una afirmación, eligen formular en el sistema de representación verbal escrito [SRVE] una situación parecida a la planteada. Solo dos alumnos hicieron referencias a aspectos vinculados con una modificación en la variación.
El que la expresión algebraica exponencial permitiera calcular las personas contagiadas por hora, y no la cantidad total fue una dificultad extra al momento de
Capitulo 6: Análisis de la Conceptualización
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formular la expresión algebraica. Lo cual indica que este problema debería abordarse en una instancia posterior como podría ser en las tareas de ejercitación.
Resultados vinculados a los Sistemas de Representación
Los protocolos arriba presentados, muestran que el mismo alumno, en la misma situación utiliza invariantes operatorios diferentes según cada sistema de representación. A veces lineales, a veces no-lineales y a veces exponenciales.
Los invariantes operatorios que parecen dirigir las estrategias de los alumnos que construyen adecuadamente la representación algebraica en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], parecen estar vinculados a los sistemas de representación numérico [SRN], y pictórico [SRP].
El sistema de representación numérico [SRN] sería el que menos dificultades
presenta, los alumnos logran calcular rápidamente la cantidad de infectados en forma exponencial.
Situación 5
La quinta situación refiere al crecimiento de amebas y se les planteó a los alumnos al terminar la situación anterior. A continuación se presentan y describen las resoluciones de dos alumnos: A2 y A4, que resultan ser representativos de dos diferentes estrategias de resolución.
Alumno A4 – Nuevas Amebas
En esta quinta situación, la totalidad de los alumnos formulan adecuadamente la expresión algebraica en el sistema de representación que hemos denominado algebraico de primer orden [SRA1]. Se advierte también, que los alumnos presentan la expresión casi automáticamente, sin las reformulaciones características de la situación anterior, y también sin hacer cuentas. Así, es posible advertir que en este sistema de representación, la acción está siendo guiada por un único esquema. Con respecto al dominio y la imagen se advierte que A4 logra formularlos convenientemente en los sistemas de representación algebraico de primer orden [SRA1] y grafico [SRG]. En el sistema de representación numérico [SRN] se siguen presentando dificultades vinculadas al problema de haber propuesto la situación anterior, pues la casi totalidad de los alumnos calcularon la cantidad de amebas como si la expresión algebraica solo permitiera calcular las amebas nuevas por día, y no la totalidad.
Por otra parte, en el sistema de representación gráfico [SRG], A4 logra dibujar adecuadamente la variación de la cantidad de amebas a medida que pasa el tiempo.
Capitulo 6: Análisis de la Conceptualización
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Algunos invariantes operatorios que parecen guiar la acción de este alumno en situación, son los siguientes:
SRA1
Función exponencial
T.A.A1: La expresión algebraica es: f(t)=k . at.Donde t es día para la cual se quiere saber la cantidad de amebas; a es la tasa de crecimiento y k la cantidad inicial de amebas.
Dominio
T.A.N: El dominio de una es un intervalo formado por todos los valores que toma la variable independiente en el contexto del problema.
Imagen T.A.N: La imagen de una es un intervalo formado por
todos los valores que toma la variable dependiente en el
SRA1: Exponencial
SRN: Exponencial
SRA1
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contexto del problema.
SRN Función
exponencial
T.A.A1: La expresión algebraica es: f(t)=k . at.Donde t es la hora para la cual se quiere saber la cantidad de amebas; a es la tasa de crecimiento y k la cantidad inicial de amebas.
T.A.N: Dada una expresión algebraica que
permite calcular la cantidad de amebas nuevas cada hora; para calcular la cantidad de amebas totales en un tiempo
cualquiera, se debe hacer
…+ ( ).
SRG
Dominio T.A.G: El dominio de una se gráfica sobre el eje horizontal
del sistema de coordenadas cartesianas.
Imagen T.A.G: La imagen de una se gráfica sobre el eje vertical del
sistema de coordenadas cartesianas.
Escala T.A.G: La E debe permitir representar los datos, lo mejor posible.
Curvas T.A.G: Es posible dibujar los puntos en el grafico y unirlos mediante segmentos no rectos.
Función exponencial
T.A.G: La representación gráfica del crecimiento de amebas es una curva creciente.
Alumno A2 – Amebas Totales
Los invariantes que parecen guiar la acción de A2 en los tres sistemas de representación; [SRA1, SRN y SRG] son exponenciales. La resolución de A2, evidencia una conceptualización exponencial compleja y completa que se expresa en todos los sistemas de representación que utiliza para resolver la situación. Sin embargo, se advierten dificultades en la formulación del dominio y la imagen en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1].
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Algunos invariantes que parecen guiar la acción de A2 en los diferentes sistemas de representación, son los siguientes:
SRA1 Función
exponencial
T.A.A1: La expresión algebraica es: f(t)=k . at.Donde t es día para la cual se quiere saber la cantidad de amebas; a es la tasa de crecimiento y k la cantidad inicial de amebas.
SRA1: Exponencial
SRN: Exponencial
SRG: Exponencial
Capitulo 6: Análisis de la Conceptualización
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Dominio T.A.N: El dominio de una es un intervalo formado por
todos los valores que toma la variable independiente.
Imagen T.A.N: La imagen de una es un intervalo formado por
todos los valores que toma la variable dependiente.
SRN Función
exponencial
T.A.A1: La expresión algebraica es: f(t)=k . at.Donde t es la hora para la cual se quiere saber la cantidad de amebas; a es la tasa de crecimiento y k la cantidad inicial de amebas. T.A.N: La variación de la variable dependiente entre dos unidades de la variable independiente x1; x2 se calcula
haciendo la resta: f(x2) – f(x1).
SRG
Dominio T.A.G: El dominio de una se gráfica sobre el eje horizontal
del sistema de coordenadas cartesianas.
Imagen T.A.G: La imagen de una se gráfica sobre el eje vertical del
sistema de coordenadas cartesianas.
Escala T.A.G: La E debe permitir representar los datos, lo mejor posible.
Curvas T.A.G: Es posible dibujar los puntos en el grafico y unirlos mediante segmentos no rectos.
Función exponencial
T.A.G: La representación gráfica del crecimiento de amebas es una curva creciente.
Resultados de la Situación 5
En esta situación, dado que la totalidad de los alumnos formulan adecuadamente la expresión algebraica en el sistema de representación que hemos denominado algebraico de primer orden [SRA1]; las diferencias en los tipos de resolución se presentan en el sistema de representación numérico [SRN], y son los siguientes.
Amebas nuevas: Este grupo de alumnos, que representó la casi totalidad del alumnado, calculó la cantidad de amebas como si la expresión algebraica solo permitiera calcular las amebas nuevas por día, y no la totalidad. Estas dificultades parecen estar vinculadas al problema de haber propuesto la situación anterior, en la que la expresión algebraica solo permitía calcular la cantidad de nuevos contagiados. Así, las estrategias de los alumnos además de responder al enunciado, parecen estar influenciadas por las situaciones que los alumnos han logrado dominar con anterioridad. Así, en esta situación, los alumnos no hacen caso que si las amebas se dividen por bipartición, cada vez que lo hagan se está ante la totalidad de amebas. Lo sorprendente es que la equivocación de los alumnos se produjo en el sistema de representación que los alumnos más dominan, que es el sistema de representación numérico [SRN].
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Amebas Totales: Hubo un pequeño grupo de alumnos que calculó la cantidad de amebas adecuadamente, y en consecuencia calculó la cantidad de amebas nuevas como la diferencia entre un día y el anterior. Esta manera de calcularlas resalta el crecimiento proporcional constante de las funciones exponenciales. Característica que no fue posible estudiar con los alumnos debido a la confusión que se generó con la situación anterior y que derivó en la estrategia anterior que adoptó la casi totalidad de los alumnos.
De todas maneras los invariantes que parecen guiar la acción de los estudiantes en los tres sistemas de representación; [SRA1, SRN y SRG] son exponenciales. Estas resoluciones evidencian una conceptualización exponencial compleja y completa que se expresa en todos los sistemas de representación que utilizan para resolver la situación. Así, los alumnos logran formular adecuadamente la expresión algebraica exponencial en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1]. Se advierte también, que los alumnos presentan la expresión casi automáticamente, sin las reformulaciones características de la situación anterior, y también sin hacer cuentas. Así, es posible advertir que en este sistema de representación, la acción está siendo guiada por un único esquema exponencial.
Con respecto al dominio y la imagen se advierte que los alumnos todavía no logran formularlos convenientemente en el sistema de representación algebraico de primer orden [SRA1], ellos todavía no logran establecer qué valores pertenecen o no al intervalo.
Resultados vinculados a los Sistemas de Representación
La totalidad de los alumnos formulan adecuadamente la expresión
algebraica en el sistema de representación SRA1. Se advierte también, que los alumnos presentan la expresión casi automáticamente, lo cual es un indicador que en este sistema de representación, la acción está siendo guiada por un único esquema.
Los invariantes operatorios que parecen dirigir la acción de los estudiantes en los diferentes sistemas de representación, son exponenciales.
Que la expresión algebraica exponencial de la situación 4 permitiera calcular las personas contagiadas por hora, y no la cantidad total, trajo dificultades en el sistema de representación numérico [SRN] de esta situación, y complicó la institucionalización de una de las características principales de la función exponencial, que es el crecimiento proporcional constante.
En el sistema de representación analítico grafico [SRG], se advierten estrategias exponenciales sin dificultades en la escala y la elección de los ejes.
Situación 6
En esta sexta situación se les pide a los alumnos que generalicen la expresión de la función exponencial a partir de cada una de las situaciones previamente resueltas. A continuación se presentan las resoluciones de los alumnos A19, A5E, A18 y A5N; que resultan ser representativos de cuatro diferentes estrategias de resolución.
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Alumno A19 – Concreto básico
La resolución de A19 se caracteriza por formular únicamente la expresión algebraica. Este alumno no intenta formular una respuesta para la tarea b).
El alumno A19 construye la expresión algebraica en el sistema de representación algebraico de segundo orden [SRA2], a partir de las representaciones algebraicas formuladas en el sistema de representación de primer orden [SRA1]. Así, algunos de los invariantes operatorios que parecen dirigir la acción de A19 son los siguientes: