es decir
hf |L|gi − hg|L|f i∗ = p(b) [f∗(b) g0(b) − g(b) f∗0(b)] − p(a) [f∗(a) g0(a) − g(a) f∗0(a)]. (1.59) Pero por definici´on de L2
SL, si f, g ∈ L2SL, entonces f y g satisfacen condiciones de contorno de
Sturm-Liouville, lo que significa (recu´erdese la definici´on de condici´on de contorno de Sturm- Liouville que dimos en la secci´on 1.2.2) que la f´ormula de Green se anula y por tanto el operador
L es herm´ıtico dentro del espacio vectorial L2
SL. En resumen, concluimos que las condiciones de contorno de Sturm-Liouville son simplemente aquellas que hacen que L sea herm´ıtico.
1.5.1. Autovalores y autofunciones del operador de Sturm-Liouville
Por ser L un operador herm´ıtico, sus autovalores λnson reales y sus autofunciones ψn(x) son
ortogonales bien autom´aticamente porque sus autovalores son distintos, o bien por construcci´on (m´etodo de Gram-Schmidt) cuando las autofunciones son degeneradas.
Vamos a demostrar ahora un resultado del que deduciremos inmediatamente que todas las autofunciones de un problema de Sturm-Liouville regular son no degeneradas.
Teorema 1.1 Sean f (x) y g(x) dos funciones que satisfacen la ecuaci´on de Sturm-Liouville (L +
µ)y = 0 y que adem´as verifican la condici´on de contorno regular en la izquierda α1y(a)+α2y0(a) =
0. Entonces las funciones f (x) y g(x) difieren en una constante multiplicativa, es decir, f (x) =
Kg(x), siendo K una constante. Este resultado tambi´en es cierto si f (x) y g(x) verifican la condici´on de contorno en la derecha β1y(b) + β2y0(b) = 0
Vamos a demostrarlo. En el teorema se asume que f (x) y g(x) satisfacen las relaciones (L + µ)f = 0,
(L + µ)g = 0.
Si multiplicamos la primera ecuaci´on por g y la segunda por f y restamos se tiene que
f Lg − gLf = 0 (1.60)
o, en forma expl´ıcita (usando la expresi´on del operador L), 1 r(x) ½ f (x) d dx µ p(x)dg dx ¶ − g(x) d dx µ p(x)df dx ¶¾ = 0. (1.61)
Como r(x) > 0, la expresi´on entre llaves ha de ser nula. Integr´andola sobre el intervalo [a, x] se
tiene que Z x a f (x) d dx µ p(x)dg dx ¶ dx − Z x a g(x) d dx µ p(x)df dx ¶ dx = 0.
Integrando por partes:
p(x) f (x) g0(x) ¯ ¯ ¯x a− Z x a f0(x) p(x) g0(x) dx − p(x) f0(x) g(x) ¯ ¯ ¯x a+ Z x a g0(x) p(x) f0(x) dx = 0 .
1.5 El operador de Sturm-Liouville es herm´ıtico 21
Las integrales se cancelan entre s´ı, de modo que s´olo sobreviven los t´erminos de contorno:
p(x) f (x) g0(x) − p(a) f (a) g0(a) − p(x) f0(x) g(x) + p(a) f0(a) g(a) = 0. Esta f´ormula se conoce como f´ormula de Abel. Podemos reescribirla as´ı:
p(x) W (x; f, g) = p(a) W (a; f, g) (1.62) donde W (x; f, g) ≡ ¯ ¯ ¯ ¯f (x) f 0(x) g(x) g0(x) ¯ ¯ ¯ ¯ = f (x) g0(x) − g(x) f0(x)
es el wronskiano de f y g en x. Por ser el problema se Sturm-Liouville regular, se tiene que
α1f (a) + α2f0(a) = 0, (1.63)
α1g(a) + α2g0(a) = 0. (1.64)
Como α1, α2 no son simult´aneamente nulas, debe ocurrir que
¯ ¯ ¯ ¯f (a) f 0(a) g(a) g0(a) ¯ ¯ ¯ ¯ = W (a; f, g) = 0,
luego el wronskiano de f y g es nulo en a, y por tanto, seg´un (1.62), tambi´en nulo en x,
W (x; f, g) = 0, por lo que f (x) y g(x) son linealmente dependientes: f (x) = K g(x), siendo K una constante cualquiera.17 Por supuesto, este resultado tambi´en es v´alido si las funciones
f (x) y g(x) satisfacen la condici´on de contorno regular en la derecha en vez de la condici´on de
contorno a la izquierda. B Ejercicio 1.9
Demuestra la afirmaci´on anterior. Pista: prueba a integrar (1.61) sobre el intervalo [x, b].
El resultado que acabamos de demostrar implica que si dos autofunciones distintas f, g ∈ L2SL de un problema de Sturm-Liouville regular tienen el mismo autovalor (que llamaremos λ),
Lf = λf, Lg = λg,
entonces estas funciones s´olo difieren en un factor multiplicativo constante: f /g = K, siendo K una constante, es decir, f y g son la misma autofunci´on (recu´erdense las consideraciones que se hicieron en la p´agina 7 sobre este asunto).
Concluimos por tanto que en un problema de Sturm-Liouville regular a cada autovalor λ le corresponde una ´unica autofunci´on f (x) (salvo un factor constante arbitrario trivial). En resumen: Teorema 1.2 Todas las autofunciones de un problema de Sturm-Liouville regular son no degene-
radas.
Terminamos dando un resultado que no demostraremos:18
17Dos soluciones y
1(x) y y2(x) de la ecuaci´on homog´enea y(x)+P (x)y0(x)+Q(x)y(x) = 0 en el intervalo [a, b] son
linealmente dependientes si y s´olo si su wronskiano W (x; y1, y2) es id´enticamente cero. Puede verse la demostraci´on
de este resultado en la secci´on 15 de [Sim93].
18Puede verse la demostraci´on de este teorema en el ap´endice A del cap´ıtulo 7 de [Sim93] o en la secci´on 7.2,
Teorema 1.3 Los problemas regulares de Sturm-Liouville tienen una secuencia infinita de auto-
valores λ0 < λ1 < λ2 < · · · donde l´ımn→∞λn = ∞, es decir, hay un n´umero infinito de auto- valores existiendo uno m´ınimo y sin existir uno m´aximo. Adem´as, las autofunciones ψn, con n = 0, 1, 2, · · · , son reales y tienen n ceros en el intervalo abierto (a, b).
Ilustraremos estos resultados mediante el ejemplo siguiente.
I Ejemplo 1.8
Queremos hallar la soluci´on del problema de Sturm-Liouville
y00+ λ y = 0 0 ≤ x ≤ 1, (1.65)
con las condiciones de contorno,
CC :
(
y(0) = 0,
y(1) + h y0(1) = 0, h ≥ 0. (1.66)
Es claro que esto es un problema de Sturm-Liouville regular con p(x) = 1, q(x) = 0 y r(x) = 1, es decir,
L = d
2
dx2.
En la resoluci´on de la ecuaci´on de Sturm-Liouville distinguiremos tres casos:
• λ = 0. Para este caso, la soluci´on general de la ecuaci´on de Sturm-Liouville es y(x) = Ax + B donde, A
y B son constantes a determinar. Puede comprobarse sin dificultad que no existe soluci´on posible (aparte de la trivial y(x) = 0) que satisfaga las condiciones de contorno (1.66).
• λ < 0. Ahora, la soluci´on general de la ecuaci´on de Sturm-Liouville es y(x) = A cosh(√−λx) + B senh(√−λx)
donde A y B son constantes a determinar. Puede comprobarse que, tambi´en en este caso, no existe soluci´on posible [aparte de la trivial y(x) = 0] que satisfaga las condiciones de contorno (1.66). Ve´amoslo. De la primera condici´on de contorno se deduce que
y(0) = 0 ⇒ A = 0.
Es decir,
y(x) = B senh√−λx (1.67)
es la ´unica forma posible de la soluci´on de la ecuaci´on de Sturm-Liouville con λ < 0 que puede satisfacer la condici´on de contorno en x = 0. ¿Podr´a esta soluci´on satisfacer tambi´en la condici´on de contorno en el otro extremo, en x = 1? Si imponemos esta condici´on de contorno, se tiene que
y(1) + h y0(1) = 0 ⇒ B senh√−λ + h√−λB cosh√−λ = 0.
Dado que B = 0 conduce a la soluci´on trivial y(x) = 0, la ´unica alternativa posible es que senh√−λ + h√−λ cosh√−λ = 0,
o bien
tanh√−λ = −h√−λ . (1.68)
Esta ecuaci´on no tiene soluci´on para λ < 0 si h > 0 (v´ease la figura 1.1).
• λ > 0. En este caso, la soluci´on general de la ecuaci´on de Sturm-Liouville es y(x) = A cos√λx + B sen√λx.
1.5 El operador de Sturm-Liouville es herm´ıtico 23 -1 0 1 2 3 4 5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -h z tanh(z) z
Figura 1.1: Soluci´on gr´afica de la ecuaci´on trascendente tanh z = −hz con z ≡ √−λ. La ´unica
soluci´on posible es λ = 0 si h > 0.
Veamos si existe alg´un modo de que una soluci´on con esta forma pueda satisfacer las condiciones de contorno (1.66). De la primera condici´on de contorno se deduce que
y(0) = 0 ⇒ A = 0.
Es decir,
y(x) = B sen√λx (1.69)
es la ´unica forma posible de la soluci´on de la ecuaci´on de Sturm-Liouville con λ > 0 que puede satisfacer la condici´on de contorno en x = 0. ¿Podr´a esta soluci´on satisfacer tambi´en la condici´on de contorno en el otro extremo, en x = 1? Si imponemos esta condici´on de contorno, se tiene que
y(1) + h y0(1) = 0 ⇒ B sen√λ + h√λB cos√λ = 0.
Dado que B = 0 conduce a la soluci´on trivial y(x) = 0, la ´unica alternativa posible es que sen√λ + h√λ cos√λ = 0,
o bien
tan√λ = −h√λ. (1.70)
Encontramos por tanto que el ´unico modo de que el problema de Sturm-Liouville formado por la ecuaci´on de Sturm-Liouville (1.65) m´as las condiciones de contorno regulares (1.66) tenga soluci´on distinta de la trivial y(x) = 0 es si λ toma justamente los valores19 soluci´on de la ecuaci´on (1.70). Cualquier otro valor
conduce a un problema sin soluci´on posible. La ecuaci´on transcendente (1.70) no tiene soluci´on expl´ıcita, pero pueden estimarse sus ra´ıces gr´aficamente, como se muestra en la figura 1.2. Las soluciones zn de
la ecuaci´on transcendente tan z = −hz nos proporcionan los autovalores de nuestro problema de Sturm- Liouville. Es claro que existe una secuencia de autovalores λ0< λ1< λ2< · · · con l´ımn→∞λn= ∞. Por
ejemplo, para h = 2, se obtiene num´ericamente que z±1 ' ±108366, z±2 ' ±4082032, z±3 ' ±7091705,
. . . , y por tanto λ0 ' 3037309, λ1 ' 2302355, λ2 ' 6206797, . . . Las autofunciones correspondientes son
ψn−1(x) = sen znx con n = 1, 2, · · · . N´otese que zn con n = −1, −2, · · · no conduce a autofunciones
diferentes pues sen znx = − sen z−nx. En definitiva, el conjunto de autofunciones distintas de nuestro
problema viene dado por
ψn(x) = sen
p
λnx. (1.71)
19Por supuesto, estos valores no son nada m´as que los autovalores del operador de Sturm-Liouville L = d2/dx2
que opera dentro del espacio vectorial L2
SLde las funciones de cuadrado sumable que satisfacen las condiciones de
0 2 4 6 8 10 -20 -10 0 10 20 tan(z) z
Figura 1.2: Soluci´on gr´afica de la ecuaci´on trascendente tan z = −hz con z =√λ. Los autovalores
se extraen del valor de las abscisas zn de los puntos de corte de tan z (l´ınea continua) y −hz (l´ınea
discontinua) pues λn−1 = z2n. En esta figura hemos tomado h = 2.
Puede verse sin demasiada dificultad que ψntiene n ceros en (0, 1): sabemos que 2n+12 π < √
λn <2n+12 π + π
2 = (n+1) π por lo que ψn= B sen
√
λnx tiene n ceros en (0, 1) pues sen
¡2n+1
2 π x
¢
y sen[(n+1) π x] tienen
n ceros en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1. En las figuras 1.3 y 1.4 se muestra esto para las primeras autofunciones ψ0y ψ1.
B Ejercicio 1.10
1. Demuestra que las autofunciones (1.71) son ortogonales entre s´ı. Ayuda:
Z 1 0
sen(αx) sen(βx)dx = [α cos α sen β − β cos β sen α]/(β2− α2) .
2. Resuelve ahora este ejemplo suponiendo que h < 0. Ten en cuenta que tanto d tan(x) dx = 1 cos2(x) como d tanh(x) dx = 1 cosh2(x)
son iguales a 1 en x = 0, de modo que las soluciones ser´an distintas dependiendo de si h ≥ −1 ´o h < −1.
J
En los problemas de Sturm-Liouville peri´odicos algunos autovalores pueden estar doblemente degenerados. El siguiente problema nos da m´as detalles.
Teorema 1.4 Los autovalores de un problema de Sturm-Liouville peri´odico forman una secuencia
infinita −∞ < λ0 < λ1≤ λ2 < λ3≤ λ4 < · · · . El primer autovalor λ0 no est´a nunca degenerado.
Si λ2m+1< λ2m+2 para m ≥ 0, entonces a cada uno de estos autovalores le corresponde una ´unica autofunci´on. Pero si λ2m+1= λ2m+2 a este (´unico) autovalor le corresponden dos autofunciones
distintas.20
20Este ´ultimo caso es justamente el que se da en el problema de Sturm-Liouville peri´odico que se discutir´a en el
1.6 Desarrollo en serie de autofunciones 25