The 6 th Framework Programme (2003–2006)

de diseño, la matriz de chequeo de paridad H de tamaño m×n consiste de wc submatrices Hd de

tamañoµ_×napiladas una encima de la otra. Las submatricesHd tienen la siguiente estructura: para

dos enteros cualesquieraµ y wr más grandes que 1, cada submatriz Hd es de tamaño µ×µwr con

peso de fila wr y peso de columna 1. La submatrizH1 tiene la siguiente forma: parai= 1,2, . . . , µ,

lai-ésima fila contiene todos sus wr 1’s en la columnas (i−1)wr+ 1 a iwr. Las otras submatrices

son simplemente permutaciones de columnas deH1. Es evidente queHes regular, tiene dimensiones

µwc×µwr=µwc×n, y tiene pesos de filas y columnaswrywc, respectivamente. No está garantizada

la ausencia de ciclos de longitud 4 en H, pero estos se pueden evitar mediante un diseño asistido por computadora. Gallager mostró que el conjunto de tales códigos tienen excelentes propiedades de distancia (dmínse incrementa conn) dadoswc≥3 ywr> wc.

MacKay descubrió independientemente los códigos LDPC y fue el primero en mostrar la habilidad de estos códigos para operar cerca de los límites de capacidad [93, 94]. MacKay ha archivado en una página web [96] un gran número de códigos LDPC que diseñó para su aplicación en comunicación y almacenamiento de datos, la mayoría de ellos son regulares. Los algoritmos para generar semi aleatoriamente matrices H dispersas implican simplemente poblar una matriz colocando 1’s en ella, columna por columna, para asegurar las distribuciones de peso de columnas y filas deseados y así evitar ciclos de longitud 4.

Uno de los inconvenientes de los códigos de Gallager y MacKay es que carecen de suficiente estructura para permitir una codificación de baja complejidad. La codificación se realiza poniendo H en la forma [PT _{I] mediante la eliminación de Gauss-Jordan, de esta manera puede obtenerse la}

matriz generadora de forma sistemáticaG= [I P]. El problema con la codificación a través de Ges que la submatrizPgeneralmente es no dispersa, de tal manera que para códigos de longitudn= 1000 o más, la complejidad de codificación es alta. Una técnica de codificación eficiente que emplea solamente la matrizHse propuso en [97].

Desde los primeros trabajos sobre códigos LDPC, se han publicado un gran número de artículos sobre el diseño y análisis de estos códigos. La mayor parte de la técnica de diseño se centra en el problema de la complejidad del codificador incorporando estructura en H y en el rendimiento del código. Los siguientes libros brindan una buena cobertura de algunos de los enfoques más conocidos [11, 98, 99].

3.2.4

Algoritmos de Decodificación

Además de introducir los códigos LDPC en su trabajo de Tesis [15], Gallager propuso también un algoritmo de decodificación que es generalmente cercano al óptimo. El algoritmo se ha denomina- doalgoritmo suma producto (SPA, del inglés Sum-Product Algorithm), algoritmo de propagación de creencia(BPA, del inglésBelief Propagation Algorithm), yalgoritmo de paso de mensajes(MPA, del inglésMessage Passing Algorithm). El término paso de mensajes hace referencia a todos los algoritmos iterativos que serán descriptos, incluyendo el SPA y sus aproximaciones.

La decodificación óptima (máximo a posteriori [MAP]) símbolo a símbolo requiere calcular la pro- babilidad a posteriori de que un determinado bit en la palabra código transmitidac= [c0c1 · · · cn−1] sea igual a 1, dada la palabra recibidar= [r0r1 · · · rn−1]. Sin pérdida de generalidad, se hace foco en la decodificación del bitci de tal manera que el logaritmo de su relación de verosimilitud (LLR,

del inglésLog-Likelihood Ratio) denotadaL(ci) se calcula de la siguiente manera

L(ci),ln _{Pr (} ci= 0|r) Pr (ci= 1|r) . (3.2)

a) b)

Figura 3.3.Subgrafo de un grafo de Tanner correspondiente a una matriz H cuya: a) columna cero es [11100_{· · ·}0]T_{, b) fila cero es [110100}

· · ·0]T_{. Las flechas indican el paso de mensajes entre nodos.}

El SPA para el cálculo de L(ci) es un algoritmo iterativo basado en el grafo de Tanner del código.

Específicamente, se puede pensar que los nodos variables y de chequeo representan dos tipos de procesadores y las aristas representan el camino de los mensajes (LLR). En una media iteración, cada nodo variable procesa sus mensajes de entrada y pasa sus mensajes de salida resultantes a los nodos de chequeo vecinos (dos nodos son vecinos si ellos están conectados por una arista). Este proceso se muestra en la Fig. 3.3 a) para el mensaje mc0→f2 del nodo variable c0 al nodo de chequeo f2. Obsérvese en la figura que la información enviada al nodo de chequeof2se calcula a partir de toda la información disponible en el nodo variablec0del canal y sus vecinos, excluyendo el nodo de chequeo

f2 (es decir solo la información extrínseca se pasa). En cada media iteración se calcula la información extrínseca mci→fj para cada par de nodos variable-chequeo vecinos. Específicamente, los mensajes

enviados desde el nodo variableci al nodo de chequeofj están dados por

mci→fj = 2 ri σ2 + X Ni\{j} mfj→ci, (3.3)

dondeNies el conjunto de vecinos deci,σ2es la varianza de cada muestra de ruido blanco Gaussiano

aditivo (AWGN, del inglésAdditive White Gaussian Noise) del canal, ymfj→ci es el mensaje defj a

ci.

En la otra media iteración, cada nodo de chequeo procesa sus mensajes de entrada y pasa sus mensajes de salida resultantes hacia sus nodos variables vecinos. Este proceso se muestra en la Fig. 3.3 b) para el mensajemf0→c4 desde el nodo de chequeof0al nodo variablec4. Solamente la información extrínseca es enviada hacia el nodo variablec4. Dicha información extrínseca mfj→ci se calcula para

cada par nodo de chequeo/nodo variablefj/ci conectado por cada media iteración. Específicamente,

los mensajes enviados desde el nodo de chequeofj al nodo variableci están dados por

mfj→ci =⊞Nj\{i}mci→fj, (3.4)

3.2 Códigos LDPC 47