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Si depositamos un capital C en una entidad bancaria que funciona con un tanto por ciento de interés r
y retiramos periódicamente el beneficio obtenido, estamos ante un caso de interés simple, y se calcula así:
, si el tiempo t viene dado en años. i = C r t⋅ ⋅
100
Calcula cuánto tiempo ha de permanecer un capital de 600 €a un interés simple del 4 % para que se duplique.
Calcula cuántos euros habría que ingresar y mantener durante 5 años en una cuenta, al 5 % de interés simple, para que los intereses obtenidos a lo largo de los 5 años sean 100 €.
2 1
Luis ingresa 200 €en una cuenta bancaria al 4 % de interés anual simple, y quiere saber cuánto dinero tendrá al cabo de dos años.
Podemos calcular el interés que le rentan 200 €al año aplicando una regla de tres simple:
→x1=8 €
→x2=8 €
Al final del primer año tendrá: 200 +8 =208 €en la cuenta.
Al final del segundo año tendrá: 200 +16 =216 €en la cuenta.
Habrá ganado 16 €en los dos años.
Otra forma más sencilla de calcular los intereses generados al cabo de los dos años es aplicando la fórmula:
16 €
Y, por tanto, el capital acumulado es: 200 +16 =216 €
i = C r t⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 100 200 4 2 100 ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪
Si por 100 € → 4 €de interés en 1 año
por 200 € → x2€de interés en el 2.º año
⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭⎪⎪
Si por 100 € → 4 €de interés en 1 año
por 200 € → x1€de interés en el 1.eraño
ADAPTACIÓN CURRICULAR
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Si los intereses generados durante el primer año (mes o día, dependiendo de cómo sea el tanto por ciento de interés) se suman al capital inicial, dando un nuevo capital sobre el que actuará el tanto por ciento de
interés, estamos ante un caso de interés compuesto.
Para calcular el capital final Cfque se obtiene a partir de un capital inicial C en t años al tanto por ciento
anual r, aplicamos esta fórmula.
El interés generado al cabo de esos t años será el capital final menos el capital inicial: i=Cf−C
Cf C r
t
= ⎛⎝⎜⎜⎜1+ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟
100
Una persona abre una cuenta de ahorro al 2,5 % de interés compuesto e ingresa 15.000 €, manteniéndolos durante 15 años.
a) ¿Cuál será el capital final y qué intereses le habrán sido abonados al cabo de los 15 años? b) ¿Y si mantiene ese dinero en la cuenta durante 20 años?
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Luis quiere saber si le conviene ingresar los 200 €en una cuenta joven al 4 % de interés anual compuesto,
para lo cual necesita calcular cuánto dinero se habrá generado al cabo de 2 años y qué capital tendrá entonces.
Al final del 1.eraño, el interés generado será de 8 €(igual que con el interés simple), pero sobre el capital
al final del 1.eraño se aplicarán los intereses, y será: C
1=C+i1=200 +8 =208 €.
Al final del 2.oaño, el interés generado ese año es:
i2=208 ⋅ =8,32 €
Y el capital acumulado es: C2=C1+i2=208 +8,32 =216,32 €
Así, los intereses generados en los dos años son: i1+i2=8 +8,32 =16,32 €
Si aplicamos directamente la fórmula para este tipo de interés, tenemos que:
200 ⋅1,042=216,32 €
Y los intereses generados son: i=Cf−C=216,32 −200 =16,32 €
Por tanto, vemos que los intereses generados y el capital final al cabo de los dos años son mayores en la cuenta a interés compuesto. Esta diferencia se hace mayor cuantos más años transcurren. Normalmente, las cuentas en bancos y cajas de ahorro funcionan a interés compuesto.
Cf C r t = ⎛⎝⎜⎜⎜1+ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ⎛⎝⎜⎜⎜ + ⎞⎠⎟⎟⎟ 100 200 1 4 100 ⋅ ⎟⎟ =2 4 100
EJEMPLO
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Calcula el beneficio o pérdida neto que se obtendría al vender 85 acciones de una empresa de valor nominal 8 €al cambio del 85 %, con un gasto por comisión del 3 %.
Si necesito disponer de 300 €, ¿cuántas acciones de una empresa de 11 €de valor nominal deberé vender al cambio actual del 140 % para que, una vez restado el gasto del 3 % por gastos de comisión, obtenga los 300 €.
300 =x⋅ 1 3 =0,97 ⋅x → x= 100 − ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 5 4
Una persona ha vendido 150 acciones que tenían un valor nominal de 4,50 €al cambio del 175 %. Si los gastos de comisión por la venta suponen el 3 % del valor efectivo de las acciones,
¿cuál ha sido el importe neto que ha cobrado?
Las acciones tienen dos valores: el valor nominal, es el que figura en el título de la acción, y el valor efectivo
o real, es el valor con el que dicha acción cotiza en ese momento en la Bolsa. En este caso, el valor nominal de estas acciones era:
N=150 ⋅4,5 =675 €
El cambio o cotizaciónexpresa el porcentaje de ganancia o pérdida del valor efectivo sobre el valor nominal.
En este caso, 175 % supone que 1 €nominal se ha convertido en 1,75 €efectivos, y se obtienen
0,75 euros por cada euro invertido en estas acciones.
El valor efectivo con el que se han vendido las acciones ha sido:
E =675 ⋅ =1.181,25 €
Los gastos por comisión son:
1.181,25 ⋅ =35,44 €
El importe neto de la venta es: 1.181,25 −35,44 =1.145,81 €.
El dinero ganado con la operación es: 1.145,81 −675 =470,81 €.
3 100 175 100
Progresiones
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INTRODUCCIÓN
Las sucesiones aparecen en diversos campos, tales como la medicina (evolución de un cultivo bacteriano), genética (distribución de los caracteres), informática (utilización de algoritmos recursivos) y economía (cálculo del interés simple y compuesto). Por ello, lo más importante al comenzar la unidad será la definición de sucesiones numéricas como
un conjunto ordenado de números, así como encontrar su regla de formación, trabajando el concepto
de término general con distintos casos.
Los alumnos encuentran a veces problemas a la hora de calcular el término general de una sucesión, aunque en las progresiones aritméticas y geométricas la forma de obtenerlo es más sencilla que en
sucesiones de otros tipos.
Conviene establecer las similitudes y diferencias entre las progresiones aritméticas y geométricas, dejar claro el proceso de formación, la obtención del término general, la manera de deducir la fórmula de la suma de los n términos de una progresión aritmética y del producto de los n primeros términos de una progresión geométrica.
El manejo adecuado y reflexivo de las fórmulas de la suma y el producto de n términos se trabaja a lo largo de la unidad con distintos ejemplos, y debe asegurarse que los alumnos no las aplican de manera automática, sin pararse a pensar.
RESUMEN DE LA UNIDAD
• Una sucesión de números reales a1,a2,a3…es un conjunto ordenado de números reales. Cada uno de los números reales de la sucesión se denomina término.
• En algunas sucesiones se puede expresar eltérmino general mediante una fórmula. El valor de un término de la sucesión se puede calcular al sustituir n por dicho valor.
• Una progresión aritmética es una sucesión de números tal que cada uno de ellos (menos el primero) es igual al anterior más un número fijo, llamado diferencia de la progresión (d ).
• El término general de una progresión aritmética es: an=a1+(n−1)⋅d.
• La suma de n términos de una progresión
aritmética es:
• Una progresión geométrica es una sucesión de números tal que cada uno de ellos (menos el primero) es igual al anterior multiplicado por un número fijo, llamado razón
de la progresión (r).
• El término general de una progresión geométrica es: an=a1⋅rn−1.
• El producto de n términos de una progresión geométrica es: Pn = (a1⋅an)n. Sn a a n n = ( 1+ )⋅ . 2 1. Reconocer sucesiones y calcular sus términos.
2. Determinar si una progresión es aritmética y calcular sus elementos.
3. Determinar si una progresión es geométrica y calcular sus elementos.
• Términos de una sucesión. • Término general.
• Sucesiones recurrentes.
• Progresión aritmética: diferencia. • Término general.
• Suma de n términos
de una progresión aritmética.
• Progresión geométrica: razón. • Término general.
• Producto de n términos de una progresión geométrica.
• Identificación de una sucesión. • Obtención del término general.
• Identificación de una progresión aritmética.
• Obtención del término general de una progresión aritmética. • Cálculo de la suma de n términos
de una progresión aritmética.
• Identificación de una progresión geométrica.
• Obtención del término general de una progresión geométrica. • Cálculo del producto de n
términos de una progresión geométrica.
OBJETIVOS
CONTENIDOS
PROCEDIMIENTOS
OBJETIVO 1