Para el estudio de estructuras r´ıtmicas, Lewin define un sistema abstracto cuyos ele- mentos son algo m´as complejo que una duraci´on d o que un punto de tiempo a. Construye un SIG con lapsos de tiempo (time-spans), esto es, con parejas ordenadas de puntos en el tiempo con sus respectivas duraciones. Las definiciones formales so- bre el espacio del SIG, el grupo de intervalos y la funci´on intervalo se presentan a continuaci´on: 15
Definici´on 5 (Lewin). Definimos la familia TMSPS de lapsos de tiempo como el conjunto de parejas ordenadas de puntos en el tiempo y duraciones asociadas a ellos. Es decir,
TMSPS ={(a, d) :a∈R, d∈R+}. (2.8)
Definici´on 6 (Lewin). Sea G la familia de parejas (i, p) donde i es un n´umero real y p es un n´umero real positivo. (G,◦) es un grupo bajo la composici´on:
(i, p)◦(j, q) = (i+pj, pq). (2.9) En este grupo, la identidad es (0,1) y el inverso del elemento (i, p) es (−pi,1p).16
Definici´on 7 (Lewin). Dados dos lapsos de tiempo (a, d) y (b, e) el intervalo entre ellos se define como:
i3 ( (a, d),(b, e))= (b−a d , e d ) . (2.10) Puesto que (TMSPS,(G,◦), i3 )
son un SIG, 17 podemos realizar el siguiente an´alisis a trav´es de redes de transformaciones (gr´aficas):
15Lewin, “On Formal Intervals between Time-Spans”,Music Perception, 1, n´um. 4, 1984, pp. 416
y 418.
16Ibid., p. 418. 17Idem.
CAP´ITULO 2. TEOR´IA DE TRANSFORMACIONES R´ITMICAS 27
Observaci´on 2.6. La siguiente gr´afica redescribe las observaciones previamente rea- lizadas y representadas por las gr´aficas 2.4 y 2.3, p. 12, conectando lapsos de tiempo del primer comp´as y del inicio del segundo:
(tG[5,4d0) (tB[4,4d0) (tE[5,4d0) (tG[5,4d0) (tC]6,4d0) (tE3,5d0) (tD4,5d0) (tA3,5d0) (tE3,5d0) (tB4,5d0) 1 2 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (15,45) (0,45) (45,45) (34,54)
Gr´afica 2.14: Red de lapsos de tiempo (cc. 1-2)
Notemos que el primer intervalo planteado (15,45) es mostrado para fines de inter- pretaci´on, ya que en la audici´on no hay antecedentes para determinar que el primer tricorde se prolonga 5 unidades d0. Por el contrario, la transformaci´on (34,54) en c. 2 s´ı es posible percibirla por la informaci´on ya percibida hasta ese momento.
Observaci´on 2.7. La siguiente gr´afica es una redescripci´on del diagrama 2.6, p. 24, con base en transformaciones de lapsos de tiempo:
1 2 3
(tB[4,3d0) (tA3,3d0) (tE3,3d0) (tD4,3d0)
(13,1)
(1,1) (1,1)
Observaci´on 2.8. En cc. 7 y 8 podemos notar un interesante contrapunto y sucesi´on de lapsos de tiempo donde la redescripci´on propuesta de las constantesd0yd1as´ı como su relaci´on interv´alica (3:2) nos permite evidenciar un ritardando en el discurso con el objetivo particular de generar una nueva y compleja relaci´on de duraciones (8:15). La gr´afica 2.16 destaca algunas relaciones entre lapsos de tiempo enfatizados en los cc. 7-8. Para 3d0 = 2d1, (tB[4,4d1) (tE[5,5d1) (tE5,2d0) (tE5,3d0) (tE5,3d0) (tG]3,4d0) (tD4,4d0) (tE3,4d0) 7 8 (13,2) (1,54) (158 ,158 ) (1,32) (1,1) (1,4 3) (1,1) (1,1) (0,158)
Gr´afica 2.16: Red de lapsos de tiempo, cc. 7-8.
Observemos algunos aspectos en este pasaje descrito (ver figura 2.3, p. 16): 1. Cada lapso de tiempo mostrado posee de duraci´on un m´ultiplo de d0 o d1, esto
es, es posible medir todos los elementos con este par de duraciones. Esto genera un par de planos o perspectivas temporales respecto a estas duraciones en el pasaje.
CAP´ITULO 2. TEOR´IA DE TRANSFORMACIONES R´ITMICAS 29
2. En el plano temporal asociado a d0 el intervalo i1(3d0,4d0) = 43 fue mostrado previamente en c. 1 (gr´afica 2.5). En el plano d1 los elementos se relacionan a trav´es de 54, transformaci´on mostrada tambi´en en c. 1 (gr´afica 2.5).
3. La manera de conectar ambos planos es a trav´es del intervalo 2 lo que nos dice que la duraci´on 4d1 es m´ultiplo de 3d0 y por lo tanto tambi´en es parte del plano temporal de d0.
4. El intervalo de duraciones 158, la nueva relaci´on en el discurso, se genera de la composici´on de transformaciones en ambos planos citados tal y como es mostrado en la gr´afica 2.16.
5. El mencionado ritardando es dado por la serie de duraciones en aumento en ambos planos del pasaje estudiado, esto es, 2d0−3d0−4d0 contrapunteado con 4d1−5d1 lo que en s´ıntesis tambi´en propone 2d0−3d0−4d1−5d1. Esta ´ultima duraci´on permanece en los siguientes compases (8-11) para confirmar este nuevo plano temporal asociado a d1.
Es importante mencionar que se est´an considerando los puntos de tiempo de inicio de las duraciones observadas y la cualidad general del discurso que se va deteniendo (transformando) hasta este nuevo car´acter (8:15).
El utilizar gr´aficas formales para representar relaciones r´ıtmicas es una de las grandes propiedades que la teor´ıa de transformaciones aporta. Inspirado en ello, cons- truiremos a continuaci´on sistemas que nos permitan entender estructuras de mayor complejidad r´ıtmica y de esta manera realizar un an´alisis deSharda diferentes niveles estructurales.
Sistemas de Intervalos de
Tempi
El estudio de transformaciones r´ıtmicas realizado en el cap´ıtulo 2 nos permite rela- cionar eventos r´ıtmicos en lugares espec´ıficos -superficie musical- deSharda trav´es de redes fundamentadas en las propiedades de los correspondientes sistemas lewinianos explorados.
El prop´osito principal de este cap´ıtulo es construir un par de estructuras SIG que posteriormente permitan generar de manera formal redes de transformaciones r´ıtmicas que contemplen aspectos m´as generales -estructura media y fundamental- en la composici´on de estudio. Para dicha edificaci´on necesitamos tres pasos por hacer: delimitar los espacios de los SIG a construir, definir intervalos (transformaciones) en dichos espacios y demostrar las propiedades de un SIG en dichos espacios. 1
En el caso de este trabajo, los espacios de estudio son subfamilias del universo detempi , lo que nos lleva a la necesidad de caracterizar adecuadamente el concepto de tempo en base a lo estudiado anteriormente como pre´ambulo. Las transformacio- nes a definir - modulaciones y desfases de tempi - est´an estrechamente relacionadas, respectivamente, con las funciones interv´alicas i1 e i2 estudiadas en el cap´ıtulo 2 por lo que la verificaci´on de las propiedades de los sistemas a construir depender´a de los antecedentes lewinianos de los sistemas de duraciones y clases de puntos de tiempo explorados en el cap´ıtulo anterior.
1Cfr.definici´on 14, p. 79.