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El modelo del funcionamiento del hidromotor debe permitir reproducir los valores de las variables del HCTR deseadas en función de los valores de las variables conocidas. Con el objetivo de reproducir el funcionamiento del hidromotor cualquiera sea su tamaño, sin haberlo construido, es necesario obtener un sistema de relaciones matemáticas o modelo matemático que involucren todas las variables de interés del hidromotor. El objetivo fundamental de este epígrafe es deducir ese sistema de relaciones que se denomina Modelo matemática del HCTR.

El modelo matemático se pudiera obtener de muchas formas. Dada la complejidad del hidromotor, en este trabajo se emplea el Bondgraph, el que permite tratar simultáneamente variables de diferentes dominios. En el HCTR existen dos dominios: mecánico y oleohidráulico, lo que permite dividir el modelo en submodelos, lo que facilita el análisis. El esquema funcional del HCTR mostrado en la fig. __, sugiere dividir al hidromotor para su estudio con el Bondgraph en tres submodelos:

Submodelo 1: Se llama hidromotor. Con el se describe toda la parte externa, entradas y salidas.

Submodelo 2: Se llama Grupo1 (gr1), con el que se describen los cilindros en fase de trabajo.

Submodelo 3: Se llama Grupo2 (gr2), con el que se estudian los cilindro en fase de desalojo.

Fig. 3.11 Bondgraph del hidromotor con cinco pistones

En los submodelos que representan estos cilindros todos los vínculos o bonds están identificados con un número, para facilitar la comprensión de las ecuaciones ya que el esfuerzo o flujo asociado a cada vinculo se identifica con ese número.

Lafig. 3.11 muestra el bondgraph del submodelo 1 de un HCTR con 5 cilindros para el que el ángulo de giro ϕG del árbol es cero grados. En ese instante los pistones de los cilindros 1 y 2

están en fase de trabajo mientras los pistones de los cilindros 0, 3 y 4 se encuentran en fase de desalojo.

El esquema muestra que existe un flujo de energía desde la bomba hasta el árbol y otro desde el árbol hasta el tanque del sistema hidráulico. Para los cilindros que están en fase de trabajo, el flujo de energía tiene el sentido desde la entrada del cilindro hasta la excéntrica, (árbol) mientras que en los que están en fase de desalojo, el flujo de energía tiene sentido inverso, lo que demuestra que en el hidromotor coexisten dos flujos energéticos La potencia que entrega el motor es la suma de ambas. El Modelo matemática del HCTR es resultado de la interacción entre los tres submodelos.

En la tabla 3.2 se presentan las ecuaciones de los nodos del submodelo 1. La potencia que fluye por los vínculos o bonds, es igual al producto de su esfuerzo por su flujo. En el nodo Val1 el vinculo em señala la potencia en la entrada del nodo (pem x qem) en los vínculos 105,105, 107, 107, 108 y el 109 el flujo es igual al gasto en la entrada del hidromotor qem y

las diferentes presiones (esfuerzos) son: p105 es la presión empleada para acelerar el aceite, p106 la caída de presión en el colector, p107 la caída de presión en la tubería, p108 la caída de presión en la válvula V1, p109 presión de salida del nodo y entrada del siguiente.

En el nodo col los tres vínculos asociado al nodo tienen igual presión, el flujo q110 es producto de la compresión del liquido desde la entrada del hidromotor hasta el colector. De este nodo salen los vínculos 1 para la entrada de los grupos 1.

En el nodo árbol los vínculos asociados son 10, 010, 113, 114 y 115. Todos estos nodos tienen igual velocidad de rotación y los momentos son diferentes: m10 es el momento que genera cada cilindro en fase de trabajo, m010 es el momento que emplea la excéntrica en regresar el pistón al punto muerto superior, m113 momento de fricción en los rodamientos, m114 porción de momento empleado para acelerar el árbol, m115 momento empleado para vencer la resistencia de la maquina movida.

Los nodos col2 y val2 tiene en cuenta lo que sucede en la válvula V1 y el colector para el fluido que abandona los cilindros.

Tabla 3.2 Ecuaciones en los nodos del submodelo 1.

Nodos Ecuaciones. Val1 pem- p105 - p106 - p107 - p108 - p109 = 0 qem = q105 = q106 = q107 = q108 = q109 Col p109 = p110 = pentrada q109 -q110 - ∑qentrada = 0 Arbol ∑m10 - ∑m010 – m113 –m114 – m115 = 0 ω112 = ω116 = ω113 = ω114 = ω115 Col2 p117 = p118 = p119 = p120 ∑q117 – q118 – q119 – q120 = 0 Val2 p120 –p121 –p122 = 0 q120 = q121 = q122 Submodelo del Grupo1.

En la Fig. 3.12 se observa el Bondgraph del Grupo 1. En la tabla 3.3 se presentan las ecuaciones de los nodos del submodelo 2. En el nodo Val el vinculo entrada (1) señala la potencia a la entrada del cilindro (pentrada x qentrada). En los vínculos 3,4,2 y 15 el gasto es el mismo que en la entrada. En la fig. 3.12 p3 simboliza la caída de presión en la cámara del

cilindro, p4 la presión empleada para acelerar el aceite en la camara, p15 la caída de presión en la válvula V2, p2 la presión de salida del nodo y entrada del siguiente

Fig 3.12 Bondgraph del Submodelo Grupo1

En el nodo cil los cuatros vínculos asociado al nodo tiene igual presión. El flujo q5 es producto de la compresión del liquido en la cámara del cilindro. En la figura, q21 simboliza las fugas entre cilindro y pistón. El transformador (TF) Ac es un transformador de clase, constituido por el área de la cabeza del cilindro, porque convierte la energía de presión contenida en el fluido en energía mecánica, transforma la presión p6 en fuerza f7 y el gasto q6 en la velocidad del pistón v7.

Tabla 3.3 Ecuaciones de los nodos del Grupo1.

Nodos Ecuaciones. Val pentrada – p2 – p3 – p4 – p15 = 0 qentrada = q2 = q3 = q4 = q15 cil p2 = p6 = p21 =p5 q2 –q6 – q5 –q21 = 0 TF1 f7 =Ac x p6 v7 =q6/Ac Pistón f7 - f8 - f13 - f14 - f20 = 0 v7 = v8 = v13 = v14 = v20 TF2 m9 = f8 x k ω9 = v8/k coj m9 – m11 - m21 = 0 ω9 = ω11 = ω21 exc m10 = m21 = m22 ω21 - ω10 = 0

Al nodo pistón están asociados los vínculos 7, 13, 14, 20 y 8. La velocidad es la misma en todos los vínculos que en la entrada v7. En la figura f13 simboliza la fuerza de fricción viscosa entre cilindro y pistón, f14 la fuerza empleada para acelerar la masa del cilindro y biela, f20 la pérdida por fricción en la rótula, f8 la fuerza de salida del nodo y entrada del siguiente. La excéntrica es el transformador de impedancia (TF1) porque convierte el movimiento lineal del pistón en movimiento rotacional del árbol. En función de la relación de transformación k, la velocidad v8 la convierte en velocidad angular w9 y la fuerza f8 en momento torsor m9.

Al nodo coj están asociados los vínculos 9, 11,21. La velocidad es la misma en todos los nodos, que en la entrada w9. En la figura m11 simboliza el momento de fricción en el patín. El nodo exc se añade para lograr el análisis de causalidad porque, lo que el modela, es la pequeña deformación elástica de la excéntrica. La velocidad w22 es prácticamente cero.

Submodelo del Grupo2.

En la Fig 3.13 se presenta el Bondgraph del Grupo 2 el flujo de energía

Fig. 3.13 Bondgraph del subgrupo 2

Tabla 3.4 Ecuaciones de los nodos del Grupo2

Nodos Ecuaciones. Exc m010 = m021 = m022 ω021 - ω010 = 0 Cojl m021– m09 = 0 ω09 = ω021 TF2 m09 = f08 x k2 ω09 = v08/k2 Pistón f08 – f07 = 0 v07 = v08

TF1 f7 =Ac x p06 v7 =q06/Ac Val p02 – psalida– p015 = 0

qsalida = q02 = q015 .

El flujo de energía comienza en la excéntrica y concluye en la válvula que hace la función de sincronizador del cilindro. En este subgrupo se desprecian determinadas pérdidas porque su influencia sobre el torque, la eficiencia volumétrica y otros parámetros de explotación, es poco significativa. La explicación de los nodos es similar a la de grupo1.

En las tablas 3.2, 3.3 y 3.4 se muestran las ecuaciones que rigen los eventos que ocurren en el hidromotor, tanto en el régimen estacionario, como en el no estacionario. Estas ecuaciones constituyen la base del Modelo del Hidromotor porque al determinar las relaciones de los diferentes monopuertos y las relaciones de transformación y, sustituyendo, se obtiene el sistema de relaciones buscado.