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El modelado de sistemas físicos debe empezar a partir de una predicción de su funcionamien- to antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente. Tal predicción se basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. A esta descripción matemática se le llama modelo matemático.[10] Para los sistemas físicos, la may- oría de los modelos matemáticos que resultan útiles se describen en términos de ecuaciones diferenciales.[7]

1.0.10.1. Elaboración de modelos matemáticos (modelado matemático).

Al aplicar leyes físicas a un sistema especifico, es posible desarrollar un modelo matemático que describa al sistema. Tal sistema puede incluir parámetros desconocidos, los cuales deben evaluarse mediante pruebas reales. Sin embargo, algunas veces las leyes físicas que gobiernan el comportamiento de un sistema no están completamente definidas, y la formulación de un modelo matemático puede resultar imposible. Debe ser así, se puede utilizar un procedimiento de modelado experimental. En este procedimiento, se somete al sistema a un conjunto de en- tradas conocidas y se miden sus salidas. a partir de las relaciones de entrada y salida se deriva entonces el modelo matemático.[10]

1.0.10.2. Simplicidad contra exactitud.

Cuando se intenta construir un modelo, debe establecerse un equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados del análisis. Es importante notar que los resultados obtenidos en el análisis son validos en la medida en que el modelo se aproxime al sistema físico dado.

La rapidez con la cual una computadora digital puede realizar operaciones aritméticas nos per- mite incluir cientos de ecuaciones para describir un sistema y para construir un sistema exacto, pero muy complicado. Si no se requiere de una exactitud extrema, es preferible desarrollar un modelo razonablemente simplificado.

Para determinar un modelo razonablemente simplificado, se necesita decidir cuales de las vari- ables y relaciones físicas pueden despreciarse y cuales son cruciales en la exactitud del modelo. Con el objeto de obtener un modelo en la forma de ecuaciones diferenciales lineales, se deben despreciar cualesquiera parámetros distribuidos y las no lineales que pueden estar presentes en el sistema físico. Si los efectos que estas propiedades ignoradas tienen en la respuesta son pequeños , entonces los resultados del análisis del modelo matemático y los resultados del estu- dio experimental del sistema físico serán satisfactorios. El que cualquiera de las características particulares sea importante puede no ser obvio en algunos casos, y en otros, puede requerir de penetración física en intuición.[10] En relación con lo mencionado.

Cuando se resuelve un problema nuevo, usualmente conviene construir primero un modelo sim- plificado para obtener una idea general entorno a la solución. Posterior mente puede construirse un modelo matemático más detallado y usarlo para un análisis más completo.

1.0.10.3. Observaciones sobre la elaboración de modelos matemáticos.

Ningún modelo matemático puede representar cualquier componente o sistema físico con pre- cisión. Siempre se involucran aproximaciones y suposiciones. Tales aproximaciones y suposi- ciones restringen el nivel de validez del modelo matemático. Al hacer una predicción acerca del funcionamiento del sistema, debe tenerse presente cualquier aproximación o suposición involu- crada en el modelo.[6]

1.0.10.4. Procedimiento para la elaboración de modelos matemáticos.[6]

1. Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir las variables.

2. Utilizando leyes físicas, escribir ecuaciones para cada componente, combinándolos de acuerdo con el diagrama del sistema y obtener un modelo matemático.

3. Para verificar la validez del modelo, la predicción acerca del funcionamiento obtenida al resolver las ecuaciones del modelo, se compara con resultados experimentales. Si los resultados experimentales se alejan de la predicción en forma considerable, debe mod- ificarse el modelo. Entonces se obtiene un nuevo modelo y las nuevas predicciones se comparan con los resultados experimentales. El proceso se repite hasta que se obtiene una concordancia satisfactoria entre la predicción y los resultados experimentales.

1.0.10.5. Etapas del modelo.[10]

Etapa uno: modelado físico.

El objetivo de la especificación de sistemas y el modelado físico consiste en proporcionar una descripción del sistema que sea lo más precisa posible, aunque lo bastante sencilla como para permitir el análisis y diseño subsecuentes. En general, un modelo físico se construye aislando una parte del universo como el sistema de interés y luego dividiendo conceptualmente su comportamiento en componentes conocidos. Dos temas dominan las etapas de modelado físico y modelado de sistemas: el compromiso y la aproximación. Los compromisos se realizan con base en la intención o meta original del estudio, con el fin de especificar un sistema más sencillo o un conjunto de interacciones simples en el limite entre el sistema y el resto del mundo. Las aproximaciones se hacen en las descripciones del comportamiento de los componentes del modelo físico, con el fin de aprovechar las teorías existentes y bien desarrolladas, así como para reducir al mínimo la complejidad de las herramientas analíticas necesarias.

El primer paso en el aislamiento del sistema del resto del mundo es inherente al concepto de sistemas. El segundo paso es el proceso de enlace. Es preciso tener un conjunto sufi- ciente de comportamientos teóricos con los cuales poder relacionar los componentes del comportamiento conceptual.

Etapa dos: construcción de modelos.

El proceso de descomposición de sistemas es necesario para la construcción sistemática de los modelos matemáticos de los sistemas dinámicos.

Una vez descompuesto el sistema, la conducta de cada uno de sus componentes e interac- ciones se pueden aproximar utilizando las teorías conocidas. Las aproximaciones que se hacen al pasar del modelo físico al de sistemas tiene ciertas características bien definidas, de modo que se pueden estudiar de manera individual.

• Descomposición del sistema.

Es el proceso de separar los componentes más sencillos y analizar sus partes, puede hacerse de manera formal así:

◦ Identificar los componentes.

Asignar nombre y trazar un diagrama de cuerpo libre que muestre las entradas y las salidas, así como las interacciones internas y externas. Indicar todos las variables necesarias.

◦ Separar los componentes en sus elementos estáticos y dinámicos. ◦ Escribir las relaciones de entrada y salida.

Describir el comportamiento de estos componentes. Observar que las rela- ciones que describen a los elementos estáticos son bastantes distintas de las expresiones dinámicas.

Etapa tres: solución de modelos.

Se resuelven las ecuaciones representando el modelo del sistema como una forma para estudiar su comportamiento dinámico. Se determina si el modelo del sistema es bueno o malo. La solución del modelo es fundamental para estudiar los sistemas dinámicos.

1.0.10.6. Sistemas lineales.

Los sistemas lineales son aquellos en los que las ecuaciones del moldeo son lineales. Una ecuación diferencial es lineal si los coeficientes son constantes o funciones únicamente de la variable independientemente. La propiedad más importante de los sistemas lineales es que se le puede aplicar el principio de superposición, el cual establece que la respuesta producida por la aplicación simultanea de dos funciones excitadoras distintas, es la suma de las dos respuestas individuales. Por tanto, para sistemas lineales se puede calcular la respuesta a diversas entradas, tratando una entrada por vez y añadiendo o sumando los resultados. Este principio es el que nos permite construir complicadas soluciones a las ecuaciones diferenciales lineales, a partir de soluciones simples. Los sistemas lineales pueden ser invariables en el tiempo y variables en el tiempo. Los sistemas dinámicos que son lineales y están construidos por coeficientes con- centrados e invariables en el tiempo, pueden ser descritos por ecuaciones diferenciales lineales, invariantes en el tiempo. Estos sistemas reciben el nombre de lineales e invariantes en el tiem- po (o lineales de coeficiente constante), también usualmente se utilizan para describir este tipo de sistemas las siglas LTI, del Inglés “Linear Time Invariant”. Los sistemas representados por ecuaciones diferenciales, cuyos coeficientes son funciones del tiempo, reciben el nombre sis- temas lineales variables en el tiempo o LTV, del Inglés “Linear Time Variant”.[10]

1.0.10.7. Sistemas no lineales.

Sistemas no lineales son aquellos representados por ecuaciones no lineales. Ejemplo:

z=x2+y3.

Una ecuación diferencial recibe el nombre de no lineal si no es lineal. Ejemplo: d2x dt2 + dx dt+x+x 3_=0.

Aunque muchas relaciones físicas son frecuentes representadas por ecuaciones lineales, en la mayor parte de los casos realmente las relaciones no son muy lineales. De hecho, un estudio cuidadoso de los sistemas físicos indica que aún los denominados sistemas lineales son real- mente lineales solamente en restringidos rangos de operación.

En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones no lineales entre las variables. Por ejemplo, la salida de un componente puede satu- rarse para niveles elevados de señal de entrada. Puede haber una franja o zona muerta que afecta la señal pequeña20_{. En algunos componentes puede haber no linealidades cuadráticas, por ejem-}

plo, los amortiguadores utilizados en sistemas físicos pueden ser lineales para operaciones de baja velocidad, pero son no lineales en velocidades altas, porque la fuerza de amortiguación se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad de funcionamiento.[10]

La característica más importante de los sistemas no lineales es que no es aplicable el prin- cipio de superposición. En general, los procedimientos para hallar soluciones de problemas que involucran sistemas no lineales, son extremadamente complicados. Debido a ésta dificultad matemática, inherente a los sistemas no lineales, a menudo se encuentra necesario introducir sistemas lineales equivalentes en reemplazo de los no lineales. Estos sistemas lineales equiva- lentes son válidos solamente en un restringido rango de operación. Una vez que se ha aproxi- mado un sistema no lineal con un modelo matemático lineal, se puede utilizar cierto número de herramientas lineales para su análisis y diseño.