Theoretical foundation for supporting the use of the intervention

Al interés intrinseco aotivado por razones de la Fisica en el estudio de los aodelos que describen los fenôaenos descritos en las Secciones 0.1 y 0.2 hay que aftadir un interés maternâtico puesto que evidencias expérimentales y numéricas. [20,23,34-37,39], demuestran una enorme riqueza matemâtica por parte de las soluciones de las ecuaciones involucradas: comportamientos caôticos, transiciones a la turbulencia (cascada de Feigenbaum, intermitencia (Pomeau-Mannevilie), escenario Ruelle-Takens, [3]), complejas bifurcaciones de soluciones estacionarias y periôdicas, existencia de ondas viajeras y ondas puisantes, presencia de simetrlas, atractores extrafios, comportamientos finito dimensionales y un largo etcétera.

Por otro lado el “aspecto" de las ecuaciones (1. !)-(!.8) en la Secciôn 0.1 es aparentemente "simple": son ecuaciones escalares que se pueden estudiar con una sola dimensiôn espacial, hay pocos termines no lineales y son ecuaciones de tipo parabôlico semilineal; esto hace a estos modelos susceptibles de ser estudiados analitica y numéricamente en busqueda de la comprensiôn de los mécanismes que originan los comportamientos citados arriba y sus diversas Interacciones. En este sentido estas son ecuaciones modelo.

Por supuesto, lo anterior représenta un enorme trabajo (que es hoy por hoy uno de los mayores retos de la Ciencia moderna), tanto en estos modèles que estâmes considerando como en otros muchos (entre los que caben destacar las ecuaciones de Navier-Stokes), el cual, hasta la fecha, estâ muy lejos de estar finalizado por la comunidad cientifica y al cual esta Memoria pretende ser una modesta aportaciôn.

Tras una segunda ojeada a las ecuaciones, se aprecia que una primera dificultad aftadida es el hecho de que las ecuaciones son de orden superior a dos, lo que impide utilizer una de las mayores herramientas en el estudio de problèmes no lineales: los principios de Comparaciôn y del Mâximo; ademàs en general las ecuaciones carecen de términos monôtonos. Esto obliga, hasta la fecha, a utilizar sôlo métodos de Energia en el estudio analitico

de dlchas ecuaciones. Por otro lado como se comentô en la secciôn anterior desde el punto de vlsta fisico es relevante el caso en el que el operador lineal no es positivo, ya que asl la soluciôn u « 0 es inestable debido a ciertas longitudes de onda por debajo de cierta longitud crltica, esto obliga a buscar resultados de estabilidad (lease acotaciôn de ôrbitas) en base a una informaciôn de carâcter no lineal.

Otras dificultades aparentes provienen tanto del carâcter no local de algunos términos no lineales ((1.5), (1.6), (1.8)) como de la condiciôn de conservaciôn de la media en (1.7); por contra las condiciones de contorno estudiadas (periôdicas) son de una gran comodidad desde el punto de vista matemâtico (tanto teôrico como computacional), asl como también tienen signlfIcado fisico.

Obsérvese que en la ecuaciôn K-V, (1.8), los términos no lineales son la suma de los términos no lineales de K-S, (1.5), y C-H, (1.7), ecuaciones que han sido estudiadas en la literatura,

[40-42]. Oesgraciadamente (aunque por fortuna para el desarrollo de esta Memoria) los métodos empleados para ambas ecuaciones por separado son radicalmente distintos y esto hace que los resultados probados para ellas no sean automâticamente transpasables a K-V (de hecho muchos de ellos permanecen abiertos); asimismo el tipo de interacciôn y competencia entre ambos términos no lineales no estâ suficientemente comprendido. De hecho como probaremos en el Capltulo II (una vez recuperados e incluso generalizado resultados conocidos para K-S y C-H) el término caracterlstlco de K-S tiene una fuerte estructura disipativa (al menos sobre funciones pares) mientras que el de C-H puede tener un carâcter disipativo o explosive y al acoplarlos (y dependiendo de diverses parâmetros) alguno de ambos carâcteres puede competir con ventaja sobre el otro (Secciôn II.3).

Tras las exploraciones numéricas [34,35,36], se aprecia que K-V posee la misma riqueza de soluciones y la misma estructura del diagrams de bifurcaciôn que K-S, pero el término no lineal que las diferencia acelera las bifurcaciones y complicaciones dinâmicas, i.e. estas se producen a menores valores umbrales del paràmetro de bifurcaciôn.

caracterlstlca que se expresa en el hecho de que.la soluciôn. una vez eliminado su promedio (que puede ser no acotado) verifica la ecuaciôn (1.5). ademàs derivando en (1.1) (o en (1.8) con 6 * 0) obtenemos que v ■ u es soluciôn de

ft'^ * Ie" * 2v|jV - 0 (3.1)

ecuaciôn que ha sido derivada directamente en [5,14], y que présenta un aspecto màs simple, y cuya no linealidad es de tipo Burghers, ademas de que el promedio de u puede conocerse una vez conocida la evoluciôn de v, segûn se viô en la Secciôn 0.1. Esta propiedad no es compartida por (1.6)-(1.8) donde al derivar con respecte a x siempre aparecen términos residuales en u y por tanto la ecuaciôn no se puede desacoplar como antes. En el anâlisis matemâtico de K-S, esta propiedad de poder trabajar simultaneamente con una ecuaciôn local (1.1) o una no local (1.5) o un sistema dado por (3.1) y la evoluciôn del promedio se ha mostrado de gran ayuda, [40-42].

El modelo C-H dado por (1.7) (o por (1.8) con ? = 0) a pesar de su aspecto tiene una enorme virtud matemâtica: la existencia de un "funcional de Lyapunov", asociado a una energia libre interfacial, [28,31], que es disipado por el sistema , este funcional viene dado, con las notaciones de (1.8), por (Secciôn II.3):

G(u) * V(u) + ||u|^ , siendo

V(u) ÔF(u), a » (0,L) (3.2)

Q rS

ÔF(s) = ôf(t)dt, y 1*1 es la norma en un dual de un espacio de ""o

Sobolev adecuado (obsérvese la diferencia con el funcional de Lyapunov descrito en la Secciôn 0.2.3 debido al término extra en la ecuaciôn). Esta propiedad es la que permite obtener una informaciôn no lineal acerca del comportamiento de las soluciones de la ecuaciôn; esta incluye (dependiendo de SF) desde disipatividad hasta explosiones en tiempo finito pasando por convergencia hacia soluciones estacionarias del sistema.

SI bien el orlgen de esta Memoria fueron los aodelos (1.1 )-(!.8), a lo largo de todo el tiempo dedicado su estudio matemâtico asi como al de la literatura previamente existante y a la que se publicô durante este perlodo. fueron apareciendo argumentos. formas de obtener informaciôn de las ecuaciones que eran aplicables mâs allâ del âmbito particular de los modèles de partida y que podlan ser aplicados a otros muchos problemas en derivadas parciales de la Fisica; asi la présente Memoria pese a estar estructurada desde su inicio en torno a la ecuaciôn de Kuramoto-Velarde (generalizada). Capitule II y Capitule IV, Secciôn IV.4, présenta un aspecto mucho mâs teôrico y abstracto, Capitulos I, III y IV, cuyos resultados son obtenidos bajo condiciones estructurales suficientemente amplias como para abarcar una grandisima gama de ecuaciones. Un claro exponente de lo dicho se encontrarâ en los ejemplos estudiados en el Capitule I y las aplicaciones sobre ellos en el Capitule III. De igual manera los resultados abstractos del Capitule IV son susceptibles de ser aplicados a otros muchos modèles.

Esta vertiente teôrica se maniflesta en la organizaciôn interna de la Memoria a través de la forma y el orden en el que se han expuesto los diferentes capitulos.

Veamos a continuaciôn una descripciôn mâs detallada de los contenidos de cada capitule.