Thesis Revisited

En este cap´ıtulo se han obtenido soluciones exactas en modelos con acoplamiento m´ınimo y no m´ınimo entre el campo escalar y el fluido de fondo al imponer una din´amica de evoluci´on del Universo. En las soluciones encontradas las magnitudes de mayor inter´es astrof´ısico dependen de algunos par´ametros libres. Seleccionando adecuadamente el valor de estos par´ametros se puede apreciar que las familias de soluciones que se obtuveiron a las ecuaciones del campo describen la evoluci´on del Universo acorde con la data observacional. En todos los casos estudiados los potenciales utilizados son simple exponencial o doble exponencial y nuestros resultados estuvieron de acuerdo con el paradigma cosmol´ogico actual. Cuando se emplean estos potenciales se puede apreciar que la mayor´ıa de los modelos que lo utilizan ajustan bastante bien con la data observacional especialmente los de doble exponencial que adem´as son potenciales atractores que ayudan a suavizar el problema del ajuste fino. Adem´as se pudo ver que en modelos con acoplamiento no m´ınimo los potenciales simples exponenciales permiten que en la evoluci´on c´osmica exista

Modelos de Quintaesencia 49 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Corrimiento al rojo -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Parametro de desaceleacion

Figura 3.10: Evoluci´on del par´ametro de desaceleraci´on respecto al corrimiento al rojo para tres valores diferentes del par´ametro libre λ, (λ = 0.3 (l´ınea contin´ua m´as oscura), λ = 1.41 (l´ınea contin´ua) y λ = 2.24 (l´ınea discontinua)). En todos los casos se escogi´o (ε= 0.01).

una transici´on entre una ´epoca de dominio de materia oscura, en el pasado, y una ´epoca de dominio de energ´ıa oscura, en el presente.

Cap´ıtulo 4

AN ´ALISIS DE ESTABILIDAD DE

LAS SOLUCIONES.

Los sistemas de ecuaciones que se analizan en el cap´ıtulo precedente conducen a leyes din´amicas que, generalmente, se agrupan bajo el nombre de ecuaciones diferenciales no lineales.

La no linealidad de las ecuaciones diferenciales es la responsable de que, por regla general, la b´usqueda de soluciones explicitas para dichas ecuaciones sea m´as bien un deseo y no una realidad. En estos casos el uso de m´etodos anal´ıticos mediante los cuales se pueden inferir propiedades cualitativas de las soluciones (an´alisis cualitativo) es especialmente ´

util.

Un concepto de gran importancia en la teor´ıa cualitativa de los sistemas de ecuaciones difer´enciales ordinarias, es el concepto de la estabilidad de las soluciones. A finales del siglo XIX, el matem´atico Alexander Mijailovich Lyapunov en su tesis doctoral “El Problema General de la Estabilidad del Movimiento”presentada en 1892, ofreci´o el primer intento de una teor´ıa completa de la estabilidad.

Actualmente se cuenta con un m´etodo que permite estudiar la estabilidad de las solu- ciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias a trav´es de las propiedades de una cierta funci´on llamada Funci´on de Lyapunov. El problema de estabilidad queda completamente resuelto cuando se encuentra una de tales funciones de Lyapunov. Desafor- tunadamente, no existe un procedimiento general para encontrar funciones de Lyapunov. Despu´es de los trabajos de Lyapunov vino una etapa de modificaciones, extensiones, refor- mulaciones y generalizaciones de sus teoremas de estabilidad e inestabilidad. Tambi´en se realizaron investigaciones sobre los correspondientes teoremas inversos y las cuestiones re- lativas a la obtenci´on de funciones de Lyapunov, donde matem´aticos como N. A. Chetaev, V. I. Subov, A. Barbashin, N. N. Krasovskii, W. Hahn, L. S. Pontriaguin, G. D. Birkhoff y R. Belman han hecho aportes a esta teor´ıa de la que Liapunov es considerado el iniciador. En la cosmolog´ıa la t´ecnica de sistemas din´amicos es utilizada para realizar an´alisis cuali-

An´alisis de Estabilidad de las Soluciones 51 tativos, especialmente en modelos cosmol´ogicos que sean espacialmente homog´eneos cuya evoluci´on este gobernada por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias [37]. Esta t´ecnica es una poderosa herramienta para estudiar los comportamientos intermedios en diferentes ´epocas en la evoluci´on del Universo, la ´epoca inflacionaria, la de dominio de la radiaci´on, la de dominio de la materia y en la presente.

4.1

An´alisis de la estabilidad por la primera aproxi-

maci´on.

Para sistemas no lineales y/o sistemas variantes en el tiempo, el an´alisis de estabilidad puede ser extremadamente dif´ıcil o imposible [35]. El an´alisis de estabilidad de Lyapunov es uno de los m´etodos que puede ser aplicado para solucionar cuestiones de estabilidad para sistemas no lineales.

Aunque el an´alisis de estabilidad seg´un Lyapunov es muy ´util y poderoso para tratar problemas que involucran sistemas no lineales, determinar la estabilidad de muchos de estos sistemas no es nada trivial. Ingenio y experiencia en la soluci´on de problemas no lineales son muy importantes.

Para el an´alisis de la estabilidad del punto de reposoxi ≡0 (i= 1,2, ..., n) del sistema de

ecuaciones diferenciales

dxi

dt =fi(t, x1, x2, ..., xn) (i= 1,2, ..., n), (4.1) donde fi es una funci´on derivable en un entorno del origen de coordenadas, se aplica con

frecuencia el siguiente m´etodo: como la funci´on fi(t, x1, x2, ..., xn) es derivable, el sistema

(4.1) en un entorno del origen de coordenadas xi ≡0 puede representarse en la forma

dxi dt = n X j=1 aij(t)xj +Ri(t, x1, x2, ..., xn) (i= 1,2, ..., n). (4.2)

donde los Ri son infinitesimos de orden mayor que uno con respecto a

q

Pn

j=1x2i; luego

de esto, en lugar de investigar la estabilidad del punto de reposo xi ≡0 del sistema (4.2),

se analiza la estabilidad de este mismo punto del sistema lineal

dxi dt = n X j=1 aij(t)xj (i= 1,2, ..., n). (4.3)

An´alisis de Estabilidad de las Soluciones 52 llamado sistema de ecuaciones de primera aproximaci´on respecto al sistema (4.2) . Las condiciones de aplicabilidad de este m´etodo, utilizado durante mucho tiempo sin ninguna base, fueron analizadas detalladamente por A. M. Lyapunov, y posteriormente genera- lizadas por muchos otros matem´aticos.

El an´alisis de estabilidad del sistema de ecuaciones de primera aproximaci´on, claro esta, es un problema mucho m´as f´acil que el estudio del sistema original, en general no lineal, sin embargo, a´un la investigaci´on del sistema lineal (4.3) con coeficientes aij(t) variables

es un problema muy complejo. Si, en cambio, todas las aij(t) son constantes, es decir, si

el sistema es estacionario en primera aproximaci´on, la investigaci´on de la estabilidad del sistema lineal (4.3) no posee dificultades principales.

Teorema: Si el sistema de ecuaciones (4.2) es estacionario en primera aproximaci´on, si en todos los t´erminosRi, en un entorno suficientemente peque˜no del origen de coordenadas,

cuando t0 ≤ T ≤ t, satisfacen las desigualdades |Ri| ≤ N(Pni=1x2i)

1/2+α

, donde N y α son constantes yα >0 (o sea, si lasRi no dependen de t, entonces su orden es mayor que

uno con respecto a pPn

i=1x2i) y si todas las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica

a11−k a12 ... a1n a12 a22−k ... a2n .... .... .... .... an1 an2 ... ann−k = 0 (4.4)

tienen partes reales negativas, entonces las soluciones triviales xi ≡ 0 del sistema (4.2)

y del sistema (4.3) son asint´oticamente estables; por lo tanto, en este caso es posible el an´alisis de la estabilidad por la primera aproximaci´on.

Teorema: Si el sistema de ecuaciones (4.2) es estacionario en primera aproximaci´on, si todas las funciones Ri satisfacen las condiciones del teorema anterior y si por lo menos

una ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica (4.4) tiene parte real positiva, entonces los puntos de reposo xi ≡0 del sistema (4.2) son inestables. En consecuencia, en este caso tambi´en

es posible investigar la estabilidad en primera aproximaci´on.

Los teoremas anteriores desde el punto de vista de las limitaciones que imponen a las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica, no abarcan solamente el llamado caso cr´ıtico, o sea, cuando todas las partes reales de las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica no son positivas, y adem´as la parte real de por lo menos una ra´ız es igual a cero.

En el caso cr´ıtico los t´erminos no lineales Ri comienzan a influir sobre la estabilidad de

la soluci´on trivial del sistema (4.2) y la investigaci´on de la estabilidad por la primera aproximaci´on, en general, no es posible.

An´alisis de Estabilidad de las Soluciones 53