93. (III) Un objeto delgado con forma de anillo de radio acontiene una carga total Qdistribuida de manera uniforme sobre su lon- gitud. El campo eléctrico en un punto sobre su eje, a una distan- cia xdesde su centro, está dado en el ejemplo 21-9 y es
a) Use la derivada para encontrar en qué punto sobre el eje x (x.0),Exes un máximo. Considere que Q56.00 mC y a510.0 cm.b) Calcule el campo eléctrico desde x50 hasta x5 112.0 cm en pasos de 0.1 cm; luego, construya una gráfica del campo eléctrico. ¿Coincide el máximo de la gráfica con el máximo del campo eléctrico que obtuvo analíticamente? También calcule y grafique el campo eléctrico c) debido al anillo y d) debido a una carga puntual Q56.00 mC, localizada en el centro del anillo. Construya una sola gráfica, desde x50 (o x51.0 cm) hasta x
550.0 cm en pasos de 1.0 cm, con las curvas de estos dos cam- pos y muestre que ambos campos convergen a grandes distan- cias del centro.e) ¿A qué distancia difiere el campo eléctrico del anillo del campo eléctrico de la carga puntual en 10%? 94. (III) Una carga de 8.00 mC está sobre el eje xde un sistema de
coordenadas en x5 15.00 cm. Una carga de 22.00 mC está en x5 25.00 cm.a) Grafique la componente xdel campo eléctri- co para puntos sobre el eje x, desde x5 230.0 cm hasta x5 130.0 cm. El signo de Exes positivo cuando apunta hacia la derecha y es negativo si apunta hacia la izquierda.b) Construya una grafica de Exy Eypara puntos sobre el eje y, desde y5
230.0 cm hasta y5 130.0 cm. EB E= 1 4p0 Qx Ax2 +a2B3 2 . a n=q n=1 1 n2 =p2 6,
Respuestas a los ejercicios
A: e). B: 5 N.
C: 1.2 N a la derecha.
D: a) No;b) Sí, a la mitad del camino entre ellas.
E: d), si las dos cargas positivas no están en las esquinas opuestas (use simetría).
91. Una carga puntual de masa 0.210 kg y carga neta 10.340 mC cuelga en reposo del extremo de una cuerda aislante sobre una larga hoja cargada. La hoja horizontal de carga uniforme, fija, crea un campo eléctrico vertical uniforme en la vecindad de la carga puntual. Se observa que la tensión en la cuerda es de 5.18 N. a) Calcule la magnitud y la dirección del campo eléctrico pro- ducido por la hoja cargada (figura 21-79).b) ¿Cuál es la densidad superficial de
carga m(Cym2) de la hoja? 85. Suponga que un haz de electrones entra a un campo eléctrico
uniforme en el punto medio entre dos placas en un ángulo u0 con la horizontal, como se ilustra en la figura 21-75. La trayec- toria es simétrica, así que salen con el mismo ángulo u0y justo libran la placa superior. ¿Cuál es el valor de u0? Ignore los efec- tos de borde del campo.
86. Un electrón se desplaza en una trayectoria circular ralrededor de un alambre largo cargado de manera uniforme en una cáma- ra de vacío, como se muestra en la figura 21-76. La densidad de carga del alambre es l 50.14 mCym.a) ¿Cuál es el campo eléc- trico sobre el electrón (magnitud y dirección en términos de ry l)? b) ¿Cuál es la rapidez del electrón?
87. Tres planos largos cuadrados y con carga se arreglan como se muestra (lateralmente) en la figura 21-77. De izquierda a dere- cha, los planos tienen densidades de carga por unidad de área de 20.50 mCym2, 10.25 mCym2 y
20.35 mC/m2. Determine el campo eléctrico total (magnitud y direc- ción) en los puntos A, B, C y D. Su- ponga que las placas son mucho más grandes que la distancia AD.
E= 3.8 × 103N/C 0 0 6.0 cm 1.0 cm u u FIGURA 21–75 Problema 85. r l = 0.14 mC/m FIGURA 21–76 Problema 86. D C B A
88. Una carga puntual (m51.0 g) en el extremo de una cuerda ais- lante con longitud de 55 cm se encuentra en equilibrio en un campo eléctrico horizontal de 15,000 NyC, cuando la posición del péndulo es como se indica en la
figura 21-78, con la carga a 12 cm sobre la posición (vertical) más ba- ja. Si el campo apunta a la derecha en la figura 21-78, determine la mag-
nitud y el signo de la carga puntual. Q m l = 55 cm 12 cm u EB FIGURA 21–78 Problema 88.
89. Se colocan cuatro cargas puntuales positivas iguales, cada una de 8.0 mC, en las esquinas de un cuadrado de 9.2 cm de arista. ¿Qué carga eléctrica debe colocarse en el centro del cuadrado para que las cuatro cargas queden en equilibrio? ¿Es este equi- librio estable o inestable (sección 12-3) en el plano?
90. Dos pequeñas esferas conductoras idénticas A y B están sepa- radas una distancia R, cada una con la misma carga Q.a) ¿Cuál es la fuerza que ejerce la esfera B sobre la esfera A? b) Una es- fera idéntica sin carga, la esfera C, hace contacto con la esfera B y luego se lleva muy lejos. ¿Cuál es la fuerza neta que actúa ahora sobre la esfera A? c) La esfera C se trae de regreso y ahora hace contacto con la esfera A; luego, se lleva muy lejos. ¿Cuál es la fuerza neta sobre la esfera A en este tercer caso?
FIGURA 21–77
Problema 87.
Hoja de carga uniforme
Q =0.340mC m =0.210 kg g B FIGURA 21–79 Problema 91.
591
C A P Í T U L OLey de Gauss
PREGUNTA DE INICIO DE CAPÍTULO ¡Adivine ahora!Una esfera no conductora tiene una densidad de carga uniforme distribuida sobre toda su superficie. ¿Cómo varía la magnitud del campo eléctrico en el interior con la distan- cia desde el centro?
a) El campo eléctrico es cero en todas partes.
b) El campo eléctrico es constante, pero distinto de cero en todas partes.
c) El campo eléctrico se incrementa linealmente con la distancia desde el centro ha- cia fuera.
d) El campo eléctrico se incrementa exponencialmente con la distancia desde el cen- tro hacia fuera.
e) El campo eléctrico se incrementa cuadráticamente con la distancia desde el cen- tro hacia fuera.
E
l gran matemático Karl Friedrich Gauss (1777-1855) desarrolló una importante relación, conocida ahora como la ley de Gauss, la cual desarrollamos y analizamos en este capítulo. Es un enunciado de la relación entre la carga eléctrica y el campo eléctrico, así como una expresión más general y elegante que la ley de Coulomb. En principio, podemos utilizar la ley de Coulomb para hallar el campo eléctrico debido a cualquier distribución de carga dada. El campo total en cualquier punto será la suma vecto- rial (la integral) de las contribuciones debidas a todas las cargas presentes (véase la ecuación 21-6). Salvo en algunos casos muy simples, esta suma o integral puede ser muy complicada de evaluar. Para situaciones en las que no es posible obtener una solución analítica (como vimos en los ejemplos de las secciones 21-6 y 21-7), debe usarse una computadora.Sin embargo, en algunos casos, el campo eléctrico debido a una distribución de car- ga dada puede calcularse más fácilmente y con mayor elegancia usando la ley de Gauss, como veremos en este capítulo. La mayor importancia de la ley de Gauss es que brinda una visión adicional sobre la naturaleza de los campos eléctricos, así como una relación más general entre cargas y campos.
Antes de estudiar la ley de Gauss, nos ocuparemos del concepto de flujo.
CONTENIDO 22–1Flujo eléctrico 22–2Ley de Gauss 22–3Aplicaciones de la ley
de Gauss
22–4Base experimental de las leyes de Gauss y Coulomb
22
Q
A
2A
1冯
E
#d
=
Q
enc 0 BE
BE
BA
BLa ley de Gauss es una relación ele- gante entre la carga eléctrica y el cam- po eléctrico. Es más general que la ley de Coulomb. La ley de Gauss incluye la integral del campo eléctrico en ca- da punto de una superficie cerrada. La superficie es sólo imaginaria, por lo que a nosotros nos toca elegir la forma y la posición de la superficie en tercera dimensión para calcular la integral. En este dibujo se muestran dos superficies diferentes, ambas encerrando a la carga Q. La ley de Gauss establece que el producto (donde es una área infinitesimal de la superficie), in- tegrado sobre toda la superficie, es igual a la carga encerrada por la super- ficie Qencdividida entre P0. Ambas su- perficies encierran la misma carga Q. Por lo tanto, dará el mismo resultado para las dos superficies.
养EB d AB d AB
EBd AB,
EB