Algunos ejemplos de ecuaciones de función variación se presentan a continuación:
Ecuación Nombre
y = Kx y variación directa con x.
y = Kx 2 y variación directa con el cuadrado de x.
y = Kx 3 y variación directa con el cubo de x.
1 y = —
x y variación inversa con x.
1 y = —–
x 2 y variación inversa con el cuadrado de x.
Gráficas de variación directa.
2 4 6 8 2 4 −4 −2
y = kx3 y varía directamente con el cubo de x.
y = kx2 y varía directamente con el cuadrado de x.
y = kx Variación directa.
y = kx0 y no varía con x.
−4 −2
Gráficas de variación inversa. 0 0 x y 5 y = — Variación inversa. y = — y varía inversamente con el cuadrado de x. k x k x2 5
Hay una propiedad de las funciones variación que nos dice qué potencia de x se está usando. Para y = Kx la gráfica es una línea a través del origen (se muestra en la siguiente figura); por la propiedad de triángulo semejantes, tenemos por ejemplo, si el valor de x 2 es tres veces x 1 entonces y2 será tres veces y1. En general multiplicando el valor de x por alguna constante, el valor de y queda multiplicado por la misma constante. x y y2 = 2y1 x1 y1 x2 = 2x1
Una propiedad similar se mantiene para las demás funciones variación directa o inversa. 162
Supón que f (x) = 5x 2 y g(x) = ––––.
x 2
Tomando ciertos valores de x y examinando los valores correspondientes de y, tenemos:
x y = f (x) 1 5 · 12 = 5 por 3 por 9 3 5 · 32 = 45 por 3 por 9 9 5 · 92 = 405 por 3 por 9 27 5 · 272 = 3 645
x y = g(x) 162 3 –––– = 162 12 por 3 ÷ 9 162 3 –––– = 18 32 por 3 ÷ 9 162 9 –––– = 2 92
Para la función f cada vez que x es multiplicada por 3, y es multiplicada por 32. Para la función g cada
vez que x es multiplicada por 3, y es dividida por 32; es fácil ver por qué:
Supón que y = f (x) = kx 2. Sustituyendo la constante c por x tenemos f (c) = kc2.
Sustituyendo 3c por c da:
f (3c) = K(3c)2 Sustituyendo.
= K(9c 2) Elevando al cuadrado.
= 9 (Kc 2) Propiedad conmutativa y asociativa.
= 9 · f (c) Ya que Kc 2 = f (c).
Este modelo es llamado la propiedad de “multiplicación-multiplicación” de la función variación.
• Propiedad “multiplicación-multiplicación” de funciones de variación: Si y = Kx n, entonces al multi-
plicar el valor de x por la constante c la función multiplica el valor de y por la constante cn.
K
Si y = ––, entonces al multiplicar el valor de x por la constante c, la función divide el valor de
xn
y por la constante c n.
Nota: esta propiedad es similar a las propiedades de funciones lineales y exponenciales.
• Propiedad de “adición-adición” de funciones lineales. Para funciones lineales, la suma de una cons- tante a x, suma una constante a y.
• Propiedad de la “adición- multiplicación” de funciones exponenciales. Para funciones exponencia- les sumando una constante a x multiplicas y por una constante.
• Propiedad “multiplicación-multiplicación” de funciones variación. Para funciones variación multipli- cando x por una constante multiplicas y por una constante (dividir por c n se puede realizar como una
1 multiplicación por ––– ).
c n
Una vez que entiendes las propiedades, ya estás listo para seleccionar el tipo de función variación que es apropiado en una situación dada.
La presión requerida para hacer que el agua fluya a través de una esprea de una manguera de jardín depende del número de litros por minuto (lpm) que quieres que fluya. Encuentras que para que fluyan 3 lpm se necesita una presión de 10 kg por cm2 (k/cm2), para 6 lpm se requerirá una
presión de 40 k/cm2; predice:
a) La presión requerida para un flujo de 12 lpm. b) La presión requerida para un flujo de 4.2 lpm.
c) El número de lpm que obtienes con una presión de 5 k/cm2.
Procedimiento
a) Si y = número de litros por minuto. P = número de kg / cm2 (presión).
Puedes observar que doblando y (de 3 a 6) P aumenta 4 veces (de 10 a 40). Asumiendo que este modelo continúa, debes esperar que doblando y (de 6 a 12) P se hace 4 veces más grande, entonces:
Solución
P = 4(40) = 160 kg / cm2
Procedimiento
b) Como 4.2 no es un múltiplo de 3, y ya que al doblar y hace 4 veces P (4 veces más grande) como 4 = 22, puedes concluir que P varía directamente en el cuadrado de y. La ecuación
general es: P = ky 2
Sustituyendo un par ordenado (3, 10): 10 = k (3)2
10 ––– = k 9 Ejemplo
Entonces la ecuación particular es: 10
P = ––– y 2
9
Con una ecuación puedes fácilmente predecir p para algún valor de y. Sustituyendo 4.2 obtienes: 10 P = ––– (4.2)2 9 Solución P = 19.6 k/cm2 Procedimiento c) Si P = 5, entonces 10 5 = ––– y 2 9 Solución 2.1213… = y 2.12 lpm.
El área de un cascarón de huevo es directamente proporcional a la masa del huevo elevada a la 2/3. Suponiendo que un cascarón de un huevo normal de 60 g tiene un área de 28 cm2.
a) Determina la ecuación particular.
b) Predice el área de la superficie de un huevo de avestruz de 1 600 g.
c) ¿Cuánto pesaría un huevo de lagartija cuya área es de 0.6 cm2? Si se duplica el peso, ¿se
duplicaría el área?
Procedimiento
a) A: área de superficie en cm2. M: masa en g.
La ecuación general es: A = KM 2/3
Para encontrar la ecuación particular, debes calcular K (constante de proporcionalidad), sustituyendo A y M en la ecuación general, tenemos:
28 = K(60)2/3
Dividiendo cada miembro de la ecuación por 602/3, tenemos:
28 –––––– = K 60 2/3
1.8269… = K
Solución
La ecuación particular: A = 1.8269 M 2/3, o bien A = 1.827 M 2/3.
El valor de K deberá quedar almacenado en la memoria para que lo uses en el resto del proble- ma.
El modelo está listo para usarse. Por ejemplo, para predecir el área de la superficie de un huevo de Avestruz de 1 600 g.
Procedimiento
b) Sustituye 1 600 g en lugar de M y haz las operaciones: A = 1.827 (1 600)2/3
A = 249.92
Solución
Los huevos de avestruz tienen alrededor de 250 cm2 de cascarón.
Este modelo también puede ser usado en “retroceso” para predecir la masa del huevo cuando ya sabes el área de la superficie.
Procedimiento
c) Si un huevo de lagartija tiene un área de 0.6 cm2. Para encontrar la masa, se sustituye 0.6
en lugar de A en la ecuación y se resuelve para M. 0.6 = 1.827 M 2/3
Divide todo por 1.827 0.6
–––––– = M 2/3
1.827
Eleva cada miembro de la ecuación a 3/2. 0.188 = M
Solución
El huevo de lagartija pesa alrededor de 0.19 g.
Procedimiento
d) Si la masa se duplicara, ¿se duplicaría el área de la superficie? Sustituye M = 1 y M = 2 y obtienes: Si M = 1 A = 1.8269 (1)2/3 A ≈ 1.83 Si M = 2 A = 1.8269 (2)2/3 A ≈ 2.90 Solución
Si el doble de 1.83 es 3.66 y A es sólo 2.90, entonces al duplicar la masa no se duplica el área. Este hecho puede ser anticipado porque M está elevado a una potencia distinta de 1. Si A fuera igual a KM1, entonces al duplicar M se duplica A.