El modelo deBonabeau, Theraulaz, & Deneubourg(1995) es, quiz´as, la primera propues- ta te´orica para indagar en el efecto de formaci´on de una jerarqu´ıa en una red social en la que todos los miembros del sistema parten exactamente de la misma condici´on, la con- dici´on social de ser iguales en derechos y deberes. Obviamente, a nivel real esta igualdad de origen es puramente te´orica –y efectivamente ret´orica desde la perspectiva del derecho positivo– ya que las condiciones en que un individuo se integra en una comunidad vienen determinadas por la posici´on que viene a ocupar en un contexto social ya dado, el que obtiene por herencia de aquellos agentes que intervienen en su desarrollo. Bonabeau y colaboradores propusieron un modelo simple para explicar la aparici´on de jerarqu´ıas en una sociedad inicialmente igualitaria (Bonabeau, Theraulaz, & Deneubourg,1995).
En el modelo propuesto por Bonabeau, los agentes ocupan posiciones de un tablero cuadrado bidimensional de dimension L. Cada celdilla puede contener un ´unico agente y la densidad de agentes en el tablero es un par´ametro libre que se controla. Cada agente escoge al azar una direcci´on, y se mueve en esa direcci´on a una casilla adyacente en cada iteraci´on. Si la posici´on a la que quiere moverse est´a libre, la ocupa. Si la casilla en cuesti´on ya est´a ocupada por otro agente inicia una lucha para desalojarle de tal suerte que el ganador gana el derecho a ocupar esa casilla y desalojar de esa posici´on al agente que la ocupaba. Si el agente ganador es el agente que inici´o el ataque, los dos competidores intercambian sus posiciones cuando la lucha concluye; en caso contrario, mantienen sus posiciones originales.
La fuerza F de un agente crece a medida que aumenta el n´umero de batallas que gana. Un agenteies mas fuerte que otro agentejsiFi> Fj. La lucha es un proceso estoc´astico,
en el que el agente mas fuerte tiene mas probabilidad de ganar, pero no es forzoso que gane. La probabilidadQij de que el agenteiderrote al agentej viene expresada por la
funci´on de Fermi,
Qij = 1/{1 +exp[−η(Fi−Fj)]},
(2.1)
dondeη representa una especie de temperatura inversa que mide el nivel de aleatoriedad din´amica de la pelea; cuandoη → ∞el agente mas fuerte gana siempre; cuandoη →0, ambos agentes ganan con la misma probabilidad de 1/2. Al agente que gana una batalla le aumenta su fuerza en una cierta cuant´ıa, al agente que pierde le disminuye la suya. La funci´on est´a sujeta a un proceso de relajaci´on de fuerza de los agentes de tal manera que en una iteraci´on se resta una fracci´on constante µde la fuerza que en ese momento
tienen los agentes de la interacci´on.µes un n´umero fraccionario; la resta se produce al multiplicarse por la fuerza dado que µ <1.
En una sociedad igualitaria, todos los agentes tienen, inicialmente, la misma fuerza F. La dispersi´on en la distribuci´on de la fuerza F representa la formaci´on de un sistema de jerarqu´ıas que se refleja en la distribuci´on de las probabilidades de ganar Qij. La
varianza viene dada por la ecuaci´on
σ=hQ2iji − hQiji2
(2.2)
La medidaσpuede usarse como medida de la desigualdad del sistema (Sousa, & Stauffer, 2000). Para una sociedad igualitariaσ ≈0 mientras que para una sociedad jer´arquica el valor de σ es estrictamente positivo. Si la fluctuaci´on de σ da lugar a valores peque˜nos o pr´oximos a 0, la sociedad es igualitaria, si la fluctuaci´on deσ presenta valores grandes y positivos, la sociedad es jer´arquica. Se observa una transici´on de fase cuando la pro- babilidad de ganar cambia como resultado de una varianza σ significativamente mayor de 0.
En el modelo deBonabeau, Theraulaz, & Deneubourg(1995), los agentes se distribuyen aleatoriamente en una ret´ıcula y sus fuerzas se inicializan a 0. La densidad de poblaci´on se expresa en la ret´ıcula como la proporci´on de posiciones ocupadas de todas las posi- ciones posibles. En cada iteraci´on se producennbatallas, tantas como n´umero de nodos tiene la red y un proceso de relajaci´on que depende de µ. El resultado principal es que existe una densidad cr´ıtica ρc(η, µ) de agentes, tal que para ρ < ρc(η, µ) la sociedad es
igualitaria, en tanto que por encima de esta densidadρ > ρc(η, µ), se produce jerarqu´ıa.
Esto se debe al efecto combinado de la competici´on y el proceso de relajaci´on. A bajas densidades, las interacciones entre nodos son escasas y la din´amica est´a dominada por la relajaci´on que mantiene los valores de fuerza cercanos a su valor inicial. Sin embargo, a densidades crecientes las diferencias de fuerza entre nodos crecen en el tiempo sin poder contrarrestarse por el efecto de la relajaci´on y la desigualdad reaparece.
2.3.1.1. El modelo de soluci´on de campo medio
El modelo de soluci´on de campo medio define un procedimiento que obvia las correla- ciones espaciales y considera ´unicamente el efecto de la densidadρsobre la probabilidad de que dos agentes se encuentren y peleen, en analog´ıa con lo que sucede en el modelo original de Bonabeau que emplea una ret´ıcula bidimensional para expresar el proceso. La evoluci´on de la fuerzaFi de un agente se calcula a partir de la ecuaci´on,
dFi dt =Hi(Fj) =µFi+ ρ N N X j=1 senh η(Fi−Fj) 1 +cosh η(Fi−Fj)
donde N es el n´umero de agentes. A partir de esta ecuaci´on puede observarse que la fuerza media hFi decae exponencialmente hasta cero; los estados estacionarios se ca- racterizan por hFi = 0. Para determinar la estabilidad de esta soluci´on Fi = 0 para
∀i, que se corresponde con una sociedad igualitaria, se calculan los autovalores de la matriz jacobiana. Cuando ρ > ρc(η, µ), la soluci´on igualitaria es linealmente inestable,
emergiendo entonces una jerarqu´ıa. Paraη <2, la transici´on a una jerarqu´ıa es discon- tinua, ya que se presenta un estado subcr´ıtico de bifurcaci´on o polaridad en ρc(η, µ).
Este estado subcr´ıtico representa un estado de la red de interacciones en donde convive un sistema jerarquizado y un sistema de agentes que mantienen relaciones igualitarias. Castellano, et al.(2009) dedican un breve y excelente an´alisis a este modelo de soluci´on. El par´ametro η es en la ecuaci´on un par´ametro libre que se fija arbitrariamente a con- veniencia para obtener los resultados que se desean. Por otra parte, el par´ametroµ, que refleja un factor de relajaci´on en la fuerza de cada uno de los agentes es, asimismo, un par´ametro libre que se fija arbitrariamente para identificar como una sociedad desigual retorna a un estado en el que los individuos tienen la misma fuerza, es decir, vuelven a ser iguales. De este modo, el proceso de formaci´on de jerarqu´ıas depende de una variable que no refleja el proceso de jerarquizaci´on al ser independiente del n´umero de batallas en que entran los agentes sociales. Esta decisi´on ha dado lugar a la cr´ıtica del modelo y ha originado cambios en nuevas implementaciones.