El análisis de pandeo en ANSYS es una técnica usada para determinar cargas de pandeo (cargas críticas en el cual una estructura se torna inestable) y las formas de modo características asociada con dichas cargas de pandeo, pues en una estructura estos modos son una respuesta de la estructura debida al pandeo.
• Tipos de análisis de pandeo.
Se disponen de dos técnicas en los programas de ANSYS, para predecir la carga y el modo de forma de pandeo de la estructura y estos son: análisis de pandeo no lineal, y el análisis de pandeo de eigenvalores (lineal). Estos dos métodos dan respuestas diferentes entre sí.
El análisis de pandeo no lineal es usualmente el método más aproximado y más recomendado en el diseño o evaluación de una estructura. Esta técnica emplea un análisis estático no lineal con incrementos de carga no lineal para buscar el nivel de carga en el cual la estructura se convertirá en inestable. fig. (5.11) Usando la técnica no lineal, el modelo puede incluir características iniciales como imperfecciones, comportamiento plástico, respuestas de largas deflexiones.
Fig. 5.11 Curva carga-deflexión no lineal.
El análisis de pandeo de eigenfunciones predice la resistencia teórica de pandeo (o el punto de bifurcación) de una estructura lineal elástica fig. (5.12). Este método corresponde a una aproximación académica del análisis del pandeo elástico: sin embargo, un análisis de pandeo de eigenvalores de una columna se asemejará a la solución clásica de Euler.
Fig. 5.12 Curva de pandeo lineal (eigenvalores).
5.7.1 Obtención de la solución estática.
La construcción del modelo, aplicaciones de carga, condiciones de frontera, y obtención de la solución, se realizan de la misma manera que en el caso del análisis estructural y modal sólo que aquí la obtención de la solución se hace necesaria, esto es que los efectos del preesfuerzo [PSTRES] deben activarse porque este análisis requiere que las matrices de esfuerzos y rigideces sean calculadas antes de iniciar el análisis de pandeo.
Es suficiente la aplicación de cargas unitarias, es decir, que los valores de carga no necesitan ser especificados). Los eigenvalores calculados por el análisis de pandeo representan factores de carga, por lo tanto, si se especifica la unidad de carga, el factor de carga representa la carga de pandeo.
5.7.2 Obtención de la solución de pandeo por análisis lineal.
Para llevar a cabo este paso se requieren los archivos obtenidos en el análisis estático, así como la base de datos que contiene la información de la geometría del modelo. Aquí se debe escoger un método de solución disponible, (reducido o subespacios) en donde el método de iteración por subespacios es el más indicado para el análisis de pandeo por eigenvalores.
Los resultados de la solución consisten principalmente de los eigenvalores, los cuales representan los factores de carga de pandeo, y si se especificaron cargas unitarias en el análisis estático, éstos representan la carga de pandeo.
El modo de pandeo se obtiene en este proceso indicando el número de modos que se quiera expandir.
5.7.3 Fundamentos teóricos del análisis de pandeo [5.18].
El análisis de pandeo, al igual que el análisis modal, en ANSYS, implican problemas de planteamientos matemáticos complicados, como los problemas de eigenfunciones, además de que se tiene las siguientes suposiciones y restricciones:
Fig. 5.13 Tipos de problemas de pandeo: (a) Válido para un comando ANTYPE,BUCKLE, (b) No válido para un análisis ANTYPE, BUCKLE.
• Válidos para condicionar grados de libertad en estructuras (DOF) únicamente. • La estructura falla repentinamente, como el comportamiento de una curva
fuerza-deflexión como se muestra en la fig. (5.13).
• La estructura tiene efectos de rigidez constantes.
• Una solución estática haya sido calculada (que se calcule la matriz de rigidez en un análisis estático).
Este tipo de análisis es para puntos de bifurcación de pandeo usando un modelo linealizado de estabilidad elástica. La bifurcación del pandeo se refiere al crecimiento ilimitado de un nuevo patrón de deformación.
Una estructura lineal con una curva fuerza-deflexión similar a la fig. (5.13a) está bien modelado por una análisis ANTYPE,BUCKLE, considerando que una estructura con una curva como la figura (5.13b) no es apropiado (largas deflexiones, análisis NLGEOM,ON). El problema de pandeo está formulado como un problema de eigenvalor:
[ ]
[ ]{ }
(
k +λi S φ i) { }
= 0 (5.36)Donde:
[k]= Matriz de rigidez.
[S]= Matriz de rigidez de esfuerzos. λi= in eigenvalor.
{ψ}= in eigenvector de desplazamientos.
El eigenproblema está resuelto como se discute en el punto 5.8. Los eigenvectores están normalizados de manera que el componente más grande es 1.0. Así, el esfuerzo puede únicamente ser interpretado como una distribución relativa de esfuerzos.
5.8 Extracción de eigenfunciones y eigenvalores [5.19].
Los problemas de eigenvalores y eigenfunciones son necesarios para resolver, como ya se dijo problemas que involucren vibración de sistemas así como de cargas críticas (pandeo) en estructuras. ANSYS usa la misma metodología para la extracción de los eigenvectores y eigenfunciones en ambos tipos de análisis (vibración y pandeo) por lo que en este tratado se aborda ambas situaciones. El método utilizado por ANSYS parte de que:
[ ]
K{ }
φi =λi[ ]
M{ }
φi (5.37)Donde:
[k]= Matriz de rigidez de la estructura. {φi}= Eigenvector.
λi= Eigenvalor.
Para un análisis modal con preesforzamiento, la matriz [K] incluye a la matriz de rigidez [S], y para un análisis de pandeo, la matriz [M], se reemplaza por la matriz [S]. Recuérdese que en la discusión que se asume en la presente sección se refiere tanto para un análisis modal y de pandeo.
El problema fundamental es la de extraer los eigenvalores y eigenvectores disponibles después de que se haya realizado el cálculo, ANSYS utiliza los siguientes métodos: Reducido, Subspace, Block Lanczos, Asimétricos y Amortiguado como se muestra en la tabla (5.3) de los cuales se puede ver que no todos son aplicables en el caso de pandeo.
Tabla (5.3) Métodos de extracción de eigenvalores Tipo de procedimiento Extracción completa para matrices reducidas
Extracciones parciales de matrices completas
Método Reducido Subespacios Block Lanczos Eigen solucionador asimétrico
Eigen solucionador amortiguado
Usos Cualquiera (no
recomendable para pandeo)
Simétrico Simétrico (no disponible para pandeo) Matrices asimétricas Sistemas amortiguados, simétricos o asimétricos
Entrada MODOPT, REDUC MODOPT, SUBSP MODOPT, LANB MODOPT, UNSYM MODOPT, DAMP Reducción Guyan Si No No No No Técnica de extracción HBI Subespacios, el cual usa internamente Jacobianas Lanczos, el cual usa internamente algoritmos QL
Lanczos, el cual usa internamente iteraciones QR
Como en los problemas tratados en el capítulo 6 se ha utilizado el método de extracción de subespacios, se expondrá entonces los principios teóricos de este método. Se sugiere que si se quiere comprender mejor este método, recurrir a
[5.20, 5.21, 5.22] para una explicación más extensa. Un método perfeccionado de extracción se utiliza también en ANSYS sugerido por Wilson e Tetsuji [5.23] que consiste en los siguientes pasos:
1. Se definen los cambios de iteración:
a) En un análisis modal (ANTYPE, MODAL), S=FREQB en el comando
MODOPT que por defecto es -4π2.
b) En un análisis de pandeo (ANTYPE, BUCKE) S= SHIFT en el comando
BUCOPT que por defecto es 0.0
3. Triangula la matriz de cambio
[K*]=[K]+S[M] (5.38)
donde: [K]= Matriz de rigidez agregada [M]= Matriz de masa agregada
Una secuencia de verificación de Sturm (que se describe más abajo) se ejecuta si este es un punto diferente al inicial, y si se requiere (Strmck=ALL) (por defecto) o
PART en el comando SUBCOPT)
4. Para cada iteración de subespacios n (1 a NUMSS/(comando SUBOPT), ejecuta los pasos de 5 al 14.
5. La forma [F]=[M][Xn-1] y escala [F] para ⎨(λn-1)⎬ donde ⎨(λn-1)⎬=Eigenvalores previamente calculados.
6. Soluciona para [Xn], [K*][Xn]=[F]
7. Escala los vectores [Xn] para ⎨(λn-1-s)/ λn-1⎬
8. M ortogonaliza a los vectores previamente corregidos (Ortogonalización de Gram-Schmidt).
9. Define las matrices del subespacio y [M]:
[K]=[Xn]T[K][Xn] (5.39)
[M]=[Xn]T[M][Xn] (5.40)
10. Ajusta el cambio, [K*]=[K]+S[M] es decir, comienza de nuevo en el punto 3 para la siguiente iteración.
11. Computa los eigenvalores y vectores del subespacio usando una iteración generalizada de Jacobi.
[K*][Q]=[M][Q] ⎨λn⎬ (5.41)
donde:
[Q]=Eigenvectores del subespacio ⎨λn⎬=Eigenvalores actualizados
12. Actualiza las aproximaciones a los vectores:
[Xn]=[Xn][Q] (5.42)
13. Si algún modo negativo o repetido se encuentra, lo borra y crea un nuevo vector aleatoriamente.
14. Verifica que converja (se describe a continuación)
a) ¿Todos los modos requeridos convergen? Si es así, se va al paso 15. b) Si se requiere un nuevo cambio (descrito arriba) se va al paso 3. c) Se va a la siguiente iteración, paso 4.
15. Ejecuta una secuencia de verificación de Sturm final si se requiere (Strmck=ALL (por defecto) en el comando SUBOPT).
De los pasos 5 al 12 sólo se dan los vectores que no convergen: una vez que un eigenvalor converge, el eigenvector asociado ya no se sigue iterando. El procedimiento (paso 8) de Gram-Schmidt asegura que la no convergencia de los eigenvectores quedan ortogonales a los vectores que convergen lo que permite que no sean iterados más adelante.
Lo que se expone a continuación son detalles que de alguna manera vienen a complementar lo mencionado en los pasos anteriores.
• Convergencia
La verificación de la convergencia (paso 14a) requiere que todos los eigenvalores requeridos satisfagan la razón de convergencia:
( ) ( )
tol a 1〈 − = − B e i n i n i λ λ (5.43)donde (λi)n= Valor del eigenvalor como se calculó en la iteración n.
(λi)n-1= Valor del eigenvalor como se calculó en la iteración n-1.
( )
⎩ ⎨ ⎧ = n B i 0 . 1λ que en realidad es mayor
• Vectores de arranque o inicio
El número de vectores iniciales (iteración) usados se determina por:
Q= p + d (5.44)
Donde: p= Número requerido de modos de extracción (NMODE en los comandos
MODOPT o BUCOPT).
d= Número extra de iteración de vectores a usar (NPAD en el comando
SUBCOPT, que por defecto es 4).
Los vectores de arranque [Xo] (paso 2) se inician como sigue: para cada movimiento de cuerpo rígido definido (Dof en el comando RIGID) define un vector
de cuerpo rígido.
1. Si es un movimiento de cuerpo rígido traslacional, ajustar el DOF (grados de libertad) dentro del rango ⎨Xo⎬ a 1.0 (⎨Xo⎬ es una columna de [Xo]).
2. Si es un movimiento de cuerpo rígido rotacional, ajusta el DOF dentro del rango ⎨Xo⎬ correspondiente a una unidad de rotación del origen global correspondiente a la etiqueta Dof.
• Revisión de secuencia Sturm
La verificación de secuencia Sturm computa el número de diagonales principales encontrados durante la triangulación de la matriz de cambio [K*]. Este número emparejará el número de eigenvalores convergidos. Para la secuencia final de verificación de Sturm, el cambio usado se define por:
S= λp + 0.1 (λp+1 - λp) (5.45)
λp= Eigenvalor del último modo requerido.
λp+1= Eigenvalor del siguiente modo computado.
• Estrategia de cambio
Para mejorar la razón de convergencia durante el proceso iterativo, una estrategia de cambio se adopta como sigue (paso 14b)
1. Si el modo(s) corregido actual es cero y el siguiente modo i+1 no es cero, simplemente se cambia al modo no cero:
no si .5 converger de cerca está si 05 . i 1 i 1 1 ⎩ ⎨ ⎧ − = + + + λ λ λi S (5.46)
2. Si el número de iteraciones desde el último cambio excedió, entonces simplemente se cambia al siguiente modo i+1 no convergido:
3. ⎩ ⎨ ⎧ − = + + + .5 sino converger de cerca está ) - ( si 05 . i 1 i 1 1 i i S λ λ λ λ (5.47)
Como puede verse, esta base teórica que utiliza ANSYS no es más que una forma de expresar en cálculos matriciales la teoría expuesta en el capítulo tres, en el caso de problemas de eigenvalores.
5.9 SUMARIO.
El Método del Elemento Finito es un método numérico (planteado desde una base matemática muy compleja) utilizado para resolver problemas mecánicos (entre otros campos de estudio) como problemas estructurales, transferencia de calor, vibraciones, transitorios, etc. En el Estado del Arte (capítulo 1) expuesta en el presente trabajo se ve como los investigadores han utilizado este método para dar solución a problemas principalmente de vibración de membranas.
Es importante decir (ver puntos 5.3 y 5.4 del presente capítulo) que este método numérico es de uso complicado si no se cuenta con un programa de cómputo (software) que ayude a resolver problemas planteados bajo este método, debido a que si se pretende resolver problemas de manera manual, el tiempo requerido en comparación con el uso de un programa puede extenderse grandemente (días o años).
De lo anterior, es preciso decir que ANSYS es un programa de cómputo desarrollado bajo la teoría del MEF y que en esta Sección de Estudios de Posgrado e Investigación (SEPI-ESIME-IPN) ha dado solución a diversos problemas industriales y de investigación. Basta con echar un vistazo a los trabajos de tesis de maestrías en la biblioteca de esta Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, para darnos cuenta de la confiabilidad que tiene este software, y de lo amplio que puede ser su campo de aplicación y que en el presente trabajo este programa de cómputo se utiliza para estudiar el comportamiento de membranas en diferentes geometrías, por medio de un análisis estructural, modal y de pandeo (capítulo 6).
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