El conjunto de partida se llama conjunto de la variable independiente y el con- junto de llegada se llama conjunto de la variable dependiente.
DEFINICIÓN 3.3
Se le llama dominio de una función al conjunto de todos los valores que toma la variable independiente, x. El conjunto de todos los valores correspondientes de y =f(x), la variable dependiente, se conoce como rango o imagen.
E
JEMPLO3.1
Indique dominio y rango (imagen) de las siguientes funciones:E
JEMPLO3.2
El dominio está compuesto por todos los valores x que pueden ser sustituidos en la expresión entonces se requiere que
DEFINICIÓN 3.4
Si tomamos como conjunto de partida el conjunto de los números reales repre- sentados por un eje horizontal y como conjunto de llegada también representados por un eje vertical, los puntos del plano P(x, y) tales que y = f(x) representan un lugar geométrico que llamaremos gráfica de la función y = f(x). Represente gráficamente la función
Función lineal
61
E
JEMPLO3.3
DEFINICIÓN 3.5
Si una función f(x) satisface que f(-x) = f(x), para todo número x de su dominio, entonces f(x) se denomina función par y su gráfica es simétrica respecto al eje y. Si una función/(x) satisface f(-x)= -f(x), para todo número x de su dominio, entonces f(x) se denomina función impar y su gráfica es simétrica respecto al origen.
Analice si las siguientes funciones son pares o impares. 1.
Por tanto, f(x) es par. 2.
Portanto, f(x)es impar.
DEFINICIÓN 3.6
Se dice que una función f(x) es creciente sobre un intervalo I si f(x1) <f(x2), siempre que x1 < x2en I. Se considera que una función f(x)es decreciente sobre un intervalo I, si f(x1)> f(x2), siempre que x1 < x2en I.
DEFINICIÓN 3.7
La función f(x) se conoce como periódica si existe un número positivo k, tal que f(x + k) = f(x) para todos los valores x.
DEFINICIÓN 3.8
La función y = f(x) definida por la ecuación y = ax + b, donde a y b son constantes y recibe el nombre de función lineal.
Se sabe que la gráfica de la función lineal es una línea recta (no vertical), con pendiente a y ordenada al origen igual a b.
DEFINICIÓN 3.9
Un número c es un cero de una función y = f(x) si f(c) = 0.
3.3 FUNCIONES Y SUS PROPIEDADES
62
CAPÍTULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticasE
JEMPLO3.4
Demuestre que el valor de * es un cero de la función indicada: Se sustituye el valor de x en y:Por tanto, es un cero de la función.
2.
Se sustituye el valor de x en y. y Por
tanto, x = -12 es un cero de la función. Observaciones:
a) Un cero de la función y = f(x) es una solución o raíz de la ecuación y = f(x) = 0. b) Cuando se resuelve una ecuación, las soluciones o raíces que se determinan son los
ceros de la función.
c) La gráfica de y = f(x) cruza al eje x en cada cero de la función.
E
JEMPLO3.5
Para resolver una ecuación es necesario ejecutar en ella operaciones que produzcan ecuaciones equivalentes y más sencillas (dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones). Para ello se utilizan los siguientes teoremas:
TEOREMA 3.1
Propiedades de la igualdad. Si a,b, y a = b, entonces i) Propiedad de adición: a + c = b + c ii) Propiedad de sustracción: a-c-b-c iii) Propiedad de multiplicación: ac = bc, c ≠ 0
iv) Propiedad de división:
TEOREMA 3.2
Si una ecuación se modifica utilizando cualquiera de las propiedades del teorema 3.1, entonces la ecuación resultante es equivalente.
Resuelva: 3x-2(2x-5)= 2(x+3)-8
Se suprimen los signos de agrupamiento: 3x-2(2x-5)= 2(x+3)-8 Se combinan los términos semejantes: 3x-4x + 10= 2x + 6-8
-x + 10 = 2x-2 Propiedad de sustracción: -x +10-10=2x- 2 - 1 0
-x = 2x-12
Propiedad de sustracción: -x – 2x = 2x - 12 - 2x -3x = -12
Ecuaciones y desigualdades lineales
63
TEOREMA 3.3
Cualquier ecuación que pueda expresarse en la forma ax + b = 0 recibe el nombre de ecuación lineal o ecuación de primer grado. Cualquier ecuación de esta forma, Con tiene siempre una sola solución,
TEOREMA 3.4
Propiedades de las desigualdades. Si entonces: i) a + c < b + c
ii) a-c < b -c
iii) ac < bc si c es positivo ac > bc si c es negativo
Cuando se invierte el signo de cada desigualdad, cuando "<" se sustituye por y cuando ">" se hace por se cumplen propiedades parecidas.
E
JEMPLO3.8
Resuelva y represente gráficamente 3(x-2)+2<4(x + 1) Se simplifican ambos miembros: 3x - 6 + 2 < 4x + 43x - 4 < 4x + 4 Propiedad de división:
E
JEMPLO3.6
ResuelvaSe multiplica cada uno de los términos por (x - 2): Se suprimen los signos de agrupamiento: Se combinan términos semejantes: Utilizando el teorema 3.1 se tiene:
x = 2 no puede ser solución de la ecuación original. Observe que se ha obtenido una solución falsa porque en el primer paso se aplicó la propiedad iii) del teorema 3.1 con c = 0.
E
JEMPLO3.7
ResuelvaSe debe recordar que el valor absoluto se define como
64
CAPITULO 3 ■ Funciones lineales y cuadráticas
Utilizando las propiedades del teorema 3.4:
Representación gráfica:
E
JEMPLO3.9
Indique el conjunto solución deSe debe recordar que entonces:
3.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Forma general de un sistema lineal:
Resolver este tipo de sistemas significa determinar todos los pares ordenados (x, y) de números reales que satisfagan ambas ecuaciones simultáneamente. Para ello se utilizan tres métodos:
1. Método de sustitución 2. Método de eliminación
3. Regla de Cramer (determinantes)
3.6.1 Método de sustitución
a) Se usa una de las ecuaciones para despejar una incógnita y dejarla en función de la otra.
b) Se sustituye la ecuación obtenida en a) en la otra ecuación, llegando así a una ecuación con una incógnita. Posteriormente se resuelve esta ecuación.
c) Se sustituye el valor determinado en b) en la ecuación obtenida en a) y se des- peja la incógnita.
Sistemas de ecuaciones lineales
65
Se despeja y de la primera ecuación:
Se sustituye ésta en la segunda ecuación: 3x + 4(l-2x)= 14 Sustituyendo x = -2 en la primera ecuación, se tiene y = l-2(-2) = 5 Por lo tanto, la solución es el par ordenado (-2, 5).
3.6.2 Método de eliminación
a) Se multiplica una o más de las ecuaciones por aquellos números que hacen que el coeficiente de una de las incógnitas en una de las ecuaciones sea el opuesto del coeficiente correspondiente en la otra ecuación.
b) Se suman las ecuaciones para eliminar una de las incógnitas y luego se despeja la incógnita que queda.
c) Se sustituye el valor determinado en b) en una de las ecuaciones originales y se despeja la incógnita restante.
E
JEMPLO3.11
Resuelva el sistema de ecuaciones:
Por tanto, la solución es el par ordenado (2, -3).
• Posibles resultados obtenidos por los métodos de sustitución y eliminación: i) Solución única, por ejemplo, (1,2).
ii) No existe solución cuando se obtiene una proposición falsa como 0 = 7. iii) Infinitas soluciones cuando se obtiene la proposición 0 = 0, ya que se trata de una identidad. (Es decir, una igualdad que se satisface para todos los valores de x.)
CRAMER,GABRIEL (1704-1752).