3 Materials and methods
3.1 Trial design and sample collection
4
Los sím bolos y E„ denotarán el estado esta cionario normalizado del átom o de hidrógeno, con
núm eros cuánticos ( a I, M) (omitiendo el factor que lleva la parte temporal), y su energía iE „ = -(13,6 e W n ^ ).
1) Un á to m o de hidrógeno se encuentra, en el instante f = O, en el estado
_ W M
~ 2 ^ V -V
C|ue incluye el efecto del espín del electrón. Hállense los valores m edios, en f = O de la energía (W), el cua
drado del m o m en to angular orbital (/^) V su tercera
com ponente (/^) y la tercera componente del espin (s,). Recuérdese que el operador de espm es s - ( ' 2 )(T, donde <f es el vector formado por las tres matri-
Problema 28
Solución
. pauli {véase el Apéndice «Algunas fórmulas ‘^®^^mátiras de utilidad»). Evalúese la incertidum- bre en la energía. En
'f'
mpnte todas esas magnitudes; espec.f.quese qué
v^lf^res se obtendrán y evalúense las correspon dientes Drobábilidades. Supóngase que se mide so lamente /, en í = O, y que se obtiene cero como re sultado: hállese el estado que representa al átomo tras la medición.
9^ S u p ó n g a s e q u e , e n el in s ta n te t, dicho átomo ctá re o re s e n ta d o p o r un e s ta d o ' ¥ 2 -
T X e n e la sig u ien te inform ación: i) ^ 2 es autoestado
de y d e s f c o n a u to v a lo re s - ^1 y I/1/2 respect,va-
: : , : d r W a - d o . e s i *
sibles de la S / e ’ Hállese 'V,ít). asi como : f '“ \o T r d ·^ de r/e n e rg ia en dlcHc es.ado.
1) Es inmediato com probar que está normali zado:
Lx¡xi1 = 1
Los valores esperados son:
2 E2 <'Pi H ‘Pl> = * 3 /% 10/?· ( 'í 'l P • 3 /% /? ( 'í 'l \h ^ i > = ·. 3 <'I'i s. ^ . > = 0. +
86
La incertidumbre en la energía es (puesto que
2(^3 - E,)·
Los resultados posibles de una medida de H son £3, con
probabilidad 1/3 y con probabilidad 2/3 (= 1/3 + 1/3). Una medida de P solam ente puede dar, como resulta dos, ti^2(2 + 1), con probabilidad 1/3, y ^^1(1 + 1), con probabilidad 2 /3 ( = l/3 + 1/3). Los valores posibles en una medida de son O, con probabilidad 2/3(= 1/3 + 1/
3), y - h , con probabilidad 1/3. Al medir s^, los resulta dos posibles son + h/2, con probabilidad 1/2 y - A/2 con
probabilidad 1/2. Tras la medición de L en el estado 'F,, el átomo pasa a otro estado. Este último es la proyección de 'Fj sobre el subespacio de autoestados de 1, que co rresponden al autovalor obtenido como resultado de la medida. Dicha proyección es: (1/3^/^)(0)3.o + /^2io)· Nótese que este estado no está normalizado. El estado, adecuadamente normalizado, que representa al átomo después de la medición es:
21/2 C^320
2) Puesto que:
'aremos 'Í'2(í) =
®2 = a,<D„_, exp -- itE2
h +
- itE^
■ exp
h
donde a^, j = 1, 2, 3, son amplitudes complejas constan- tes. Nótese que la estructura de ^ 2(0 es la más general
compatible con los requisitos i) e iii). La condición de que 'P2W esté normalizado implica:
—/%
2'*'2 ÍX2 X2I =
ail““ + = 1·
El requisito ii) es:
Puesto que 1 9 x t x i = 1 + i = — — 1 2 ^1/2
se tiene: |a j = (2/3)^^^. Por último, también ha de veri ficarse la condición iv):
<4'2(t)P|4'2(í)> =
= + l)(|a, 2 + a, ') + 2(2 + 1)) = \6h-
malización^v ^ t r la resultante de la ñor- M S i / ; ,™'” · f « » « - “ o.
2 '^3 i/o ' . Así pues:
= '2 3 1/2 exp «2 = 1 6 1/2 exp ip. 88
«3
r 6
1/2
exp iP:
■ = 1
2
3 son fases (reales) arbitrarias, que no determinadas p o r las condiciones impuestas. Finalmente:
f 7R. E
<4'2(í)1H1'I'2(0> =
I F
¿3xT 2(0"H 'P 2(í) = - Y + J
que no depende de t , de acuerdo con es constante de movimiento.
el hecho de que H
Un conjunto d e á t o m o s d e hidrógeno (indepen dientes en tre sí), e n el e s ta d o fundam ental, son ex citados por un a g e n t e e x te rn o y p a sa cada uno a un
cierto estad o (el m is m o p ara todos), en el que
ca a átom o «vive» un cierto tiem po, hasta que se esexcita em itie n d o radiación electromagnética, on ongitudes d e o n d a Á. El análisis d e dicha radia-
on proporciona inform ación so b re las energías y s id ^ ^ ^ '^ ^ ^ a n g u la re s q u e contribuyen a 'F. Se con- caso s: e n a m b o s, s e trata de hallar ^
té rm in o s d e los estados normali-
energía E„ del átom o de
PQ f ^ O b té n g a s e ^ y en función del tiem- ^f’ÓQe ^ ^®^^tará la co n stan te de Rydberg para hi- tud ^ a s o 1): ¡) so la m e n te se emite una longi-
^ ten ^ ¡3 p r o b a b i l i d a d d e que
t e n q a ^ _ ^ ^ nula; Iii) la probabilidad de que ^
tenga aa^ ^ veces la probabilidad de que HK
^ sien d o p un núm ero conocido, con
lores probabilidades de que ^ tom e los va-
lonoiti r4 ^ so n iguales entre sí. Caso 2): i) las
^.36/? o n d a emitidas son Á = /
I - Q ^ i ' probabilidades de que ^ contenga
^ 1 son nulas; iii) la p r o b a b i l i d a d d e que ^
te n g a /W ^ O es nula; iv) la probabilidad de que cada átom o esté en el e stad o q ue da lugar a A = 4/?~i/3 en la desexcitación es v eces la probabilidad total de que esté en el o los e s ta d o s q u e dan lugar a
A = 9R~J/B,36R~J/S, siendo a un n ú m e ro conocido,
con (T > 0. Se omitirán los efectos del espín. Obtén g an se 4^ y en función del tiem po , t.
Solución
90
La información procedente del análisis de la radiación emitida (por ejemplo, distribuciones de probabilidad en función de ángulos) se ha presentado, de forma muy idealizada, en términos de momentos angulares. Nótese que se omite el estudio de la interacción de los átomos con el campo electromagnético (responsable de la desex citación).
Caso 1). Utilizando £„ = ( - 13,6 eV)/n“, se ve fácil mente que la A emitida corresponde, necesariamente, a la transición desde n = 2 hasta n = l. UtiUzando, a con
tinuación, ii), se concluye que 4^ solamente puede ser de la forma:
A i = + 1
A i = - 1
siendo amplitudes constantes complejas. Puesto que ^ está normalizado:
iVÍ = + 1
Z
1C
jmI " = 1 ·
A / = - 1
Las condiciones iii), iv) implican, respectivamente:
1
u hallado un sistema de tres ecuaciones
° - 1,0,+1. Por tanto,
para \Csf L2{1 + PU 1/2 1 2(1 + PU 1/2 exp ìolq 2(1 + P)_ 1/2 expia_i,donde ccj^ son fases reales arbitrarias, que no quedan determinadas por los requisitos dados. Nótese que 'Pí“
no varía con el tiempo.
Caso 2). Análogamente al caso 1), se ve que solamente son posibles las transiciones desde n = 2 hasta n = 1
(que genera X = 4R~^/3), y desde n = 3 hasta n = 2 y hasta n== 1 (que dan lugar a Á = 36/? “ ^ / 5 y á = 9 R '
respectivamente). Utilizando, además, el requisito ii), se ve que solamente puede ser combinación lineal de las
2iAf y de las ^ 31^ . El empleo, en este punto, del requi
sito lii) permite solamente M = 0. Por tanto, incluyendo ^ dependencia temporal:
— ÍE2t — [£3^
h J
h
1— — ■
donde ¿2 y ÍÍ3 son am plitudes constantes complejas. La condición de normalización de 4^ da:
c
f^inalmente, el requisito iv) conduce a. 1
= C M “ ·,7
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones para Icj ^ y Cjl^, se obtiene: c-, = 1 l + (T o 1 + G 1/2 exp ioi2 1/ 2 exp ía3,
donde, de nuevo, oí2 y *^3 son fases reales arbitrarias. Es
inmediato, ya, ver que ^ varía con el tiempo: 2 _ + 21^2! l ^21ol 1^3! 1^310 ^31^1^310 (E3 - £ 2 ) 1 + eos h
donde se ha usado el hecho de que <1)210 Y ^310 son
reales.
Problèma 30
1) Un electrón está ligado en un átom o hidroge noide en el estado excitado (normalizado):
^3/2 Z r
l a'0_
es el ni'/mo ^ co o rd en ad as polares esféricas, 2
Bohr HállA*^° 3 ormco y ag = h^Am^é^) es el radio de
bución Hí. ®s m áxim a la distri-
s i d a r d P radial n , „ . Hállense la den
ta l
probabilidad y^,,, para dichoque es com o el valor de r para el
maxima su m agnitud, en una dirección fija. el aDartaHn°^*l^^^ ^ rnismas cuestiones que en está*^en et^sTado^^^dtado'“
<D = ^310
(2Z^y^ Z r
r
r
81(7iaJ)'^ ao L 6 ---aoJ eos 0exp 3So^
92
Datos. La d istrib u ció n d e pro babilid ad radial
la densidad d e c o rrie n te d e probabilidad en el estado norm alizado son.
(*2n
d(p d9sene\<í>„,^^
h
JnlM n!M‘
y Re d e n o tan la m a s a del electrón y parte real, respectivamente. Por otra parte, para el cálculo de /„,^será útil la s ig u ie n te ex p resió n para el gradiente
^ en co o rd en ad as p o la re s esféricas;
^ ^ d ^ d
V = u, — + ¿7„---l· u. 1
" d r “ r de rsenO dcp
u, = (sen 0 e o s q>, sen 6 sen q>, eos 0)
üg = (eos 6 eos q>, eos 6 sen (p, - sen 6)
0<p = { - sen<p, cas<p,0).
Nótese que, en a m b o s casos, se ha omitido el efecto oel espín del electrón.
efe^! densidad de probabilidad radial es, tras haber
^ uado las integraciones angulares;
n . n = z Z r 4 " Zr" 2 4 a , exp Así pues; di Z Z r 1 Zr Z rA — -— 24a^^0 exp ^^0 _ solución 93
Es fácil ver que 0 2 n tiene un máximo en r /"o — Z. Pasemos a evaluar la correspondiente densidad de QQi-j*iente de probabilidad. Se observa inmediatamente
que uXdIdr) y t7(,(l/r)(a/a0) dan lugar a contribuciones tales que, al tomar la parte real (Re) a fin de hallar
se anulan. Por tanto, solamente hay que ocuparse de uj,\lrscn6){dld(p). Se obtiene: 7211 h m j sen O ñ sen <P aO ár)
94
Zr g(r) = — exp ao Zr ao _Se deduce ya fácilmente que, para una dirección dada (es decir, para O, cp fijos), ^(r)^ tiene un máximo en r = aJZ, y lo mismo le ocurre a \j2 1 1 ·
2) Después de haber efectuado las integraciones an gulares, la densidad de probabilidad radial es:
Z r 2 2Zr" n sio - 39^5 '· 6 ao _ exp 3íJo. Así pues: ^^310 dr 8Z- )-3 6 - Zr ao_ exp 2Zr 3^0 _ 2 3 Zr L«0 - 12 Zr L^O - 3 Así, d n ^ . J d r = O en r = 3 a J Z , 6 a J Z , \ 2 a J Z . Un estu dio directo de la variación de los signos de
las proximidades de los tres valores anteriores muestra que II31Q tiene sendos máximos en r = 3 a J Z , l2aol^^ ^ posee un mínimo en r = 6 a J Z (donde se anula, clara mente). Puesto que O31Q es real en todo el espacio, la correspondiente densidad de corriente de probabilida 7310 se anula idénticamente en cualquier punto.
Se
consideran los operadores de
mr,lar, J,. Jy y Jz