Unordered agglomerative clustering

Terminamos el cap´ıtulo con la definici´on de suma directa y las propiedades m´as relevantes.

Definici´on 3.7. (Suma Directa) Sean V un espacio vectorial y W1 y W2 subespacios de V , decimos que V es la suma directa de W1 y W2, lo cual denotamos por V = W1⊕ W2, si V = W1+ W2 y W1∩ W2= {0}.

Los siguientes resultados exhiben condiciones suficientes y necesarias para que un espacio sea suma directa de dos subespacios.

Teorema 3.24. Sean V un espacio vectorial y W1y W2 subespacios de V . Entonces V = W1⊕ W2 si y s´olo si

V = W1+ W2 y dim W1+ dim W2= dim V .

Demostraci´on. “⇒”Si V = W1⊕ W2 entonces por definici´on tenemos que V = W1+ W2 y por el Teorema de la dimensi´on (Teorema ??) tenemos que

dim V = dim W1+ dim W2− dim(W1∩ W2)

| {z }

=0

= dim W1+ dim W2.

“⇐”Si V = W1+ W2 y dim W1+ dim W2= dim V por el Teorema de la dimensi´on tenemos que dim V = dim W1+ dim W2− dim(W1∩ W2),

se sigue que dim(W1∩ W2) = 0 y por tanto V = W1⊕ W2.

Teorema 3.25. Sean V un espacio vectorial, W1 y W2 subespacios de V y X y Y bases para W1 y W2, respectivamente. Entonces V = W1⊕ W2 si y s´olo si X ∪ Y es una base para V .

Demostraci´on. “⇒”Supongamos que V = W1⊕ W2y sean X = {v1, . . . , vr} y Y = {w1, . . . , ws} bases de W1

y W2. Veamos que {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws} es LI. Supongamos que

α1v1+ · · · + αrvr+ β1w1+ · · · + βsws= 0 (3.5) y definamos x = α1v1+ · · · + αrvrentonces x ∈ W1y de (3.5) se sigue que x = α1v1+ · · · + αrvr= −(β1w1+ · · · + βsws) y por tanto x ∈ W2. Se sigue que x ∈ W1∩ W2 pero por hip´otesis W1∩ W2= {0}, luego x = 0 y como x = α1v1+ · · · + αrvry {v1, . . . , vr} es LI por ser base para W1 tenemos que α1= · · · = αr= 0. Adem´as como −(β1w1+ · · · + βsws) = x = 0 y {w1, . . . , ws} es LI entonces 0 = β1= · · · = βs.

Concluimos que X ∪ Y = {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws} es LI. Ahora, por el teorema anterior dim V = dim W1+ dim W2= r + s entonces X ∪ Y es un conjunto LI con r + s = dim V elementos y por tanto es una base de V . “⇐”Supongamos que X ∪ Y = {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws} es una base para V .

Afirmaci´on 1. V = W1+ W2

Demostraci´on. Sea v ∈ V , como {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws} es una base para V , existen constantes α1, . . . , αr, β1, . . . , βs

tal que v = α1v1+ · · · + αrvr | {z } ∈W1 + β1w1+ · · · + βsws | {z } ∈W2 ∈ W1+ W2.

La otra inclusi´on es clara ya que como W1 y W2 son subespacios entonces W1+ W2 es un subespacio, en particular es un subconjunto. Esto demuestra la afirmaci´on.

Afirmaci´on 2. W1∩ W2= {0}.

Demostraci´on. Sea v ∈ W1∩ W2, entonces v ∈ W1 y v ∈ W2. Como {v1, . . . , vr} es una base de W1, existen constantes α1, . . . , αr tal que

v = α1v1+ · · · + αrvr. (3.6)

Un argumento similar garantiza la existencia de constantes β1, . . . , βs tal que

v = β1v1+ · · · + βrvr. (3.7)

De las ecuaciones 3.6 y 3.7 tenemos que

0 = v − v = α1v1+ · · · + αrvr− β1w1+ · · · + βsws.

Ahora, como {v1, . . . , vr, w1, . . . , ws} es linealmente independiente, por ser base para V , tenemos que 0 = α1= · · · = αr= β1= · · · = βs. Por tanto v = α1v1+ · · · + αrvr= 0 y W1∩ W2⊆ {0}. La otra inclusi´on es trivial ya que 0 ∈ W1+ W2 luego {0} ⊆ W1∩ W2. Lo que prueba la afirmaci´on.

De las afirmaciones 1. y 2. tenemos que V = W1⊕ W2.

Terminamos la secci´on con una ´ultima caracterizaci´on de la suma directa de espacios vectoriales.

Teorema 3.26. Sea V un espacio vectorial, sean W1 y W2 subespacios de V . Entonces V = W1⊕ W2 si y s´olo si para todo v ∈ V existen vectores ´unicos w1∈ W1 y w2∈ W2 tal que v = w1+ w2.

Demostraci´on. “⇒”: Supongamos que V = W1⊕ W2, entonces por definici´on tenemos que V = W1+ W2, por tanto para v ∈ V existen w1∈ W1 y w2∈ W2 tal que v = w1+ w2.

Ahora veamos que estos vectores son ´unicos: supongamos que v = w1+w2y que v = w′ 1+w′

2con w1, w′ 1∈ W1

y w2, w′

2∈ W2. Entonces tenemos que

0 = v − v = (w1− w1^′) + (w2− w^′2) se sigue que w1− w′ 1 = w′ 2− w2 ∈ W2, pero como w1, w′ 1 ∈ W1 tenemos que w1− w′ 1 ∈ W1 y por tanto w1− w′ 1∈ W1∩ W2= {0}, obtenemos que w1− w′ 1= 0 o equivalentemente w1= w′ 1. Similarmente se demuestra que w2= w′ 2.

“⇐”: Supongamos que para todo v ∈ V existen vectores ´unicos w1 ∈ W1 y w2∈ W2 tal que v = w1+ w2. Se sigue que V = W1+ W2, ahora veamos que W1∩ W2= {0}.

Sea x ∈ W1∩ W2, entonces x = 0 + x ∈ W1+ W2 y x = x + 0 ∈ W1+ W2, como la expresi´on es ´unica se sigue que x = 0.

Problemas

3.7.1. Demuestre que si T : V −→ V es una transformaci´on lineal tal que T ◦ T = T entonces V = Im(T ) ⊕

ker(T ).

3.7.2. Exhiba un ejemplo de una transformaci´on lineal T : V −→ V tal que ker(T ) ∩ Im(T ) 6= {0}.

3.7.3. Sean W1 y W2subespacios de un espacio vectorial V , demuestre que V = W1⊕ W2 si y s´olo si dim W1+ dim W2= dim V y W1∩ W2= {0}.

3.7.4. Demuestre que R2= gen{(1, 0)} ⊕ gen{(1, 1)}.

3.7.5. Demuestre que el espacio de matrices n × n es la suma directa del subespacio de matrices sim´etricas y el subespacio de matrices antisim´etricas, es decir, Mn(R) ∼= Sn(R) ⊕ An(R). (Ayuda: Use el Ejercicio 1.2.11). 3.7.6. Sean V = F(R, R) el conjunto de las funciones f de R en R, W1 = {f ∈ V : f(x) = f(−x), ∀x ∈ R} y W2= {f ∈ V : f(−x) = −f(x), ∀x ∈ R}. Demuestre que W1 y W2 son subespacios de V y que V = W1⊕ W2.

3.7.7. Muestre que todo espacio vectorial finitamente generado es una suma directa de subespacios vectoriales de dimensi´on 1.

3.7.8. Demuestre que si W es un subespacio de un espacio vectorial V entonces existe un subespacio Z de V tal que V = W ⊕ Z

3.7.9. Demuestre que si V = W1⊕ · · · ⊕ Wn, entonces 1. dim V =^Pn_i=1dim Wi.

2. Si v ∈ V entonces v se escribe de manera ´unica como v = w1+ · · · + wn, con wi∈ Wi para i = 1, . . . , n.

3.7.10. Sean H1 y H2 subespacios de un espacio vectorial V , si dim H1 = dim H2 = dim V − 1 entonces dim(H1∩ H2) = dim V − 2. Deduzca que dos planos en R3 siempre siempre tienen una intersecci´on no trivial.

3.7.11. Sean H y K subespacios de un espacio vectorial V , si dim H = dim V −1 y KH entonces dim(H ∩K) =

dim K − 1.

3.7.12. Si A, B ⊆ V son subconjuntos de un espacio vectorial V y A ∩ B = Φ muestre que L(AUB) =

L(A) ⊕ L(B), donde L(A) = intersecci´on de los subespacios que contienen a A.

1. Muestre que si Bi es LI para i = 1, . . . , t, entonces B es LI.

2. Muestre que si Bi es una base para Wi para i = 1, . . . , t, entonces B es una base de V .

3.7.14. Si W1 = {A ∈ Mn(R) | aij = 0 para i ≥ j} es el conjunto de matrices estrictamente triangulares

superiores y y W2 = {A ∈ Mn(R) | aij = 0 para i < j} es el conjunto de matrices triangulares inferiores

entonces Mn(R) = W1⊕ W2.

3.7.15. Si V y W son subespacios de Rn con dim V > n

2 y dim W >n

2 entonces V ∩ W 6= Φ.

3.7.16. Sea T : V −→ W una transformaci´on lineal, si V = H1 ⊕ H2 y T (H1) ∩ T (H2) = {0} entonces T (V ) = T (H1) ⊕ T (H2).

3.7.17. Si T : V −→ W es un isomorfismo y V = H1⊕ H2 entonces W = T (H1) ⊕ T (H2). 3.7.18. Sea T : V −→ V una TL, demuestre que existe k > 0 tal que V = Im(T^k) ⊕ Ker(T^k). 3.7.19. Si T : V −→ W un isomorfismo y V = H1⊕ H2 entonces W = T (H1) ⊕ T (H2).

Ortogonalidad en R

n

En este cap´ıtulo se define el producto interno usual en espacios vectoriales sobre R y se muestra como se define, a trav´es de este producto, la norma de un vector y el ´angulo entre vectores en Rn. Esto a la vez nos permitir´a hablar de ortogonalidad y proyecci´on ortogonal de un vector sobre un subespacio. Se dar´a tambi´en el m´etodo de los m´ınimos cuadrados, el cual es una aplicaci´on de proyecci´on ortogonal. Al final se define el concepto de base ortogonal, la importancia de estas bases y el proceso de Gramm-Schmidt, el cual es un m´etodo para calcular este tipo de bases. Se termina el cap´ıtulo con la llamada descomposici´on QR de una matriz, la cual se obtiene a partir del proceso Gramm-Schmidt.