The Use of Input-Output Matrices.

Afín con la aproximación de la TMS donde se define la actividad didáctica mediada en la clase de matemáticas como “Investigación para la innovación”, (cf. 2.1), la Secuencia Didáctica intenta explotar aquella característica notable de este marco teórico consistente en una dialéctica estrecha entre teoría y práctica. Esta dialéctica, como ya se ha mencionado, basada en una ida y vuelta continua y crítica entre elaboraciones teóricas y experimentaciones en clase, ha permitido que se aproveche la experiencia del docente sobre su trabajo en el aula. Es por esto que la naturaleza investigativa de este trabajo se moviliza en la dirección práctica-teoría para dar crédito a la amplia experiencia del profesor, al largo tiempo dedicado a las actividades mediadas por CABRI, a la continuidad en la reflexión y en la crítica sobre la innovación en las propuestas didácticas. Se decide pues, cualificar esta experiencia acumulada, describir los comportamientos observados y sistematizar los resultados no documentados en términos de la adopción de una perspectiva teórica multidimensional que permita fundamentar el ejercicio investigativo ulterior.

La Secuencia Didáctica (cf. Anexos A y B) es el producto de experiencias de aula desarrolladas a lo largo de más de cuatro años como actividades

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exploratorias no sistematizadas del comportamiento de los estudiantes de grado noveno (cf. 4.1) cuando trabajaban problemas abiertos sobre la semejanza de triángulos. Estas actividades respondieron primero a un proceso iniciado dentro de la fase de expansión del Proyecto Introducción de Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemáticas de Colombia, liderado por el MEN, y luego en la fase de auto sostenimiento y continuidad que hasta la fecha se ha venido dando dentro de la IETI Humberto Raffo Rivera.

Inicialmente las actividades respondían a diseños de innovación en el aula, donde las herramientas informáticas requerían la introducción de cambios metodológicos más por su carácter tecnológico que por sus implicaciones teórico- didácticas. La observación de lo sucedido en el aula, las idas y venidas sobre el diseño de las guías, fue apenas un primer paso en la indagación. La necesidad de documentar los fenómenos que se daban en la clase, a partir de explicaciones basadas en la experimentación y en fundamentos teóricos (cf. capítulo dos), fue lo que llevó a iniciar la progresiva sistematización y rediseño de la Secuencia Didáctica con un marcado interés en la integración de las tecnologías ya descritas como posibles mediadores semióticos para potenciar la cognición de los estudiantes en procesos de validación (cf. Capítulo cuatro).

Conforme a lo que fue observado en las aplicaciones sucesivas de las tareas previstas en las guías de trabajo, éstas se afinaron progresivamente en los aspectos de debilidad más visible, es así como la última versión (cf. Anexos A y B) constituye la Propuesta de Trabajo de Investigación. Dada la naturaleza perfectible de la Secuencia Didáctica, se asume como hipótesis que es a través de las sucesivas aplicaciones cómo se propicia su evolución y su mejora con el objetivo de constituirla en una buena aproximación dentro del marco de lo que Brousseau (1997) denomina una situación fundamental, en esta ocasión sobre la Demostración Deductiva Geométrica.

El análisis y el diseño actual de la secuencia Didáctica responden a las observaciones directas en el aula y a las reflexiones que desde los marcos teóricos permitieron hacer los ajustes, las variaciones, las reorganizaciones y las

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retroalimentaciones a las tareas que cada año escolar se habían venido aplicando en la asignatura de geometría.

Desde el punto de vista de la metodología se ha tratado de explicitar en la propuesta la coherencia interna entre lo previsto en los análisis preliminares y lo que se plantea en la perspectiva socio-cultural: el medio, como factor de desequilibrios, de contradicciones y aprendizajes, está pensado para que auspicie el desarrollo de acciones de experimentación por el uso de la medida y el arrastre sobre representaciones dinámicas; la interacción social de confrontación y crítica para la formulación de conjeturas y la validación de las mismas, los consensos y acuerdos para la construcción de significado socialmente compartidos y culturalmente aceptados acerca del proceso deductivo; finalmente, la institucionalización de resultados inicialmente puestos en un contexto situado de geometría dinámica. Se ha tratado de ubicar la propuesta de trabajo en una complejidad inscrita en una dialéctica pragmático / teórico de doble vía que no se circunscribe sólo a mirar el tránsito de la argumentación a la demostración como un hecho social mediado sólo por el lenguaje. Si bien el lenguaje, conforme a la TMS, es un indicador primario de la evolución en esa dirección, es dentro de la propuesta, entre otros, un elemento de gestión y control de la continuidad esperada en dicha transición.

El énfasis en las tareas es siempre el de empezar por procesos visuales exploratorios y de registro de datos los cuales provienen del uso de la medida y el arrastre en el ambiente de geometría dinámica. Estos datos, como se ha documentado en investigaciones sobre experiencias de aula afines, se convierten en indicios para la determinación empírica de propiedades o regularidades en las representaciones geométricas puestas sobre la pantalla y expresadas en términos de conjeturas; posteriormente, para la confirmación teórica de estos resultados a través de un proceso de demostración deductiva y su internalización en términos de teoremas. Durante el desarrollo de las actividades la medida es una herramienta de mediación semiótica que se vincula de manera natural a los procesos de argumentación sobre la plausibilidad de conjeturas y a los procesos

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de demostración para el establecimiento de la validez de las mismas. En fin, la medida, en asocio con modalidades de arrastre, interviene con una naturaleza distinta en las distintas fases del ciclo explorar, conjeturar, refutar, demostrar,

sistematizar.

Desde el punto de vista de su proyección, la Secuencia Didáctica tiene potenciales escenarios de aplicación y entonces posibles roles. El primero será un salón de clase de matemáticas donde la experimentación y los análisis a posteriori permitirán establecer los niveles de coherencia entre lo diseñado y los objetivos esperados, y en consecuencia, su impacto sobre la enseñanza implicada. Estos análisis en el aula enfatizarán el rol de la Secuencia Didáctica como herramienta para la experimentación y la innovación. Otros escenarios posibles para la Secuencia Didáctica son los espacios pedagógicos reales y la Red de Aprendizaje36 donde puede ser motivo de reflexión y análisis dadas las experiencias directas o indirectas que con ella puedan tener los profesores, en ejercicio y en formación, que interactúan en dichos ámbitos. En estos dos últimos escenarios puede ejercer su rol como objeto de estudio; a través de su evaluación se puede medir su potencial utilidad para la formación docente y para la estructuración de procesos pedagógicos que de paso contribuyan a la consolidación de la red.

La continuidad y la evolución pedidas a la Secuencia Didáctica en estos escenarios se convierten en un potencial resultado general con un doble sentido: primero, aportar fundamentos conceptuales y metodológicos relativos a la enseñanza y al aprendizaje de la demostración mediadas por un ambiente de geometría dinámica; segundo, apoyar el análisis y el diseño de situaciones de validación y orientar la sistematización de experiencias de aula.

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La Red de Aprendizaje ha sido conformada conjuntamente por la Universidad del Valle y la Universidad de Antioquia como espacio colaborativo para la interacción, la reflexión, la divulgación, la comunicación, y la aplicación de experiencias en el aula de matemáticas.

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