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4.7. NOTACIONES NOTACIONES CRISTACRISTALOGRLOGRÁFICASÁFICAS

Son procedimientos ideados para distinguir a las formas cristalinas mediante símbolos o fórmulas convencionales. La Notación Cristalográfica es una representación analítica que nos indica la posición de las caras en el espacio con relación a los ejes cristalográficos tomados como referencia.

En cristalografía, para una mejor percepción de los procedimientos conducentes y afines a las notaciones cristalográficas, se considera necesario precisar conceptos referidos a:

1.

1. ParParámeámetrotros: s: LL aa ss caras del cristal se definen mediante su intersección en los ejes cristalográficos. Así, al describir una cara de un cristal es necesario determinar si es paralela a dos ejes y corta al tercero, o si es paralela a un eje y corta a los otros dos, o bien, si corta a los tres. Además debe determinarse a qué distancia relativa corta la cara a los diferentes ejes (véase la Fig. 4.15.). Los parámetros de un plano (cara) consisten en una serie de números que expresan las ordenadas relativas de ese plano sobre los ejes cristalográficos. Se expresan en términos de longitudes unitarias, designadas (siempre en el mismo orden) por las letras a, b, c. Así por ejemplo, los parámetros de una cara puede expresarse como 1a, 1b, 1c; 1a, 1b, 2c, etc.

Figura 4.15. (a) Planos paralelos axiales; (b) Bipirámide de azufre.

En la figura 4.15a, haciendo que las líneas OX. OY, OZ, se tomen como las direcciones de los ejes cristalográficos y que OA, OB, OC representen sus longitudes unitarios, designadas (siempre en el mismo orden) por las letras a, b, c. Entonces, las ordenadas para el

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plano (1) HKL son OH, OK, OL; para el plano (2) ANM son OA, ON, OM: pero en términos de las unidades de longitud de los ejes, éstas dan los siguientes parámetros:

Además se debe notar que puesto que los dos planos HKL y MNA son paralelos uno a otro y por lo tanto, cristalográficamente, los mismos, estas dos series de parámetros se consideran idénticos.

2. Índices

2. Índices: Se han planteado diversos métodos de notación para expresar las intersecciones de las caras cristalinas en los ejes cristalográficos. Pero el más universalmente empleado es el sistema de índices propuesto por W. H. Miller.

Los índices de Miller de una cara consisten en una serie de números enteros que han sido deducidos de los parámetros por su inversión, y, si es necesario, por la subsiguiente reducción de las fracciones. Los índices de una cara son siempre dados de forma que los tres números (cuatro en el sistema hexagonal) se refieren a los ejes aa, bb y cc, respectivamente y, por consiguiente, las letras que indican los diferentes ejes, se omiten. Al igual que los parámetros, los índices expresan una relación, pero al objeto de simplificar el signo de la relación se omiten también.

Las caras de las bipirámides mostradas en la Fig. 4.16 con parámetros 1a. 1b, 1c y 1a, 1b, 1/3c,tienen los índices (111) (léase uno, uno, uno) y (113). La cara (Fig. 4.17) que tiene 1a, 1b, ∞c por parámetros y en inversión 1/1, 1/1, 1/∞ tendría los índices de Miller (110). Si los parámetros son 1a, 1b, 2c, la inversión suministra 1/1, 1/1, ½, al reducir fracciones tendría los índices de Miller (221).

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A veces es conveniente, cuando se desconocen las intersecciones exactas, utilizar el símbolo general (hkl) para los índices de Miller; cada letra h, k, y l representa un número entero sencillo.

3. Símbolos

3. Símbolos: Son letras (hkl) o (hkil) que indican que una cara corta a los tres ejes cristalográficos. Si una cara es paralela a una de los ejes cristalográficos e interseca a los otros dos, el símbolo general se escribiría (0kl), (h0l) y (hk0). Una cara paralela a dos de los ejes se considera que corta al tercero a una distancia unidad, y los índices serían (100), (010) y (001). Para indicar que una cara interseca el extremo o tramo negativonegativo de un eje cristalográfico, se coloca un guión sobre la letra o número apropiado, como se muestra en la Fig. 4.18. El símbolo generalmente se emplea para designar toda la forma y se encierran, como ya se indicó, entre llaves, por ejemplo {hkl}.

Figura 4.18. Bipirámide tetragonal.

Cuando se miden las ordenadas axiales detrás del eje X, o a la izquierda del eje Y, o abajo del eje Z, se llaman negativos y se coloca un signo menos sobre el número correspondiente de los índices; por ejemplo:

Entre las muchas notaciones de simetría propuestas, los símbolos de Hermann-Mauguin han sido ampliamente aceptados por la gran mayoría de los cristalógrafos, y por ello su uso es esencialmente universal.

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Las expresiones simplificadas y abreviadas que se han derivado de los parámetros de la forma de un cristal, se emplean ordinariamente para dar sus relaciones a los ejes cristalográficos. Estos se conocen como índices. Se han inventado gran número de métodos diferentes para derivar los índices y actualmente se emplean varios. Los llamados índices de Miller son los más generalmente empleados y son los que se usan exclusivamente en este texto.

Los índices de Miller pueden derivarse de los parámetros de cualquier forma tomando las recíprocas y eliminando las fracciones si es necesario. Por ejemplo tomando las dos series de parámetros dados:

Invirtiendo estas expresiones obtenemos

En el caso (2) es necesario eliminar las fracciones, dando (1) 4a : 3b : 2c.

Los índices de esta forma son entonces 4a : 3b : 2c. Las letras que indican los distintos ejes cristalográficos, así como los dos puntos (:), generalmente se desprecian y los índices en este caso se describen sencillamente como 432, indicándose las intersecciones de los diferentes ejes por el orden en que se dan los números. Cuando el índice se refiere a una cara se escribe entre paréntesis, es decir, (432). 4.7.1 Diferentes sistemas de índices

4.7.1 Diferentes sistemas de índices

Los índices de Weiss son los mismos que los parámetros descritos antes. Los diferentes ejes están representados por las letras a, b y c, precedidas cada una por un número que indica la intersección relativa de la cara considerada sobre ese eje en particular. Por ejemplo, una cara posible de una pirámide ortorrómbica podría representarse por 1a : 2b : 2/3c. En los índices de Naumann la totalidad de la forma piramidal se indica por la letra O en el sistema isométrico en el que los tres ejes de los cristales tienen la misma longitud o por P cuando los ejes tienen distintas longitudes. Para otras formas los índices se convierten en mPn (ó mOn) en los que m da la intersección sobre el eje verticalc , y n la intercepción sobre los ejes horizontales (a ó b). J. D. Dana modificó los índices de Naumann sustituyendo un guión por la letra P u O e i por el signo de infinito∞. Los índices de Naumann y Dana se convierten fácilmente a los índices de Miller arreglándolos en el

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orden apropiado, invirtiéndolos y eliminando fracciones. Goldschmidt ha propuesto otro método para derivar índices.

T

Tabla 4.1. Índices de acuerdo con abla 4.1. Índices de acuerdo con varios sistemas de varios sistemas de notaciónnotación

Se han planteado diversos métodos de notación para expresar las intersecciones de las caras cristalinas en los ejes cristalinos o cristalográficos (expuestos en la Tabla 4.1). Pero el más universalmente empleado es el sistema de índices propuesto por W. H. Miller, que tiene muchas ventajas sobre el sistema de parámetros tratados anteriormente.

Las notaciones de mayor uso han sido las de Weiss, Naumaun, Dana, Goldschmidt, Miller y Levy. Solo nos ocuparemos de Weiss y Miller por razones obvias.

4.7.2. Notación de Weiss 4.7.2. Notación de Weiss

Para Weiss, los parámetros de una cara cualquiera del cristal son múltiples de los parámetros de la cara unidad. Aunque es la más sencilla e inteligible de todas ellas, con todo modernamente tiende a desaparecer, sustituido por la de Miller.

En esta notación se toma como cara fundamental a una cara lo más cerca del srcen de coordenadas, y cualquier otra cara será siempre exterior a ella.

Si tenemos la cara unidad AB, BC, CA, con sus respectivos parámetros a, b, c y pretendemos hallar la notación de otra cara A´B´, B´C´, CÁ´; cuyos parámetros respectivos sean a´, b´, c´; las relaciones paramétricas serán:

a´: a = m; b´: b = n; c´: c = p; llamando m, n, p; a los respectivos cocientes.

De donde se deduce que: a´ = ma; b´ = nb; c´ = pc.

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Lo característico de la notación de Weiss son los tres coeficientes m, n, p; que determina la cara que se investiga, por esta razón, a la notación de Weiss se le denomina también notación de los coeficientes.

Ejemplo: Las relaciones: a´: a= 3/2; b´: b = 1; c´: c = 2/3; en cuyo caso tenemos:

a´ = 3a/2; b´ = b¸ c´ = 2c/3. Quitando denominadores nos quedará la relación siguiente: a´: b´: c´= 9a: 6b : 4c. La notación de la cara será: 9,6,4. Este método lo utilizó Weiss en 1818, en donde los coeficientes m, n, p; pueden tomar los valores enteros y también infinito.

Figura 4.19. Cara fundamental ABC

4.7.3. Notación de Miller 4.7.3. Notación de Miller

En 1839, W. H. Miller propuso otro método más cómodo aún, adoptado en la actualidad en casi todas partes, pero el más universalmente empleado, y que consiste en sustituir los parámetros numéricos de Weiss (m, n, p) por sus correspondientes magnitudes inversas (1/m, 1/n, 1/p).

A. Ley de los índices racionales:

A. Ley de los índices racionales: El estudio de los cristales ha establecido la ley general de que las relaciones entre las intersecciones de los ejes para las diferentes caras de un cristal siempre se pueden expresar con números racionales. Estas relaciones pueden ser 1 : 2, 2 : 1, 2 : 3, 1 :∞, pero nunca 1 : etc. Por ello los valores de hkl en los símbolos de Miller deben ser siempre números enteros o cero.

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entre paréntesis.

En los índices de Miller, 0 y los números del 1 al 6 son los más comunes.

B. Índice de Miller:

B. Índice de Miller: Para poder identificar unívocamente unsistema de

planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l). Los índices de Miller sonnúmeros enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son

primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número.

Los índices de Miller de una cara consiste en una serie de números enteros que han sido deducidos de las intersecciones por su inversión, y, si es necesario, por la subsiguiente reducciones de las fracciones. Los índices de una cara se expresan siempre de forma que los tres números (cuatro en el sistema hexagonal) se refieren a los ejes a, b y c, respectivamente y, por consiguiente las letras que indican los diferentes ejes de simetría. Al igual que las intersecciones, los índices expresan una relación, pero el objeto de simplificar, el signo de la relación se omite también.

C. Obtención de los Índices de Miller: C. Obtención de los Índices de Miller:

1. Se determinan las intersecciones del plano (cara) con los ejes cristalográficos. Para poder determinarlas se utiliza como unidad de medida la magnitud del parámetro de redsobre cada eje.

2. Se consiguen los recíprocos de las intersecciones.

3. Se determinan los enteros primos entre sí que cumplan con las mismas relaciones.

4. Tienen que ser enteros.

Ejemplo: Supongamos una red con parámetros de red: a b c, con índices de Miller respecto a los extremos o tramos positivos y negativos de los ejes cristalográficos (Fig. 4.20). El índice de Miller (111) se lee “uno-uno-uno”. En las caras que cortan los extremos negativos de los ejes cristalográficos se sitúa una línea sobre el número apropiado, como indica la figura 4.20 (octaedro). Por ejemplo(111)(111) se lee“uno, menos uno,uno” o bien“uno, barra uno,uno”. Debe observarse que los índices así dados corresponden a una cara específica, y está escrito

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Figura 4.20. Índices de Miller respecto a los tramos positivos y negativos.

Otro ejemplo, tenemos un plano que interseca a los ejes X, Y, Z (ver Fig.4.20), ejes que también se pueden designar con las letras a, b y c; en los puntos: 1a,2b, 1/2c, respectivamente.

Entonces realizamos el recíproco de las intersecciones: 1a, 1/2b, 2c y de ahora en adelante trabajamos sólo con los números (coeficientes), es decir: 1, ½, 2.

Determinamos los enteros primos entre sí que cumplan las mismas relaciones. Esto lo logramos multiplicando por el m.c.m. (mínimo común múltiplo) es decir (1 :1_{/ : 2) = (214) (Nótese que cumplen con las} características de los índices de Miller: Enteros y primos entre sí). Entonces los índices de Miller para el sistema de planos del ejemplo es: (214).

En el caso general, resultan tres quebrados propios, cuyas relaciones pueden ser expresados en números enteros. Estos tres números primos entre sí, se denominan índices de las caras. Se les designa con las letras h, k, l; en el caso de cuatro ejes h, k, i, l. El método de Miller es cómodo por que los índices, es decir, las magnitudes inversas de los segmentos en que una cara corta a los ejes de coordenadas, medidos en unidades de longitud, entran directamente en la fórmula del plano. Por ejemplo: Ax + By + Cz + D = 0. El término independiente D es igual a cero, ya que, según la ley de la constancia de los ángulos diedros, cualquier cara puede ser trasladada paralelamente así misma de manera que pase por el srcen de coordenadas. En este caso citado no hay que tomar los parámetros 2 : 3 : 6, sino las magnitudes inversas

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(recíprocos): ½; 1/3, 1/6, es decir, tres quebrados propios. Conservando su relación Miller, los convierte en número enteros:

1 / 2 : 1 / 3 : 1 / 6 = 6 / 2 : 6 / 3 : 6 / 6 = 3 : 2 : 1 (321)(321) Estas tres cifras o dígitos (321), índices de las caras, encerradas entre paréntesis, designan el símbolo de una cara. De esta manera tenemos que símbolo de una cara se denomina al conjunto de los tres números mínimos inversamente proporcional a los parámetros numéricos de dicha cara.

Debemos tener en cuenta que mientras Weiss coloca la cara unidad lo más cerca del centro o punto de srcen de las coordenadas (Fig. 4.21, cara abc), Miller coloca la cara unidad lo más lejos posible del centro (en le Fig. 4.22, cara ABC)

Cuando la cara corta las direcciones negativas de los ejes, sobre el índice correspondiente se coloca el signo menos, por ejemplo (2 1 3), si la cara corta al eje“Y” a la izquierda del srcen de coordenadas.

Si la cara es paralela a uno o dos ejes cristalográficos, los parámetros correspondientes a estos ejes, según Weiss, son infinitamente grandes. Como: 1 :∞= 0, en la notación de Miller tenemos que el signo “0” es indicio del paralelismo de la cara con el correspondiente eje cristalográfico.

Figura 4.21. Índices hkl de la cara unidad. Figura 4.22. ABC cara unidad.

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102 4.8.

4.8. RELACIÓN RELACIÓN ENTRE ENTRE LAS LAS NOTANOTACIONES CIONES DE DE WEISS WEISS YY