Las ecuaciones empleadas en este trabajo, no disponen de una solución analítica, salvo para tipos de flujo y situaciones muy específicas. La solución de estas ecuaciones se obtiene con un método numérico, la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de encontrar este tipo de soluciones mediante el ordenador se denomina
Mecánica de Fluidos Computacional, en este caso el método empleado por el software
InfoWorks RS para la solución de las ecuaciones de flujo variable en lámina libre en 2D son los volúmenes finitos.
11.5.1.1. Método de los volúmenes finitos
El método de los volúmenes finitos, fue introducido por McDonald (1972) y MacConrmack y Paullay (1972) para la solución las ecuaciones de Euler en dos dimensiones. El método de los volúmenes finitos trajo una revolución a los sistemas hiperbólicos no lineales con el método conservativo de primer orden de Godunov (1959).
En la formulación original del método de Godunov la información de propagación de la onda fue suministrada localmente vía soluciones exactas de las ecuaciones de
gobierno sujetas a condiciones iniciales especiales. Este particular problema de valor inicial es llamado problema de Riemann.
Este tipo de métodos requiere conocer la solución del problema de Riemann, pero conocerla de manera exacta es costoso computacionalmente, de manera que se utilizan soluciones aproximadas, conocidos como Riemann solvers. Estos Riemann
solvers utilizan el hecho que para aplicar el método de Godunov no necesitan saber el
detalle de toda la solución del problema de Riemann, sino sólo el valor de la solución en el contorno entre dos volúmenes finitos.
Los métodos desarrollados para la solución de las ecuaciones de Euler se adaptaron a las ecuaciones de Saint Venant en 1D, a las ecuaciones de flujo en presión en 1D y a las ecuaciones de aguas poco profundas en 2D, debido a gran medida a la similitud de sus términos. La principal diferencia de los esquemas numéricos tanto en 1D como en 2D radica en la forma de calcular el flujo numérico entre las fronteras de los volúmenes finitos.
Por ello, el método de los volúmenes finitos actualmente es uno de los más comunes en el campo de la Mecánica de Fluidos Computacional. Siendo las ventajas de este método su generalidad, conservatividad, simplicidad, su interpretación física intuitiva y por la facilidad de implementación a cualquier tipo de mallas, siendo la discretización aplicable directamente a las ecuaciones integrales para volúmenes de control finitos.
La aplicación de un método numérico conlleva la discretización espacial del dominio en puntos, celdas o elementos de cálculo. Cada elemento representa un volumen de control o volumen finito. La unión de estos elementos forma una malla, la cual puede ser estructurada o no estructurada.
Ilustración 133: Tipos de malla: a) Malla en una dimensión, b) Malla estructurada en dos dimensiones, c) Malla no estructurada en dos dimensiones.
• En las mallas estructuradas, cada elemento está identificadas por los índices
i, j y k en coordenadas cartesianas. Los elementos de la malla por lo general
son cuadriláteros
• En las mallas no estructuradas los elementos no tienen un orden particular. Los elementos de la malla pueden ser triángulos, cuadriláteros o una combinación de ambos. Además, tienen la ventaja de adaptarse a geometrías complejas, pero requieren de una estructura de datos compleja y unos requerimientos de memoria mayores.
Para la generación o construcción de los volúmenes finitos en 2D, existen diferentes metodologías para definir la forma y posición del volumen de control con respecto a la malla (Aragón Hernández & Bladé, 2013):
• Volúmenes finitos tipo celda
Lo más sencillo consiste en utilizar la discretización espacial y ubicar el nodo de la celda o volumen finito en el centroide de cada elemento. Tienen la ventaja de que se utiliza la discretización inicial como malla, pero tiene el inconveniente de que los valores de las variables se almacenan en el centro de la celda, lo que le dificulta la imposición de las condiciones de contorno.
• Volúmenes finitos tipo vértice y tipo arista
En la cual el nodo se ubica en el vértice y en el punto medio de la arista respectivamente. Posteriormente, con la ayuda de las medianas, se construye una nueva malla de volúmenes finitos en torno a estos nodos. Estas dos últimas tienen el inconveniente de que se requiere la construcción de una nueva malla, sin embargo facilita la imposición de las condiciones de frontera, ya que los nodos de las celdas de la frontera están localizados en el contorno. Por otra parte, los volúmenes tipo vértice tiene la desventaja de que en dominios irregulares, los elementos frontera pueden tener asociado dos vectores normales, estos problemas son evitados con los volúmenes tipo arista, pero estos últimos tienen el inconveniente de que las variables no se almacenan ni en el centro ni en los vértices de la malla inicial.
Con cada volumen finito se asocia una función base como la que se muestra en la Ilustración 135, es decir, se supone que las incógnitas del modelo son constantes en cada volumen (López López & Alavez-Ramírez, 2009).
Ilustración 134: Generación de mallas: a) Malla triangular original, b) Volúmenes finitos tipo celda, c) Volúmenes finitos tipo vértice, d) Volúmenes finitos tipo arista.