Using Vendor Class

Esta parte es eminentemente práctica, y puesto que las indicaciones de cómo utilizar los diagramas como procedimiento de prueba ya las vimos en la sec- ción correspondiente, lo único que haremos es resolver éstos y otros ejercicios similares durante el curso. La única novedad es que ahora se pide que se for- malicen en lógica de predicados monarios los enunciados. Mediante diagramas determinar si un conjunto de fórmulas es satisfacible o insatisfacible consiste en verificar si su diagrama correspondiente es consistente o inconsistente. Por con- siguiente, el verificar si una fórmula es consecuencia de un conjunto de fórmulas o independiente de ellas consiste en realizar el diagrama de las hipótesis junto con el de la negación de la conclusión y verificar su consistencia (Si es inconsis- tente el diagrama, será consecuencia; si es consistente, será independiente. El diagrama nos ayudará a encontrar el modelo que satisfaga las hipótesis pero no la conclusión, en el segundo caso.)

6.9. ARGUMENTOS QUE SE RESUELVEN CON DIAGRAMAS. 101

EJERCICIO 1.- Formalizad es primer orden y resolved usando diagramas

HIPÓTESIS 1.- Algunos judíos son ricos

HIPÓTESIS 2.- Todos los esquimales son gentiles

CONCLUSIÓN Algunas personas ricas no son esquimales

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

Diagrama final.

Diagrama Consistente Inconsistente Razonamiento Correcto Incorrecto

EJERCICIO 2. Formalizad es primer orden y resolved usando diagramas

HIPÓTESIS 1.- Todas las avispas son hoscas

HIPÓTESIS 2.- Todos criaturas hoscas son bien acogidas CONCLUSIÓN Todas las avispas son mal acogidas

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

Diagrama final.

Diagrama Consistente Inconsistente Razonamiento Correcto Incorrecto

EJERCICIO 3.- Formalizad es primer orden y resolved usando diagramas

HIPÓTESIS 1.- Todos los canarios bien nutridos cantan con potencia HIPÓTESIS 2.- Ningún canario se siente melancólico si canta con po-

CONCLUSIÓN Todos los canarios bien nutridos son joviales

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

Diagrama final.

Diagrama Consistente Inconsistente Razonamiento Correcto Incorrecto

EJERCICIO 4.- Formalizad es primer orden y resolved usando diagramas HIPÓTESIS 1.- Todos los leones son fieros

HIPÓTESIS 2.- Algunos leones no beben café

CONCLUSIÓN Algunas criaturas que beben café no son fieras

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

Diagrama final.

Diagrama Consistente Inconsistente Razonamiento Correcto Incorrecto

EJERCICIO 5.- Formalizad es primer orden y resolved usando diagramas HIPÓTESIS 1.- Algunas almohadas son blandas

HIPÓTESIS 2.- Ningún atizador es blando

CONCLUSIÓN Algunos atizadores no son almohadas

6.9. ARGUMENTOS QUE SE RESUELVEN CON DIAGRAMAS. 103 Diagrama final. Diagrama Consistente Inconsistente Razonamiento Correcto Incorrecto

EJERCICIO 6.- Formalizad es primer orden y resolved usando diagramas

HIPÓTESIS 1.- A todos los abstemios les gusta el azúcar HIPÓTESIS 2.- Ningún ruiseñor bebe vino

CONCLUSIÓN A ningún ruiseñor le disgusta el azúcar

Hipótesis 1 Hipótesis 2 Conclusión negada

Diagrama final.

Diagrama Consistente Inconsistente Razonamiento Correcto Incorrecto

EJERCICIO 7.- Formalizad es primer orden y resolved usando diagramas

HIPÓTESIS 1.- Los niños son ilógicos

HIPÓTESIS 2.- Nadie que sepa manejar un cocodrilo es despreciado HIPÓTESIS 3.- Las personas ilógicas son despreciables

CONCLUSIÓN Algunos niños so saben manejar cocodrilos

Diagrama final. Diagrama Consistente Inconsistente Razonamiento Correcto Incorrecto

6.10

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Tanto filósofos como informáticos, lógicos y psicólogos, han constatado que en muchas ocasiones nos es más fácil resolver un problema de matemáticas, física, lógica o informática usando diagramas que usando las clásicas representaciones algebraicas. De hecho, los profesores de Lógica ya eran conscientes de lo útiles que son, por ejemplo, los diagramas de Venn a la hora de resolver ciertos prob- lemas y de mostrar ciertos teoremas en teoría de conjuntos. Ya Euler, Venn y Peirce se dieron cuenta de la importancia que tienen los diagramas en las pruebas matemáticas.

Este es un campo de investigación reciente y muy rico, pero la bibliografía no es elemental. La referncia mejor es:

Allwein, Gerard and Jon Barwise [1996]. Logical Reasoning with Di- agrams. G. Allwein and J. Barwise, editors, New York: Oxford University Press.

Para los diagramas que se estudian aquí se puede consultar el libro de Suppes anteriormente mencionado.

Chapter 7

Relaciones y Funciones.

Esta parte sólo es necesaria para entender la semántica de la lógica de primer orden que se introducirá en apartados posteriores, hemos creído conveniente situarla aquí porque después de haber estudiado los conjuntos parece natural seguir con una clase especial de ellos; las relaciones y funciones. Pero si no se va a estudiar la lógica de primer orden y su semántica, esta parte es prescindible.

7.1

Par ordenado y producto cartesiano.

En la notación de conjuntos listando sus elementos entre llaves el orden en que estos aparece no importa, ya que dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos. si queremos especificar un orden determinado entre los elemntos de un conjunto no podemos usar las llaves {}, que se sustituyen por paréntesis hi y en lugar de conjuntos se habla de pares ordenados (cuando son dos elementos) o de secuencias cuando son más de dos elementos.

• Par ordenado. hx, yi es el conjunto formado por x e y en este orden. Existe una definición en términos de pares desordenados hx, yi = {{x} , {x, y}} aunque lo normal es tomarlo como una noción primitiva.

• Una n-pla es una secuencia ordenada de n elementos hx1, x2, · · · , xni

Producto cartesiano.

Dados dos conjunto cualesquiera A y B se puede considerar el conjunto formado por todos los pares ordenados formados por un elemento de A en la primera componente y un elemento de B en la segunda componente. Este conjunto se llama su producto cartesiano.

• Producto cartesiano de dos conjuntos. A × B = {hx, yi : x ∈ A y y ∈ B} 105

Ejemplo:

Si A = {a, b, c} y B = {s, t, u, v} entonces A × B =

= {ha, si , ha, ti , ha, ui , ha, vi , hb, si , hb, ti , hb, ui , hb, vi , hc, si , hc, ti , hc, ui , hc, vi} Obsérvese que |A × B| = 3 · 4 = 12

Si |A| = n y |B| = m entonces |A × B| = n · m