Summary Samenvatting
Chapter 5 validates a predictive model (a nomogram), which could be used as a preoperative
8.4.1. Puntuaciones globales a partir la matriz de costes acumulados . . . 158 8.4.2. Puntuaciones globales tras la reconstrucción de las señales tridimensio-
nales sincronizadas . . . 159
8.5. Funcionamiento del sistema de verificación completo . . . 161
8.5.1. Fase de enrolamiento . . . 161 8.5.2. Fase de verificación de acceso . . . 162
8.6. Procedimiento de evaluación . . . 163 8.7. Selección de los mejores modelos tridimensionales . . . 163
8.7.1. Resultados . . . 164 8.7.2. Discusión de los resultados para seleccionar modelos . . . 171
8.8. Generalización de los modelos tridimensionales seleccionados . . . 172
8.8.1. Resultados . . . 172 8.8.2. Discusión de los resultados de generalización de los modelos tridimensio-
nales seleccionados . . . 179
8.9. Conclusiones . . . 179
En este capítulo se presentan algoritmos para el módulo de comparación de firmas en el aire basados en métodos de correspondencia de patrones, similares a los presentados en el capítulo 6. En dicho capítulo, el enfoque estaba basado en analizar por separado las señales de aceleración de cada eje de las firmas en el aire. De esta manera, el módulo de comparación comparaba dos señales unidimensionales y proporcionaba un valor de similitud según su parecido. En este capítulo, en cambio, los algoritmos propuestos analizan señales tridimensionales, proporcionando un valor de similitud dependiente de las tres señales a la vez.
En el capítulo 7 se presentaron distintos métodos de fusionar la información prove- niente de los tres ejes de aceleración a distintos niveles. En todos ellos, el algoritmo de comparación analizaba señales unidimensionales. De hecho, el enfoque propuesto en este capítulo podría verse como un método de fusión dentro del módulo de comparación, al que llegan tres señales unidimensionales y que proporciona un único valor de similitud en base a un sistema que compara tridimensionalmente. Sin embargo, se ha decidido colocar este enfoque como un capítulo por separado debido a que este tipo de algoritmos son ampliamente utilizados de manera multidimensional.
De esta forma, las correcciones necesarias para la sincronización de las señales se van a realizar de manera tridimensional, es decir, en los mismos puntos de las señales tridimensionales a la vez. En el enfoque unidimensional, las señales se alineaban entre ellas en cada eje, pudiendo hacer las correcciones de cada eje en puntos distintos. Por otro lado, el tiempo necesario para la ejecución del sistema completo de verificación se reduce a un tercio, ya que se comparan las señales en los tres ejes a la vez, en vez de realizar tres ejecuciones, una para cada eje. Además, la información que se almacena en el patrón biométrico es menor, ya que se van a guardar las firmas en el aire del enrolamiento y un único valor (en vez de tres) relativo a la capacidad del usuario de repetir las firmas en el aire.
El enfoque propuesto en este capítulo es similar a numerosos trabajos de análisis de firmas manuscritas dinámicas. En esta técnica biométrica se pueden extraer una gran cantidad de señales temporales (aceleraciones, presiones, ángulos de inclinación del bolígrafo, etc.), que hacen que un análisis de cada señal por separado requiera mucho más tiempo que utilizando una técnica que analice todas las señales a la vez de manera conjunta. En este caso, al obtener tres señales de aceleración de sensores con la misma configuración, no es necesaria la normalización de las mismas, como suele ser habitual en los enfoques de firmas manuscritas.
Este capítulo se presenta con una estructura muy similar al capítulo 6. Se enfatizarán las variaciones de los algoritmos para implementar este enfoque tridimensional, y se hará referencia a las secciones de dicho capítulo para describir apartados iguales o muy similares.
Así pues, en las secciones 8.1 y 8.2 se presentan las adaptaciones del enfoque de análisis tridimensional de los algoritmos basados en maximización de similitudes y mi- nimización de diferencias, respectivamente. La sección 8.3, por otra parte, explica los tipos de reconstrucción de señales alineadas propuestos en este capítulo y similares a los de las señales unidimensionales. A continuación, la sección 8.4 presenta cómo se
8.1. Algoritmos tridimensionales de maximización de similitudes 151
obtienen las puntuaciones de la comparación de dos firmas en el aire. Más adelante, la sección 8.5 de este capítulo incluye la descripción del sistema de verificación completo utilizando los algoritmos que analizan señales tridimensionales.
La evaluación de los algoritmos de este capítulo se realiza siguiendo las instruccio- nes presentadas anteriormente en la sección 6.6. De esta manera, los resultados serán comparables ya que se obtienen con el mismo procedimiento. Un resumen del método de evaluación se incluye en la sección 8.6.
Los resultados de todos los enfoques y sus variantes se presentan en la sección 8.7. Esta sección incluye los resultados de rendimiento frente a errores en términos de EER de cada variante expuesta, para seleccionar los mejores modelos. A continuación, en la sección 8.8 se presentan otras tasas de error de la generalización de los modelos seleccionados. Finalmente, las conclusiones de este capítulo se muestran en la sección 8.9.
8.1.
Algoritmos tridimensionales de maximización de simi-
litudes
Los algoritmos descritos en esta sección son adaptaciones al algoritmo Needleman- Wusch, presentado en la sección 4.1. En este caso, el algoritmo trata de alinear dos señales tridimensionales optimizando su parecido. De esta manera, el algoritmo propor- ciona un valor de similitud mayor cuanto mayor sea el parecido tridimensional de las firmas en el aire.
Así pues, cada firma en el aire se define por un vector tridimensional, compuesto por las secuencias de las señales de aceleración de cada eje a lo largo del tiempo. Es decir, una firma en el aire de longitudnse define como~v= ((vx1, v1y, vz1),(v2x, v2y, v2z), . . . ,(vnx, vyn, vnz)).
Por tanto, para comparar dos firmas~vyw~ de longitudnym, el algoritmo Needleman- Wusch trata de encontrar el alineamiento óptimo que maximiza el parecido de las señales definido tridimensionalmente. La implementación de dicho algoritmo puede hacerse me- diante programación dinámica, rellenando la matriz de similitud S ∈ Mn+1×m+1 que
almacena los valores de la función de coste acumulados en cada punto, según la Ecuación (8.1): si,j = m´ax si−i,j−1+X3D((vxi, v y i, vzi),(wjx, w y j, wzj)) si,j−1+ρ si−1,j+ρ ∀i, j (8.1)
En esta ecuación,ρes un parámetro de penalización que puede ser fijo para el sistema completo o bien, fijarse por separado para cada usuario en concreto buscando optimizar algún criterio. Además,X3D((vx
i, v y
i, viz),(wjx, w y
j, wzj))es una función de similitud de los
puntosiyj de los vectores tridimensionales. Esta función proporciona valores cercanos a 1 cuando(vix, viy, viz)y(wxj, wyj, wzj)son muy parecidos, y cercanos a 0 cuando son muy distintos. La funciónX3D se ha definido de distintas maneras, descritas a continuación.
s0,0= 0
si,0=iρ, i= 0. . . n
s0,j =jρ, j = 0. . . m
8.1.1. Funciones X3D de similitud tridimensionales
Las funcionesX3D son funciones de similitud tridimensionales que proporcionan un
valor de lo similares que son dos puntos de los vectores de las firmas en el aire que se comparan. El resultado de estas funciones es un valor próximo a 1 cuando los puntos de las firmas en el aire son muy similares, y próximo a 0 cuando son muy distintos.
Para modelar la funciónX3D se han utilizado los mismos cuatro tipo de funciones
de similitud que en el capítulo 6, pero en este caso el resultado de la función se obtiene a partir de puntos tridimensionales.
Función escalón:
La función escalón puede utilizarse como modelo de la función X3D, de acuerdo
con la Ecuación (8.2): X13D((vix, vyi, viz),(wxj, wyj, wzj)) = 1 si |v x i−wxj|+|v y i−w y j|+|vzi−wzj| 3 ≤ξ 0 si |v x i−wxj|+|v y i−w y j|+|vzi−wzj| 3 > ξ (8.2)
De esta manera, esta función proporciona un valor de 1 cuando la media de las distancias de cada eje es menor que un umbral ξ. Este umbral representa el valor mínimo en el que dos puntos tridimensionales son considerados suficientemente parecidos.
Función exponencial:
Otra opción para modelar la funciónX3D es utilizar la función exponencial, según
la Ecuación (8.3): X3D 2 ((vix, v y i, vzi),(wjx, w y j, wzj)) =e − (vx i−wxj)2+(v y i−w y j)2+(vzi−wzj)2 6σ2 (8.3)
Esta función tiene un parámetroσ que representa la pendiente de la exponencial. Además, proporciona un valor próximo a 0 cuando los valores de las señales son muy distintos y próximo a 1 cuando son muy similares (en este caso nunca llega a 0).
Función valor absoluto normalizado:
La función valor absoluto también puede modelar la función X3D de acuerdo con
8.1. Algoritmos tridimensionales de maximización de similitudes 153 X33D((vix, vyi, vzi),(wjx, wyj, wzj)) = 1−|v x i −wjx|+|v y i −w y j|+|viz−wzj| 3×4,63 (8.4)
En esta ecuación, el valor4,63es el valor máximo que puede tener el valor absoluto de la diferencia de dos señales de aceleración en cualquier eje (las aceleraciones estaban en el rango ±2,135. Al normalizar entre este valor, el resultado de esta función estará entre 0 y 1.
Por otro lado, el valor absoluto normalizado de las diferencias tridimensionales de los puntos es cercano a 0 cuando las señales son muy parecidas y cercano a 1 cuando son muy distintas. Por ello, se utiliza la función uno menos valor absoluto para cumplir con los requisitos de la función de similitud X3D.
Función euclídea normalizada:
Con una idea similar a la función anterior, puede utilizarse la función euclídea tridimensional normalizada para modelar X3D siguiendo la Ecuación (8.5):
X43D((vxi, viy, vzi),(wxj, wjy, wjz)) = 1−(v x i −wxj)2+ (v y i −w y j)2+ (viz−wzj)2 3×21,4369 (8.5) En este caso, el valor de normalización es el cuadrado del anterior (21,4369), que permite asegurar que el valor que proporciona la función está entre 0 y 1. Además, la función uno menos la función Euclídea tridimensional normalizada proporciona un valor cercano a cero cuando las señales son muy distintas y cercano a uno en caso contrario, tal y como se espera para el correcto funcionamiento del algoritmo. 8.1.2. Rangos de valores de la penalización ρ
En el algoritmo de maximización expuesto anteriormente, hay que fijar correcta- mente el valor de la penalizaciónρ. Debido a que el rango de las funciones de similitud
X3D está restringido en [0,1], existe una limitación de los posibles valores que puede
tener la penalizaciónρpara que el algoritmo funcione correctamente. De hecho, en estas condiciones la penalización ρ ha de cumplir la Ecuación (8.6):
0≤ρ≤ 1
2 (8.6)
La limitación anterior deρpara el algoritmo basado en maximización de similitudes tridimensional se demuestra exactamente igual que para el algoritmo unidimensional. Esta demostración se presentó previamente en la sección 6.1.2.
En este capítulo se proponen dos estrategias para buscar el valor de penalización ρ óptimo para el algoritmo propuesto:
Barrido de parámetros fijos:Este enfoque trata de seleccionar entre distintos valores fijos el que se comporta mejor para el sistema. En particular se probarán los parámetros de la forma ρ= 0,05k, k= 0,1, . . . ,10
Búsqueda de parámetros fijos para cada usuario: Este enfoque trata de buscar para cada usuario los valores de los parámetros que minimicen un valor del patrón que representa cómo de parecidas son las firmas que el usuario realiza para enrolarse. La búsqueda de parámetros (ρ yσ o ξ, si existen) propuesta se realiza mediante un algoritmo de búsqueda similar al del algoritmo de maximización unidimensional. En este caso, la función de coste a minimizar viene dada por la Ecuación 8.7:
J(ρ, σ) =µ3TD(ρ, σ) (8.7) Esta Ecuación es equivalente para el parámetroξ en vez deσ. El valorµ3TD repre- senta el parecido de las señales utilizadas en el enrolamiento, descrito más adelante en la sección 8.5.1. En el enfoque tridimensional, existe un único valorµ3TD, en vez de tres valores correspondientes al parecido en cada eje.
El algoritmo de búsqueda consiste, por tanto, en empezar en el punto medio del intervalo de valores posibles de los parámetros y calcular su función de coste. A continuación, se calculan todos los valores de la función de coste de sus vecinos a una distancia .
En el caso de que ninguno de los valores de los vecinos sea menor que el valor a minimizar, se reduce la ventana donde se busca el menor valor a la mitad=/2. En el caso de que alguno de los valores anteriores sea menor, se fija el centro de la búsqueda en el nuevo punto encontrado. Este proceso se realiza hasta que converja ( <0,01).
La inicialización de los parámetros se realiza con los valores ρ = 0,5, σ = 0,5, = 0,25.
Para las funciones que sólo tienen un parámetro se realiza el mismo proceso pero únicamente variando el parámetro ρ.
Por último, es destacable que los valores óptimos de los parámetros pueden ser distintos (y de hecho lo son) para personas diferentes.
8.2.
Algoritmos tridimensionales de minimización de dife-
rencias
Los algoritmos de minimización derivados del algoritmo Dynamic Time Warping pueden modelarse también para señales multidimensionales. De hecho, este enfoque es bastante común cuando hay una gran cantidad de dimensiones.
Estos algoritmos tratan de encontrar el alineamiento óptimo de dos señales mul- tidimensionales ~v y w~, de longitud n y m que minimice una función de coste. Esta
8.2. Algoritmos tridimensionales de minimización de diferencias 155
función de coste representa las diferencias acumuladas entre los puntos de las señales. Su implementación puede realizarse de manera sencilla mediante programación diná- mica, calculando una matriz de costes acumulados S ∈ Mn×m mediante la Ecuación
(8.8): si,j = m´ın si−i,j−1+Y3D((vix, v y i, viz),(wxj, w y j, wzj)) si,j−1+Y3D((vix, v y i, viz),(wxj, w y j, wzj)) si−1,j+Y3D((vix, v y i, viz),(wxj, w y j, wzj)) ∀i, j (8.8) En la ecuación anterior, se comparan dos firmas en el aire representadas por los vectores tridimensionales de aceleración~v yw~ de longitudn ym. En esta ecuación, la funciónY3D((vx
i, v y
i, viz),(wjx, w y
j, wzj))es una distancia tridimensional entre dos puntos
de las señales de aceleraciones de firmas en el aire. Debido a que en este enfoque no hay penalizaciones, no es necesario acotar la función Y3D.
La matriz de costes acumulados se inicializa fijando los siguientes valores: s1,1= 0
si,1=Pik=1Y3D(vi, w1), i= 1. . . n
s1,j =Pjk=1Y3D(v1, wk), j= 1. . . m
8.2.1. Funciones Y3D tridimensionales de diferencias locales
El algoritmo anterior busca minimizar las diferencias acumuladas entre dos secuen- cias temporales de tres dimensiones. De esta manera, la funciónY3D((vx
i, v y
i, viz),(wxj, w y j, wzj))
es una función distancia tridimensional que representa la diferencia entre dos puntos las señales. Así pues, esta función proporciona un valor alto si los dos puntos son muy diferentes y próximo a cero si son muy similares.
Se han utilizado cuatro tipo de funciones para modelar la función Y3D, similares
a las de maximización y correspondientes a las funciones distancia unidimensionales presentadas en la sección 6.2.1:
Función escalón
La función escalón puede utilizarse para representar la función Y3D, de acuerdo
con la Ecuación (8.9), donde dos puntos de la secuencias tridimensionales se consi- deran iguales (puntuación 0) si la media de sus distancias de cada eje son menores que cierto parámetro o diferentes (puntuación 1) si son mayores.
Y13D((vix, vyi, viz),(wjx, wyj, wzj)) = 0 si |v x i−wxj|+|v y i−w y j|+|vzi−wzj| 3 ≤ξ 1 si |v x i−wxj|+|v y i−w y j|+|vzi−wzj| 3 > ξ (8.9)
Esta función representa las diferencias de las señales tridimensionales de manera muy sencilla, teniendo en cuenta únicamente si dos puntos de las señales son suficientemente distintas pero sin cuantificar su diferencia.
Función exponencial
La funciónY3D puede también modelarse por una función exponencial tridimen-
sional, según la Ecuación (8.10):
Y3D 2 ((vix, v y i, viz),(wxj, w y j, wzj)) = 1−e − (vx i−wxj)2+(v y i−w y j)2+(vzi−wzj)2 6σ2 (8.10)
Esta función tiene valores cercanos a 1 cuando las dos señales son muy distintas y valores cercanos a 0 cuando son muy parecidos. En este caso, se utiliza la función uno menos exponencial para cumplir los requisitos de función distancia.
Función valor absoluto
La función valor absoluto tridimensional modela la función Y3D de acuerdo con
la Ecuación (8.11):
Y33D((vix, vyi, viz),(wjx, wyj, wzj)) =|vix−wxj|+|vyi −wyj|+|vzi −wzj| (8.11) Esta función es una de las más utilizadas en la implementación del Dynamic Time Warping para analizar señales temporales. Al no haber penalización ρ en este algoritmo, no es necesario normalizar la función Y3D para que se encuentre
entre 0 y 1.
Función euclídea
La distancia euclídea es también otra función propuesta para cuantificar las dife- rencias entre dos puntos de las secuencias temporales tridimensionales, según la Ecuación (8.12):
Y43D((vix, vyi, viz),(wjx, wyj, wzj)) = (vix−wjx)2+ (viy−wjy)2+ (vzi −wjz)2 (8.12)
8.3.
Métodos de reconstrucción de las señales tridimensio-
nales alineadas
La reconstrucción de señales tridimensionales a partir de la matriz del alineamiento óptimo se realiza de una manera muy similar al presentado en la sección 6.3, donde se describió el método para reconstrucción de señales unimodales.
En el caso de las señales tridimensionales alineadas con los métodos presentados en este capítulo, la reconstrucción se realiza a partir de la matriz de costes acumulados (S) y la matriz de rastreo (T), que han sido obtenidos a partir de las tres dimensiones de las señales.
De esta manera, la reconstrucción comienza buscando el camino óptimo en la matriz S que lleva desde el punto sn,m hasta el punto inicial s1,1 (o s0,0 en NW). Para ello,