Virtual CAS (VCAS)

subespacio.

Recordaremos del algebra tensorial que, dado un tensor de núcleo ortogonal a su imagen, la proyección ortogonal de un vector v→ sobre el subespacio Nuc τ→ es (I→-τ→0)v→, siendo I→ el tensor idéntico ó fundamental y τ→0

el tensor unidad del subespacio Im τ→. Diremos ahora que la proyección ortogonal de un vector v→ sobre una variedad lineal X de ecuación

τ

→_x→ _{= 0}→ referida a un punto de la misma, es:

v

→_{’ = (I}→_-τ→0 )v→ y diremos que v→ es de X cuando v→=v→’.

1.01.- Proyección ortogonal de un tensor.

Sea un tensor σ→ cualquiera considerado como un sumatorio de productos tensoriales de vectores.

Definimos como proyección ortogonal de un tensor σ→ en general, sobre una variedad X, al tensor σ→’ que resulta de sustituir en el sumatorio de los productos tensoriales de σ→ cada vector factor por su vector proyección ortogonal sobre X:

σ

→ _{= ∑(a→}

i⊗b→i⊗..⊗r→i) ⇒ σ→’ = ∑(a→i’⊗b→i’⊗..⊗r→i’)

Evidentemente el tensor σ→’ tendrá por lo menos las mismas simetrías y antisimetrías que el tensor σ→ original.

Diremos de un tensor σ→ que es de X cuando todos sus factores son vectores de X.

1.02.- TEOREMA 1º.- Si la proyección ortogonal de σ→ sobre una variedad X de ecuación τ→x→=0→ es σ→’ y µ→ es un tensor de X (ó sea µ→=µ→’), se verifica:

(→µ→)’ = σ→’µ→ σ

Pues cuando σ→ y µ→ son productos tensoriales únicos, por ejemplo:

σ → _{= a}→

1⊗a→2⊗..⊗a→m⊗..⊗a→r ⇒ σ→’ = a→1’⊗a→2’⊗..⊗a→m’⊗..⊗a→r’ µ

→ _{= b}→

1’⊗b→2’⊗..⊗b→m’ podremos escribir:

40 (σ→µ→) = (a→1b → 1’)(a → 2b → 2’)..(a → mb → m’)(a → m+1⊗..⊗a→r) (σ→µ→)’ = (a→1b → 1’)(a → 2b → 2’)..(a → mb → m’)(a → m+1’⊗..⊗a→r’) (σ→’µ→) = (a→₁’b→₁’)(a→₂’b→₂’)..(a→_m’b→_m’)(a→_m+1’⊗..⊗a→_r’)

Pero tenemos (I→-τ→0)∗(I→-τ→0)=(I→-τ→0) que es un tensor simétrico, así como v→’=(I→-τ→0)v→', y por consiguiente:

a→_ib→_i’= a→_i[(I→-τ→0)b→_i’]= [(I→-τ→0)a→_i]b→_i’ = a→_i’b→_i’

Verificándose la igualdad para productos tensoriales únicos deberá verificarse también para sumatorios de productos tensoriales.

1.03.- La proyección ortogonal de un tensor σ→ sobre una variedad X es única.

Pues si hubiera dos distintas tales como σ→’ y σ→”, por el teorema anterior en el espacio X se verificaría:

(∀µ→/ µ→∈X): σ→’µ→ = σ→”µ→ ⇒ σ→’ = σ→”

1.04.- El teorema anterior se puede enunciar también de esta otra manera:

Si en el espacio puntual afín, σ→ es el tensor de la aplicación lineal tal que el tensor µ→ tiene por imagen el tensor σ

→µ→, σ→’ es el tensor de X que corresponde a la aplicación que a todo µ→, cuando µ→ pertenece a X, hace corresponder el tensor (σ→µ→)’ de X, o sea el tensor proyección ortogonal sobre X del tensor imagen de σ→.

Decimos entonces, que por lo que respecta a tal aplicación, σ→’ es el tensor inducido en X por el tensor σ→ del espacio puntual afín.

1.05.- Cuando el tensor σ→ que proyectamos sobre X es precisamente de 2º orden, también podemos escribir:

σ

→_{’ = (I}→_-→_τ0)∗σ→∗(I→-τ→0 )

Ya que, en general, para µ→ y ω→ tensores simétricos de 2º orden y expresando a σ→ por a→_i⊗b→i podemos escribir para todo v→:

[→∗(a→µ i⊗b→i)∗ω→]v→ = µ→[(a→i⊗b→i)(ω→v→)] = →µ[a→_i(ω→v→)]b→i = = →µ[(ω→a→_i)v→]b→i = [(ω→a→_i)v→)](→µb→i) = (ω→a→_i ⊗ µ→b→i)v→ y por consiguiente: µ → _{∗ (a→} i⊗b→ i ) ∗ ω→ = ω→a→_i ⊗ µ→b→i

41

y en particular, para µ→ = ω→ = I→-τ→0, se tiene:

(I→-τ→0) ∗ (a→_i⊗b→i) ∗ (I→-τ→0) = [(I→-τ→0)a→_i]⊗[(I→-τ→0)b→i] y como el 2º miembro por definición es σ→’,tendremos:

(I→-τ→0)∗σ→∗(I→-τ→0) = σ→’ 2.- Proyección sobre un plano.

Consideraremos desde ahora, que la variedad X es un plano o variedad (n-1)-dimensional, de versor normal b→ y que el tensor que proyectamos sobre él es un tensor simétrico σ→ de segundo orden. Tendremos τ→0 = b→⊗b→. 2.01.- TEOREMA 2º.- Se verifica: a) σ→’b→ = 0. b) σ→’ = σ→ - (σ→b→ ⊗ b→) - (b→ ⊗ σ→b→) + [(b→⊗b→)σ→](b→⊗b→)

La primera proposición es evidente por ser b→ ortogonal al plano X.

En cuanto a la segunda, desarrollando la expresión de σ→ ’ tenemos:

σ

→_{’ = (I}→_-→_τ0

)∗σ→∗(I→-τ→0) = σ→ -→τ0∗σ→ - σ→∗τ→0 + →τ0∗σ→∗τ→0

Operando sobre cada uno de los sumandos 2º 3º y 4º del segundo miembro previamente multiplicados por un vector v→ cualquiera, obtenemos: (→τ0∗σ→)v→ =τ→0(→σv→)=(b→⊗b→)(σ→v→)=[b→(σ→v→)]b→=[(σ→b→)v→]b=(σ→b→⊗b→)v→ ⇔ τ→0 ∗σ→ = σ→b→⊗b→ (σ→∗τ→0 )v→ =σ→(τ→0v→)=σ→[(b→⊗b→)v→]=σ→[(b→v→)b→]=(σ→b→)(b→v→)=(b→⊗σ→b→)v→ ⇒ σ→∗τ→o = b→⊗σ→b→ (τ→0 ∗σ→∗τ→0 )v→ = τ→0[(σ→∗τ→0)v→] = (b→⊗b→)[(b→⊗σ→b→)v→]=(b→⊗b→)(b→v→)(σ→b→)= =(b→v→)[b→(σ→b→)]b→ = [b→(σ→b→)](b→⊗b→)v→ = [σ→(b→⊗b→)](b→⊗b→)v→ ⇒ τ→0 ∗σ→∗τ→0 = [σ→(b→⊗b→)]b→⊗b→)

42 que se quería demostrar.

2.02.- Sea la proyección de un tensor simétrico σ→ de 2º orden sobre un plano de versor normal b→, Vamos a estudiar las condiciones que deben existir para que no siendo nulo el tensor σ

→_{, sea nula su proyección σ}→_{’ sobre el plano.}

Para ello examinaremos este problema en los diversos casos distintos en que nos podemos hallar.

a) b→∈ Nuc σ→.

Tendremos evidentemente σ→b→=0→ y con ello la expresión hallada para σ→’ se reduce a que σ→’ es igual a σ→ que no es nulo por hipótesis y por tanto σ→’ en este caso no puede ser nulo.

b) b→∈ Im σ→; σ→b→=λb→ (ó sea b→ es versor propio de σ→). Aplicando la misma expresión, ó sea:

σ

→_{’ = σ}→ _{- (σ}→_b→⊗b→) - (b→⊗σ→b→) + [(σ→b→)b→](b→⊗b→) sustituyendo σ→b→ por λb→ y simplificando, se obtiene:

σ

→_{’ = σ}→ _{- λ(b}→⊗b→) y habrá dos posibilidades:

b1) σ→ = λ(b→⊗b→) ⇒ σ→’ = 0→ b2) σ→ ≠ λ(b→⊗b→) ⇒ σ→’ ≠ 0→

c) b→∈ Im σ→; σ→b→ ≠λb→; Dim (Im σ→) ≠ 2.

Por hipótesis σ→b→ y σ→0b→= b pertenecen a Im σ→ y son independientes. Por tanto no es posible Dim (Im σ→) < 2

c1) Dim (Im σ→) < 2. Es un caso imposible c2) Dim (Im σ→) > 2.

En este caso siempre habrá un versor propio a→ de σ→ simétrico, que pertenezca a Im σ→, sea independiente de σ→b→ y de σ→ 0

b

→_{, y que tenga un valor propio α no nulo.}

Efectuando la multiplicación contracta de a→ por la expresión general de σ→’, obtenemos:

σ

→_’a→ ₌ →_σa→ _-a→_[→_σb→⊗b→] -a→[b→⊗σ→b→] + a→[(b→⊗b→)σ→](b→⊗b→) σ

→_’a→ ₌ →_σa→ _{- [a}→₍→_σb→_)]b→ _{- (a}→_b→_)(σ→_b→_{) + (a}→_b→_)[(b→⊗b→)σ→]b→

43

miembro de la igualdad precedente sea nulo. Teniendo en cuenta que σ→a→= αa→, este 2º miembro es una función de los vectores independientes a→, σ→b→ y b→, y por consiguiente, para su anulación, deberá anularse cada uno de sus coeficientes.

Así pues, como el coeficiente α del término en a→, por hipótesis no es nulo, en este caso c2) nunca podrá ser nulo σ→’.

d) b→∈ Im σ→; σ→b→≠λb→; Dim (Im σ→) = 2.

El tensor σ→’ será nulo si, y sólo si, su producto por todos los vectores de una base es nulo.

Consideremos la base formada por los vectores b→=σ→0b→, σ

→-1

b→ de Im σ→ y por una base {v→_i} de Nuc σ→. El vector σ→-1

b →

es independiente de b→ puesto que si no fuera así se verificaría σ→-1

b→ = βb→ y por consiguiente σ→b→ = β-1b→, lo que es imposible por hipótesis. Siendo así, podemos considerar la base formada por los vectores b→=σ→0b→, →σ-1b→ de Im σ→ y por una base {v→_i} de Nuc σ→.

El producto σ→'b→ es nulo según el teorema anterior. El producto de σ→’ por cualquier v→_i del núcleo de σ→ lo podemos obtener sustituyendo en la expresión de σ→’a→ del caso anterior el vector a→ por el vector v→_i, con lo cual se ve inmediatamente que el resultado es nulo por serlo σ→v→_i y v→_ib→.

Queda por tanto como condición necesaria y suficiente para tener σ→’=0→ el que se verifique σ→’(σ→-1b→)=0→.

Como siempre tenemos σ→(σ→-1 b →_)=σ→0 b → la expresión general de σ →_’(σ→-1 b →_{) deducida de la de σ→}

’ que hemos visto, será σ →_’(σ→-1 b →_{)= σ→}0 b →_-[(σ→-1 b →_)(σ→ b → )]b→-[(σ→-1b→)b→](σ→b→)+[σ→(b→⊗b→)][(σ→-1b→)b→]b→

Sabemos que ahora el primer término del desarrollo es igual a b→ y vamos a ver a continuación que se anula con el segundo término.

El coeficiente de -b→ en el 2º término del 2º miembro es (σ→-1 b →_)(σ→ b →_{) = σ→} [b→ ⊗(σ→-1b→)] y por ser simétrico σ→ también tendremos:

(→σ-1b→)(→σ→b) = →σ[(→σ-1b→)⊗ b→] = [σ→(σ→-1b→)]b→ = (σ→0b→)b→ = b→b→ = 1 y el segundo término queda en -b→, o sea opuesto al 1º.

44 σ

→_’(σ→-1

b→)= -[(σ→-1b→)b→](σ→→b) + [σ→(b→⊗b→)][(σ→-1b→)b→]b→

Para σ→'=0→ será necesario que, en el 2º miembro, función de b→ y σ→b→ independientes, los coeficientes de ambos vectores sean nulos, y por consiguiente se deduce inmediatamente del único término en σ→b→, que una condición necesaria es que se verifique:

0 = (σ→-1 b →

)b→ = σ→-1(b→⊗b→)

Si tenemos en cuenta que al cumplirse esta condición, no sólo se anula el término 1º de la expresión reducida, sino que también se anula evidentemente el último término, la condición necesaria anterior ha pasado a ser también suficiente. Así pues podemos establecer:

d1) σ→-1

(b→⊗b→) = 0 ⇒ σ→’ = 0→ d2) σ→-1

(b→⊗b→) ≠ 0 ⇒ σ→’ ≠ 0→

Observemos que para b→∈Imσ→ no nulo, la condición anterior, ó sea σ→-1

(b→⊗b→) = 0, incluye que se verifique σ→b→≠λb→. Pues si se verificara entonces σ→b→=λb→, λ sería un valor propio no nulo de σ→, y se verificaría σ-1 b →_=λ-1 b → _{así como σ→}-1 (b→⊗b→)=λ-1b2≠0. e) b→∉Im σ→; b→∉Nuc σ→; σ→b→ ≠ λb→_i

El vector b→_i=σ→0b→ es la proyección ortogonal de b→ sobre Im σ→ y no puede ser nulo ni igual a b→.

Sea la expresión general antes obtenida para σ→’(σ→-1 b → ), en que se ha sustituído σ→0 b → por b→_i: σ →_’(→_σ-1 b → )= b→_i-[(σ→-1b→)(→σb→)]b→-[(→σ-1b→)b→](σ→b→)+[→σ(b→⊗b→)][(σ→-1b→)b→]b→ El sistema {b→_i,b→,σ→b→} es independiente, pues σ→b→ y b→_i aunque de distinta dirección pertenecen ambos a Im σ→ y no pueden generar a b→ que no pertenece a Im σ→.

Por estar expresado σ→’(σ→-1 b →

) en función de tres vectores independientes, para anularse precisará que sean nulos los tres coeficientes correspondientes y como el de b→_i siempre es uno, no puede anularse y por tanto tampoco puede anularse σ→’.

f) b→∉ Im σ→; b∉ Nuc σ→; σ→b→ = λb→_i. Tendremos ahora: σ →_b→ i = λb → i; b → b→_i = (b_i+b_n)b→_i = b→_ib→_i

Por tanto b→_i es vector propio de σ→ con valor propio λ que tendrá ahora igual dirección que σ→b→, y se verificará:

σ →-1

b →

45

Sustituyendo los nuevos valores en cada término del 21 miembro de la expresión general hallada para σ→’(σ→-1

b→), resulta: 1º. σ→0 b → = b→_i 2º. -[(σ→-1 b →_)(σ→ b → )]b→ = -[(λ-1b→_i)(λb→_i)]b→ = -(b→_ib_i)b→ 3º. -[(σ→-1 b → )b→](σ→b→) = -[(λ-1b→_i)b→](λb→_i)]=-(b→_ib→)b→_i = -(b→_ib→_i)b→_i 4º. +[σ→(b→⊗b→)][(σ→-1b→)b→]b→ = [(σ→b→)b→]][(σ→-1b→)b→]b→ = = [(λb→i)b →_][(λ-1 b → i)b → ]b→ = (b→_ib→_i)(b→_ib→_i)b→ Sustituyendo se tiene: σ →_’(σ→-1 b→) = b→_i - (b→_i→b_i)b→ -(b→_ib→_i)b→_i + (b→_ib→_i)(b→_ib→_i)b→ = = b→_i[1-b→_ib→_i] - [(b→_ib→_i)b→][1-b→_ib→_i] = = [1-b→_ib→_i][b→_i -(b→_ib→_i)b→]

Esta expresión resultante no puede anularse, pues el primer corchete no puede ser nulo porque b→_ib→_i siempre será menor que uno, y el 2º corchete tampoco podrá serlo, ya que b→ y b→_i son de distinta dirección

Por consiguiente en este caso f) el tensor σ→' no puede ser nulo.

2.03.- Resumen del caso anterior.

La proyección ortogonal σ→’ de un tensor σ→ simétrico de 2º orden no nulo, sobre un plano ortogonal a un versor b→, se anula si, y sólo si, estamos en uno de los dos casos siguientes:

1º.- (∃λ): σ→ = λ(b→⊗b→)

2º.- b→∈ Im σ→; σ→-1(b→⊗b→) = 0; Dim (Im σ→) = 2

2.04.- Para que la proyección ortogonal σ→’ de un tensor simétrico de 2º orden no nulo sobre un plano ortogonal a un versor b→, sea igual a σ→ (en su espacio) la condición necesaria y suficiente es que se verifique:

σ

→_b→ _{= 0 ⇔ b→∈ Nuc σ→.}

Pues dada la expresión hallada para σ→a→ siendo a→ un vector cualquiera:

σ

→_’a→ ₌ →_σa→ _{- [a}→₍→_σb→_)]b→ _{- (a}→_b→_)(σ→_b→_{) + (a}→_b→_)[(b→⊗b→)σ→]b→ es evidente que la condición es:

46

(∀a→): [a→(σ→b→)]b→ + (a→b→)(σ→b→) = (a→b→)[(σ→b→)b→]b→

y por tanto será necesario que se verifique: (∃λ): σ→b→ = λb→ Sustituyendo este valor en la ecuación anterior obtenemos la condición en esta forma:

(∀a→): (a→λb→)b→ + (a→b→)λb→ = (a→b→)(λb→b→)b→ = (a→b→)λb→ (∀a→): 0→ = (a→λb→)b→ = λa→(b→⊗b→)

Por consiguiente, como es preciso λ=0, la condición necesaria es σ→b→ = 0→ que se ve fácilmente que también es suficiente.

47

INDICE DE ECUACIONES