Wang Transform

él no existirían la idea precisa de velocidad ni de aceleración, ni de densidad de masa o de carga eléctrica, ni de gradiente de un potencial y, por tanto ningún concepto de potencial en ninguna rama de la física; no habría ecuación de ondas, ni mecánica, ni tecnología....

La descripción que de la derivada hace Newton en su Principia Mathematica, como razón última, es un ejemplo de rigor y claridad expresado sólo con palabras, sin símbolo matemático alguno, que no nos resistimos a reproducir “ Pues aquellas razones últimas con las que las cantidades se desvanecen, no son realmente las razones de las cantidades últimas, sino límites hacia los que las razones de las cantidades, disminuyendo indefinidamente, convergen siempre, y a los que se aproximan en menos de cualquier diferencia dada, pero nunca los superan, ni siquiera los llegan a alcanzar de manera efectiva hasta que las cantidades han disminuido in infinitum .” ( Sir Isaac Newton, 1686, traducción inglesa 1934, p. 39). La descripción incluye el concepto de límite, de elementos diferenciales ( infinitésimos) y precisa que la derivada es el límite de la razón incremental.

La definición formal de la derivada que hoy utilizamos, tardó todavía mas de cien años en desarrollarse, pero como se puede apreciar lo esencial del concepto viene recogido en la descripción de Newton.

Un requisito necesario, pero no suficiente, para que una función tenga derivada consiste en que tal función sea continua. Las funciones continuas constituyen la clase básica de funciones para las operaciones del análisis matemático, y proporcionan la expresión matemática de situaciones que aparecen con frecuencia en las ciencias de la naturaleza: el hecho de que a un pequeño crecimiento de la variable independiente corresponda un pequeño incremento de la variable dependiente o función. El ejemplo mas claro de este tipo de funciones podría ser las que rigen el movimiento de los cuerpos s= f(t), y que expresan la dependencia de la distancia

s respecto del tiempo t . Como el tiempo y la distancia son infinitamente divisibles, son continuos, una ecuación del movimiento de un cuerpo define entre ellos una relación continua, caracterizada por el hecho de que un pequeño incremento en el tiempo se traduce en un incremento también pequeño en la distancia.

De forma mas general diremos que, dada una función arbitraria y= f(x) y un valor particular de la variable independiente x , si la función representa un proceso ₀

continuo, entonces a valores x que difieran sólo ligeramente de x corresponderán ₀

valores de la función f(x) que difieren sólo ligeramente del valor f(x₀) en el punto

0

x . Así, si el incremento x− de la variable independiente es pequeño, el x₀

incremento correspondiente f(x)− f(x0)de la función será también pequeño. En otras palabras, si el incremento de la variable independiente (x−x₀)tiende a cero, entonces el incremento f(x)− f(x0)de la función debe de aproximase a cero, hecho que se puede expresar del modo siguiente:

lim(x−x₀)→0

[

f(x)− f(x0)

]

=0

Será continua en un intervalo dado, si es continua en todos los puntos de este intervalo, es decir, si se verifica la relación anterior en cada uno de sus puntos. La imagen gráfica de la función, su curva representativa, será entonces continua no tendrá rupturas o discontinuidades.

De modo que si una función es continua, podrá ser derivable ( lo contrario será siempre cierto), en cada uno de sus puntos. La razón última de Newton se expresa

formalmente: _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∆ − ∆ + = ′ _{∆ →} 0 0 0 0 0 0 ) ( ) ( lim ) ( 0 x x f x x f x

f _x , en el punto x . Esto es, ₀

como el límite del cociente o razón de los incrementos de la función y de la variable independiente, cuando este último incremento se hace infinitamente pequeño o tiende a cero.

La función f(x) será derivable en intervalo determinado, si existe el límite

anterior en cada uno de los puntos que constituyen dicho intervalo. La función derivada )f ′(x nos da la variación de f(x) por unidad de x, ante un cambio

infinitesimal de x (∆x→0), en cada punto. Observese la necesaria divisibilidad

infinita de la variable x. Es decir f ′(x)mide la variación instantánea de f(x) por

unidad de x. Es por tanto un concepto muy distinto de la variación

media: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∆ ∆ x x f( )

, y de la variación de f(x)cuando la x se incrementa en una

unidad:

[

f(x+1)− f(x)

]

, conceptos con los que a veces se les confunde. El ejemplo que mejor ilustra el concepto de derivada de una función se puede considerar que es el de velocidad instantánea de un móvil cuya posición viene dada por una función

) (t

s dependiente del tiempo. Representar el tiempo por medio del conjunto continuo

de los números reales permite ver el concepto de velocidad instantánea como un límite de velocidades promedio en minúsculos periodos de tiempo; he ahí la derivada.

El significado geométrico de la derivada es de extraordinario interés por sus aplicaciones al estudio de las propiedades o del comportamiento gráfico de la función de la que procede. La derivada en cada punto nos da el valor de la pendiente (o inclinación) de la recta tangente a la curva representativa de la función, en dicho punto. Conocer el signo de dicho valor (positivo o negativo), nos permitirá conocer si la gráfica es creciente o decreciente en cada punto. En los puntos donde la gráfica de la función no admita tangente no existirá derivada. Puede ocurrir, por tanto, que la función sea continua en un punto (no tenga rupturas), y sin embargo no tenga derivada en el mismo (en general, por presentar la gráfica un punto anguloso ).

1.3. Funciones de varias variables .En lo que sigue incluiremos los conceptos y

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