4.3 The E¤ects of the Degree of Corruption
4.3.1 Welfare Implications
En los apartados anteriores hemos hablado de un disco protoplanetario en donde se forma un planeta, y hemos explicado que la formaci ´on, el crecimiento, la composici ´on qu´ımica y el tama ˜no del planeta formado dependen fuertemente de las propiedades de dicho disco. Entonces, tomaremos esta secci ´on para descri- bir brevemente las propiedades b´asicas de estos discos. Para un resumen ver por ejemplo,Armitage(2010).
Desafortunadamente, y al menos en su mayor´ıa, no podemos observar los dis- cos protoplanetarios directamente. En lugar de eso, podemos unir piezas para el entendimiento de sus propiedades considerando discos protoplanetarios alrede-
5.2 Evoluci ´on orbital de planetas en su disco protoplanetario
dor de estrellas j ´ovenes reci´en formadas, denominadas T Tauri. Ellas se encuen- tran antes de la secuencia principal con masas correspondientes a tipos espec- trales G, K y M, y suelen estar rodeadas de discos compuestos de un 99 % de material gaseoso y 1 % de polvo formados a partir del colapso gravitatorio que da nacimiento a la estrella. Las edades de sus discos rondan entre 106−107a ˜nos con tama ˜nos entre 50∼1000 UA y masas entre∼0,01−0,1 masas solares (Williams
y Cieza,2011).
Al ser un disco compuesto en su mayor´ıa por hidr ´ogeno y helio (con muy poca cantidad de elementos pesados) podemos utilizar para su caracterizaci ´on las ecuaciones para un gas ideal. Adem´as, al ser un disco poco masivo podemos despreciar la fuerza de gravedad ejercida por el gas sobre s´ı mismo. Tambi´en, adoptamos que las ondas excitadas por un perturbador en un disco son suficien- temente d´ebiles para que la teor´ıa lineal sea v´alida y consideramos que los discos son verticalmente isotermos, por lo que habr´a perturbaciones isotermas. Enton- ces, la ecuaci ´on de estado para nuestro disco de gas viene dada por la presi ´on del gasP, y que se escribe como:
P =c2sρ (5.3)
donde ρ es la densidad volum´etrica del gas y cs es la velocidad del sonido. cs
est´a relacionada con la temperatura del disco T a trav´es de c2s = kBT /µmH; kB
es la constante de Boltzmann,mH es la masa del hidr ´ogeno yµ el peso molecu-
lar del medio. Con estas suposiciones podemos decir que la estructura del disco est´a bien aproximada si consideramos equilibrio hidrost´atico, t´ermico y de io- nizaci ´on local. Asumiendo que es un disco geom´etricamente delgado (es decir,
zr) y axisim´etrico (no depende de φ), puede verse que la ecuaci ´on de equili- brio hidrost´atico vertical (balance de fuerzas de presi ´on y gravedad) conduce a una distribuci ´on de densidad expresada como:
ρ(r, z) =√Σ(r) 2πHexp − z 2 2H2 ! , (5.4)
donde Σ(r) es la densidad superficial en el plano ecuatorial y H = cs/Ωk es la
escala de altura dondeΩk =pGm0/r3.H mide el espesor caracter´ıstico del disco y est´a relacionado con la relaci ´on de aspectohdel disco porh(r) =H(r)/r. Como el disco es delgado, la relaci ´on de aspecto toma valores bajos, del orden de∼0,01 a 0,1.
En un modelo de disco simple y laminar, tanto el perfil de densidad superficial
Σcomo la relaci ´on de aspectohse comportan como leyes de potencia:
Σ(r) =Σ0r−α0 ; h(r) =h0rf, (5.5)
dondeΣ0 y h0 son valores a r= 1 UA. El exponentef se relaciona normalmente a la forma del disco, esto es si el disco es acampanado o no, y nosotros aqu´ı lo
5. Migraci ´on planetaria a largo plazo y a gran escala
llamaremos “´ındice de forma”.f toma el valor cero para los discos planos don- de la relaci ´on de aspecto es constante, y por tanto H(r) crece linealmente con
r. Notar que la relaci ´on de aspecto depende de la temperatura, por lo que ´esta ser´a tambi´en una ley de potencia con exponenteβ= 2f −1. Sin embargo, vemos m´as ventajoso utilizar la relaci ´on de aspecto que la temperatura ya que podemos caracterizar geom´etrica y r´apidamente al disco.
Un modelo de disco aceptado que incluye todos estos aspectos es la Masa M´ınima de la Nebulosa Solar (MMSN) propuesta en Hayashi (1981). Aqu´ı, los valores m´ınimos necesarios para formar los planetas de nuestro Sistema Solar si ´estos hubieran estado siempre donde los observamos son: Σ(r = 1UA) = 1700 gr/cm2,T(r = 1UA) = 280 K (h0 = 0,05),α0= 1,5 yβ ∈[−1; 0]. A pesar de que en los ´ultimos a ˜nos tanto las leyes de potencia para la densidad superficial y para la relaci ´on de aspecto como los valores de sus exponentes han sido cuestionados, la MMSN sigue siendo una muy buena aproximaci ´on con la cual comparar.
Supongamos ahora un planeta de masa mp que orbita la estrella central y
siente el potencial gravitatorio del disco. El planeta tiene un potencial suavizado de la forma: φp=− Gm0 q r−rp 2 +2 , (5.6)
donde es la longitud de suavizado. Utilizamos una longitud de suavizado pa- rametrizado por la escala de altura de la presi ´on en la forma = 0,6H (M ¨uller et al.,2012). Despreciamos los t´erminos indirectos, ya que no son relevantes pa- ra nuestro asunto. Este potencial es de suma importancia debido a que refleja directamente la influencia que tiene el planeta en el disco, y viceversa.
Los modelos de un disco de gas se pueden hacer m´as realistas suponiendo en principio que el disco no sea isotermo, en este caso la ecuaci ´on de estado depen- der´a del ´ındice adiab´atico y las diferentes cantidades aqu´ı expuestas cambiar´an sus dependencias y sus formas. Adem´as, se puede agregar que el disco sea visco- so, en ese caso afectar´a directamente a las tasas t´ıpicas de acreci ´on de la estrella central. Y as´ı, se pueden ir agregando o suprimiendo diferentes efectos. Por ejem- plo,Migaszewski(2015) considera un disco geom´etricamente delgado, viscoso y con simetr´ıa axial. Asume que los planetas no afectan la evoluci ´on del disco y que las estructuras verticales y radiales del disco son independientes. Agrega efectos de radiaci ´on estelar, fotoevaporaci ´on y opacidad, obteniendo un disco realmente complejo.