Comparison of statistical methods for evaluation of strength values of fibre-cement roofing sheets

Full text

(1)UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za fiziko. DIPLOMSKO DELO Gregor Gošnik. Maribor, 2016.

(2)

(3) UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za fiziko. Diplomsko delo PRIMERJAVA STATISTIČNIH METOD ZA VREDNOTENJE TRDNOSTI VLAKNOCEMENTNIH STREŠNIH PLOŠČ. Mentor: doc. dr. Milan Ambrožič. Kandidat: Gregor Gošnik. Maribor, 2016.

(4) Zahvala Zahvaljujem se svoji družini za vzpodbudo pri študiju in punci Manueli za moralno podporo pri pisanju diplomskega dela. Zahvaljujem se tudi mentorju doc. dr. Milanu Ambrožiču za pomoč in vodenje pri nastajanju diplomskega dela. Podjetju Esal d. o. o. se zahvaljujem, da mi je omogočilo uporabo njihovih podatkov o trdnostih strešnih plošč. Prav tako se zahvaljujem tehničnemu direktorju Esala dr. Krunoslavu Vidoviču za predstavitev proizvodnje in kontrole kakovosti vlaknocementnih strešnih plošč..

(5) UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO. IZJAVA. Podpisani Gregor Gošnik, roj. 27. 11. 1986, študent Fakultete za naravoslovje in matematiko Univerze v Mariboru, študijskega programa Fizika, izjavljam, da je diplomsko delo Primerjava statističnih metod za vrednotenje trdnosti vlaknocementnih strešnih plošč pri mentorju doc. dr. Milanu Ambrožiču avtorsko delo. V diplomskem delu so uporabljeni viri in literatura korektno navedeni; teksti in druge oblike zapisov niso uporabljeni brez navedbe avtorjev.. ______________________ (podpis študenta). Maribor, 2016. iii.

(6) GOŠNIK, G.: Primerjava statističnih metod za vrednotenje trdnosti vlaknocementnih strešnih plošč. Diplomsko delo, Univerza v Mariboru, Fakulteta za naravoslovje in matematiko, Oddelek za fiziko, 2015. Povzetek V diplomskem delu je opisana uporaba dvoparametrične Weibullove porazdelitvene funkcije za opis vrednosti meritev prečne in vzdolžne upogibne trdnosti valovitih strešnih plošč iz vlaknocementa, ki so bile izdelane v redni proizvodnji podjetja Esal, d. o. o. Raziskali smo tudi vpliv spremembe proizvodnega parametra, to je recepta za vlaknocement, na upogibno trdnost plošč. V vseh primerih smo izračunali oba Weibullova parametra, od katerih je pomembnejši Weibullov modul, ki določa obliko porazdelitvene funkcije. Uporabili smo štiri različne statistične metode: linearno regresijo, metodo maksimalne verjetnosti, metodo momentov in metodo histogramov. Ugotovili smo povečanje Weibullovega modula za prečno upogibno trdnost za plošče izdelane po novem receptu za vlaknocement, medtem ko se Weibullov modul za vzdolžno upogibno trdnost ne spremeni bistveno. Potrdili smo tudi vpliv usmerjenosti vlaken na upogibno trdnost valovitih strešnih plošč. Poleg tega opazimo nižje vrednosti upogibne trdnosti za plošče, izdelane v poletnih mesecih. Ključne besede: vlaknocementi, valovite strešne plošče, upogibna trdnost, Weibullova statistika. iv.

(7) GOŠNIK, G.: Comparison of statistical methods for evaluation of strength values of fibre–cement roofing sheets. Graduation Thesis, University of Maribor, Faculty of Natural Sciences and Mathematics, Department of Physics, 2015. Abstract In this thesis we describe the application of a two-parameter Weibull distribution to the evaluation of measurements of transverse and longitudinal bending strength of the fibre-cement corrugated roofing sheets, made in the serial production of the company Esal, d. o. o. The influence of changing the fibre-cement recipe on the bending strength of roofing sheets is also studied. Calculations are made for both Weibull parameters; especially important is the Weibull modulus which determines the shape of the distribution function. We used four different statistical methods: the linear regression, the maximum-likelihood method, the method of moments and the histogram method. We notice a substantial increase of the Weibull modulus for the transverse bending strengths of sheets, produced according to the new fibre-cement recipe, while the Weibull modulus changes only slightly for the longitudinal bending strength. We also confirm the correlation between the preferred fibre orientation and the measured bending strengths of fibre-cement roofing sheets. Besides that, we notice a decrease in the bending strength for roofing sheets produced during the summer months. Keywords: fibre-cement, corrugated roofing sheets, bending strength, Weibull statistics. v.

(8) KAZALO 1 Uvod ........................................................................................................................................ 2 1.1 Vlaknocement ................................................................................................................... 3 1.2 Sestava in dimenzije valovitih strešnih plošč ................................................................... 4 1.3 Tehnološki postopek izdelave vlaknocementne strešne kritine ........................................ 5 1.4 Preizkus mehanskih lastnosti ........................................................................................... 6 2. Teoretično ozadje ................................................................................................................... 8 2.1 Napetostni tenzor.............................................................................................................. 8 2.2 Tritočkovni upogibni test ................................................................................................. 9 2.3 Dvoparametrična Weibullova porazdelitev .................................................................... 12 2.4 Metode ocenitve Weibullovih parametrov ..................................................................... 16 2.5 Monte – Carlo simulacije ............................................................................................... 19 3. Rezultati raziskave ............................................................................................................... 21 3.1 Diagrami vrednosti meritev upogibnih trdnosti strešne kritine ...................................... 21 3.2 Izračun Weibullovih parametrov po različnih metodah ................................................. 24 3.3 Primerjava različnih enačb za oceno verjetnosti pri metodi linearne regresije .............. 26 3.4 Predstavitev lineariziranih diagramov ............................................................................ 28 3.5 Predstavitev Q – Q diagramov in izračun koeficienta R2 ............................................... 33 3.6 Izračun Weibullovih parametrov z metodo histogramov ............................................... 36 3.7 Monte – Carlo simulacije vrednosti meritev upogibne trdnosti ..................................... 39 3.8 Primerjava vrednosti meritev upogibne trdnosti po trimesečjih .................................... 42 3.8 Ocena merske napake in stroškov dodatnih testiranj ..................................................... 46 4 Zaključek ............................................................................................................................... 49. 1.

(9) 1 Uvod Vlaknocementi so umetni kompoziti, ki nastanejo z utrditvijo cementnega veziva (mešanice cementa in vode), kateremu dodamo utrjevalna vlakna. Cementna matrica namreč značilno dobro prenaša tlačne in precej slabo natezne obremenitve, zato šele z dodatkom armirnih vlaken, ki pri obremenitvi prevzamejo natezno napetost, dosežemo želeno mehansko zanesljivost kompozita. Ojačitvena vlakna so lahko naravna, sintetična ali mešanica obeh, pomembno je le, da posedujejo ustrezne lastnosti za uporabo v cementni matrici [1 – 7]. Ko vse komponente zmešamo v optimalnem razmerju, nastane lahek, mehansko vzdržljiv, negorljiv, kemijsko stabilen in na vremenske vplive odporen material, ki se večinoma uporablja za strešne kritine in fasadne plošče. Tukaj se omejimo na valovite strešne plošče izdelane v redni proizvodnji podjetja Esal, d.o.o., ki je v lasti Eternita AG iz Švice. Podjetje Esal izdeluje in trži vlaknocementne strešne plošče, t.i. valovitke, ki se glede na število valov v plošči, 5 ali 8, označujejo krajše kar V5 ali V8 [8, 9]. V podjetju Esal redno preverjajo kakovost kritine s tritočkovnim upogibnim testom; navadno za to uporabijo nekaj vzorčnih plošč iz vsake serije, kar da po večletni serijski proizvodnji znatno število izmerjenih vrednosti upogibne trdnosti. Izkazalo se je, da lahko meritve upogibne trdnosti krhkih materialov dobro opišemo z dvoparametrično Weibullovo porazdelitvijo. Weibullova porazdelitev je zvezna verjetnostna porazdelitev s širokim področjem uporabe, v inženirstvu pa jo uporabljamo predvsem za analizo zanesljivosti tehničnih naprav in materialov. Najpomembnejši parameter je Weibullov modul, ki določa širino porazdelitvene funkcije. Krhki materiali, kot sta cement in keramika, imajo običajno Weibullov modul reda velikosti 10; pri teh vrednostih je Weibullova porazdelitev podobna Gaussovi normalni porazdelitvi, le da ni simetrična, ampak je bolj položna za majhne vrednosti in bolj strma za velike. Pri dvoparametrični Weibullovi porazdelitvi poleg Weibullovega modula določimo še umeritveni parameter, ki je mera za povprečno vrednost merjene veličine. Omenimo še, da je v nekaterih primerih ustreznejša uporaba triparametrične Weibullove porazdelitve, ki jo dobimo iz dvoparametrične tako, da dodamo še parameter premika [10 – 21]. Naš namen je raziskati primernost uporabe dvoparametrične Weibullove porazdelitve za opis upogibnih trdnosti valovitih strešnih plošč iz vlaknocementa. Podjetje Esal nam je omogočilo uporabo njihovih večletnih meritev prečne in vzdolžne upogibne trdnosti valovitih plošč V5 in V8. Ob tem so nas obvestili, da so avgusta 2010 v proizvodnji spremenili recept za mešanico vlaken. Izmerjene vrednosti smo tako obravnavali glede na datum izdelave, to je pred ali po avgustu 2010, poleg tega pa tudi posebej za plošče V5 in V8, ter za prečno in vzdolžno obremenitev. V diplomskem delu najprej vrednosti meritev upogibnih trdnosti v letih 2003 in 2014 grafično predstavimo z diagramom. Nato izračunamo Weibullove parametre po metodi linearne regresije v smeri x in y, metodi največje verjetnosti, metodi momentov in histogramski metodi. Pri metodi linearne regresije tudi primerjamo rezultate, pridobljene po različnih enačbah za izračun ocene verjetnosti, narišemo linearizirane diagrame in izračunamo korelacijski koeficient R. Za primerjavo med različnimi metodami za izračun Weibullovih parametrov nato pri vsaki metodi izračunamo ustrezni koeficient R2 ter narišemo Q – Q diagrame. Weibullove parametre nato izračunamo še z metodo histogramov. Potem izračunamo ustrezne standardne deviacije Weibullovih parametrov z Monte – Carlo simulacijami. Vrednosti upogibnih trdnosti za obdobje 2003 – 2014 tudi primerjamo med sabo po trimesečjih in v vseh primerih izračunamo ustrezni Weibullov modul in karakteristično trdnost. Končno še ocenimo mersko napako. Ugotovitve diplomskega dela strnimo v poglavju 4.. 2.

(10) 1.1 Vlaknocement Materiale, s katerimi se srečujemo v vsakdanjem življenju, lahko v splošnem delimo glede na število sestavnih komponent. Najosnovnejši so monolitni materiali, ki so zgrajeni iz ene same komponente, poznamo pa tudi kompozitne materiale oz. kompozite, ki so zgrajeni iz dveh ali več komponent. Prednost kompozitov je, da lahko pri optimalni sestavi mehanske lastnosti končnega materiala presežejo mehanske lastnosti posameznih komponent. Poznamo naravne in umetne kompozite; zgled prvih je denimo človeška kost, ki je v glavnem zgrajena iz hidroksi-apatita in kolagena: prvi ji daje značilno trdnost in trdoto, drugi poveča žilavost kosti in ji tako poveča odpornost proti zlomu. Med umetne kompozite pa spadajo tudi vlaknocementi. Vlaknocementi nastanejo z utrditvijo cementnega veziva (mešanice cementa in vode) z dodatnimi vlakni. Cementna matrica namreč značilno dobro prenaša tlačne in precej slabo natezne obremenitve, zato šele z dodatkom utrjevalnih vlaken, ki pri obremenitvi prevzamejo natezno napetost, dosežemo želeno mehansko zanesljivost kompozita. Ko vse komponente zmešamo v optimalnem razmerju, nastane lahek, mehansko vzdržljiv, negorljiv, kemijsko stabilen in na vremenske vplive odporen material, ki se večinoma uporablja za strešne kritine in fasadne plošče. Utrjevalna vlakna so lahko naravna, sintetična ali mešanica obeh, pomembno je le, da posedujejo ustrezne mehanske in kemijske lastnosti za uporabo v cementni matrici. Predvsem naj imajo vlakna čim večji Youngov elastični modul in natezno trdnost, tako da v kompozitu prevzamejo nase večino nateznih napetosti in jih tudi zdržijo, njihov maksimalni relativni raztezek pa naj bo majhen, tako da se kompozit pri obremenitvi ne deformira preveč. Zelo pomembna je tudi kohezija med vlakni in cementom, ki je v najboljšem primeru nekoliko manjša kot natezna trdnost vlaken. Tako se pri obremenitvi vlakna izpulijo, še preden se pretrgajo, za kar je potrebna dodatna energija; s tem se izboljša žilavost kompozita. Pregled lastnosti nekaterih za vlaknocemente primernih vlaken je podan v tabeli 1. Med ostalimi lastnostnmi omenimo še sposobnost homogenega dispergiranja v vodi, odpornost na visokoalkalno okolje cementne matrice in dolgo trajnostno dobo [1 – 7].. Vlakno Azbest Steklo Jeklo Ogljik Polipropilen Poliester Polivinilalkohol. E [GPa] 150 70 200 do 500 0,5-5 do 15 21. σ [MPa] 3600 1000-3500 2400-3800 2000-3000 200-550 800-1300 1150. ε [%] 0,1-0,3 2-5 1-2 <1 10-15 8-15 15. Trden stik da da ne ne ne ne ne. Kem. stab. da ne ne da da ne da. Tabela 1. Podatki za Youngov elastični modul (E), natezno trdnost (σ), maksimalni relativni raztezek do pretrganja (ε), trdnost stika med vlakni in cementom ter kemijsko stabilnost v alkalnem mediju nekaterih vlaken, primernih za uporabo v vlaknocementih [22].. Ugotovimo (tabela 1), da so azbestna vlakna z vidika mehanskih in kemijskih lastnostih izvrstna izbira za vlaknocementne kompozite. Žal ima izbira hudo pomanjkljivost: azbestna vlakna povročajo izredno nevarno bolezen, azbestozo, zato se v splošnem proizvodnja azbestcementov že nekaj časa opušča. V iskanju nadomestila azbestnih vlaken so se zelo izkazala vlakna iz polivinilalkohola (PVA), ki sicer nimajo optimalnih mehanskih in kemijskih lastnosti, a so povsem nestrupena in relativno poceni [1, 2].. 3.

(11) 1.2 Sestava in dimenzije valovitih strešnih plošč V diplomski nalogi se omejimo na valovito strešno kritino iz vlaknocementa, izdelano v redni proizvodnji podjetja Esal, d.o.o., ki je v lasti Eternita AG iz Švice. Podjetje Esal izdeluje in trži vlaknocementne strešne plošče, t.i. valovitke, ki se glede na število valov v plošči, 5 ali 8, označujejo krajše kar z V5 ali V8 [8, 9]. Esalove vlaknocementne strešne plošče so sestavljene iz več materialov, od katerih je najvažnejši izhodiščni material vezivo, to je portlandski cement, ki tvori osnovno matrico za vstavljanje in vezanje vlaken (slika 1). To surovino, sintrano iz apnenca in glinenega laporja, za Esalove plošče proizvaja podjetje Salonit Anhovo. Vezivu se nato dodajo polnila, med katere prištevamo razne dodatke, kot so npr. pocolanski dodatki, ki pospešujejo hidratacijo cementa. Delež vode, ki ostane v proizvodu še po zorenju, skrbi za nadaljnje utrjevanje cementa v vsej trajnostni dobi izdelka. Zrak v obliki mikroskopsko majhnih por daje prostor za razširitev vode pri zmrzovanju in tako preprečuje pokanje cementne matrice. Procesna vlakna so v glavnem celulozna vlakna, kakršna se uporabljajo v proizvodnji papirja; njihov namen je olajšati postopek izdelave vlaknocementov. Utrjevalna vlakna so vlakna iz polivinilalkohola (PVA), ki so se izkazala kot primerno nadomestilo za azbestna vlakna. Slednja so bila umaknjena iz proizvodnje zaradi nevarnosti za zdravje. V končnem izdelku so prostorninski deleži vseh sestavin tako okrog 40 % veziv, 11 % polnil, 12 % vode, 30 % zraka, 5 % procesnih vlaken in 2 % utrjevalnih vlaken [8, 9].. Slika 1. Sestavni materiali vlaknocementnih strešnih plošč so (a) portlandski cement, (b) dodatki, (c) celulozna vlakna, (d) utrjevalna vlakna iz PVA, (e) zrak in (f) voda [23].. Dimenzije valovitih strešnih plošč V5 so naslednje: širina W = 920 mm, dolžina L = 1250 mm, valovna dolžina profila P = 177 mm, višina profila (dvojna amplituda vala) H = 51 mm ter debelina T ≈ 6 mm (slika 1). Dimenzije plošč V8 pa so: W = 1000 mm, L = 1250 mm, P = 130 mm, H = 30 mm, T ≈ 6 mm. Pred kontrolo fizikalnomehanskih lastnosti plošče 24 ur namakajo v hladni vodi, da s tem simulirajo slabše vremenske pogoje, ki poslabšajo mehansko zanesljivost plošč [24].. 4.

(12) 1.3 Tehnološki postopek izdelave vlaknocementne strešne kritine Novembra 2015 sem obiskal podjetje Esal d. o. o. in si ogledal proizvodno linijo za vlaknocementno strešno kritino ter laboratorij za kontrolo kakovosti. Posnel sem tudi nekaj fotografij (slika 3).Valovite strešne plošče se proizvajajo po Hatchekovem mokrem navijalnem postopku [1]. Vse sestavine se najprej dispergirajo in homogenizirajo v vodnem mediju, nastala vlaknocementna suspenzija pa se nato filtrira in v tankih plasteh nabira na velikem kovinskem valju, dokler ni dosežena želena debelina plošče. Sledi opis proizvodnega postopka, ki ga uporablja podjetje Esal. Najprej v mlinu za dezintegracijo vlaken (''refiner'') vlakna celuloze dispergirajo in dezintegrirajo v vodnem mediju (slika 2). Nato pripravijo želeno mešanico PVAvlaken in celulozne suspenzije, ki je odvisna od tipa končnega izdelka, in jo homogenizirajo v turbopulperju. Potem v vodi dispergirajo cement, polnila in pripravljeno mešanico vlaken, tako da dobijo vlaknocementno suspenzijo. Nadaljujejo z mešanjem in homogeniziranjem vlaknocementne suspenzije, ki jo končno preko horizontalnega mešalnika in dodatnega homogenizatorja (kjer še uravnajo koncentracijo in filtracijske lastnosti vlaknocementne suspenzije) dozirajo ločeno v vsako kad osnovnega stroja za izdelovanje plošč [1, 8, 25, 26].. Slika 2. Shema procesa proizvodnje vlaknocementne strešne kritine. Voda (1), utrjevalna vlakna (2), celulozna vlakna (3), portlandski cement (4), mešalnik za vlakna (5), mešalnik za vlaknocementno suspenzijo (6), horizontalni mešalnik (7), stroj za izdelavo plošč (8), rezanje in oblikovanje plošč (9), enolistna stiskalnica (10), končni proizvod (11) [8].. Stroji za izdelovanje plošč delujejo po Hatschekovem principu. Vlaknocementna suspenzija se najprej pod vplivom hidrostatskega tlaka filtrira na treh cilindričnih kovinskih sitih. Filtrski sloj se nato nabira na tekočem traku iz filca, kjer se vakuumira in prenese na veliki nabiralni valj, kjer se oblikuje plast bodoče strešne plošče. Ko debelina svežega vlaknocemetnega sloja doseže predpisano vrednost, se sloj odreže in prenese na transportni trak, kjer ploščo obrežemo in oblikujemo na želene dimenzije. Odrezkov ne zavržejo, ampak jih preko posebnega mešalnika vrnejo v svežo vlaknocementno suspenzijo [1, 8, 25, 26]. 5.

(13) Slika 3. Fotografiji proizvodne linije. Levo je stiskalnica za vlaknocementne plošče, desno potek izmeničnega nalaganja plošč in kovinskih modelov na voziček.. Ko so plošče oblikovane na želene dimenzije, jih stisnejo s tlakom 10 MPa in naložijo na vozičke, kjer izmenično nalagajo plošče in kovinske modele (slika 3). Sledi zorenje plošč v ogrevani komori, kjer so plošče po 10 urah že dovolj trdne, da jih lahko ločijo od kovinskih modelov. Zorenje plošč nadaljujejo s postopkom klasičnega hidratiziranja cementa na zraku pri normalnem zračnem tlaku. Plošče skladiščijo najprej v neogrevanem prostoru pri 100-odstotni relativni vlagi, nato pa v navadnem pokritem skladišču. Po treh tednih zorenja so plošče pripravljene za preizkus mehanskih lastnosti, kjer preverijo kakovost in odobrijo odpremo plošč. Pred kontrolo mehanskih lastnosti plošče 24 ur namakajo v hladni vodi, da s tem simulirajo slabše vremenske pogoje, ki poslabšajo mehansko zanesljivost plošč [8, 14, 15, 16].. 1.4 Preizkus mehanskih lastnosti Preskusi mehanskih lastnosti valovitih strešnih plošč V5 in V8 potekajo v skladu z evropskim standardom EN 494 (SIST EN 494), od katerih se tukaj omejimo le na upogibno trdnost pri prečni in vzdolžni obremenitvi. Za meritve v Esalu uporabljajo laboratorijsko merilno napravo BP-10, Walter+Bai AG, Švica, ki ima merilno območje od 2 kN do 10 kN, ter pripadajočo programsko opremo. Za testiranje prečne obremenitve valovite plošče (slika 4 a) izvajajo tritočkovni upogibni test, kjer celotno valovito ploščo položijo prečno na nosilne podpore. Širina nosilne podpore je 50 mm, razmik med podporama pa je 1100 mm. Na zgornjo stran plošče potem položijo obremenilno palico širine 230 mm in vse stične površine z valovito ploščo pokrijejo s klobučevino ali podobno mehko tkanino. Naprava iz izmerjene lomne sile po numeričnem algoritmu samodejno izračuna prečno upogibno trdnost.. 6.

(14) Vzdolžni obremenilni preizkus (slika 4 b) je prav tako tritočkovni upogibni test, le da so tokrat nosilne podpore položene vzporedno z valovi plošče. Po standardu je treba odrezati manjši kos valovite plošče, dolžine vsaj L' = 300 mm, medtem ko razmik med nosilnimi podporami določa valovna dolžina profila preizkusne plošče. Nosilne podpore morajo biti zaobljene, prav tako na stične površine položijo kos mehke tkanine, tako kot pri prečni obremenitvi. Naprava nato iz izmerjene lomne sile po numeričnem algoritmu samodejno izračuna vzdolžno upogibno trdnost [8, 27].. Slika 4. Geometrija a) prečnega in b) vzdolžnega upogibnega testa za valovite strešne plošče V5; W je širina in L dolžina plošče, P je valovna dolžina profila ter H višina profila. L' je predpisana dolžina plošče za vzdolžni upogibni test, S pa je dvojna valovna dolžina profila. Ploščo obremenjujemo s silo F. Vse dolžine so v milimetrih [27]. Skrajno desno je fotografija merilne naprave za kontrolo upogibne trdnosti.. 7.

(15) 2. Teoretično ozadje 2.1 Napetostni tenzor Tenzor mehanske napetosti (ali kar napetostni tenzor) nam opiše stanje mehanskih obremenitev v obravnavanem materialu. Pri deformacijah se namreč v materialu pojavljajo napetosti, ki delujejo nasprotno vzroku deformacij. Te napetosti so posledica porazdelitve notranjih sil v telesu, ki uravnovešajo zunanje sile. V splošnem delimo napetosti glede na smer delovanja na normalne in tangencialne (strižne) napetosti. Komponenta sile F, ki deluje pravokotno na opazovani prerez S (normalna sila), povzroča normalno komponento tenzorja napetosti σ, medtem ko komponenti sile, ki sta vzporedni z opazovano ploskvijo (tangencialni komponenti) povzročata strižni komponenti napetosti. Normalne napetosti povzročajo raztezanje ali krčenje materiala (pri nategu ali tlaku), strižne napetosti pa so vzrok drsenja materiala (npr. pri strigu). Največjo možno napetost, ki jo material še lahko prenese preden se poruši, imenujemo trdnost [28]. V preprostem primeru, kot je recimo nateg ravne trdne palice, je telo enoosno obremenjeno. V tem primeru je palica obremenjena z natezno napetostjo s silo, ki je pravokotna na presek palice. Takrat je napetost σ skalar, podan kot količnik sile F in ploščine preseka palice S:. . F , S. (1). kar predstavlja povprečno vrednost napetosti, ki je enakomerno porazdeljena po površini preseka palice. Enota za napetost je Pa (N/m2). V splošnem pa napetost po preseku telesa ni enakomerno razporejena po površini opazovanega preseka, ampak je vrednost napetosti v točki dane površine različna od povprečne vrednosti napetosti po površini preseka. Vzemimo infinitizemalno majhen košček telesa pod mehansko obremenitvijo (slika 5), za katerega predpostavimo, da je zvezno nepretrgano sredstvo. Obravnavani košček naj bo v obliki kocke s ploščino mejnih ploskev S. σ33 σ31. σ32 σ23 σ22. σ13 σ11. x3. σ12. σ21. x2 x1 Slika 5. Komponente napetostnega tenzorja σij.. 8.

(16) Napetost v danem koščku telesa je tako po Cauchyu popolnoma definirana z devetimi komponentami napetostnega tenzorja 2. reda σ:   11  12  13      21  22  23  .    31  32  33 . (2). Napetostni tenzor je tako sestavljen iz normalnih napetosti σ11, σ22, in σ33 kot posledico sil, ki delujejo v smeri osi x1, x2 in x3 na stranice koščka; ter strižnih napetosti σ12, σ13, σ21, σ23, σ31 in σ32 kot posledico strižnih sil, ki delujejo v prečni smeri na ustrezne robove koščka. Komponente napetostnega tenzorja σij lahko krajše zapišemo kot.  ij . dFi , dS j. (3). kjer i označuje komponento sile in j označuje, za katero ploskev gre, kjer npr. dS1 označuje obe ploskvi, ki sta pravokotni na os x1. Kadar je košček v statičnem ravnovesju, velja, da sta sili na nasprotni ploskvi nasprotno enaki in da so vsi navori v ravnovesju. Napetostni tenzor je takrat simetričen okrog diagonale, kar pomeni, da je od devetih komponent le šest neodvisnih:.  ij   ji .. (4). Zapišemo še zvezo med napetostnim tenzorjem σij in deformacijskim tenzorjem eij: eij . 1 1    ij    kk   ij  , E. (5). kjer je ν Poissonovo razmerje, E elastični modul in δ Kroneckerjev simbol. Deformacijski tenzor eij nam sicer opiše premik posameznih delcev nekega telesa pri majhnih elastičnih deformacijah. Pri deformaciji telesa se namreč posamezni delci nekega telesa različno premaknejo, kar pri majhnih elastičnih deformacijah lahko opišemo s prvimi odvodi premikov, iz katerih nato sestavimo simetrični deformacijski tenzor: 1  u u j  eij   i  , 2  x j xi . (6). kjer smo premik posameznega delca označili z vektorjem 𝑢 ⃑ [28].. 2.2 Tritočkovni upogibni test Ravno palico oblike kvadra vpnemo med dva podpornika in jo v navpični smeri obremenimo s silo tako, da se srednji del palice upogne navzdol. Sedaj v mislih razrežimo palico na tanke plasti, ki naj bodo vzporedne z osjo palice in pravokotne na smer upogiba. Z vidika deformacij se pri upogibu zgornje plasti skrčijo, spodnje plasti raztegnejo, nekje na sredini palice pa poteka 9.

(17) nevtralna plast, ki se ne skrči ali raztegne, temveč se samo upogne. V nevtralni plasti palica ne čuti napetosti – tukaj je namreč prehod med tlačnimi in nateznimi napetostnmi. Z geometrijskega vidika pa lahko trdimo, da se plasti ukrivijo, to je, dobijo nek lokalni krivinski polmer R, ki je enak po debelini in širini palice, spreminja pa se po njeni dolžini. Velikost tlačnih oz. nateznih napetosti se veča z razdaljo od nevtralne plasti (slika 6) [28]. Koordinata x na sliki se spreminja vzdolž palice, koordinata z pa po njeni debelini.. 1,00 0,75. z=0 natezne napetosti z = T/4. 0,50. max. 0,25. z = T/2. 0,00 -0,25 -0,50. z = 3T/4. -0,75. tlačne -1,00 napetosti 0,00. z=T 0,25. 0,50. 0,75. 1,00. x/L Slika 6. Odvisnost napetosti v homogeni palici od koordinat x in z pri tritočkovnem upogibnem testu. Napetosti so normalizirane na največjo napetost σmax. L je dolžina in T debelina palice.. Za razlago napetosti je dovolj, da obravnavamo eno samo poljubno plast palice, ki je pod napetostjo. Njena koordinata naj bo z, koordinato nevtralne plasti pa označimo z z0. V smeri vzdolž osi palice tenzor napetosti definiramo kot.   E. z  z0 , R. (7). kjer je E elastični modul; izraz 1/R pa imenujemo ukrivljenost. Krivinski radij R in koordinato nevtralne ravnine izračunamo iz ravnovesja sil in navorov, kjer velja enačba. EI , (8) R kjer je M navor, ki ga povzoča obremenitvena sila, I pa je ploskovni vztrajnostni moment, preseka palice. Produkt EI zapišemo kot M. EI  W  E  z  z  z0  dz , T. 2. 0. (9). kjer je W širina palice in T njena debelina. Za palico iz homogenega materiala je elastični modul 10.

(18) vsepovsod enak, nevtralna ravnina je na polovici debeline z0 = T/2, tako integral v enačbi (9) posebej dobi obliko. I. WT 3 . 12. (10). Krivinski radij R dobimo iz funkcije navpičnega odmika nevtralne plasti palice od prvotne lege u(x). V točki x imata najbolje prilegajoča se krožnica z radijem R in funkcija u(x) skupno koordinato uy, skupno tangento (u') in skupno ukrivljenost (u''). Velja zveza 1  R. u y. 1  u . 3 2. .. (11). y. V primerih, ko palico upogibamo za relativno majhne odmike (u'(x) << 1) velja. 1  u y . R. (12). Pri tritočkovnem upogibnem testu obremenimo ravno homogeno palico v obliki kvadra na sredini njene dolžine L s silo F navzdol (slika 7). Takoj se pojavita drugi dve sili, vsaka po F/2, na vsakem koncu palice, tako da se vzpostavi ravnovesje sil. -F x. F/2. F/2. L/2. Slika 7. Tritočkovni upogibni test. Ravno palico dolžine L obremenjujejom s silo F.. Poudarimo, da gre v resnici za ploskovno porazdeljene sile; točkovna porazdelitev sil je le v dvodimenzionalni projekciji. Izberimo si na levi strani palice referenčno točko x, tako da velja 0 < x < L/2. Zaradi simetrije lahko točko izberemo tudi na desni strani palice. Ko računamo navor, povezan z enačbo (8) gledamo samo navore sil desno od izbrane točke; tako za tritočkovni test dobimo: F L (13)  L  x   F   x  , 2 2  kjer smo upoštevali, da ena sila želi zavrteti palico glede na izbrano točko v eno smer, druga sila pa v nasprotno. Največji navor palica čuti na polovici njene dolžine: M. M. 11. FL . 4. (14).

(19) Iz enačb (7, 8 in 14) lahko tudi izračunamo največjo napetost, ki jo čuti palica. Vzemimo, da je palica homogena, torej je elastični modul povsod enak, nevtralna plast z0 pa je na polovici njene debeline T/2. Največjo natezno napetost palica čuti na spodnji ploskvi palice, kjer je z = 0:.  max . FTL . 8I. (15). Enačbi (10 in 15) nato združimo v končno enačbo za izračun največje natezne napetosti, ki jo čuti palica (to je napetost na sredini njene spodnje ploskve, z = 0 na sliki 6):.  max . 3 FL . 2 WT 2. (16). Omenimo, da enačba (16) velja za idealno prožno homogeno palico v obliki kvadra (npr. pri krhki keramiki, ki je linearno prožna praktično do zloma), vendar v prvem približku velja tudi za nekatere druge krhke materiale, kot je vlaknocement. Zaradi zapletene geometrije valovite strešne kritine pa enačbe (16) ne moremo uporabiti direktno, temveč problem odvisnosti največje natezne napetosti od sile F rešujemo numerično. Merilna naprava v laboratoriju Esala ima zato vgrajen licenčni program za izračun napetosti pri obeh vrstah upogibnih testov. Dimenzijska analiza pokaže, da so sila in dimenzije plošče ter geometrija testa (razmik med spodnjima podporama) v enačbi (16) kvalitativno zagotovo prav postavljeni. Edino za geometrijski faktor lahko namesto preproste vrednosti 3/2 pričakujemo zapleteno kombinacijo dimenzij plošče. Vsekakor lahko glede na enačbo (16) npr. pričakujemo, da bo pri istem materialu (enaka vrednost upogibne trdnosti, če odmislimo statistične variacije) plošča z dvakrat večjo debelino T vzdržala štirikrat večjo testno silo pri enakih drugih pogojih.. 2.3 Dvoparametrična Weibullova porazdelitev V statistiki lahko nek proces opišemo tako, da najprej zabeležimo vrednosti meritev značilne veličine, ki ta proces opisuje [29]. Vrednosti meritev veličine lahko potem opišemo na več načinov, en način pa je, da interval vseh vrednosti, ki ji veličina zavzema, razdelimo na več manjših intervalov (t.i. predalčkov) in preštejemo, kolikokrat se vrednost merjene veličine pojavi znotraj posameznega predalčka. Pogostnost pojavljanja vrednosti meritev veličine znotraj posameznega predalčka definiramo z relativno frekvenco f. Kot primer vzemimo statistični vzorec N meritev veličine x, kjer je ni število meritev v i-tem intervalu. Relativno frekvenco vrednosti meritev za posamezni predalček (fi) tako izračunamo po enačbi:. fi . ni  pi , N. (17). kjer smo tudi definirali verjetnost pi, to je verjetnost, da se vrednost meritve veličine nahaja v i-tem predalčku. V primeru, da število vseh vrednosti meritev N limitira v neskončnost in širine posameznih predalčkov Δx limitirajo proti ničli, potem relativna frekvenca preide v funkcijo verjetnostne porazdelitve oz. gostote p(x): 12.

(20) f  p( x) .. i n  x 0. (18). Verjetnostna gostota p(x) (ali navadna porazdelitvena funkcija) je zvezna funkcija, kjer lahko vrednost opazovane veličine x zavzame katerokoli vrednosti iz intervala vseh možnih vrednosti. Verjetnost, da vrednost meritve veličine x zavzame točno določeno vrednost, je statistično enaka nič, zato nas pri verjetnostni gostoti običajno zanima verjetnost, da vrednost i-te meritve veličine x (označimo jo z xi) leži med izbranima vrednostnima a in b (slika 8), kar izračunamo z določenim integralom b. P(a  x  b)   p( x)dx . a. (19). Slika 8. Zvezna verjetnostna porazdelitev p(x) vrednosti veličine x. Verjetnost, da se xi nahaja med a in b je enaka ploščini pod krivuljo verjetnostne porazdelitve na intervalu med a in b.. Omenimo še, da je verjetnostna gostota normalizirana, kar pomeni, da je verjetnost, da vrednost xi leži med najmanjšo in največjo možno vrednostjo enaka 1:. . xmax. xmin. p( x)dx  1 .. (20). V primeru, da nas zanima verjetnost, da je vrednost xi manjša od izbrane vrednosti x, v enačbi (20) za spodnjo mejo integrala postavimo xmin, ki predstavlja teoretično najmanjšo možno vrednost veličine x. Tako dobimo kumulativno verjetnostno funkcijo P(x). P( x)  . x. xmin. 13. p( x ')dx ' ,. (21).

(21) ki jo lahko, podobno kot verjetnostno gostoto, uporabimo za opis porazdelitve. Navadna in kumulativna verjetnostna funkcija sta torej dva načina, kako lahko opišemo porazdelitev vrednosti opazovane veličine. Weibullova porazdelitev spada v družino zveznih verjetnostih porazdelitev. Kot takšno jo lahko opišemo z navadno (p(x)) in kumulativno (P(x)) verjetnostno funkcijo, ki se za dvoparametrično Weibullovo porazdelitev glasita takole:. m  x p( x)     x0  x0 . P( x)  1  e. m 1. e.  x    x0 .  x     x0 . m. (22). m. ,. (23). kjer sta Weibullova parametra Weibullov modul (m) in umeritveni parameter (x0) [10, 11]. Weibullov modul je brez dimenzije in določa obliko porazdelitvene funkcije, umeritveni parameter ima dimenzijo spremenljivke x in je običajno za nekaj odstotkov večji od povprečne vrednosti merjene veličine. Pri večjih vrednostih m je graf Weibullove porazdelitvene funkcije p(x) ožji in maksimum je višje (slika 9), pri večjih vrednostih x0 pa se porazdelitev začne in konča pri večjih vrednostih, maksimum je nižje (ker je ploščina pod krivuljo v vseh primerih enaka 1). Krivulja kumulativne Weibullove porazdelitve P(x) ima pri večjih m večjo strmino (slika 10), medtem ko se pri večjih x0 začne in konča pri večjih vrednostih, strmina je manjša. 6 5. m = 15. 4. p. m = 10 3 2. m=5 1 0 0,0. 0,5. 1,0. 1,5. 2,0. x Slika 9. Graf navadne porazdelitvene funkcije p(x) dvoparametrične Weibullove porazdelitve veličine x pri različnih vrednostih Weibulovega modula m. Vse tri krivulje so v vodoravni smeri normalizirane tako, da je x0 = 1, kar je enako, kot če bi na vodoravni osi vzeli spremenljivko x/x0 namesto x.. 14.

(22) 1,0. 0,8. m = 15. 0,6. P. m = 10. x = x0. 0,4. P = 63,2 % m=5. 0,2. 0,0 0,0. 0,5. 1,0. 1,5. 2,0. x Slika 10. Graf kumulativne funkcije P(x) dvoparametrične Weibullove porazdelitve veličine x pri različnih vrednostih Weibulovega modula m. Glede x0 velja enako kot pri sliki 9.. Pri statistični obravnavi podatkov navadno poiščemo povprečno vrednost in standardno deviacijo, saj nam ti dve vrednosti opišeta osnovne statistične lastnosti obravnavanega niza podatkov. Povprečna vrednost (<x>) spremenljivke x nam prikaže vrednost celotnega statističnega vzorca v enem samem karakterističnem izrazu, kot taka nam torej predstavi najbolj tipične predstavnike obravnavanega niza podatkov [28]. Za vrednosti meritev veličine x povprečno vrednost porazdelitve p(x) definiramo kot .  x   xp( x)dx , 0. (24). kjer pri Weibullovi porazdelitvi za p(x) uporabimo enačbo (22) [10, 11]. Povprečno vrednost za Weibullovo porazdelitev tako definiramo kot.  1  x  x0 1   ,  m kjer je Γ gama funkcija, ki je definirana kot: . (a)   t a 1e1dt . 0. (25). (26). Za statistično analizo nekega niza podatkov je torej povprečna vrednost koristna, ker nam predstavi tipično vrednost niza kot celote in nam tako omogoči primerjavo med nizi podatkov, 15.

(23) vendar nam povprečna vrednost zabriše razlike med posameznimi vrednostnmi, le-te razlike pa so lahko velike ali majhne. Posamezne vrednosti so namreč lahko zelo oddaljene od povprečne vrednosti, lahko so enakomerno porazdeljene ali nakopičene okrog povprečja, pa je kljub temu povprečna vrednost dveh različnih statističnih vzorcev lahko enaka. Zato običajno izračunamo tudi standardno deviacijo δ, ki je mera za tipično odstopanje vrednosti od povprečja [10, 11, 28]. Standardno deviacijo vrednosti meritev veličine x definiramo kot.    x2    x 2 .. (27). Za dvoparametrično Weibullovo porazdelitev dobi enačba (27) obliko:  . 2.  . 1.   x0  1     2 1   . m m . . (28). Enačbi (25 in 28) sicer izhajata iz splošnejše enačbe, ki velja za Weibullovo porazdelitveno funkcijo, izpeljemo pa jo lahko iz same definicije gama funkcije:.  n  x n  x0 1   .  m. (29). 2.4 Metode ocenitve Weibullovih parametrov Metoda momentov Bistvo metode momentov je, da določimo parametre Weibullove porazdelitvene funkcije tako, da se teoretična pričakovana vrednost in standardna deviacija čim bolj ujemata z ustreznimi vrednostnmi, ki ju izračunamo iz empiričnih podatkov [30]. Za izračun obeh parametrov tako potrebujemo dve enačbi. Prvo enačbo dobimo tako, da izračunamo povprečno vrednost veličine iz empiričnih podatkov po enačbi.  x . 1 N  xi x i 1. (30). in jo enačimo z teoretično povprečno vrednostjo, definirano po enačbi (25), kjer sta m in x0 še neznanki. Za drugo enačbo imamo dve možnosti, kjer je prva možnost, da iz empiričnih podatkov izračunamo standardno deviacijo po enačbi (27) in jo enačimo s teoretično standardno deviacijo, ki jo izračunamo po enačbi (28). Druga možnost pa je, da izračunamo povprečni kvadrat meritev iz empiričnih podatkov po enačbi.  x 2 . 1 N. . N 2 i 1 i. x. (31). in ga enačimo s teoretično pričakovanim povprečnim kvadratom meritev, ki je definiran kot 16.

(24) 2   x 2  x02 1   .  m. (32). V vsakem primeru dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama m in x0, ki ju izračunamo numerično. Metoda največje verjetnosti Pri metodi največje verjetnosti poiščemo parametre Weibullove funkcije tako, da se krivulja kar se da dobro prilega danim podatkom xi [30, 31, 32]. Iz empiričnih vrednosti, pričakovane oblike porazdelitvene funkcije in njenih zaenkrat še neznanih parametrov sestavimo funkcijo Y: Y  ln(1 p(m, x0 ; xi ))  1 ln( p(m, x0 ; xi )) . N. N. (33). Funkcija Y je sorazmerna z logaritmom produkta verjetnosti, da smo pri eni meritvi izmerili x1, pri drugi x2 itd. Vzamemo, da je niz izmerjenih vrednosti najbolj verjeten, torej je produkt verjetnosti največji. Bolj, kot se krivulja prilega meritvam, večjo vrednost funkcije Y dobimo, kjer vrednost 1 pomeni popolno prileganje. Enačbo odvajamo po iskanih parametrih m in x0 in dobimo enačbi 1  m. . N 1. ln( xi ) xim. . N 1. m i. x. . 1 N. . N 1. ln( xi ) ,. (34). 1.   N xim  m  , x0   1  N   . (35). ki ju rešimo numerično. Iz enačbe (34) najprej izračunamo m, nato iz enačbe (35) izračunamo x0. Metoda linearne regresije Pri linearni regresiji iščemo krivuljo, ki se najbolje prilega podatkom, le da je ta krivulja kar premica y = kx + n [30]. Poiskati moramo torej parametra k in n; da to lahko storimo, moramo podatke najprej linearizirati. Postopek iskanja parametrov začnemo s statističnim vzorcem N vrednosti veličine x, ki jih označimo z xi. Najprej vrednosti uredimo po velikosti, da si sledijo od najmanjše do največje. Potem vsaki vrednosti xi posebej priredimo oceno verjetnosti Pi, kar lahko storimo na več načinov, običajno pa se uporabi ena izmed naslednjih enačb:. 17.

(25) P(i ) . i  0,5 , N. (36a). P(i ) . i , N 1. (36b). P(i ) . i  0,3 , N  0, 4. (36c). P(i ) . i  0,375 . N  0, 25. (36d). Tako nastalim N urejenim parom (xi, Pi) nato priredimo kumulativno Weibullovo funkcijo (23), ki se jim najbolje prilega. Da lahko to storimo, moramo najprej funkcijo linearizirati, to je izraziti v obliki y = kx' – n. Enačbo (23) najprej dvakrat logaritmiramo in dobimo.  1  ln ln    m  ln x  ln x0  .  1 P . (37). Enačba (37) že predstavlja enačbo premice y = kx' – n, zato vpeljemo novi spremenljivki y in x' in definiramo parametra k in n:.  1  y  ln ln  ,  1 P . (38). x '  ln x ,. (39). k m,. (40). n  m ln x0 .. (41). Kot vidimo, je strmina premice k, ki opisuje pare (xi, yi) kar enaka Weibullovemu modulu. Odstopanje od premice lahko minimiziramo tako, da poiščemo minimalno odstopanje v smeri x in y ali pa v smeri pravokotno na premico (xy). Z metodo linearne regresije torej izračunamo Weibullova parametra, pri katerih se premica najbolje prilega parom točk (xi, yi). Kakovost prilagoditve ocenimo z korelacijskim koeficientom R, ki ga definiramo kot. 18.

(26) R.  xi yi    xi  yi .  x y. ,. (42). ki pove, koliko vrednosti meritev odstopajo od najbolje prilegajoče se premice, kjer R = 1 pomeni popolno ujemanje. Histogramska metoda Metoda histogramov je uporabna le za velike statistične vzorce. Vse vrednosti merjene veličine x najprej uredimo po velikosti od najmanjše do največje. Nato jih prerazporedimo v N ''predalčkov'' z enako širino Δx in preštejemo število vrednosti ni v vsakem predalčku. Pri določanju širine predalčkov moramo biti pazljivi, da ne združimo preveč meritev vrednosti v isti predalček, ker tako izgubimo preveč informacij o porazdelitvi. Po drugi strani širina predalčkov ne sme biti premajhna, ker nam tako v posameznem predalčku ne ostane dovolj podatkov. Tukaj se moramo zanesti predvsem na svoj občutek, da dosežemo želeno preglednost in poudarimo zakonitost, ki jo proučujemo. Potem vsakemu (i-temu po vrsti) predalčku priredimo točko (xi, ni), kjer je xi vrednost x v sredini predalčka. Končno poiščemo funkcijo p(x) tako, da se najbolje prilega vsem točkam (xi, ni) (slika 11). V primeru, da je porazdelitev Weibullova, za p(x) uporabimo enačbo (22).. Slika 11. Primer histograma relativnih frekvenc veličine x z dodano najbolje prilegajočo se porazdelitveno funkcijo.. 2.5 Monte – Carlo simulacije V statistični fiziki se za opis nekega procesa ali pojava pogosto uporabljajo numerične simulacije z uporabo generatorja naključnih števil. Generirana naključna števila, ki so zelo uporabna pri numeričnem reševanju fizikalnih in matematičnih problemov, seveda niso povsem naključna, saj so generirana z determinističnim algoritmom. Generator naključnih števil nam generira enakomerno porazdeljena naključna števila velikosti od 0 do 1. Porazdelitvena funkcija, ki temu ustreza je pR(r) = 1. Vzemimo, da simuliramo naključno vrednost spremenljivke x tako, da velja a ≤ x ≤ b, ustrezna porazdelitvena funkcija pa je p(x). Iščemo torej funkcijsko zvezo r  x. Ker sta ustrezni verjetnosti enaki, za preslikavo intervala širine 19.

(27) dx v interval širine dr velja: pR  r  dr  p ( x)dx .. (43). pR  r  dr   p ( x)dx ,. (44). Enačbo (43) integriramo. . r. 0. x. a. kjer za pR(r) = 1 dobimo x. r   p( x)dx  P( x) . a. (45). Na desni strani imamo definirano kumulativno porazdelitveno funkcijo P(x), ki jo uporabljamo pri Monte – Carlo simulacijah. Da dobimo vrednost spremenljivke x, enačbo (45) obrnemo: x  P 1 (r ) .. (46). V našem primeru, kjer je porazdelitev Weibullova, za P(x) uporabimo enačbo (23), ter kot spremenljivko vzamemo upogibno trdnost σ. Enačba (46) tako dobi obliko: 1.   1  m    0   ln   .   1  r . (47). Naključne vrednosti upogibne trdnosti σ nato simuliramo na podlagi vhodnih parametrov σ0 in m [33].. 20.

(28) 3. Rezultati raziskave Na razpolago imamo vrednosti meritev upogibne trdnosti σ pri prečni in vdolžni obremenitvi vlaknocementnih strešnih plošč V5 in V8, pridobljene pri rednih kontrolah v velikoserijski proizvodnji podjetja Esal v letih 2003 in 2014. Podatke obravnavamo posebej glede na tip plošče (V5 ali V8), način preizkusa (prečna ali vzdolžna obremenitev) ter periodo izdelave avgusta 2010 so namreč v podjetju Esal spremenili recept za vlaknocementno suspenzijo, zato meritve za plošče, izdelane po avgustu 2010, obravnavamo posebej. Skupno torej obravnavamo osem različnih statističnih vzorcev vrednosti upogibne trdnosti valovitih strešnih plošč. Število meritev je različno za vsak statistični vzorec (glej tabelo 2). Pred avg. 2010 N. Po avg. 2010 N. Prečno Vzdolžno. 2545 2546. 556 556. Prečno Vzdolžno. 1092 1095. 321 321. V5 V8. Tabela 2. Število meritev (N) upogibne trdnosti valovitih strešnih plošč V5 in V8 med leti 2003 in 2014, ločeno glede na tip preizkusa in periodo izvedbe meritve.. V podjetju Esal izdelajo več plošč V5 kot V8, zato imamo na razpolago več kontrolnih meritev za plošče V5, poleg tega imamo več podatkov za periodo pred avgustom 2010. Po velikosti je najmanjši statistični vzorec za plošče V8, izdelane po avgustu 2010, to je 321 podatkov, kar pa je še vedno več kot dovolj za zanesljivo Weibullovo porazdelitev, za katero se sicer priporoča minimum 30 podatkov.. 3.1 Diagrami vrednosti meritev upogibnih trdnosti strešne kritine Vse vrednosti meritev upogibne trdnosti najprej predstavimo na diagramu, kjer jih uredimo po časovnem zaporedju od prve, izmerjene leta 2003, do zadnje, izmerjene leta 2014 (slika 12 15). Za vsak diagram tako združimo dva statistična vzorca: pred avgustom 2010 in po avgustu 2010. Diagrame nato naredimo posebej za plošče V5 in V8 ter za prečno in vzdolžno upogibno obremenitev; torej skupno naredimo štiri diagrame. Zaporedno številko meritve označimo z i, prečno oz. vzdolžno upogibno trdnost pa s σ. Na diagramih z rdečo črto označimo zaporedno številko zadnje meritve pred avgustom 2010, ki predstavlja zadnjo kontrolno meritev upogibne trdnosti plošč, izdelanih pred spremembo recepta za vlaknocementno suspenzijo. Upogibne trdnosti plošč, izdelanih po novem receptu so tako na diagramu desno od rdeče črte. Zanima nas, ali opazimo kakšno spremembo v vrednostih meritev glede na zaporedno številko izvedene meritve.. 21.

(29) 32 30 28 26. [MPa]. 24 22 20 18 16 14 12 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. 3000. 3500. i. Slika 12. Diagram vrednosti meritev prečne upogibne trdnosti (σ) za plošče V5 v letih 2003 in 2014. Meritve so nanizane v časovnem zaporedju, kjer je i zaporedna številka meritve. Rdeča črta je postavljena pri 2545-ti meritvi, katera je bila izvedena avgusta 2010.. 20. 18. [MPa]. 16. 14. 12. 10. 8 0. 500. 1000. 1500. 2000. 2500. 3000. 3500. i. Slika 13. Diagram vrednosti meritev vzdolžne upogibne trdnosti (σ) za plošče V5 v letih 2003 in 2014. Meritve so nanizane v časovnem zaporedju, kjer je i zaporedna številka meritve. Rdeča črta je postavljena pri 2546-ti meritvi; slednja je bila izvedena avgusta 2010.. 22.

(30) Za plošče V5 je najmanjša izmerjena prečna upogibna trdnost 11,6 MPa, največja pa je 32,5 MPa (slika 12). Pred avgustom 2010 (levo od rdeče črte) opazimo približno enakomeren raztros vrednosti meritev okrog povprečne vrednosti, ki jo vizualno ocenimo na 22 MPa. Odstopanj od povprečne vrednosti je več pri vrednostih meritev, ki so manjša od ocenjenega povprečja. Po avgustu 2010 (desno od rdeče črte) je raztros občutno manjši, vrednosti meritev so bolj zgoščene okrog povprečne vrednosti, za katero vizualno ocenimo, da se je nekoliko povečala, na 23 MPa. Odstopanj od povprečja je manj; po avgustu 2010 vrednosti meritev prečne upogibne trdnosti nikoli ne zavzamejo vrednosti manjše od 20 MPa. Vrednosti meritev vzdolžne upogibne trdnosti plošč V5 se gibljejo med najmanjšo pri 8,3 MPa in največjo pri 20,3 MPa (slika 13). Pred in po avgustu 2010 ne opazimo bistvene razlike; raztros vrednosti je približno enakomeren za obe periodi, tudi povprečna vrednost, katero vizualno ocenimo na 15 MPa, se ne spremeni bistveno za obdobje po avgustu 2010.. 28 26 24 22. [MPa]. 20 18 16 14 12 10 8 6 0. 200. 400. 600. 800. 1000. 1200. 1400. 1600. i Slika 14. Diagram vrednosti meritev prečne upogibne trdnosti (σ) za plošče V8 v letih 2003 in 2014. Meritve so nanizane v časovnem zaporedju, kjer je i zaporedna številka meritve. Rdeča črta je postavljena pri 1092-ti meritvi; slednja je bila izvedena avgusta 2010.. 23.

(31) 20. 18. [MPa]. 16. 14. 12. 10. 8 0. 200. 400. 600. 800. 1000. 1200. 1400. 1600. i Slika 15. Diagram vrednosti meritev vdolžne upogibne trdnosti (σ) za plošče V8 v letih 2003 in 2014. Meritve so nanizane v časovnem zaporedju, kjer je i zaporedna številka meritve. Rdeča črta je postavljena pri 1095-ti meritvi; slednja je bila izvedena avgusta 2010.. Za plošče V8 je najmanjša izmerjena prečna upogibna trdnost 7,3 MPa, največja pa je 27,8 MPa (slika 14). Pred avgustom 2010 (levo od rdeče črte) opazimo enakomeren raztros vrednosti meritev okrog povprečne vrednosti, ki jo ocenimo na 21 MPa. Po avgustu 2010 (desno od rdeče črte) je raztros manjši, vrednosti meritev so bolj zgoščene okrog povprečne vrednosti, za katero ocenimo, da se je povečala na 24 MPa. Odstopanj od povprečja je manj; po avgustu 2010 vrednosti meritev prečne upogibne trdnosti ne zavzamejo vrednosti manjše od 17 MPa. Vrednosti meritev vzdolžne upogibne trdnosti plošč V8 se gibljejo med najmanjšo pri 9,14 MPa in največjo pri 18,7 MPa (slika 15). Pred in po avgustu 2010 ne opazimo bistvene razlike; raztros vrednosti je približno enakomeren za obe periodi, tudi povprečna vrednost, katero ocenimo na 14 MPa, se ne spremeni bistveno za obdobje po avgustu 2010. Vidimo (slika 12 15), da je sprememba recepta za vlaknocemento suspenzijo imela večji vpliv na prečno upogibno trdnost kot na vzdolžno upogibno trdnost; za prečne upogibne trdnosti po avgustu 2010 opazimo manjši raztros okrog povprečne vrednosti in tudi manj odstopanj od povprečja. Ocenimo tudi tipično vrednost upogibne trdnosti plošč V5 in V8, ki je 22 MPa za prečno upogibno trdnost in 15 MPa za vzdolžno upogibno trdnost.. 3.2 Izračun Weibullovih parametrov po različnih metodah Zanima nas, kako dobro Weibullova porazdelitev opiše naše vrednosti upogibnih trdnosti strešnih plošč. Primerjamo rezultate, pridobljene po treh različnih metodah: metodi linearne regresije v x in y smeri (xLR in yLR), metodi največjega ujemanja (ML) in metodi momentov (MM) (tabela 3). Kasneje bomo posebej obravnavali še metodo histogramov. Oceno verjetnosti pri metodi LR izračunamo po enačbi (36a). Za izračun parametrov uporabimo osem različnih statističnih vzorcev, ki so navedeni v tabeli 2. Zanimajo nas razlike med rezultati, ki jih dobimo po različnih metodah, kot tudi same vrednosti Weibullovih parametrov glede na periodo in tip preizkusa. Pri diagramih σi (slika 12 - 15) smo že kvalitativno ocenili vpliv spremembe recepta 24.

(32) za vlaknocementno suspenzijo na upogibno trdnost plošč, sedaj pa želimo to spremembo med ploščami glede na periodo opisati tudi kvantitativno, kjer nas zanimajo predvsem vrednosti Weibullovega modula. m V5 prečno xLR yLR ML MM V5 vzdolžno xLR yLR ML MM V8 prečno xLR yLR ML MM V8 vzdolžno xLR yLR ML MM. Pred avg. 2010 σ0 [MPa]. m. Po avg. 2010 σ0 [MPa]. 10,3099 10,2562 9,57870 10,1870. 22,6330 22,6396 22,6570 22,6464. 18,2012 17,3300 14,0657 17,2009. 24,1094 24,1479 24,2060 24,1520. 12,1829 11,6955 9,75590 11,3815. 14,9749 15,0090 15,0607 15,0241. 12,4526 12,2308 10,8309 12,0208. 15,6597 15,6729 15,7102 15,6834. 11,9456 11,4048 10,2673 11,4647. 21,8305 21,8806 21,9123 21,8717. 17,5336 17,2937 16,4822 17,5387. 24,1005 24,1115 24,1079 24,1020. 12,2215 11,7016 9,73650 11,3955. 14,5355 14,5660 14,6178 14,5802. 13,7001 13,2211 11,3933 13,0015. 14,7062 14,7287 14,7696 14,7372. Tabela 3. Primerjava vrednosti Weibullovega modula (m) in karakteristične trdnosti (σ0) za vrednosti meritev upogibne trdnosti strešnih plošč V5 in V8, izračunanih po metodi linearne regresije v y smeri (yLR), metodi največjega ujemanja (ML) metodi momentov (MM). Vrednosti smo izračunali za periodi pred in po avgustu 2010 ter za prečni in vzdolžni upogibni preizkus. Števila meritev so navedena v tabeli (2). Vrednosti za karakteristično trdnost so navedene v MPa.. Opažanja, ki sledijo, so zelo podobna tako pri ploščah V5 kot pri V8, zato naslednje ugotovitve veljajo za oba tipa plošč. Med metodami so odstopanja reda velikosti 3 % za Weibullov modul in reda velikosti 0,1 % za karakteristično trdnosti. Metoda ML izstopa, v vseh primerih nam daje nekoliko nižje vrednosti, sicer pa lahko trdimo, da vse metode dajo podobne rezultate. Weibullov modul je v obdobju pred avgustom 2010 reda velikosti 10 tako pri prečnem kot pri vzdolžnem upogibnem preizkusu. V obdobju po avgustu 2010 opazimo bistveno povečanje Weibullovega modula pri prečnem upogibnem preizkusu, kjer se poveča na red velikosti 17. Pri vzdolžnem upogibnem preizkusu se Weibullov modul poveča relativno malo, na red velikosti 12. V obdobju pred avgustom 2010 so vrednosti karakteristične trdnosti reda velikosti 22 MPa pri prečnem upogibnem preizkusu in reda velikosti 15 MPa pri vzdolžnem upogibnem preizkusu. V obdodbju po avgustu 2010 se karakteristična trdnost poveča na 24 MPa pri prečnem upogibnem preizkusu, pri vzdolžnem upogibnem preizkusu pa se ne spremeni, temveč ostane reda velikosti 15 MPa. Seveda nas zanima, kaj pomenijo vrednosti Weibullovega modula in karakteristične trdnosti v praksi. Začnimo z karakteristično trdnostjo. Parameter karakteristične trdnosti je povezan s povprečno vrednostjo upogibne trdnosti plošč in je običajno le nekaj odstotkov večji od nje, 25.

(33) zato si seveda proizvajalec želi, da bi bil ta parameter čim večji. Večja karakteristična trdnost torej v praksi pomeni, da plošče (v povprečju) prenesejo večje upogibne napetosti, preden se zlomijo. V našem primeru se karakteristična trdnost pri prečnem upogibnem preizkusu poveča relativno malo, pri vzdolžnem upogibnem preizkusu pa se bistveno ne spremeni, zato lahko rečemo, da strešne plošče, izdelane po avgustu 2010 sicer (v povprečju) prenesejo nekaj večje obremenitve pri prečnem upogibnem preizkusu, vendar so še vedno primerljive s ploščami izdelanimi pred avgustom 2010. Pri vzdolžnem upogibnem preizkusu ni bistvenih razlik v upogibni trdnosti med ploščami izdelanim pred in po avgustu 2010. Vendar si proizvajalec ne želi samo, da njegove plošče prenesejo čimvečje upogibne napetosti, ampak tudi oz. mu je celo pomembnejše, da je plošč, ki počijo že pri relativno majhnih napetostih čim manj. V praksi so namreč problematične plošče, ki počijo pri majhnih napetostih. Tako je od obeh Weibullovih parametrov pomembnejši Weibulov modul m, ki določa obliko porazdelitvene funkcije. Pri večjih m je graf porazdelitve ožji in višji, kar pomeni manjšo standardno deviacijo in s tem manjše odstopanje vrednosti od povprečja. Za primer vzemimo neko serijo plošč: dobra serija ima večji Weibullov modul, kar v praksi pomeni, da manj plošč poči pri relativno majhnih obremenitvah; pravimo, da je takšna serija zanesljivejša. Dobra vlaknocementna strešna kritina ima Weibullov modul reda velikosti 10. Pri naših ploščah se je glede na periodo Weibullov modul iz reda velikosti modula dobre strešne kritine še povečal, in sicer na 17 pri prečnem in na 12 pri vzdolžnem upogibnem preizkusu, torej lahko rečemo, da so plošče izdelane po avgustu 2010 zanesljivejše od plošč, izdelanih pred avgustom 2010. Dalje tudi sklepamo, da utrjevalna vlakna bolj prispevajo k prečni kot k vzdolžni upogibni trdnosti, kar je sicer posledica usmerjenosti vlaken. Zaradi mokre narave postopka izdelave se namreč večji del vlaken usmeri vzdolž plošče, ki zato prenesejo večjo obremenitve v prečni kot v vzdolžni smeri; podobno kot npr. navaden list papirja lažje raztrgamo vzdolž celuloznih vlaken. Potrditev vpliva usmerjenosti vlaken na upogibno trdnost nam torej daje spodbudo za nadaljnje raziskave možnosti izboljšanja mehanskih lastnosti vlaknocementne strešne kritine na osnovi večjega nadzora usmerjenosti vlaken.. 3.3 Primerjava različnih enačb za oceno verjetnosti pri metodi linearne regresije Zanima nas primerjava vrednosti Weibullovega modula m in karakteristične trdnosti σ0, izračunanih po metodi linearne regresije v x in v y smeri (xLR in yLR). Zanima nas tudi odvisnost rezultatov od različnih enačb P(i) za izračun ocene verjetnosti (rank estimator). Zato izvedemo primerjavo vseh štirih enačb (36a – d), ki jih uporabimo za izračun ocene verjetnosti pri metodi xLR in yLR; skupno torej primerjamo 8 možnih načinov, kako izračunati vrednosti Weibullovih parametrov z metodo linearne regresije. Primerjavo naredimo na dveh statističnih vzorcih in sicer za vrednosti meritev prečne upogibne trdnosti plošč V5 pred in po avgustu 2010 (tabela 4, 5). Poleg tega za primerjavo rezultatiov v vseh primerih izračunamo še korelacijski faktor R.. 26.

(34) Metoda xLR yLR xLR yLR xLR yLR xLR yLR. P(i). m. σ0 [MPa]. R [%]. P(i ) . i  0,5 N. 10,3099. 22,6330. 99,74. 10,2562. 22,6396. 99,74. P(i ) . i N 1. 10,2615. 22,6365. 99,76. 10,2124. 22,6426. 99,76. P(i ) . i  0,3 N  0, 4. 10,2885. 22,6346. 99,75. 10,2373. 22,6409. 99,75. P(i) . i  0,375 N  0, 25. 10,2961. 22,6340. 99,75. 10,2441. 22,6405. 99,75. Tabela 4. Primerjava vrednosti Weibullovega modula (m) in karakteristične trdnosti (σ0) izračunanih z metodo xLR in yLR. Primerjali smo tudi štiri različne enačbe P(i) za računanje ocene verjetnosti. Uporabili smo 2545 podatkov vrednosti meritev prečne upogibne trdnosti za plošče V5 pred avgustom 2010. Podan je tudi korelacijski koeficient (R).. Metoda xLR yLR xLR yLR xLR yLR xLR yLR. P(i). m. σ0 [MPa]. R [%]. P(i ) . i  0,5 N. 18,2012. 24,1094. 97,58. 17,3300. 24,1479. 97,58. P(i ) . i N 1. 17,9033. 24,1169. 97,81. 17,1280. 24,1519. 97,81. P(i ) . i  0,3 N  0, 4. 18,0669. 24,1129. 97,69. 17,2423. 24,1496. 97,69. P(i) . i  0,375 N  0, 25. 18,1141. 24,1117. 97,65. 17,2738. 24,1490. 97,65. Tabela 5. Primerjava vrednosti Weibullovega modula (m) in karakteristične trdnosti (σ0), izračunanih z metodo xLR in yLR. Primerjali smo tudi štiri različne enačbe P(i) za računanje ocene verjetnosti. Uporabili smo 556 podatkov vrednosti meritev prečne upogibne trdnosti za plošče V5 po avgustu 2010. Podan je tudi korelacijski koeficient (R).. Odstopanja med metodo xLR in yLR so zelo majhna: reda velikosti 0,5 % za Weibullov modul in reda velikosti 0,02 % za karakteristično trdnost pri vrednostih meritev upogibne trdnosti pred avgustom 2010. Po avgustu 2010 so odstopanja nekoliko večja: reda velikosti 5 % za Weibullov modul in reda velikosti 0,2 % za karakteristično trdnost, kar pa so še vedno zanemarljiva odstopanja, če primerjamo korelacijski koeficient, ki je popolnoma identičen v obeh primerih. Vidimo, da je praktično vseeno, ali uporabimo metodo xLR ali yLR za izračun Weibullovih parametrov. V nadaljevanju bomo zato računali linearno regresijo samo v y smeri. Primerjava rezultatov, pridobljenih po štirih različnih različnih enačbah P(i) za računanje ocene verjetnosti pokaže odstopanja reda velikosti 0,5 % za Weibullov modul in odstopanja reda velikosti 0,002 % za karakteristično trdnost pri vrednostih meritev upogibne trdnosti za obdobje 27.

(35) pred avgustom 2010. Po avgustu 2010 so odstopanja večja; reda velikosti 2 % za Weibullov modul in reda velikosti 0,005 % za karakteristično trdnost. Odstopanje korelacijskega koeficienta R je v vseh primerih zanemarljivo majhno: za podatke pred avgustom 2010 koeficient R odstopa šele na drugi, pri podatkih po avgustu 2010 pa na prvi decimalki. Vidimo, da za dane statistične vzorce vse štiri enačbe P(i) dajejo praktično enake rezultate, zato bomo za nadaljne izračune ocene verjetnosti uporabili enačbo (36a).. 3.4 Predstavitev lineariziranih diagramov Pri metodi linearne regresije iščemo premico, ki se najbolje prilega lineariziranim podatkom, kjer je smerni koeficient premice kar Weibullov modul m. Dobro prilagajanje premice podatkom pomeni, da le-ta pokrije čimveč vrednosti oz. da čimmanj vrednosti odstopa od premice. V nadaljevanju so narisani linearizirani diagrami za prirejene vrednosti prečne in vzdolžne upogibne trdnosti strešne kritine (slika 16 – 23). Zanimajo nas predvsem primerjava strmine premic glede na periodo in ocena, kako dobro metoda linearne regresije opiše naše podatke. Oceno prilagajanja lahko kvalitativno opišemo že iz lineariziranih diagramov, za kvantitativen opis ocene pa izračunamo korelacijski koeficient R, ki je podan v tabeli 6. Omejimo se na linearno regresijo z minimalnim odstopanjem v y smeri, kjer oceno verjetnosti izračunamo po enačbi (36a).. 4 2. ln ln (1/(1 - P)). 0 -2 -4 -6 -8 -10 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7. ln  Slika 16. Linearizirane vrednosti upogibne trdnosti plošč V5 pri prečni obremenitvi za (modra premica) obdobje pred avgustom 2010 in (rdeča premica) obdobje po avgustu 2010 ter najbolje prilegajoči se premici. Odstopanja so minimizirana v y smeri.. 28.

(36) 4 2. ln ln (1/(1 - P)). 0 -2 -4 -6 -8 -10 2,0. 2,1. 2,2. 2,3. 2,4. 2,5. 2,6. 2,7. 2,8. 2,9. 3,0. 3,1. ln  Slika 17. Linearizirane vrednosti upogibne trdnosti plošč V5 pri vzdolžni obremenitvi za (modra premica) obdobje pred avgustom 2010 in (rdeča premica) obdobje po avgustu 2010 ter najbolje prilegajoči se premici. Odstopanja so minimizirana v y smeri.. 4 2. ln ln (1/(1 - P)). 0 -2 -4 -6 -8 -10 2,0. 2,1. 2,2. 2,3. 2,4. 2,5. 2,6. 2,7. 2,8. 2,9. 3,0. 3,1. ln  Slika 18. Linearizirane vrednosti upogibne trdnosti plošč V5 pri vzdolžni obremenitvi za obdobje pred avgustom 2010 in najbolje prilegajoča se premica. Odstopanja so minimizirana v y smeri.. 29.

(37) 4 2. ln ln (1/(1 - P)). 0 -2 -4 -6 -8 -10 2,0. 2,1. 2,2. 2,3. 2,4. 2,5. 2,6. 2,7. 2,8. 2,9. 3,0. 3,1. ln  Slika 19. Linearizirane vrednosti upogibne trdnosti plošč V5 pri vzdolžni obremenitvi za obdobje po avgustu 2010 in najbolje prilegajoča se premica. Odstopanja so minimizirana v y smeri.. 4 2. ln ln (1/(1 - P)). 0 -2 -4 -6 -8 -10 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5. ln  Slika 20. Linearizirane vrednosti upogibne trdnosti plošč V8 pri prečni obremenitvi za (modra premica) obdobje pred avgustom 2010 in (rdeča premica) obdobje po avgustu 2010 ter najbolje prilegajoči se premici. Odstopanja so minimizirana v y smeri.. 30.

(38) 4 2. ln ln (1/(1 - P)). 0 -2 -4 -6 -8 -10 2,1. 2,2. 2,3. 2,4. 2,5. 2,6. 2,7. 2,8. 2,9. 3,0. ln  Slika 21. Linearizirane vrednosti upogibne trdnosti plošč V8 pri vzdolžni obremenitvi za (modra premica) obdobje pred avgustom 2010 in (rdeča premica) obdobje po avgustu 2010 ter najbolje prilegajoči se premici. Odstopanja so minimizirana v y smeri.. 4 2. ln ln (1/(1 - P)). 0 -2 -4 -6 -8 -10 2,1. 2,2. 2,3. 2,4. 2,5. 2,6. 2,7. 2,8. 2,9. 3,0. ln  Slika 22. Linearizirane vrednosti upogibne trdnosti plošč V8 pri vzdolžni obremenitvi za obdobje pred avgustom 2010 in najbolje prilegajoča se premica. Odstopanja so minimizirana v y smeri.. 31.

(39) 4 2. ln ln (1/(1 - P)). 0 -2 -4 -6 -8 -10 2,1. 2,2. 2,3. 2,4. 2,5. 2,6. 2,7. 2,8. 2,9. 3,0. ln  Slika 23. Linearizirane vrednosti upogibne trdnosti plošč V8 pri vzdolžni obremenitvi za obdobje po avgustu 2010 in najbolje prilegajoča se premica. Odstopanja so minimizirana v y smeri.. Pred avg. 2010 R [%]. Po avg. 2010 R [%]. prečno vzdolžno. 99,74 97,98. 97,58 99,11. prečno vzdolžno. 97,71 97,85. 99,31 98,24. V5 V8. Tabela 6. Vrednosti korelacijskega koeficienta (R) za metodo yLR. Obravnavani statistični vzorci so navedeni v tabeli 2.. Metoda linearne regresije v y smeri (yLR) dobro opiše naše podatke o vrednostih upogibnih trdnostih strešnih plošč. Iz lineariziranih diagramov je razvidno odstopanje podatkov le pri zelo majhnih in zelo velikih vrednostih upogibne trdnosti. Da metoda yLR dobro opiše eksperimentalne podatke, potrdimo tudi z izračunom korelacijskega koeficienta R, ki je v vseh primerih večji od 97 %, kar pomeni zelo dobro oceno. Sama primerjava lineariziranih diagramov glede na periodo tudi pokaže razliko v vrednostih Weibullovega modula, ki je pri prečnem upogibnem preizkusu bistveno večji za vrednosti po avgustu 2010 (slika 16 i n 20), kar se na diagramu vidi v različni strmini premic. Za podatke o prečnih upogibnih preizkusih pred avgustom 2010 je premica bolj položna, kot pri podatkih za obdobje po avgustu 2010. Pri vzdolžnem upogibnem preizkusu je razlika med vrednostnmi glede na periodo manjša (slika 17 in 21), zato smo zaradi preglednosti linearizirane diagrame za vzdolžni upogibni preizkus podali tudi posebej (slika 18, 19, 22 in 23).. 32.

(40) 3.5 Predstavitev Q – Q diagramov in izračun koeficienta R2 Zanima nas, kako dobro različne metode, ki smo jih uporabili za izračun Weibullovih parametrov (tabela 3), opišejo naše podatke. To storimo tako, da naredimo diagrame Q – Q, ki nam vizualno prikažejo ujemanje med teoretično pričakovano upogibno trdnostjo σt in ekperimentalno vrednostjo upogibne trdnosti σe. Poleg diagramov Q – Q je koristno izračunati korelacijski koeficient R2, ki nam kvantitativno pove, kako dobro se izračunane vrednosti najbolje prilegajoče se Weibullove porazdelitve ujemajo z eksperimentalnimi podatki. Koeficient R2 je različen od prej omenjenega korelacijskega koeficienta R pri linearni regresiji in ga izračunamo na naslednji način. N eksperimentalnih vrednosti upogibne trdnosti najprej uredimo po velikosti od najmanjše do največjein jih označimo s σi. Vsaki izmed teh vrednosti nato priredimo ustrezno verjetnost P(i), po eni izmed enačb ( 33a – d). Hkrati po enačbi (23) izračunamo ustrezno teoretično vrednost upogibne trdnosti σi,t. Tako dobimo pare (σi , σi,t), ki jih uredimo v Q – Q diagram, kot vidimo na slikah 24 – 27. Na diagramih Q – Q potem z rdečo črto označimo premico, ki leži pod kotom 45 stopinj glede na vodoravno os. Dobro ujemanje teoretično pričakovanih in eksperimentalno izmerjenih podatkov namreč da točke, ki so zelo blizu tej premici. Končno še izračunamo koeficient R2 po enačbi:.       1        2. N. R. 2. i 1. i. i ,t. N. i 1. i. 2. .. (48). i. 34 32 30 28 26. e [MPa]. 24 22 20 18 16 14 12 10 8 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20. 22. 24. 26. 28. 30. 32. 34. t [MPa] Slika 24. Diagram Q – Q za metodo yLR. σe je eksperimentalno izmerjena vrednost upogibne trdnosti in σt je njena teoretično pričakovana vrednost. Uporabili smo podatke za prečno upogibno trdnost plošč V5 pred avgustom 2010.. 33.

(41) 30 29 28 27 26 25. e [MPa]. 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. t [MPa] Slika 25. Diagram Q – Q za metodo yLR. σe je eksperimentalno izmerjena vrednost upogibne trdnosti in σt je njena teoretično pričakovana vrednost. Uporabili smo podatke za prečno upogibno trdnost plošč V5 po avgustu 2010.. 21 20 19 18 17 16. e [MPa]. 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. t [MPa] Slika 26. Diagram Q – Q za metodo yLR. σe je eksperimentalno izmerjena vrednost upogibne trdnosti in σt je njena teoretično pričakovana vrednost. Uporabili smo podatke za vzdolžno upogibno trdnost plošč V5 pred avgustom 2010.. 34.

(42) 21 20 19 18 17 16. e [MPa]. 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. t [MPa] Slika 27. Diagram Q – Q za metodo yLR. σe je eksperimentalno izmerjena vrednost upogibne trdnosti in σt je njena teoretično pričakovana vrednost. Uporabili smo podatke za vzdolžno upogibno trdnost plošč V5 po avgustu 2010.. V5 prečno yLR ML MM V5 vzdolžno yLR ML MM V8 prečno yLR ML MM V8 vzdolžno yLR ML MM. Pred avg. 2010 R2 [%]. Po avg. 2010 R2 [%]. 99,417 99,071 99,423. 95,303 90,408 95,295. 96,179 93,778 96,232. 98,122 97,133 98,155. 96,829 95,574 96,836. 98,720 98,321 98,743. 95,778 93,212 95,820. 96,829 95,121 96,855. Tabela 7. Koeficienti R2 za metode yLR, ML in MM.. Za Q – Q diagrame na slikah 24 – 27 smo uporabili podatke o vrednostih prečne in vzdolžne upogibne trdnosti plošč V5 za obdobje pred in po avgustu 2010. Weibullove parametre smo poiskali z metodo yLR. Odstopanja opazimo le pri zelo majhnih in zelo velikih vrednostih upogibne trdnosti. Vsa odstopanja so v korist eksperimentalnim vrednostim, torej so realne upogibne trdnosti pri zelo majhnih in zelo velikih vrednostih večje, kot jih teoretično pričakujemo. Odstopanje je sicer nekoliko večje pri manjših upogibnih trdnostih, iz česar lahko 35.

(43) sklepamo, da Weibullova statistika nekoliko slabše opiše majhne vrednosti upogibnih trdnosti. Splošno pa je ujemanje eksperimentalnih in teoretičnih podatkov zelo dobro, kar pokaže tudi izračun koeficienta R2 (tabela 7). Primerjava koeficienta R2 za metode yLR, MM in ML pokaže, da se dajo podatki upogibnih trdnosti strešnih plošč dobro opisati z Weibullovo porazdelitvijo. Koeficient R2 je v pri vseh metodah nad 95 %, v nekaterih pa celo nad 98 %, kar pomeni zelo dobro ujemanje. Nekoliko izstopa metoda ML, ki za dane statistične vzorce konstantno daje slabše rezulate. Izmed vseh preizkušenih metod za izračun parametrov za Weibullovo porazdelitev upogibnih trdnosti plošč se torej najbolje izkažeta metodi yLR in MM, ki dajeta največje koeficiente R2.. 3.6 Izračun Weibullovih parametrov z metodo histogramov Weibullove parametre lahko tudi poiščemo z metodo histogramov. Uporabimo vrednosti meritev prečne in vzdolžne upogibne trdnosti plošč V5 pred in po avgustu 2010 (tabela 2). Kot smo že povedali pri opisu metode histogramov, najprej vrednosti meritev upogibne trdnosti uredimo po velikosti od največje do najmanjše in določimo meje intervala izmerjenih vrednosti. Potem za vsak statistični vzorec posebej določimo širino predalčka Δσ in narišemo histogram tako, da imamo na abscisni osi velikost upogibne trdnosti, na ordinatni osi pa relativno frekvenco meritev upogibne trdnosti (slika 28 – 31). Relativno frekvenco meritev (f) definiramo kot. f . ni , N . (49). kjer je ni število meritev v predalčku, N število vseh meritev in Δσ širina predalčka. Ustreznost širine predalčkov ocenimo iz raztresenosti vrednosti med sosednjimi predalčki in jo po potrebi spreminjamo, dokler ne dosežemo želene preglednosti histograma. Končno s programom za statistično obdelavo podatkov prilagodimo funkcijo p(x) (enačba 22) tako, da se najbolje prilega histogramu in odčitamo Weibullov modul, karakteristično trdnost in korelacijski koeficient.. 36.

(44) 0,3. f [MPa-1]. 0,2. 0,1. 0,0 10. 15. 20. [MPa]. 25. 30. 35. Slika 28. Histogram relativne frekvence meritev f prečne upogibne trdnosti σ za plošče V5 pred avgustom 2010 z dodano najbolje prilegajočo se Weibullovo porazdelitvijo. Širina predalčka Δσ je 0,50 MPa. Weibullov modul, karakteristična trdnost in korelacijski faktor so podani v tabeli 8.. 0,3. f [MPa-1]. 0,2. 0,1. 0,0 10. 15. 20. [MPa]. 25. 30. 35. Slika 29. Histogram relativne frekvence f meritev prečne upogibne trdnosti σ za plošče V5 po avgustu 2010 z dodano najbolje prilegajočo se Weibullovo porazdelitvijo. Širina predalčka Δσ je 0,75 MPa. Weibullov modul, karakteristična trdnost in korelacijski faktor so podani v tabeli 8.. 37.

(45) 0,3. f [MPa-1]. 0,2. 0,1. 0,0 5. 10. 15. 20. 25. [MPa] Slika 30. Histogram relativne frekvence f meritev vzdolžne upogibne trdnosti σ za plošče V5 pred avgustom 2010 z dodano najbolje prilegajočo se Weibullovo porazdelitvijo. Širina predalčka Δσ je 0,50 MPa. Weibullov modul, karakteristična trdnost in korelacijski faktor so podani v tabeli 8.. 0,3. -1. f [MPa ]. 0,2. 0,1. 0,0 5. 10. 15. 20. 25. [MPa] Slika 31. Histogram relativne frekvence f meritev vzdolžne upogibne trdnosti σ za plošče V5 po avgustu 2010 z dodano najbolje prilegajočo se Weibullovo porazdelitvijo. Širina predalčka Δσ je 0,60 MPa. Weibullov modul, karakteristična trdnost in korelacijski faktor so podani v tabeli 8.. 38.

No results found