学校编码：10384 分类号 密级 学号：15420131152058 UDC
硕 士 学 位 论 文
基于贝叶斯方法的准备金评估模型的
比较研究
A Comparative Study of the Reserve Evaluation Model
Based on Bayesian method
邹雨菲
指导教师（校内）：张志强 教授
指导教师（校外）：黄继平 博士
专 业 名 称：应用统计
论文提交日期：2016 年 4 月
论文答辩时间：2016 年 4 月
学位授予日期：
答辩委员会主席：
评 阅 人：
2016 年 4 月
厦门大学博硕士论文摘要库
厦门大学学位论文原创性声明
本人呈交的学位论文是本人在导师指导下,独立完成的研究成果。
本人在论文写作中参考其他个人或集体已经发表的研究成果，均在文
中以适当方式明确标明，并符合法律规范和《厦门大学研究生学术活
动规范（试行）》
。
另外，该学位论文为（ ）课题（组）
的研究成果，获得（ ）课题（组）经费或实验室的
资助，在（ ）实验室完成。
（请在以上括号内填写课
题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特
别声明。）
声明人（签名）：
年 月 日
厦门大学博硕士论文摘要库
厦门大学学位论文著作权使用声明
本人同意厦门大学根据《中华人民共和国学位条例暂行实施办法》
等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位
论文（包括纸质版和电子版）
，允许学位论文进入厦门大学图书馆及
其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、
硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇
编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。
本学位论文属于：
（ ）1.经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文，
于 年 月 日解密，解密后适用上述授权。
（ ）2.不保密，适用上述授权。
（请在以上相应括号内打“√”或填上相应内容。保密学位论文
应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密
委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认
为公开学位论文，均适用上述授权。）
声明人（签名）：
年 月 日
厦门大学博硕士论文摘要库
I
摘 要
未决赔款准备金是非寿险公司的负债之一，未决赔款准备金是否充足也代表 了公司的偿付能力大小，它的准确提取能够影响非寿险公司的利润状况以及对偿 付能力的评估，甚至能够决定一家保险公司能否持续经营，同时未决赔款准备金 的充足性也是监管部门的基本要求，因此对未决赔款准备金的估计问题也就显得 更加重要。 计算赔款准备金的方法通常分为确定性模型和随机性模型两种。如果在进行 准备金的评估时，能够在过去已有经验信息或者已知信息的基础上，对模型的参 数进行合理的假设，那么会使得模型预测的准确性大大提高。本文主要介绍了三 种引入贝叶斯方法的广义线性模型——超离散泊松模型、负二项模型和伽马模型 ——及其预测误差，并使用某保险公司某车险产品的数据以及 WinBUGS 软件， 对三种贝叶斯广义线性模型进行了实证研究。通过软件得到三种模型下各个事故 年以及总的未决赔款准备金的均值、标准差、MC 误差值、分位数值、核密度函 数图以及自相关系数等，并通过标准差、MC 误差值等检验预测结果的准确性以 及通过核密度函数图和自相关系数图检验模型预测的可靠性与稳定性。此外，在 每一种先验信息强度下，将三个模型的预测结果与确定模型的结果进行比较，检 验模型对准备金的预测结果是否可靠，并计算出三个贝叶斯模型的变异系数和 MC 误差值，通过比较变异系数和 MC 误差值判断模型的优劣，选出较好的模型 并给出了完整的流量三角形及模型选择的建议。 关键词：准备金评估；广义线性模型；MCMC厦门大学博硕士论文摘要库
II
ABSTRACT
As we all know that the IBNR is a kind of liabilities of a non-life insurance company. The amount of the IBNR can show the ability to pay of a company. The accurate extraction of the outstanding claims reserve can affect an insurer’s profits, the ability to pay, and even can decide the operation; as meanwhile, adequate claims reserves are the basic requirement of the Regulatory authority, so the estimation problems of the outstanding claims reserve are becoming more and more important.
The assessment methods of outstanding claims reserve are divided into deterministic models and stochastic models. If we can give the models some reasonable assumptions based on existing or already known information, when we predict the claims reserving, it would make the model more accurate. This paper has introduced three kinds of Bayesian Generalized Linear Model—Over-dispersed Poisson model, Negative Binominal model and Gamma model—and the prediction errors. Then we use the car insurance data used in some references and WinBUGS software to do an empirical research by three kinds of Bayesian Generalized Linear Model. We can get the estimation, standard deviation, MC error, quantile values, kernel density plot and autocorrelation coefficient plot of the outstanding claims reserve of various accident years and the total through the sofrware. We can judge the accuracy through standard deviation and MC error values and the stability also the reliability through the kernel density plot and autocorrelation coefficient plot. In addition, we has calculated the coefficient of variation of the three models, and compared the three models with each other. Then we compare the three models with Bayesian chain-ladder model and the B-F model to test the reliability of the model, and compute the coefficient of variation and the MC errors. And then we can choose a better model by comparing the coefficient of variation and the MC errors among the three Bayesian models. At last, we can give some advises about choosing models.
Key Words: Claims Reserving; Generalized Linear Model; MCMC
III
目 录
摘 要 ... I 第一章 引 言 ... 1 1.1 未决赔款准备金及其研究意义 ... 1 1.1.1 未决赔款准备金的产生背景... 1 1.1.2 研究未决赔款准备金的意义... 2 1.2 未决赔款准备金的国内外研究现状 ... 3 1.2.1 国外研究现状... 3 1.2.2 国内研究现状... 5 1.3 本文的研究框架及努力之处 ... 6 1.3.1 本文的研究框架... 6 1.3.2 本文的努力之处... 7 第二章 未决赔款准备金评估方法及比较 ... 8 2.1 确定性模型 ... 8 2.1.1 流量三角形... 8 2.1.2 链梯法... 9 2.1.3 B-F 法 ... 10 2.2 随机性模型 ... 11 2.2.1 随机链梯模型... 11 2.2.2 Bootstrapping 方法 ... 13 2.2.3 Kalman 滤波法 ... 13 2.3 贝叶斯方法的广义线性模型 ... 14 2.3.1 贝叶斯方法及后验分布的推断方法... 14 2.3.2 贝叶斯广义线性模型... 16 2.3.3 贝叶斯广义线性模型的预测误差... 19 第三章 实证分析及模型比较 ... 22 3.1 马尔可夫链蒙特卡洛模拟方法 ... 23 3.2 无信息先验分布的各模型预测结果 ... 24厦门大学博硕士论文摘要库
IV 3.2.1 无信息先验分布的超离散泊松模型... 26 3.2.2 无信息先验分布的负二项模型... 29 3.2.3 无信息先验分布的伽马模型... 32 3.2.4 无信息先验分布下各个模型结果的对比... 35 3.3 强信息先验分布的各模型估计结果 ... 41 3.3.1 强信息先验分布的超离散泊松模型... 42 3.3.2 强信息先验分布的负二项模型... 44 3.3.3 强信息先验分布的伽马模型... 45 3.3.4 强信息先验分布下各个模型结果对比分析... 46 第四章 结论与建议 ... 46 附 录 ... 错误!未定义书签。 参考文献 ... 55 致 谢 ... 59
厦门大学博硕士论文摘要库
V
Table of Contents
Chapter 1 Introduction ... 1
1.1 Outstanding claims reserving and significance ... 1
1.1.1The background of claims reserving ... 1
1.1.2 Significance of claims reserving ... 2
1.2 Reserach status of claims reserving ... 3
1.2.1 Study situation abroad... 3
1.2.2 Study situation in China ... 5
1.3 Research framework and attempts ... 6
1.3.1 Research framewok ... 6
1.3.2 Attempts ... 7
Chapter 2 The Estimation Methods and Comparision of Outstanding Claims Reserving ... 8
2.1 Deterministic models ... 8
2.1.1 The runoff triangles ... 8
2.1.2 Chain-Ladder model ... 9
2.1.3 B-F model ... 10
2.2 Stochastic models ... 11
2.2.1 Stochastic Chain-Ladder model ... 11
2.2.2 Bootstrapping method ... 13
2.2.3 Kalman method ... 13
2.3 Generalized linear model based on Bayesian methods ... 14
2.3.1 Bayesian methods and inference method of posterior distribution ... 14
2.3.2 Bayesian generalized linear model ... 16
2.3.3 Prediction errors of Bayesian model ... 19
Chapter 3 Empirical analysis and models comparison ... 22
3.1 Markov Chain Monte Carlo simulation method... 23
VI
3.2 Estimation results of the model with non-informative prior distribution
... 24
3.2.1 Over-dispered Poisson model with improper prior distribution ... 26
3.2.2 Negative Binominal model with improper prior distribution ... 29
3.2.3 Gamma model with improper prior distribution ... 32
3.2.4 Comparision of the thtee models ... 35
3.3 Estimation results of the model with strong prior distribution ... 41
3.3.1 Over-dispered Poisson model with strong prior distribution ... 42
3.3.2 Negative Binominal model with strong prior distribution ... 44
3.3.3 Gamma model with strong prior distribution... 45
3.3.4 Comparision of the thtee models ... 46
Chapter 4 Conclusion and Suggestion ... 46
Appendix ... 错误!未定义书签。 References ... 55
Acknowledgements ... 59
第一章 引 言 1
第一章 引 言
1.1 未决赔款准备金及其研究意义
1.1.1 未决赔款准备金的产生背景 20 世纪中后期，非寿险公司以现收现付制为基础对本公司的利润进行计算， 但是严格地说这一做法并不符合收入和费用的配比原则。由于保险公司负债经营 的特点，并不是所有的赔付都发生在有保费收入的年份，往往由于报案及理赔的 延迟而产生赔付支出的延迟，有些赔案的延迟多达数十年，这就需要保险公司进 行准备金的计提，但是对准备金应当计提多少并没有准确的说明，于是产生了准 备金评估的问题。未决赔款准备金（Incurred but not reported reserves, 下文也称为 IBNR 准备 金）是保险公司在会计年度结束之前发生了事故理应进行理赔而尚未赔偿或尚未 给付的保险金，是对未决赔款责任而准备的保险金，IBNR 准备金从保险业务开 始时收取的保费中提取，赔款准备金与 IBNR 准备金的意义相同。IBNR 准备金 是保险公司非寿险业务准备金的一种。需要特别注意地是，IBNR 准备金是保险 公司的负债而不属于保险公司的收入，未决赔款准备金数额的多少是公司偿付能 力大小的象征，因此必须在保费收入中提取足够的准备金以应对赔案的发生。 IBNR 准备金可以分为已发生已报案赔款准备金和已发生未报案未决赔款准备金 两种。 图 1.1 表明十年间中国保险行业财产险保费收入和赔付支出的情况统计图， 保费收入和赔付支出均呈逐年上升的趋势，而未决赔款准备金则是在保费收入产 生时提取的，为了在赔案发生时能够及时进行赔付而预留的资金，由于未决赔款 准备金是公司的负债能够影响到保险公司的利润，因此未决赔款准备金提取的数 量至关重要。
厦门大学博硕士论文摘要库
基于贝叶斯方法的准备金评估模型的比较研究 2 资料来源：中国统计年鉴：2006 年—2015 年 图 1.1 2005 年—2014 年中国财产险保费收入和赔付支出情况统计 1.1.2 研究未决赔款准备金的意义 古往今来，由于准备金提取不足的问题引起的偿付能力不足而破产的公司不 在少数。只有准确地对未决赔款进行估算，才能够正确反映公司的经营状况，控 制公司的风险，为公司决策提供有力的数据支持。未决赔款准备金的数量会影响 保险公司的利润情况，为了准确核算非寿险公司的利润，必须对当年会计年度已 经发生应当赔付而未赔付的金额进行准确的计算。此外，由于准备金的数量会影 响保险公司对风险的应对能力，监管部门也对准备金是否充足有一定的要求。 不仅在实务中未决赔款准备金受到国内外保险公司的关注，在理论上由于精 算技术、统计学和计算机技术的迅速发展，使得大量计算可以借助计算机得以完 成，许多学者将统计学的新方法结合计算机技术编程的实现将其应用到未决赔款 准备金的评估中，极大的促进了未决赔款准备金理论研究的发展。马尔可夫链蒙 特卡洛模拟法（MCMC）便是其中之一，它利用先验分布进行采样再通过迭代 运算得到后验分布，不仅能够得到预测值的后验分布，还能够给出预测的误差。 本文从确定性方法出发，总结了确定性模型和随机性模型的优缺点。使用贝 叶斯方法的广义线性模型中的三个模型——超离散泊松模型、负二项模型和伽马 1283 1579 2087 2446.3 2992.9 4026.9 4779.1 5529.9 6481.2 7544.4 691 825 1064 1475.5 1638.2 1815.2 2249.2 2896.9 3556.2 3968.3 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 保费收入（亿元） 赔付支出（亿元）
厦门大学博硕士论文摘要库
第一章 引 言 3 模型，并将三种模型进行对比分析，通过不同的统计指标比较模型的优劣，为准 备金评估时模型的选择提供一种新的研究思路。
1.2 未决赔款准备金的国内外研究现状
总体来看，在未决赔款准备金的评估中，国内外的保险公司起初均使用确定 性链梯法对准备金进行预测，随着精算技术和计算机技术的不断发展以及确定性 模型的缺点逐渐显现，国内外学者将研究方向逐渐转向了随机模型。未决赔款准 备金的评估方法中最先使用的是链梯模型，Bornhuetter 和 Ferguson 于 1972 年提 出了 B-F 法，这两种方法都属于确定模型，考虑到确定性模型只能给出准备金的 点估计值，而不能给出估计的区间，也不能够对结果进行统计检验，国外研究人 员开始修正确定性模型，并试图引入随机性模型。 1.2.1 国外研究现状 Kramreiter 和 Straub（1973）提出将误差项引入到确定性模型中能够得到准 备金的随机性模型，这是最早讨论的未决赔款准备金评估的随机模型。Mack （1993）发表论文导出了链梯法准备金评估的标准差，并利用实证分析与其他参 数方法的结果进行了对比。Mack 采纳了 Schnieper（1991）的思想，简化了 Schnieper 的泰勒近似方法，证明了链梯法假设发展因子之间并不相关从而对准 备金的估计是无偏的这一结论，并给出了利用均值和方差构造 IBNR 准备金的区 间估计的方法。Mack（1991）指出链梯法的估计结果可以通过对泊松模型进行 极大似然估计得到。Verrall（1994）提出在链梯法中各事故年的损失进展因子相 同，但是在实务中由于外在环境的影响这种假设存在一定的缺陷。TeivoPent 和 Linen 等（1995）指出链梯法并不适用长尾业务，在对长尾业务的准备金进行评 估时波动性较大。Verrall（1989）结合了状态空间模型和链梯法，采用卡尔曼滤 波法估计最终索赔额；Verrall（1993）又将链梯法与线性模型结合起来进行准备 金的评估，但是这种结合的前提是累计赔付额为正值，当出现负值时，模型并不 一定适用； Zeger 和 Karim（1991）年提出运用吉布斯抽样法对广义线性混合模 型的参数进行估计。Renshaw 和 Verrall（1998）将广义线性模型与链梯法结合起厦门大学博硕士论文摘要库
基于贝叶斯方法的准备金评估模型的比较研究 4 来并对该模型进行了实证研究，提供了一种列联表分析的方法，这也是广义线性 模型与链梯法的首次结合。Mack（1994）、Verrall（2000）、Mack 和 Venter（2000）、 Verrall 和 England（2000）都对随机性的链梯模型发表文章进行了讨论。 对未决赔款准备金进行估计的另一种方法是 1972 年由 Bornhuetter 和 Ferguson 提出的，文章中阐述了 B-F 法的计算过程和适用情况，为后续对 B-F 法进行研究提供了一种基本思路。B-F 法实质上是一种将预测的最终损失和已发 生损失进行加权的方法，是链梯法的进一步发展。此外，England 和 Verrall（2001） 通过假设流量三角形中的增量赔款额服从超离散泊松分布，建立了超离散泊松模 型，并指出超离散泊松模型可以使用对数联结函数转化为广义线性模型进行模型 的估计，同时两人也提出了负二项分布模型以及负二项分布的正态逼近模型，其 中负二项分布模型假设增量佩服额服从负二项分布并且可以通过超离散泊松模 型推导得到负二项模型。 Schmidt（2006）对一些比较重要的以流量三角形为基础的未决赔款准备金模 型进行了梳理，并指出损失进展法、链梯法以及 Cape-Cod 法都可以看做一般的 B-F 法的特例，并且信度理论、高斯马尔可夫和最大似然估计也可以应用于损失 准备金的估计中。England 和 Verrall（2002）对各种准备金评估的随机模型进行 了总结，列举了常见的评估准备金的方法，并进行了实证分析，包括 Mack 模型、 负二项模型、伽马模型和对数正态模型等；Verrall（2004）讨论了广义线性模型 与 B-F 法之间的关系。England 和 Verrall（2011）扩展了其 2002 年的文章，给出 如何使用拔靴法或贝叶斯方法得到一般保险中的未决赔款的预测分布。Sarka 和 Michal（2013）对不服从独立分布情况的赔付额进行研究，采用 GEE 法估计赔 付额，并根据相关理论进行了实证分析。Björkwall、Hössjer 、Ohlsson 等（2011） 对广义线性模型进行重参数化，平滑了事故年、进展年参数，并使用该模型获得 了准备金的估计值。Alba 和 Nieto-Barajas（2013）假设增量赔款数据服从相关伽 马分布，考虑进展年之间的相关性，建立相关贝叶斯模型并将该模型与传统的估 计方法进行对比，当给定合适的先验分布时该模型与随机 B-F 方法的结论一致。 Jochen 和 Thomas（2014）将模糊变量引入到传统的链梯模型中，推导出与传统 链梯法不同的发展因子以及最终赔款，将模糊变量引入链梯法中使得模型的不确
厦门大学博硕士论文摘要库
第一章 引 言 5 定性能够被模糊发展因子确定，并给出了相应的实证结果检验。 1.2.2 国内研究现状 国内对未决赔款准备金的研究与国外相比略有落后，随着保险行业的迅速发 展，对于未决赔款准备金的提取逐渐受到保险行业的重视，魏迎宁于 1994 年最 早提出了未决赔款准备金的核算问题，介绍了未决赔款准备金的意义和产生以及 如何确定未决赔款金额。1997 年，方春银介绍了 IBNR 准备金产生的原因以及 提取未决赔款准备金的现实意义，指出对 IBNR 损失的估算关键问题是对损失发 展系数的计算。 孟生旺（2007）对准备金评估模型进行了系统的梳理和对比，首次以链梯模 型为基础总结了链梯法和其他确定性方法及贝叶斯模型之间的关系，指出了选择 准备金评估模型时应当注意的问题。刘乐平、袁卫、张琅（2006）通过建立广义 线性模型和状态空间模型并使用分层贝叶斯分析和 BMOM 方法，给出了准备金 的稳健贝叶斯估计，并通过实证分析证明该方法与经典方法之间的不同。卢志义、 刘乐平（2007）总结了广义线性模型在非寿险精算中的使用情况，指出广义线性 模型主要应用于费率厘定和准备金评估的研究中，还介绍了双广义线性模型在费 率厘定中的基本思想。孟生旺（2009）讨论了当增量赔付数据服从指数分布族时 建立广义线性模型并应用于准备金的评估中，使用对数联结函数给出三种广义线 性模型，并建议考虑将精算师的个人经验纳入准备金的评估工作中。吕定海、王 晔（2013）将贝叶斯方法引入广义线性模型中，将所有的待估参数均视为随机变 量通过 MCMC 方法完成抽样并估计后验分布，并对损失频率和损失强度进行假 设完成对广义线性模型的估计。同时文章也介绍了如何使用 Winbugs 软件进行模 拟，并将 R 与 Winbugs 软件进行结合。段白鸽（2013）基于准备金估计的两类 数据概括了目前常用的准备金评估方法的研究状况并提出了在索赔准备金方面 可以进一步研究的方向。张连增、段白鸽（2013）提出将数据之间的相关性引入 到随机性准备金评估方法中，在使用随机性准备金进展法模拟准备金的预测分布 中提出了处理相关性的两种方法并通过数值分析对两种方法的结果进行了对比， 对评估准备金的随机性方法的发展有重要作用。段白鸽（2014）结合非线性分层
厦门大学博硕士论文摘要库
基于贝叶斯方法的准备金评估模型的比较研究 6 模型和贝叶斯方法，将贝叶斯非线性分层模型应用到多元索赔准备金的评估问题 中，解决了相依性和可加性的问题，但是文章中没有涉及模型的选择问题。宋巨 生、郑玮、吴苹（2015）以 2008 年 Schmidt 和 Zocher 提出的 B-F 延展模型为基 础，验证了常用的准备金模型都是该延展模型的特例，将不同的确定型准备金模 型进行了比较，并就如何选择模型进行了实证分析。
1.3 本文的研究框架及努力之处
1.3.1 本文的研究框架 本文的研究目的是比较贝叶斯方法下的广义线性模型在赔款准备金估计中 应用的优劣。本文将介绍三种贝叶斯方法下的广义线性模型——超离散泊松模型、 负二项模型和伽马模型，将先验信息分为无信息先验和强信息先验两种并使用 WinBUGS 软件进行模拟给出在不同的先验信息下三种贝叶斯模型对准备金的预 测值及其标准差。同时，将本文所用的方法与确定性模型进行对比，并对模型的 选择给出建议。本文将分为以下四个部分： 第一章为引言部分。本章主要对未决赔款准备金的基本情况进行介绍，包括 介绍未决赔款准备金评估的产生背景与历史、研究意义和国内外的研究现状，最 后一节为本文的研究框架。 第二章为未决赔款准备金评估方法及比较。主要介绍现有的未决赔款准备金 的估计方法并画出分类结构图。从随机模型和确定模型两个方面介绍各个模型之 间的优缺点以及它们之间的联系。同时介绍了本文使用的贝叶斯方法的基本思想 及贝叶斯方法下的三种广义线性模型——超离散泊松模型、负二项模型、伽马模 型及其预测误差的计算方法。 第三章为实证分析与模型比较部分。说明了 MCMC 方法的基本原理，使用 WinBUGS 软件对某保险公司车险产品中的增量赔款数据进行实证分析，对模型 结果进行总结分析并对不同类型的模型结果进行对比分析，比较各个模型在估计 的可靠性与稳定性的优劣，并给出所选模型各事故年在各进展年的准备金的预测 值以及总的累积赔款的预测值。厦门大学博硕士论文摘要库
Degree papers are in the “Xiamen University Electronic Theses and
Dissertations Database”.
Fulltexts are available in the following ways:
1. If your library is a CALIS member libraries, please log on
http://etd.calis.edu.cn/ and submit requests online, or consult the interlibrary
loan department in your library.
2. For users of non-CALIS member libraries, please mail to [email protected]
for delivery details.
