Normal matrix forms to decomposition and control problems for manydimensional systems

(1)

УДК 517.977.1 Вестник СПбГУ. Прикладная математика... 2017. Т. 13. Вып. 4

А. М. Камачкин

1

, Г. М. Хитров

1

, В. Н. Шамберов

2

НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ МАТРИЦ В ЗАДАЧАХ ДЕКОМПОЗИЦИИ

И УПРАВЛЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ

∗ 1 _{Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация,} 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7–9 2_{Санкт-Петербургский государственный морской технический университет, Российская Федерация,} 190121, Санкт-Петербург, Лоцманская ул., 3 Предлагается метод построения неособенных линейных преобразований нелинейных си-стем автоматического регулирования и управления, включая и многомерные сиси-стемы. Метод позволяет в определенных случаях свести исследование динамики к изучению пове-дения их подсистем, допускающих строгий анализ (иными словами, проводить декомпози-цию исходной системы). Матрица неособенного преобразования строится в виде произве-дения двух матриц, одна из которых постоянная, другая состоит из элементов, зависящих от вводимых параметров. Данная параметрическая матрица отражает неоднозначность выбора преобразования, приводящего матрицу линейной части системы к первой есте-ственной нормальной форме или жордановой нормальной форме. Параметрическая мат-рица дает возможность при условии ее неособенности увеличить число декомпозиционных вариантов в пространстве параметров исходной системы. В случае первой естественной нормальной формы матрицы до 4-го порядка включительно построены параметрические матрицы. Указан метод получения таких матриц в любых случаях, когда порядок матриц больше четырех. Введение этих матриц, как параметрического сомножителя, позволяет во многих случаях приводить исходную систему уравнений к управляемой или наблюдае-мой форме. В случае жордановой нормальной формы для любого порядка матриц указан общий вид параметрической матрицы и матрицы, ей обратной. Вид параметрической мат-рицы при этом зависит от собственных чисел матмат-рицы линейной части исходной системы. Рассмотрены все возможные случаи, включая случай кратных комплексных собственных чисел. Перечислены все этапы преобразования исходной системы. Таким образом, задачу построения неособенного декомпозиционного преобразования в случае жордановой формы матрицы можно считать решенной. Библиогр. 29 назв. Ключевые слова: многомерная нелинейная динамическая система, пространство со-стояний, пространство параметров, неособенное линейное преобразование, первая есте-ственная нормальная форма матрицы, жорданова нормальная форма матрицы, декомпо-зиция системы. Камачкин Александр Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор; [email protected] Хитров Геннадий Михайлович — кандидат физико-математических наук, доцент; [email protected] Шамберов Владимир Николаевич — кандидат технических наук, доцент; [email protected]

Kamachkin Alexander Mikhailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor;

[email protected]

Chitrov Gennadiy Mikhailovich — PhD of physical and mathematical sciences, associate professor;

[email protected]

Shamberov Vladimir Nikolaevich — PhD of technical sciences, associate professor;

[email protected] ∗ _{Представленный материал основан на докладах, сделанных на Международной} конферен-ции «Устойчивость и управление процессами (SCP–2015)», посвященной памяти В. И. Зубова (5– 9 октября 2015 г., Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный университет), и Меж-дународной конференции «Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы», посвященной памяти профессора В. Ф. Демьянова (22–27 мая 2017 г., Международный математический институт им. Л. Эйлера. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургский государственный университет). c Санкт-Петербургский государственный университет, 2017

(2)

A. M. Kamachkin

1

, G. M. Chitrov

1

, V. N. Shamberov

2

NORMAL MATRIX FORMS TO DECOMPOSITION AND

CONTROL PROBLEMS FOR MANYDIMENTIONAL SYSTEMS

1_{St. Petersburg State University, 7–9, Universitetskaya nab., St. Petersburg,}

199034, Russian Federation

2_{St. Petersburg State Marine Technical University, Lotsmanskaya ul., 3, St. Petersburg,} 190121, Russian Federation

We wish to bring attention to the method of construction of nonsingular linear transformation in non-linear control systems. This method allows us to combine the system’s dynamics’ investigation of their subsystems’ behavior with an admissible robust analysis. The nonsingular linear transformation matrix is the product of two matrices: one is constant and the other consists of the parameters dependent elements. The parameter’s matrix reﬂects ambiguity of the choice of transformations and allows to increase a number of decomposition variants. Refs 29.

Keywords: many-dimensional nonlinear dynamical system, state space, state variables,

nonsingular linear transformation, ﬁrst natural normal form of the matrix, Jordan normal form of the matrix, decomposition of the system.

Введение. Впервые для нелинейных задач теории автоматического

регулирова-ния каноническое преобразование специального вида было предложено А. И. Лурье

в 1949 г. [1]. В основе этого преобразования лежало разложение элементов

передаточ-ной функции линейпередаточ-ной части системы на простые дроби [2]. В 1957 г. В. А. Троицкий

расширил преобразование на случай наличия кратных корней в характеристическом

уравнении преобразуемой линейной части системы [3]. Оно было обобщено в методе

сечений пространства параметров, разработанном в 1967 г. Р. А. Нелепиным [4].

Изве-стен также метод редукции пространства параметров, в котором матрица

преобразо-вания строится на основе матрицы Вандермонда [5]. Зарубежные авторы в основном

шли теми же путями, что и отечественные ученые, это отражено, например, в

мо-нографии [6], где описаны различные методы нахождения матрицы канонического

преобразования.

Постановка задачи. Каноническое преобразование. Воспользуемся

неод-нозначностью неособенных преобразований. Рассмотрим систему вида

˙x(t ) = A

· x(t) + B · {N [y(t)] + ψ(t)} , x(0) = x

₀

, y(t ) = C

· x(t),

(1)

в которой A, B, C — вещественные матрицы размерности соответственно n

×n, n×m,

m

×n; x(t), ˙x(t) и y(t) — векторы переменных размерности n, n и m (при этом n m)

соответственно; ψ (t ) — вектор внешнего возмущающего воздействия размерности

m. Нелинейная часть системы представлена вектором нелинейных функций N [y(t )]

размерности m;

· ≡ d/dt — символ дифференцирования по времени.

Считаем, что элементы матрицы A заранее определены, а элементы матриц B

и C выступают в качестве параметров настройки и могут изменяться в задаваемых

пределах для придания системе требуемых свойств.

Каноническим преобразованием x(t ) = T

· z(t) исходная система (1) приводится

к эквивалентной системе относительно z(t )

˙z(t ) = A

_T

· z(t) + B

_T

· {N [y(t)] + ψ(t)} , z(0) = x

₀

, y(t ) = C

_T

· z(t),

(2)

в которой A

_T

= T

−1

· A · T; B

_T

= T

−1

· B; C

_T

= C

· T.

Приравниванием к нулю определенных элементов матриц B

_T

и C

_T

можно

до-биться расщепления преобразованной системы на подсистемы более низкой (чем n)

(3)

размерности, допускающих их полное аналитическое исследование [7–27]. Возникает

задача получения преобразования, приводящего систему (1) к системе (2) с наперед

заданными свойствами.

Известно, что матрица преобразования T, с помощью которой матрица A

приво-дится к первой естественной нормальной или к жордановой форме A

_T

, определяется

неоднозначно. Неоднозначность выбора матрицы T можно описать как T = S

· Q,

в которой S — некоторая матрица такая, что S

−1

· A · S = A

_T

, а Q — невырожденная

матрица, описывающая неоднозначность выбора матрицы T.

Теорема. Пусть неособенная матрица Q обладает свойством A

_T

·Q = Q·A

_T

,

в котором A

_T

— первая естественная нормальная или жорданова нормальная

фор-ма фор-матрицы A, тогда фор-матрица преобразования будет иметь вид T = S

· Q, здесь

S — одна из возможных постоянных матриц, приводящих матрицу A к первой

естественной нормальной или к жордановой нормальной форме.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть S

−1

· A · S = AT

и матрица

T = S

· Q. Тогда очевидно, что

A

_T

= T

−1

· A · T = Q

−1

· S

−1

· A · S

· Q = Q

−1

· AT

· Q,

откуда получаем A

_T

· Q = Q · A

_T

. Следовательно, Q — любая невырожденная

мат-рица, перестановочная с матрицей A

_T

.

Равенство

A

_T

· Q = Q · A

_T

(3)

позволяет определять элементы матрицы Q, которые можно использовать как

пере-менные множители в элементах матриц B

_T

и C

_T

.

Чаще всего [6] в качестве A

_T

используется матрица в жордановой нормальной

форме, т. е. A

_T

= A

_j

, где A

_j

— матрица в жордановой форме, тогда S — одна

из возможных постоянных матриц, приводящих A к виду A

_j

. Матрица S при этом

состоит из собственных и дополнительных векторов матрицы A. В этом случае далее

будем обозначать T = S

· Q = M.

Хорошо известно, что, например, разностное уравнение n-го порядка с

постоян-ными коэффициентами и ненулевой правой частью с помощью замены переменных

приводится к виду

x(k + 1) = A

_n

· x(k) + B · F (k), y(k) = C · x(k),

(4)

здесь x(k), x(k + 1) — мерный вектор, A

_n

— постоянная (n

× n)-матрица в

фор-ме Фробениуса, или, иначе, в первой естественной нормальной форфор-ме, F (k) —

дис-кретная входная переменная, B =

%

0

0 ...

0

1 &

— (n

× 1)-матрица, C =

%

1

0

0 ...

0 &

— (1

× n)-матрица.

Аналогично действуем для получения неоднородного обыкновенного

дифферен-циального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Система (4) полностью наблюдаема.

Если выход одномерной системы n-го порядка с управлением v в правой части

является взвешенной суммой производных текущих переменных до порядка m

вклю-чительно, то после соответствующей замены переменных приходим к системам типа

˙x = A

n

· x + B · v, y = C, x + d0

· v, d0

∈ R, n = m;

(5)

(4)

˙x = A

n

· x + B · v, y = C, x, n > m.

(6)

Тогда системы (5), (6) всегда полностью управляемы по входу v.

Поставленная задача состоит в том, чтобы построить матрицы вида Q и Q

−1

,

зависящие от параметров, так, чтобы можно было воспользоваться преимуществами,

которые дает приведение к системе (2) с указанными выше матрицами A

_T

, т. е.

A

_T

= A

_j

и A

_T

= A

_n

. Во втором случае T = S

· Q

_n

, где S и Q

_n

— невырожденные

матрицы, такие, что S

−1

· A · S = A

_n

, Q

−1_n

· A · Q

_n

= A

_n

.

Приведение к первой естественной нормальной форме [28]. Не всякая

матрица A приводится к первой нормальной естественной форме. Достаточные

усло-вия приводимости матрицы A к такой форме: если матрица [λ

· E − A], где E —

единичная матрица, λ — числовой параметр, имеет инвариантные многочлены f

_r

(λ),

f

_r+1

(λ), . . . , f

_n

(λ) ненулевой степени, то матрица A подобна квазидиагональной

мат-рице

L = diag [L(f

r

), L(f

r+1

), ..., L(f

n

)] .

Каждый многочлен f

k

(λ) — многочлен степени k (k = r, r + 1, ..., n) с

коэффи-циентом 1 при старшей степени, L(f

k

) — сопровождающая матрица для многочлена

f

k

(λ) [29]. Сумма степеней инвариантных многочленов f

r

(λ), f

r+1

(λ), . . . , f

n

(λ)

мат-рицы [λ

· E − A] равна n.

Задача состоит в том, чтобы найти такую матрицу T канонического

преобразо-вания, при котором матрица A системы (1) приводится к первой естественной

нор-мальной форме и при этом переменные величины, входящие в T = S

· Q

_n

, позволяют

варьировать параметры настройки системы (1) при приведении ее к канонической

или какой-либо другой интегрируемой форме.

Пусть матрица A линейной части системы (1) такова, что существует

невырож-денная матрица T = S

·Q

_n

такая, что преобразование x(t) = T

·z(t) приводит матрицу

A к виду A

_n

= T

−1

· A · T, здесь An

— первая естественная нормальная форма

мат-рицы A.

Матрица T при этом выбирается неоднозначно. Пусть T = S

· Q

_n

, где S и Q

_n

—

невырожденные матрицы такие, что S

−1

· A · S = A

_n

, а Q

_n

— матрица, описывающая

неоднозначность выбора матрицы T, определяется из условия A

_n

= Q

−1_n

· A

_n

· Q

_n

,

т. е. выполняется равенство (3).

Таким образом, в преобразованной системе (2) B

_T

= Q

−1_n

·S

−1

·B, C

_T

= C

·S·Q

_n

.

Расщепление преобразованной системы (2) на подсистемы более низкой размерности,

чем n, можно получить приравниванием к нулю выражений для определенных

эле-ментов матриц B

_T

и C

_T

.

Обозначим P

n

множество невырожденных матриц Q

_n

, которые при

преобразова-нии подобия оставляют матрицу A

_n

неизменной, т. е. таких, что Q

−1_n

· An

· Q

_n

= A

_n

.

Очевидно, что такие матрицы Q

_n

образуют группу относительно операции

перемно-жения этих матриц.

Следовательно, P

n

— группа, которую можно назвать группой автоморфизмов

матрицы A

_n

. При этом группа P

n

является подгруппой группы невырожденных

мат-риц n-го порядка.

Установим конструкцию матриц Q

_n

и Q

−1_n

.

(5)

1. Рассмотрим полином f (λ) = λ

2

+a

₁

λ+a

₂

. Для него сопровождающей матрицей

будет матрица A

₂

=

0 −a

₂

1 −a

₁

(характеристический полином матрицы A

₂

будет

равен f (λ), т. е. det [λ

· E − A] = f(λ)).

Найдем в явном виде группу P

₂

, для чего решим систему уравнений A

₂

· Q

₂

=

Q

₂

·A

₂

относительно неизвестных элементов матрицы Q

₂

— элементов x

₁

, x

₂

, y

₁

, y

₂

,

т. е. решим систему уравнений

0 −a

₂

1 −a

₁

x

₁

x

₂

y

₁

y

₂

=

x

₁

x

₂

y

₁

y

₂

0 −a

₂

1 −a

₁

.

(7)

В качестве решения системы (7) получаем

x

₁

x

₂

y

₁

y

₂

=

a

₁

x + y

−a

₂

x

y

,

где x, y — произвольные переменные, подчиненные требованию a

₁

·x·y+y

2

+a

₂

·x

2

= 0

(требование невырожденности матрицы Q

₂

, т. е. требование условия det Q

₂

= 0).

2. Рассмотрим сопровождающую матрицу A

₃

=

⎡

⎣

0

1

0

0 −α3

−α2

0

1 −α1

⎤

⎦и ее группу

автомор-физмов P

₃

, т. е. множество невырожденных матриц Q

₃

таких, что Q

−1₃

·A3

·Q

₃

= A

₃

.

Положим, что матрица Q

₃

=

⎡

⎣

x

y

₁1

x

y

2₂

x

y

3₃

z

₁

z

₂

z

₃

⎤

⎦.

Для отыскания матрицы Q

₃

, как и выше, будем решать систему уравнений

⎡

⎣

0

1

0

0 −a3

−a2

0

1 −a1

⎤

⎦

⎡

⎣

x

y

1₁

x

y

₂2

x

y

₃3

z

₁

z

₂

z

₃

⎤

⎦ =

⎡

⎣

x

y

₁1

x

y

₂2

x

y

3₃

z

₁

z

₂

z

₃

⎤

⎦

⎡

⎣

0

1

0

0 −a3

−a2

0

1 −a1

⎤

⎦ .

(8)

Перемножая матрицы в (8) и расписывая построчно равенство элементов матриц

произведений слева и справа, получим систему девяти линейных однородных

уравне-ний с девятью неизвестными в обычном виде. Матрица коэффициентов этой системы,

где неизвестные x

₁

, x

₂

, x

₃

, y

₁

, y

₂

, y

₃

, z

₁

, z

₂

, z

₃

расположены в указанном порядке,

будет иметь размерность (9

× 9).

Решая методом Гаусса систему уравнений с этой матрицей коэффициентов,

при-водим данную систему к системе с более наглядной матрицей коэффициентов

⎡

⎢

⎣

0

0 −a

₃

− a

2₃

−a

₂

a

₃

0

0 a

₃

−a

₃

0

1

0

0 −a2

−a1

−1

0

1

0

0 a

₃

0

1

0

0 a

₃

0

1

0

0 −a1

−1

0

1

0

0 −a1

−1

0

1 a

₃

a

₂

0 ⎤

⎥

⎦

.

(9)

(6)

Если определитель подматрицы

−a

3

− a

23

−a

2

· a

3

a

₃

−a

₃

матрицы (9) отличен

от нуля, т. е. если a

2₃

(1 + a

₂

+ a

₃

)

= 0, то ранг матрицы (9) будет равен 8, и

фун-даментальная система решений системы уравнений с матрицей (9) будет состоять

из одного решения. В таком случае имеем, что z

₁

= z

₂

= 0. Полагая z

₃

= x,

на-ходим, что x

₁

= y

₂

= x, x

₂

= x

₃

= y

₁

= y

₃

= 0, т. е. Q

₃

= x

· E. Из требований

невырожденности Q

₃

необходимо потребовать, чтобы x

= 0. Таким образом,

груп-па автоморфизмов P

₃

матрицы A

₃

при условии a

2₃

(1 + a

₂

+ a

₃

) = 0 будет состоять

из матриц Q

₃

= x

· E, где x = 0.

Пусть a

2₃

(1 + a

₂

+ a

₃

) = 0. Это возможно, когда либо a

₃

= 0, либо 1 + a

₂

+ a

₃

= 0,

либо последние два условия выполнены одновременно.

i). Пусть a

₃

= 0. Подставим данное значение в матрицу (9).

Полагая z

₁

= x, z

₂

= y, z

₃

= z, находим

x

₁

= a

₂

x + a

₁

y + z, x

₂

= x

₃

= 0, y

₁

= a

₁

x + y, y

₂

= a

₁

y + z, y

₃

=

−a

₂

y.

В таком случае матрица Q

₃

=

⎡

⎣

a

2

x + a

a

₁

x + y

1

y + z

a

₁

y + z

0 −a

0

₂

y

x

y

z

⎤

⎦.

Условие невырожденности матрицы Q

₃

будет следующим:

(a

₂

· x + a

₁

· y + z)(a

₂

· y

2

+ a

₁

· y · z + z

2

)

= 0.

ii). Пусть a

₃

=

−1, 0

₂

= 0. Подставим эти значения в матрицу (9).

Предположив, что z

₁

= z

₂

= x, z

₃

= y, получим x

₁

= a

₁

x + y, x

₂

= x

₃

= x,

y

₁

= a

₁

x + x, y

₂

= a

₁

x + y, y

₃

= x,

Q

₃

=

⎡

⎣

a

1₁

x + x

x + y

a

₁

x + y

x

y

⎤

⎦, det Q

₃

= (2

−a1

)

·x

3

+(a

₁2

−a1

−3)·x

2

·y+2·a1

·x·y

2

+y

3

.

Условие невырожденности матрицы Q

₃

в данном случае сводится к требованию

(2

− a1

)

· x

3

+ (a

2₁

− a1

− 3) · x

2

· y + 2 · a1

· x · y

2

+ y

3

= 0.

3. Пусть f (λ) = λ

4

+ a

₁

· λ

3

+ a

₂

· λ

2

+ a

₃

· λ + a4

, тогда для L(f ) = A

₄

из условия

(3) получаем группу P

₄

, т. е. семейство матриц Q

₄

. При a

₁

· a2

· a3

= 0 либо a1

= 0

и a

₂

· a3

= 0 группа P4

будет трехпараметрической.

Например, при a

₁

= 0 и a

₂

· a3

= 0 находим, что

Q

₄

=

⎡

⎢

⎣

a

₃

· α + γ −a

₄

· α

0 −a

₄

· β

a

₂

· α + β

γ

−a

₄

· α

−a

₃

· β

0 β

γ

−a

₄

· α − a

₂

· β

α

0 β

γ

⎤

⎥

⎦, det Q

4

= 0.

При a

₂

= 0 или a

₃

= 0 группа P

₄

будет четырехпараметрической. Так, при

a

₂

= a

₃

= 0 получаем, что

(7)

Q

₄

=

⎡

⎢

⎣

a

₁

· γ + ς

−a4

· α

−a4

· β

−a4

· γ

a

₁

· β + γ a1

· γ + ς

−a4

· α

−a4

· β

a

₁

· α + β a1

· β + ς a1

· γ + ς −a4

· α

α

β

α

ς

⎤

⎥

⎦, det Q

4

= 0.

При α = β = γ = 0

Q

₄

= ς

· E. Остальные случаи — трехпараметрических

и четырехпараметрических групп автоморфизмов P

₄

— рассматриваются аналогично.

Процесс построения групп автоморфизмов P

n

может быть продлен при n

5. Пример 1. Для решения задачи преобразования необходимо рассмотреть

систе-мы линейных уравнений B

_T

= Q

−1_n

· S

−1

· B, C

_T

= C

· S · Q относительно элементов

матриц B и C из описания (1). Матрицы B

_T

, C

_T

— числовые, задаваемые из

усло-вий задачи преобразования, матрица S — известная числовая, матрица Q

_n

зависит

от параметров при условии det Q

_n

= 0. Для решения системы относительно B и C

можно фиксировать любые параметры матрицы Q

_n

так, чтобы det Q

_n

= 0.

Пусть

S =

⎡

⎣

s

11₂₁

s

12₂₂

s

13₂₃

s

₃₁

s

₃₂

s

₃₃

⎤

⎦, C = % c

₁₁

c

₁₂

c

₁₃

&

, n = 3,

C

· S = [s11

c

₁₁

+ s

₂₁

c

₁₂

+ s

₃₁

c

₁₃

s

₁₂

c

₁₁

+ s

₂₂

c

₁₂

+ s

₃₂

c

₁₃

s

₁₃

c

₁₁

+ s

₂₃

c

₁₂

+ s

₃₃

c

₁₃

] .

Если необходимо принять, как в (4), то приходим к системе

⎧

⎨

⎩

s

₁₁

· c

₁₁

+ s

₂₁

· c

₁₂

+ s

₃₁

· c

₁₃

= 1,

s

₁₂

· c

₁₁

+ s

₂₂

· c

₁₂

+ s

₃₂

· c

₁₃

= 0,

s

₁₃

· c11

+ s

₂₃

· c12

+ s

₃₃

· c13

= 0.

(10)

Эти уравнения при известной матрице S — условия на выбор матрицы C.

Пусть Q

₃

— трехпараметрическая матpица, как в п. i), detQ

₃

= 0, тогда C

_T

=

C

· S · Q

_n

, и вместо системы (10) для определения элементов c

₁₁

, c

₁₂

, c

₁₃

получаем

систему

⎧

⎪

⎨

⎪

⎩

[s

₁₁

(a

₂

x + a

₁

y + z) + s

₁₂

(a

₁

x + y) + s

₁₃

x]

· c11

+

+ [s

₂₁

(a

₂

x + a

₁

y + z) + s

₂₂

(a

₁

x + y) + s

₂₃

x]

· c12

+

+ [s

₃₁

(a

₂

x + a

₁

y + z) + s

₃₂

(a

₁

x + y) + s

₃₃

x]

· c13

= 1,

[s

₁₂

(a

₁

y + z) + s

₁₃

y] c

₁₁

+ [s

₂₂

(a

₁

y + z) + s

₂₃

y] c

₁₂

+

+ [s

₂₂

(a

₁

y + z) + s

₃₃

y] c

₁₃

= 0,

[s

₁₂

(

−a

₂

y) + s

₁₃

z] c

₁₁

+ [s

₂₂

(

−a

₂

y) + s

₂₃

z] c

₁₂

+ [s

₃₃

(

−a

₂

y) + s

₃₃

z] c

₁₃

= 0.

(11)

В (11) x, y, z — параметры, которые выбираются с учетом условия det Q

₃

= 0.

Очевидно, что введение матрицы Q

₃

существенно расширяет множество выбора

матрицы C.

(8)

Приведение к жордановой нормальной форме [28].

Рассмотрим различные случаи матрицы A

_j

.

1. A

_j

=

⎡

⎢

⎣

λ

₁

0 ...

0

0 λ

₂

...

0 ...

...

0

0 ...

λ

n

⎤

⎥

⎦ ,

здесь λ

i

— различные вещественные собственные числа матрицы A (i = 1, 2, ..., n).

Тогда

Q =

⎡

⎢

⎣

α

₁

0 ...

0

0 α

₂

...

0 ...

...

0

0 ...

α

n

⎤

⎥

⎦ ,

здесь α

i

— любые вещественные числа, отличные от нуля.

В таком случае введение матрицы Q не влияет на процесс декомпозиции, т. е.

не увеличивает число декомпозиционных вариантов, и при любой матрице S

количе-ство декомпозиций d = n

2

· n! (при n = m) и d = n

2

· m

2

(при n > m).

Действительно, в данном случае Q — элементарная матрица

масштабирова-ния, т. е.

B

_m

= M

−1

· B = Q

−1

· S

−1

· B, Cm

= C

· M = C · S · Q.

2. A

_j

=

⎡

⎢

⎣

λ

₁

· Er

₁

0 ...

0

0 λ

₂

· Er

₂

...

0 ...

...

0

0 ...

λ

_k

· Er

_k

⎤

⎥

⎦.

В отличие от предыдущего случая числа λ

i

разбиты на k групп равных

чи-сел, λ

j

различны (j = 1, 2, ..., k), а E

r_j

— единичные матрицы порядка r (при этом

k i=1

r

j

= n).

Тогда

Q =

⎡

⎢

⎣

α

₁

· Q

₁

0 ...

0

0 α

₂

· Q

₂

...

0 ...

...

0

0 ...

α

k

· Q

k

⎤

⎥

⎦,

где α

j

— любые вещественные числа, отличные от нуля; Q

_j

— неособые квадратные

матрицы порядков r

j

.

Если выбрать Q

_j

единичными, то параметры α

₁

, α

₂

, α

₃

, . . . , α

k

не влияют на

про-цесс декомпозиции. Таким образом, надо положить α

₁

= α

₂

= α

₃

= ... = α

k

= 1,

а элементы матриц Q

_j

принять за параметры, которые и будут входить в элементы

матриц B

_m

и C

_m

. Нап ример, п усть

A

_j

=

⎡

⎣

λ

0

1

λ

0

₂

0

0 λ

₂

⎤

⎦, т. е. E

_r₁

— (1

× 1)-матрица, Er

₂

— (2

× 2)-матрица.

С матрицей A

0_j

=

λ

₂

0

0 λ

₂

коммутативна любая неособенная матрица Q

₀

=

(9)

q

₁₁

q

₁₂

q

₂₁

q

₂₂

, где

q

₁₁

· q

₂₂

− q

₁₂

· q

₂₁

= 0. Теперь все q

_ij

— параметры и при этом

A

0_j

· Q

₀

= Q

₀

· A

0_j

. Тогда Q примет вид Q =

α

₀

0

0 Q

₀

, α

₀

= 0 — параметр, Q

−1

=

1/α

₀

0

0 Q

−1₀

. Если S известна, то M = S

· Q, M

−1

= Q

−1

· S

−1

и параметры q

_ij

входят в элементы матриц B

_m

и C

_m

.

3. A

_j

=

⎡

⎢

⎣

Λ

₁

0 ...

0

0 Λ

₂

...

0 ...

...

0

0 ...

Λ

k

⎤

⎥

⎦ ,

где Λ

_i

— блочно-диагональные матрицы порядка r

_i

с блоками, являющимися

жор-дановыми клетками K

_ij

, отвечающими одному и тому же числу λ

_i

(i = 1, 2, ..., k),

k i=1

r

i

= n (r

i

— кратность числа λ

i

).

Тогда

Q =

⎡

⎢

⎣

Q

₁

0 ...

0

0 Q

₂

...

0 ...

...

0

0 ...

Q

_k

⎤

⎥

⎦ ,

Q

_i

(i = 1, 2, ..., n) также являются блочно-диагональными матрицами, блоки

кото-рых Q

_ij

имеют размерности блоков K

_ij

.

Для полного восстановления вида блоков Q

_ij

рассмотрим произвольную

жорда-нову клетку K

_ij

порядка q, соответствующую числу λ

_i

. То есть

K

_ij

=

⎡

⎢

⎣

λ

_i

0 ...

0

1 λ

_i

...

0

1 ...

0

0 ...

...

0

0 ...

1 λ

_i

⎤

⎥

⎦

.

Клетку K

_ij

можно записать и по-другому: K

_ij

= λ

_i

· E + H, где H — матрица

вида

H =

⎡

⎢

⎣

0

0 ...

0

1

0 ...

0

1 ...

0

0 ...

...

0

0 ...

1

0 ⎤

⎥

⎦

.

Соответствующий блок Q

_ij

будет иметь вид

Q

_ij

= α

₀

· E + α1

· H + α2

· H

2

+ ... + α

_q−1

· H

q−1

.

Коммутативность блоков K

_ij

и Q

_ij

при умножении очевидна, следовательно,

мат-рицы Λ

_i

и построенные указанным образом матрицы Q

_i

коммутируются между собой.

А значит, коммутируются между собой и матрицы A

_j

и Q.

Пусть, например, матрица A

_j

— жорданова клетка, отвечающая вещественному

собственному числу, тогда матрица Q ищется в виде

Q = α

₀

· E + α

₁

· E + ... + α

_n−1

· H

n−1

,

(10)

где H — матрица с единичной наддиагональю, а все остальные элементы — нули; α

₀

,

α

₁

, α

₂

, . . . , α

_n−1

— ненулевые параметры. В этом случае при декомпозиции параметры

α

₀

, α

₁

, α

₂

, . . . , α

_n−1

не влияют на последнюю строку матрицы B

_m

и первый столбец

матрицы C

_m

.

4. Матрица A имеет q пар комплексно-сопряженных собственных чисел и

(n

− 2q) вещественных чисел. Тогда матрица A

_j

будет блочно-диагональной:

A

_j

=

A

_JC

0

0 A

_JR

. Перестановочная с ней матрица Q также будет

блочно-диагональной: Q =

Q

_C

0

0 Q

_R

. Причем матрица Q

_C

будет перестановочна с

мат-рицей A

_JC

, а матрица Q

_R

— с матрицей A

_JR

. Поскольку вид матриц A

_JR

и

соот-ветствующий им вид матриц Q

_R

описаны в случаях 1–3, то сосредоточим внимание

на матрице A

_JC

и перестановочной с ней матрице Q

_C

.

Прежде всего обратим внимание на то, что матрица A

_JC

имеет четный порядок

2 ·q. Любую квадратную матрицу четного порядка можно рассматривать как блочную,

составленную из матриц-блоков второго порядка. То есть «блочный» порядок такой

матрицы будет равен q. Будем рассматривать в качестве блоков второго порядка

матрицы вида

μ

−γ

γ

μ

, соответствующиe комплексно-сопряженным числам μ

±i·γ.

Сформулированные рассуждения 1–3 для матриц A

_JR

можно перенести на блочные

матрицы A

_JC

, составленные из указанных выше блоков второго порядка.

Пример 2. Пусть A — (4

×4)-матрица, B — (4×2)-матрица, C — (2×4)-матрица,

A имеет две пары одинаковых комплексно-сопряженных корней λ

_{1, 2, 3, 4}

= μ

± i · γ.

Тогда существует матрица S такая, что

A

_j

= S

−1

· A · S =

⎡

⎢

⎣

μ

−γ 1

0 γ

μ

0

1

0

0 μ

−γ

0

0 γ

μ

⎤

⎥

⎦ , Q

1

=

q

₁₁

q

₁₂

q

₂₁

q

₂₂

, E =

1

0

1 .

1-й способ. Ищем матрицу Q в виде Q = α0

· E

0

0 E

+ α

₁

·

0 E

0

0 . Здесь

α

₀

и α

₁

— параметры, тогда Q

−1

= β

₀

E

0

0 E

+ β

₁

0 E

0

0 , здесь значения β

₀

и β

₁

получаем из условия Q

· Q

−1

= E — (4

× 4)-матрица: β0

= α

₀−1

, β

₁

=

−α1

· α

−2₀

,

в котором α

₀

= 0, α1

= 0. Тогда ¯

C

_m

= C

· S · Q = Cm

· Q, при этом α0

и α

₁

влияют

на решение уравнений ¯

c

m₁₃

= 0 = α

1

· c

m₁₁

+ α

0

· c

m₁₃

, ¯

c

m₁₄

= 0, ¯

c

m₂₃

= 0, ¯

c

m₂₄

= 0, где

C

_m

=

{c

mij

}, j = 1, 2, 3, 4, ¯

C

m

=

{¯c

mjj

}. Аналогично ¯

B

m

= Q

−1

·S

−1

·B = Q

−1

·Bm

,

параметры α

₀

и α

₁

входят в уравнения ¯

b

m11

= 0, ¯

b

m12

= 0, ¯

b

m21

= 0, ¯

b

m22

= 0.

2-й способ. Имеем

A

0_j

=

μ

−γ

γ

μ

, A

j

=

A

0_j

E

0 A

0_j

, Q

₁

=

q

−p

p

q

,

где p, q — любые вещественные числа такие, что p

2

+ q

2

= 0, Q

₁

коммутативна с A

0_j

и Q

−1₁

=

_p2_+q1 2

q

p

−p q

.

Полагаем, что α

₀

= α

₁

= 1, и ищем в блочном виде Q =

Q

₁

E

0 Q

.

(11)

При этом Q зависит от параметров p и q: Q

−1

=

Q

−1₁

L

0 Q

−1₁

, где

L =

1 (p

2

+ q

2

)

2

p

2

− q

2

−2 · p · q

2 · p · g

p

2

− q

2

.

В данной матрице Q

−1

в 2 раза больше элементов, зависящих от параметров, чем

в матрице Q

−1

, найденной 1-м способом, т. е. увеличивается число декомпозиционных

вариантов.

Вернемся к преобразованию, из которого следует, что кроме матрицы M = S

· Q

нужно знать матрицу M

−1

= Q

−1

· S

−1

, причем матрицу Q

−1

необходимо получить

в явном виде, т. е. иметь формулу для еe вычисления. Для случая 2 было

показа-но, что при полном описании блочно-диагональной матрицы достаточно определить

представление еe блоков

Q

_ij

= α

₀

· E + α1

· H + α2

· H

2

+ ... + α

_q−1

· H

q−1

.

Следовательно, для представления матрицы Q

−1

достаточно знать Q

−1_ij

. Но

Q

−1_ij

= β

₀

· E + β1

· H + α2

· H

2

+ ... + β

_q−1

· H

q−1

, где β

_j

находятся из системы

уравнений, получаемой из равенства Q

_ij

· Q

−1_ij

= E с учетом того, что H

q

= 0.

Заключение. В случае первой естественной нормальной формы матрицы до 4-го

порядка включительно получены параметрические матрицы. Указан метод

получе-ния таких матриц в любых случаях, когда порядок матриц больше четырех. Введение

этих матриц, как параметрического сомножителя, позволяет во многих случаях

при-водить исходную систему уравнений к управляемой или наблюдаемой форме. Задачу

построения неособенного декомпозиционного преобразования в случае A

_j

можно

счи-тать решенной. Решение состоит из следующих этапов:

1) строим матрицу S, состоящую из собственных (модальных) векторов и

допол-нительных векторов матрицы A;

2) получаем матрицу A

_j

= S

−1

· A · S;

3) из условия A

_j

·Q = Q·Aj

находим невырожденную матрицу Q так, что

матри-ца преобразования M = S

· Q приводит систему (1) к системе уравнений

относитель-но z(t) с матрицами соответственотноситель-но A

_j

= M

−1

· A · M, Bm

= M

−1

· B, Cm

= C

· M;

4) приводим матрицы B

_m

, C

_m

к нужному блочному виду, варьируя элементы

матрицы Q, исключая случаи, когда det(Q) = 0;

5) решив систему относительно z(t), возвращаемся к системе относительно x(t),

используя преобразование x(t) = M

· z(t).

Изложенный подход к декомпозиции систем вида (1) был с успехом применен

и дополняется исследованиями ее подсистем первого и второго порядков [7–27].

Литература

1. Лурье А. И. Современные проблемы механики. Некоторые нелинейные задачи теории авто-матического регулирования. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит., 1951. 216 с. 2. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. Изд. 2-е, испр. и доп. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. 483 с. 3. Троицкий В. А. О канонических преобразованиях уравнений теории автоматического регу-лирования при наличии кратных корней // Прикладная математика и механика. 1957. Т. 21, вып. 4. С. 574–577. 4. Нелепин Р. А., Камачкин А. М., Туркин И. И., Шамберов В. Н. Алгоритмический синтез нелинейных систем управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 240 с. 5. Петров В. В., Гордеев А. А. Нелинейные сервомеханизмы. М.: Машиностроение, 1979. 471 с. 6. Derusso P. M., Rob J. R., Close C. M., Desrochers A. A. State Variables for Engineers. 2nd еd. New York: Wiley – Interscience, 1998. 575 p.