Weiner

TRƯỜNG ĐẠ

TRƯỜNG ĐẠI H

I HỌ

ỌC BÁCH KHOA HÀ N

C BÁCH KHOA HÀ N

Ộ

ỘII

VI

VIỆỆ N CÔNG NGH N CÔNG NGHỆỆ THÔNG TIN VÀ TRUYTHÔNG TIN VÀ TRUYỀỀ N THÔNG N THÔNG

BÀI T

BÀI TẬ

ẬP L

P LỚ 

Ớ N

N

 Đề  Đề ttàài i : : 

T Hiu về ộ ọ ir ướ ượ 

T Hiu về ộ ọ ir ướ ượ ng

ng  h

 h phươg

phươg

ttốối thi

i thiu .

u .

Gi

Giảg viê hướ ảg viê hướ ng dng dẫẫn: n: PGS.TS PGS.TS NguyNguyễễn Linh Giangn Linh Giang Sinh viên th

Sinh viên thựực hic hiệện: n: Ninh Ninh ThThịị HươgHươg 2008132320081323 Trug Thàh Phươg

Trug Thàh Phươg 2008367420083674  Nguy

M

MỤ

ỤC L

C LỤ

ỤC

C

I. T

I. Tổổng quan vng quan vềề bbộộ llọ ir………..…………2ọ ir………..…………2 1. Gi

1. Giớ ớ i thii thiệệu bu bộộ llọ ir………...2ọ ir………...2 22. Nguyê ý ơ ả. Nguyê ý ơ ản cn củủa ba bộộ llọ ir……….4ọ ir……….4 3. V

3. Vấ đềấ đề xây dxây dựựng bng bộộ llọ ir………9ọ ir………9 II.

II. Ứ Ứ ng dng dụụng bng bộộ llọọc Wiener trong xc Wiener trong xửử lýlý ảh………...11ảh………...11 1.

1. TTổổng quan vng quan vềề khôi phkhôi phụụcc ảh………ảh………...…………11…………11 2.

2. Ướ ượ Ướ ượ ng sng sựự xuxuốống cng cấp……….12ấp……….12 3.

3. BBộộ llọọc Wiener và khôi phc Wiener và khôi phụụcc ảh………14ảh………14 4.

4. ThiThiếết k t k ếế bbộộ llọ FIR ir………21ọ FIR ir………21 III. Mô ph

III. Mô phỏỏng thng thửử nghinghiệ ir Fitr……….27ệ ir Fitr……….27 1. Gi

1. Giớ ớ i thii thiệu Mata……….27ệu Mata……….27 2. Ti

2. Tiếến hành thn hành thửử nghinghiệ………..28ệ………..28 K 

K ẾẾT LUT LUẬN……….3ẬN……….388 Tài Li

M

MỤ

ỤC L

C LỤ

ỤC

C

I. T

I. Tổổng quan vng quan vềề bbộộ llọ ir………..…………2ọ ir………..…………2 1. Gi

1. Giớ ớ i thii thiệệu bu bộộ llọ ir………...2ọ ir………...2 22. Nguyê ý ơ ả. Nguyê ý ơ ản cn củủa ba bộộ llọ ir……….4ọ ir……….4 3. V

3. Vấ đềấ đề xây dxây dựựng bng bộộ llọ ir………9ọ ir………9 II.

II. Ứ Ứ ng dng dụụng bng bộộ llọọc Wiener trong xc Wiener trong xửử lýlý ảh………...11ảh………...11 1.

1. TTổổng quan vng quan vềề khôi phkhôi phụụcc ảh………ảh………...…………11…………11 2.

2. Ướ ượ Ướ ượ ng sng sựự xuxuốống cng cấp……….12ấp……….12 3.

3. BBộộ llọọc Wiener và khôi phc Wiener và khôi phụụcc ảh………14ảh………14 4.

4. ThiThiếết k t k ếế bbộộ llọ FIR ir………21ọ FIR ir………21 III. Mô ph

III. Mô phỏỏng thng thửử nghinghiệ ir Fitr……….27ệ ir Fitr……….27 1. Gi

1. Giớ ớ i thii thiệu Mata……….27ệu Mata……….27 2. Ti

I. T

I. Tổổng quan v

ng quan vềề bbộộ llọọc Wiener:

c Wiener:

1. Gi

1. Giớ ớ i thii thiệệu bu bộộ llọọc Wiener:c Wiener: B

Bộộ llọọc wiener là bc wiener là bộộ llọọc c nnổổi i titiếếng trong thng trong thếế gigiớ ớ i i ccủủa các loa các loạại tín hii tín hiệệu. u. BBộộ llọọcc weiner là b

weiner là bộộ llọ đã đượ ọ đã đượ c Norbert Wiener (c Norbert Wiener (ông là nhà toán hông là nhà toán họọc c nnổ ổ i i titiế ế ng trên cng trên cảả  phương

 phương diệdiện toán hn toán họọc thuc thuầần túy và toán hn túy và toán họọcc ứ ứ ng ng d d ụng, được coi là cha đẻụng, được coi là cha đẻ ccủủaa ngành Điề 

ngành Điề u khiu khiể ể n hn học, là người đi tiên phong trong nghiên cứ ọc, là người đi tiên phong trong nghiên cứ u vu về ề quá trình ng quá trình ng ẫ ẫ uu nhiên và quá trình

nhiên và quá trình nhiunhiu) đề) đề xuxuấất trong nht trong nhữg ă 1940 và đượ ữg ă 1940 và đượ c công bc công bốố vào ăvào ă 1949.

1949. B

Bộộ llọọc wiec wier đượ r đượ c dùng cho r c dùng cho r ấất nhit nhiềều u mmụ đíh và ó vai trò qua trọụ đíh và ó vai trò qua trọng trongng trong nhi

nhiềềuu ứứng ng ddụg hư â ằụg hư â ằng kênh, dng kênh, dựự đoá tuyếđoá tuyến tính, hn tính, hủủy y bbỏỏ titiếếng vang, ging vang, giảảmm titiếếngng ồồn, kênh dn, kênh dựự toán, phtoán, phụục hc hồồi tín hii tín hiệệuu ….….

 B

 Bộộ l l ọọc weiner d c weiner d ựa trên phương pháp thống kê để ựa trên phương pháp thống kê để gigiảảm nhim nhi  u trong tín hiu trong tín hiệệu u hihiệệnn t 

t ạại bi bằ ằ ng cách so sánh nó vng cách so sánh nó vớ ớ i mi mộột tín hit tín hiệu ướ ệu ướ c tính mong muc tính mong muố ố n không có nhin không có nhi  uu

Cùng lúc v

Cùng lúc vớ ớ i thi thời điời đim mà Wiener xây dm mà Wiener xây dựựng bng bộộ llọọc có nghiên cc có nghiên cứu đồứu đồng thng thờ ờ i ci củủaa Kolmogorov

Kolmogorov và công bvà công bốố vào ă 1941vào ă 1941.. Do đó ý thuyếDo đó ý thuyết nàyt này thườg đượ thườg đượ c gc gọọi là lýi là lý thuy

thuyếết t llọọc Wiener c Wiener  –  – Kolmogorov mang tên cKolmogorov mang tên cảả hai tác gihai tác giảả. Wiener-. Wiener-Koogorov đãKoogorov đã thi

thiếết k t k ếế mmạạch lch lọ đầu tiê và sau đó đã có nhiọ đầu tiê và sau đó đã có nhiềều nhà khoa hu nhà khoa họọc khác phát tric khác phát trin tin tiếế p p trog đó ó

2. Nguyên lý cơ bản của bộ lọc Wiener:

Bộ lọc Wiener là một bộ lọc thích nghi (adaptive filter) tức là các giá tr ị hệ số của  bộ lọ thay đổi theo thời gia thườ ng là phản ứng vớ i nhữg thay đổi trog đặc

tính của tín hiệu đầu vào.

Trướ c hết ta nhắ đến thuật toán Wier Fitr (F) đây à thuật toán xuyên suốt ý tưởg đ xây dựng bộ lọc Wiener. Nguồn gố ơ ản của thuật toán WF là tạo ra tín hiệu “sạch” khôg ó hay ít hiễu bằng cách nén nhiễu. Ướ ượg đượ c thực hiện bằng cách hạ thấ p sai số h phươg trug h (Ma Squar Error) giữa tín hiệu mong muốn và tín hiệu ướ ươg.

Một bộ lọc Wiener có th là một trong hai loại IIR hoặc FIR 

IIRWiener là bộ lọ đáp ứng xung vô hạn bao gồ á phươg trh phi tuyến. FIR Wiener là bộ lọ đáp ứng xung hữu hạn bao gồ á phươg trh tuyến tính Bộ lọc Wier thườg đượ c gắn vớ i các công trình xây dựng bộ lọ FIR. Điều này là bở i vì các hệ số bộ lọc Wier thay đổi theo thờ i gian, và bộ lọc IIR có th tr ở 

Việc thiết k ế các bộ lọc Wiener có nhiều cách tiế p cận khác nhau. Giả thiết phải có kiến thức về các tính chất quang phổ của tín hiệu a đầu và nhiễu, và một tìm kiếm thờ i gian lọc tuyến tính bất biế ó đầu ra đến càng gần vớ i tín hiệu ban đầu càng tốt. Bộ lọ ir đượ đặ trưg ở i sau:

1. Giả thiết: tín hiệu và nhiễu (nhiễu cộng) của quá trình ngẫu nhiên tĩh tuyến tính vớ i phổ đặ trưg hoặc tự tươg qua và tươg qua chéo đã biết.

2. Yêu cầu: các bộ lọc phải có th thực hiện vật lý / quan hệ nhân quả (yêu cầu này có th đượ c bỏ qua, dẫ đến một giải pháp không quan hệ nhân quả) 3. Hiệu suất tiêu chuẩn: tối thiu hóa sai số h phươg trug h (Minimum

Mean Square Error )

V ấn đề thiế t l ậ p bộ l ọc Wiener (giả sử với trườ ng hợ  p là tín hiệu liên t ục):

Giả sử ta ó đầu vào của bộ lọc Wiener là một tín hiệu s(t), bị sai lệch bở i nhiễu cộng n(t) th đầu ra ướ ượ ng của bộ lọc

̂

sau khi đượ c lọc g(t) là tích chậ p sau:

̂





là tín hiệu a đầu 



là nhiễu cộng



̂

là tín hiệu ướ ượ ng ( mong muốn bằng giá tr ị



) 



à đáp ứng xung của bộ lọc Wiener 

Lỗi đượ địh ghĩa à:

  ̂

Trog đó:





à độ tr ễ của bộ lọc Wier ( khi trướ ng hợ  p xét là nhân quả)

Đây à ôg thức tổng quát xấ p xỉ giữa



và

̂

hay nói cách khác lỗi là sai số giữa tín hiệu ướ c tính và tín hiệu thật bị trượt đi



.

Bh phươg ủa lỗi:





 



 ̂̂





  Nếu

  

thì là dự đoá (prditio) (tức là lỗi đượ c giảm khi

̂

tươg

tự 1 giá tr ị sau này s).

  Nếu

  

th à đag ọc (filtering) (tức là lỗi đượ c giảm khi

̂

tươg tự

vớ i giá tr ị



).

  Nếu

  

thì là làm mịn (smoothing) (tức là lỗi đượ c giảm khi

̂

tươg

tự vớ i 1 giá tr ị trướ đó ủa s). Viết giải chậ p của

̂

:

̂   







Lấy giá tr ị kì vọng của h phươg ỗi:





  

_

   



_

_{}



 ∬ 











Trog đó: 

  

là tín hiệu qua sát đượ c 





là hàm tự tươg qua ủa









là hàm tự tươg qua ủa



 Nếu tín hiệu



và nhiễu



à khôg tươg qua (tứ à tươg qua



_

là 0) th ó ghĩa à:







 









 







Trên nhiều ứng dụng thì giả định nhiễu và tín hiệu khôg tươg qua hợ  p lý.

Mục tiêu của chúng ta là tối thiu







giá tr ị k ỳ vọng của bình phươg ỗi, bằng áh t hà đáp ứng xung của bộ lọc Wiener 



tối ưu.

Việc tối thiu







có th thực hiện bằng việ tíh toá đạo hàm bậc nhất của nó theo một giá tr ị







   



_

_{}



   











Đ tối thiu thì hàm bên trong phải loại bỏ nhau vớ i mọi giá tr ị



và dẫ đến  phươg trh wiener  – hopf 

Đây à phương trình cơ bản c ủa l ý thuy ế t Wi ener , công thức bên phải giốg hư là một giải chập hưg iền chỉ là từ 0 → + ∞. Phươg trh ày ó th giải bằng k ỹ thuật Wiener  – Hopf.

3. Vấn đề xây dự ng bộ lọc Wiener:

Tiế p theo ta sẽ xét một số vấ đề của bộ lọc Wier trướ c khi chuyn sang một ứng dụng cụ th của bộ lọc này.

Bộ lọc Weiner sẽ có giải pháp trê á trườ ng hợ  p có th:

 Bộ lọc không nhân quả chấ p nhậ đượ c (_{a noncausal filter is acceptable}):

yêu cầu một số ượ ng vô hạn của cả dữ liệu quá khứ và tươg ai.

  









 



Đó



à tối ưu th ó ghĩa à h phươg tối thiu phươg trh:





  

_

 











 Bộ lọc nhân quả k ỳ vọg đượ c (_{a causal  filter is desired} ) sử dụng một số

ượ ng vô hạn các dữ liệu quá khứ.

  

_

_

_

 Bộ lọ đáp ứng xung hữu hạn (FIR) sử dụng một số ượ ng hữu hạn các dữ

liệu quá khứ.

Trườ ng hợp đầu tiên có th là giải pháp đơ giả hưg vấ đề ở chỗ nó không  phù hợ  p vớ i hệ thống thờ i gian thực. Khả ăg à bộ lọc giải quyết tốt hơ à ở 

những hệ nhân quả và đáp ứng xung hữu hạn.

Trê đây à phầ à hó đã t hiu về lý thuyết Wiener, bộ lọc Wier ũg hư phươg trh ủa bộ lọc (tham khảo thêm tại: Wiener, Norbert  (1949). Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series.  New York: Wiley), sau đây à phần thứ 2 của báo cáo về tìm hiu ứ ng dụng của bộ lọc Wier hó đã họn một trong những ứ ng dụng điển hình của bộ lọc Wiener là xử lý ảnh (lọc ảnh).

II. Ứ ng dụng bộ lọc Wiener trong xử lý ảnh

1. Tổng quan về khôi phục ảnh

Khôi phụ ảh đề ập tới á kỹ thuật oại ỏ hay tối thiu hoá á ảh hưởg ủa ôi trườg ê goài hay á hệ thốg thu hậ phát hiệ và ưu trữ ảh đế ảh thu hậ đượ. Cá guyê hâ gây iế dạg ảh: do hiễu ộ ả hậ tí hiệu ảh ờ do ara hiễu gẫu hiê ủa khí quy v...v. Khôi phụ ảh ao gồ hiều quá trh hư: ọ ảh khử hiễu hằ à giả á iế dạg đ ó th khôi phụ ại ảh gầ giốg ảh gố tuỳ tho á guyê hâ gây ra iế dạg.

 Một hệ khôi phục ảnh

Sự ựa họ hệ phụ hồi ảh phụ thuộ vào oại hh xuốg ấp hay khôi phụ ảh à hằ xá địh ô hh toá họ ủa quá trh gây ra iế dạg. Cá thuật toá à giả hiễu ộg gẫu hiê khá với á thuật toá à giả hoè ảh. Cá oại hh xuốg ấp ta sẽ xét à hiễu ộg gẫu hiê hoè và hiễu phụ thuộ tí hiệu hư hiễu hâ. Nhữg oại hh xuốg ấp ày thườg xảy ra trog thự tiễ.

Kỹ thuật à ta sẽ dùg với ộ ọ iener là kỹ thuật lọc tuyến tính. 2. Ước lượ ng sự xuống cấp

Có hai áh tiếp ậ đ ó thôg ti về sự xuốg ấp. Cá thứ hất à thu thập thôg ti từ híh ảh ị xuốg ấp. Nếu ta ó th t ra á vùg ườg độ xấp xỉ đồg đều trog ảh hẳg hạ ầu trời th ó th ướ ượg phổ ôg suất hoặ hà ật độ xá suất của nhiễu nền ngẫu nhiên từ sự tăg giả ườg độ trong các vùng có nề đồg đều. Một ví dụ khá hư khi ảnh bị nhoè nếu ta t đượ c trong ảh đã xuống cấ p một vùng mà tín hiệu gố đã iết, thì có th ướ ượ ng hàm nhòe



Ký hiệu tí hiệu ảh gốc ở một vùg đặc biệt của ảnh là

 

và ảnh bị xuống cấp trog vùg đó à



thì quan hệ gầ đúg giữa



và

 

là:



=

 

(1) Theo giả thiết

 

và



đều đã iết, nên có th đượ ướ ượg đượ c



từ (1).

 

_



∫  (

_{ }









)

(2) Trog đó



_



và



_



là sự tịnh tiế tho phươg gag và dọc của

 

ở  thời đi t và T à thời gia hớp. Trog iề iế đổi Fourir:

(







)    

_



_



















    (

_



_



_{ }









)



















(3)

Trog đó

(

_



_

)

là hàm biế đổi Fourier của



Ướ ượ ng (3) ta hậ đượ:

(







)

=

(

_



_

)(

_



_

)

(4) Trog đó:

(







) 

_



∫

_{ }





















(5) Từ (4), thấy r ằng nhòe vì chuy động có th đượ x hư ột phép nhân chậ p

3. Bộ lọc Wiener và vấn đề khôi phục ảnh

Lọc Wiener là k ỹ thuật lọc tuyế tíh đ khôi phục ảnh gốc từ ảh đã xuống cấ p do bị nhiễu phá hủy.

Ảnh sau khi qua một đáp ứg ào đó th ị nhiễu và khác với a đầu, theo lý thuyết ta xây dựng một đáp ứg gượ c lại đ khôi phục ảnh dựa vào đáp ứng ban đầu. Tuy nhiê á phươg pháp hư ọ gượ c và lọc giả gượ c có một yếu đim là nhạy cảm vớ i nhiễu vì vậy khi áp dụg á phươg pháp ày phải giả định là hệ thốg ý tưở ng không có nhiễu. Song trên thực tế thì không th ó điều này, vì vậy gườ i ta sử dụg kĩ thuật lọc wiener cho các hệ thống có nhiễu.

 Như ta đã iết mục tiêu của bộ lọc Wiener à đ làm cực tiu h phươg sai số, trong xử lý ảnh thì là sai số giữa ảnh gốc và ảh đag ó. Ta ài đặt một bộ lọc FIR  hư à ột tích chậ p của một bộ lọc tr ọng số g đ làm cực tiu sai số h phươg vớ i ảh thu đượ c. Việc tìm tr ọng số tươg ứng vớ i việc giải một phươg trh thoả mãn yêu cầu đặt ra sau đó ta t ra ộ lọ đ thực hiện việc tính tích chậ p. Sau khi tíh xog th ta thu đượ c ảnh gần vớ i ảnh gốc nhất.

Bộ lọc Wiener và giảm nhiễu trong ảnh.

Mô hình ảnh xuống cấ p bở i nhiễu cộng ngẫu nhiên:











=

 

_



_

 

_



_



Trog đó



_



_



là biu diễn nhiễu cộng ngẫu hiê độc lậ p vớ i tín hiệu.

  _{Nhóm s}ẽ đưa ra nhữ _{ng kí hi}ệ_{u công th}ứ _{c th}ự _{c t} ế _{không h}ề _{có sai khác} ý nghĩa _vớ _{i ký hi}ệ_{u công th}ứ _c

 phần t ổ ng quanở trên, l ấy giá tr ịn dùng trong r ờ i r ạc không dùng cho nhiu đượ c nữ a.

 Nếu ta giả thiết r ằng

 

_



_



và



_



_



là những mẫu độc lậ p tuyến tính của quá trình ngẫu nhiên dừng trung vị bằng 0, và phổ công suất



_



 





 





và







 





 





của húg đã iết, thì có th nhậ đượ ướ ượ ng tuyến tính tối ưu sai

số quâ phươg tối hiu của



_



_



bằng cách cho



_



_



qua bộ lọc wiener  à đáp ứng xung tần số hư sau:



 





 



 







 





 











 





 









 





 





Bộ lọc trên là bộ lọc pha không. Vì phổ công suất



_



 





 





và







 





 





là thực và không âm nên giá tr ị



 





 





ũg à thực và không âm. Nhờ  có bộ lọc

Weiner chỉ ảh hưở ng tới iê độ phổ chứ không ảh hưởg đến pha. Bộ lọc Weiner giữ nguyên tỉ số SNR (tỉ số tín hiệu trên nhiễu) của các thành phần tần số

ao hưg à giảm SNR của các thành phần tần số thấ p. Nếu ta cho



_



 





 





tiến gần tớ i 0 thì



 





 





sẽ tiến gầ đến 1, cho ta thấy bộ lọ ó xu hướ ng giữ

nguyên SNR của các thành phần tần số cao. Nếu cho



_



 





 





tiế đế ∞ th giá

tr ị



 





 





sẽ tiế đến 0, cho ta thấy bộ lọ ó xu hướ ng làm giảm SNR của các

thành phần tần số thấ p.

Bộ lọc Weiner dựa vào giả thiết là phổ công suất



_



 





 





và







 





 





đã iết

hoặc có th ướ ượg đượ c. Trog á ài toá thườ ng gặp th ướ ượ ng phổ công suất của nhiễu



_



 





 





là hoàn toàn có th à hư phần 2 ở  trên, tuy

nhiên là vớ i phổ công suất của ảnh



_



 





 





ướ ượg khôg đơ giản. Một

 phươg pháp à ấy trung bình



_



_





cho nhiều ảnh

 

_



_



. Phươg pháp khác là mô hình hóa bằng một hà đơ giản







 





 



 

√













 





 



 





 





 





Thôg thườ ng bộ lọ wir đượ c thực thi trên miền tần số bở i:











=IDFT [



_



_



_



_



]

Các giá tr ị



_



_



và



_



_



là biế đổi Fourier r ờ i r ạc của



_



_



và











. Trong công thứ trê th kíh thướ c DFT và biế đổi gượ c DFT ít nhất ũg à



x



khi kih thướ c ảnh là



x



và kíh thướ c  bộ lọc là



x



. Nếu kíh thướ c DFT nhỏ hơ



x



thì  biế đổi Fourir gượ c IDFT [



_



_

 

_



_



] sẽ khôg đồng nhất vớ i











*



_



_



ở gầ á đườ ng biên của ảh đã xử lý



_



_



, vì hiệu ứng aliasing. Trong hầu hết á trườ ng hợp kíh thướ c hiệu dụng của



_



_



nhỏ, có th nhận đượ c k ết quả vừa ý vớ i biế đổi Fourier (DFT) và biế đổi gượ c Fourier  (IDFT) ó kíh thướ c



x



. Một áh đ nhậ đượ c



_



_



là lấy mẫu đáp ứng tần số



_



_



của bộ lọc Wiener bằng:









  









_

_

_

_{ }



_

_

_

_

Trog đó: kíh thướ c của DFT và IDFT là



x



giả thiết là qua các vùng khác nhau của ảh đặc tính tín hiệu và nhiễu đều không thay đổi. Đó à ộ lọc bất biế trog khôg gia à thôg thườ ng trong một bức ảnh, từ vùg ày sag vùg khá á đặc tính ảnh r ất khác nhau. Ví dụ tườ ng và  bầu tr ời ó ườg độ nền xấ p xỉ đồg đều, trái lại các tòa nhà và cây ó ườg độ thay đổi lớ n, chi tiết). Sự xuống cấp ũg ó th thay đổi từ vùng này sang vùng khác.

 Đây là bổ trợ về giải chậpWiener và SNR bổ sung cho phần trên:

Với một hệ thống:

  

* ký hiệu chậ p và:





_{là m}ộ_{t tín hi}ệu đầ_{u vào (không rõ) t} ạ_{i th}ờ _{i gian}



_.





_làđáp ứ _{ng xung c}ủ_{a m}ộ_{t h}ệ_thố _ng tuyế _{n tính b}ấ _{t bi}ế _{n th}ờ _{i gian} 



_{là m}ộ_{t nhi} _{u c}ộ_{ng không rõ,}độ_{c l} ậ _{p c}ủ_a







_{là tín hi}ệ_{u quan sát} 

 M ục tiêu của chúng ta là tìm thấ  y một 



 số để chúng ta có thể ướ c



tính như sau:

 

Trong đó:



 

_và

 

đượ _{c các Fourier bi}ế _n



đổ _i



và tương ứ _ng ở _t ầ_n

 

_số _. 

 

là có nghĩa là _mật độ_{công su}ấ _{t ph}ổ _củ_{a tín hi}ệu đầ_{u vào}





 

_{là m}ật độ_{công su}ất có nghĩa là quang phổ _củ_{a ti}ế _ng ồ_n



 _{Các d} ấ _u *_biể _{u th}ị_{liên h}ợ  _{p ph}ứ _{c t} ạ _{p .}

 Hoạt động lọc có thể được thực hiện trong miền thời gian, như ở trên, hoặc trong miền tần số :

     

Với

  

à iế đổi Fourir ủa



và sau đó thự hiệ ột iế đổi Fourir gượ

 

đ có đượ



.

 Lưu ý rằ ng trong xử lý hìnhảnh, các đố i



số 

 

là thành phần hai chiều, tuy nhiên kết quả là như nhau.

Các hoạt động của các bộ lọc Wiener trở nên rõ ràng khi các phương trình lọc ở trên được viết lại:

   

_{}

_{ }

 

_

_{ }



 



 

_{}

_{ }

 

_

_{ }







Ở đây,





là nghịch đảo của hệthống ban đầu, và

  





làtỷ lệ tín hiệu trên nhiu. Khi không 

nhiu (tức là tín hiệu trên nhiu vô hạn), thuật ngữ bên trong dấu ngoặc vuông bằng 1, có nghĩa rằng các bộ lọc Wiener chỉ đơn giản là nghịch đảo của hệ thống, như chúng ta có thể mong đợi. Tuy nhiên, khi

vuông cũng giảm xuống. Điều này có nghĩa là bộ lọc Wiener suy giảm tần số phụ thuộc vào tỷ lệ tín hiệu trên nhiu.

Các phương trình bộ lọcWiener trên đòi hỏi chúng ta phải biết nội dung phổ của một hình ảnh tiêu biểu,

và cả nhiu. Thông thường, chúng ta không thế tìm đến những số lượng chính xác, nhưng chúng t a có thể 

biết được một tình huống mà các ước tính tốt có thể được thực hiện. Ví dụ, trong trường hợp của các hình ảnh, tín hiệu (hình ảnh ban đầu) thường có tần số thấp là mạnh vàtần số cao yếu, và trong nhiều trường 

4. Thiết k ế bộ lọc FIR Wiener Giớ i thiệu

Về lý thuyết, bộ lọc Wier ó đáp ứng xung vô hạ và do đó đòi hỏi DFT có kích thướ c lớ n. Tuy nhiề đáp ứng xung có hiệu quả chỉ là một phần nhỏ của kích thướ đối tượ ng.

Khác vớ i hầu hết các loại bộ lọc số đượ c thiết k ế dựa trên các khái niệm trong miền tần số, các bộ lọ ir đượ c phát trin dựa trên các khái niệm về miền thờ i gian. Các bộ lọ ir đượ c thiết k ế đ tối thiu hóa sai số trung bình bình  phươg (MSE) giữa đầu ra của nó và một tín hiệu ra mong muốn hay yêu cầu. Vì vậy húg đượ c cho là tối ưu tho ghĩa ủa sai số trug h h phươg. Định ghĩa đặc biệt này về tối ưu ó thuận lợ i là dẫ đến các lờ i giải có dạng hữu hạn cho các hệ số của bộ lọc về mặt hàm tự tươg qua ủa tín hiệu đi vào ộ lọc và hà tươg qua héo giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra yêu cầu.

Bộ lọc FIR Wiener: Gọi:



Vector tín hiệu đầu vào của bộ lọc

(2.1)



: Là vector tr ọng số của bộ lọc wiener  w =



_



_{}



_







tín hiệu ra

    





_





tín hiệu ra mong muốn



sai số giữa tín hiệu mong muốn



và tín hiệu ra





=



 – 



(2.2)

Vì







là một vô hướ ng nên bằng chuyn vị của nó, tức là:







=







. Do đó, từ (2.1) và (2.2) ta có:



=



 – 



=







=







(2.3) Đối vớ i mạch lọc Wiener, hàm hiệu ăg đượ c chọn là sai số toàn phươg trug  bình:

 

=











(2.5) Khai trin (2.5) và chú ý



có th đưa ra goài toá tử



[.] vì nó không phải là  biến số thốg kê ta thu đượ c:

 

=



[







 – 





[]





+











(2.6) Ta địh ghĩa vtor tươg qua héo ậc Nx1:

  []  















(2.7) Và ma tr ậ tươg qua:

Chú ý là: E[d[n]xT[n]] = PT; wTP=PTw, ta thuđượ c:

J = E[d2[n]] – 2wTP + wTRw (2.8)

Đ thu đượ c các tr ọng số ứng vớ i hàm phí tổn J có giá tr ị cực tiu, ta cần phải giải hệ phươ ng trình đượ c tạo thành từ đạo hàm bậc nhất của J đối vớ i mỗi tr ọng số wi

R 00 R 01 ... R 0 N-1

R 10 R 11 ... R 1 N-1

... ... ... ...

R  N-1 0 R  N-1 1 ... R  N-1 N-1











  

ớ 

  

Cá phươg trh trê ó th viết dướ i dạng ma tr ận:

∇

J = 0 (2.10)

Ở đây

∇

là toán tử vi phâ đượ xá địh hư ột vtơ ột:





















∇

= ... 









Đ t á đạo hàm riêng của J đối vớ i các tr ọng số wi của mạch lọ trướ c hết

 phải khai trin hệ thức (2.8) thành dạg tườ ng minh:

     



_



 







_





_















(2.12) Thay (2.12) vào (2.11) sau đó ấy đạo hàm riêng phần của J theo wi và thaythế m

ho k ta đượ c:



  



 





ớ 

  



Trog trườ ng hợ  p này ta thấy: R ki = E[x[n-k]x[n-i]] = xx[i-k]

Φxx[i-k] là hàm tự tươg qua ủa x[n]

Tươg tự: R ik = Φxx[k-i]

Do tính chất đối xứng của hàm tự tươg qua ê Φxx[k] =Φxx[-k] ta thu đượ c:

R ki = R ik  Thay (3.18) vào phươg trh (3.15) ta đượ c: 









 







ớ 

  





Phươg trh trê ó th biu diễ dướ i dạng ma tr ận:

∇

J = 2Rw – 2P

Đặt

∇

J=0 ta sẽ thu đượ c phươg trh tối ưu hoá táp trọng số của mạch lọc Wiener:

Rw0 = P (2.13)

Đây à phươg trh ir -Hopf đối vớ i vetor tr ọng số tối ưu w0:

W0 = R -1P (2.14)

Thay giá tr ị w0vừa t đượ c từ phươg trh Wiener-Hopf và Rw0=P vào phươg

trình (2.8) ta sẽ t đượ c giá tr ị cực tiu của hàm phí tổn J: Jmin = E[d2[n]] – w0TP = E[d2[n]] – w0TRw0

Đó à sai số cực tiu mà mạch lọc Wiener FIR W(z) có th đạt đượ c khi các tr ọng số của nó là nghiệm của phươg trh ir -Hopf ghĩa à ghiệm tối ưu ở  (2.14)

III. Mô phỏng thử nghiệm Wiener Filter

1. Giớ i thiệu về Matlab:

 Matlab là công cụ tính toán trong k ỹ thuật đặc biệt là các bài toán về ma tr ận.

Matlab còn cung cấ p các toolboxes chuyên dụg đ giải quyết những vấ đề cụ th đ giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên về xử lý ảnh.

 Image Processing toolbox là công cụ chuyên dụng về xử lí ảh đượ c Matlab

 phát tri. Đây à ột công cụ lợ i hại giúp cho việc thực hiện các giải thuật xử lí ảnh nhanh chóng và dễ hiu.

 Chươg tríh sử dụng Matlab phiên bản Matlab 7.8.0 (R2009a) đ tiến hành thử

nghiệm khôi phục ảnh sử dụng bộ lọc weiner bằg á hà đượ c cung cấ p trong Image Processing toolbox Version 6.11 đi kè

Các hàm cơ bản trong đượ c sử dụng:

 Hà đọc ảnh: I = irad(fia) đọc ảh ưu a trậ đim ảnh vào ma tr ận

I.

 Hàm hin thị ảnh I: imshow(I) hin thị ảh đượ ưu ằng ma tr ậ đim ảnh I.  Hàm tạo đáp ứng xung: h = fspecial(_type paratrs) đáp ứng xung này khi

nhân chậ p vớ i ảnh gốc tạo ra các hiệu ứng do type truyề vào hư:

 „otio‟: tạo nhòe giống máy ảnh chụ p bị rung khi chụ p hay vật th chuyn

 „gaussa‟: tạo nhiễu Gaussian  „avrag‟: xử lý cho lọc trung bình  Parameters: tham số bổ sung cho type

 Hàm tạo nhiễu: J = imnoise(I,_type, _parameters) tạo ra các loai nhiễu hư

„gaussia‟ 'sat & pppr'…

 Hà ifitr(AHoptio1…) hà ày sẽ tùy tho optio đ xử lý A và H,

trong thử nghiệ optio = „ov‟ dùg đ tích chậ p ảh a đầu A và H( là hiệu ứng quang học chuy động).

 Hàm medfil2(I,[ ]) hàm lọc trung vị cho ảnh I và dùng ma tr ận [ ].  Hàm giải chậ p sử dụng thuật toán của bộ lọc Wiener:

deconvwnr(I,H,SNR) deconvolves ảnh I dùng bộ lọ wir khi đã  biết giá tr ị của ảh hưở ng quang học (motion) và tham số về nhiễu (ở đây à tỉ số SNR).

 Ngoài ra ta còn 1 hàm Wiener2 là hàm lọc nhiễu hưg sử dụg hư ột  phươg thức lọc trung bình

wiener2 (I,[m n],noise)với [ ] à kíh thướ đáp ứng xung

 Dùng 1 ảnh có chất ượ ng tốt oi hư à ảh ý tưở ng ( không có sự xuống cấ p

hay ảh hưở ng của nhiễu và quang học)

 Tạo ra sự xuống cấ p lên ảh hư tạo nhiễu hay làm tá động quang học do

chuy động

 Khôi phục lại bằng các hàm sử dụng bộ lọ wir đượ hươg trh Mata

cung cấ p sẵn.

 Đồng thờ i cùng vớ i ảnh xuống cấp đó thay v ọc Wiener sẽ đượ c lọc bằng lọc

trung bình và trung vị. Thự c hiện:

 Đọc vào ảh đa ức xá ưu a trậ đim ảnh

 I = imread('D:\lena.jpg');

imshow(I); title('anh goc');

 Tạo nhiễu ngẫu nhiên, nhiễu tr ắng Gaussian:

noise_mean = 0;

noise_var = 0.01;

imshow(J); title('anhnhieu');  Khôi phục ảnh bằng hàm wiener2:  K = wiener2(J,[5 5]);  figure, imshow(K); title('anhphuchoi'); K ết quả:

Sau khi quan sát ảnh khôi phục có th thấy nhiễu đã giả hưg đồng thời đườ ng ét ũg khôg ò rõ ràg ữa điều này là hin nhiên.

Thuật toán mà wiener2() sử dụng:

Ướ tíh giá trị trug h và phươg sai trê ỗi đi ảh

    



















 





_{   }





_

_

_













 





Với NM hỉ â ậ ủa ỗi đi ảh trog hh ảh. wiener2() sau đó tạo ra ột  ộ ọ ir pix thông minh ằg áh sử dụg hữg ướ tíh ày 









  



_



_













Trong đó





là  phươg sai hiễu. Nếu đúg hiễu khôg phải à hất địh wiener2() sử dụg trug h ủa tất ả á ướ tíh hêh ệh địa phươg.

Rõ ràng từ 2 ảnh ta có th thấy ảnh lọc bằng Wiener 2 sử dụg phươg pháp adaptive Wiener ảnh giữ lại nhiều đườg ét hơ ảnh lọc bằng lọc trung vị

Thử nghiệm khôi phục ảnh bị ảnh hưở ng quang học (do chuyển động) và có nhiễu

 Đọc ảh vào oi hư à ảh ý tưở ng

imshow(I); title('anh goc');

 Giả định r ằng trong quá trình chụ p ảnh ống kính bị rung hay do vật đượ c chụ p

chuy động nhanh qua ống kính khi chụ p. Chúng ta sẽ mô phỏng hiệ tượ ng này bằng cách tạo ra đáp ứg xug H sau đó hâ hậ p ảnh vớ i ảnh gố đ tạo ra ảnh bị nhòe

 H=fspecial('motion',11,5);

anh_bi_mo=imfilter(I,H,'conv');

 figure,imshow(anh_bi_mo);

title('Anh bi lam mo');

 Sử dụg hà iois đ tạo thêm nhiễu gaussian lên ảnh

noise_mean = 0;

noise_var = 0.001;

 Khôi phục sử dụng bộ lọc wiener có sử dụg ướ ượ ng nhiễu khi biết phươg

sai của hàm tạo nhiễu (noise_var).

uocluong_nhieu= noise_var / var(I(:));% day chinh la ti so SNR

wnr3 = deconvwnr(anh_bi_monhieu, H, uocluong_nhieu); % ti so SNR



0  figure, imshow(wnr3);

title('anh sau khi loc bang weiner');

K ết quả:

Ảnh thêm nhiễu nữa: Ảnh lọc bằng Wiener:

Thêm một thử nghiệm nữa: ảnh mờ do chuy động + nhiễu Gauss đượ c lọc bở i lọc trung bình và k ết quả sẽ đượ hư sau:

I = imread('D:\lena_mo_nhieu.jpg'); H = fspecial('average');

K = imfilter(I,H,'conv'); Ảnh sau khi khôi phục:

Lọc bằng lọ gượ c:

Có th nhận xét từ các k ết quả lọc Wiener và lọc trung bình thì lọc Wiener khôi  phục lại đườg ét rõ ràg hưg ũg đồng thời đã à ho hiễu tăg ườ ng lên, ảh hưở ng quang học (do chuy động) gầ hư đã ất. Ngượ c lại ảh đượ c lọc  bở i lọc trung bình nhiễu có giả đi hưg ảh hưở ng quang họ ũg khôg đượ c

loại bỏ. Đặc biệt lọ gượ c r ất nhạy cảm vớ i nhiễu ê ta ó đượ c k ết quả ảnh hoàn toàn bị nhiễu hư trê.