DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
MECATRÓNICA MECATRÓNICA FÍSICA I FÍSICA I INFORME DE LABORATORIO Nº 4.1 INFORME DE LABORATORIO Nº 4.1 Tema:
Tema: MOMENTOS MOMENTOS DE DE INERCIAINERCIA Méndez Kathe
Méndez Katherine rine Vinueza DVinueza Diegoiego Ing. Pedro B
Ing. Pedro Buitrónuitrón 2
2 de Diciede Diciembre dmbre del 2013el 2013 (Recibido el 25 de
(Recibido el 25 de Noviembre, aceptado el 2 de Diciembre)Noviembre, aceptado el 2 de Diciembre) Abstract Abstract
In this laboratory show practiced as experimentally find the center of gravity of rigid bodies, both In this laboratory show practiced as experimentally find the center of gravity of rigid bodies, both bodies in uniform as a square and in com
bodies in uniform as a square and in complex figures, and irregular polygplex figures, and irregular polygon of four sides. We proceedon of four sides. We proceed to take the measures of the bodies and the distances between their edges with the center of gravity, to take the measures of the bodies and the distances between their edges with the center of gravity, which will get it with the help of a plumb line.
which will get it with the help of a plumb line.
Keeping the suspended solids will proceed with 5 waves in
Keeping the suspended solids will proceed with 5 waves in each edge of the figure, which ieach edge of the figure, which is measureds measured with a chronometer the time it takes to perform this process, once the data are obtained from both the with a chronometer the time it takes to perform this process, once the data are obtained from both the square and the irregular solid proceed to perform such calculations to find the center of gravity of square and the irregular solid proceed to perform such calculations to find the center of gravity of each of the solids.Resumen de la práctica
each of the solids.Resumen de la práctica
Resumen Resumen
En esta practicara de laboratorio se buscara encontrar de manera experimental el centro de gravedad En esta practicara de laboratorio se buscara encontrar de manera experimental el centro de gravedad en cuerpos rígidos, tanto en cuerpos uniformes como un cuadrado y en figuras complejas, como en cuerpos rígidos, tanto en cuerpos uniformes como un cuadrado y en figuras complejas, como polígono irregulares de
polígono irregulares de 4 lados. Se 4 lados. Se procederá a tomar procederá a tomar las medidas de las medidas de los cuerpos y las los cuerpos y las distancias quedistancias que existen entre sus aristas con el centro de gravedad, el cual se lo obtendrá con la ayuda de una existen entre sus aristas con el centro de gravedad, el cual se lo obtendrá con la ayuda de una plomada.
plomada.
Manteniendo los sólidos suspendidos se procederá a realizar 5
Manteniendo los sólidos suspendidos se procederá a realizar 5 oscilaciones en cada arista de loscilaciones en cada arista de la figura,a figura, las cuales se med
las cuales se medirán con un cronomirán con un cronometro el tiempo que tarda en retro el tiempo que tarda en realizar ealizar este proceso, uneste proceso, una veza vez obtenidos los datos, tanto del cuadrado, como del solido irregular se procederá a realizar los cálculos obtenidos los datos, tanto del cuadrado, como del solido irregular se procederá a realizar los cálculos respetivos para encontrar el centro de gravedad de cada
1. OBJETIVOS
Determinar la posición de Centro de Gravedad (c.g) de cuerpos rigidos (figuras planas).
Obtener experimentalmente el factor de inercia rotacional (momento de inercia) de placas
homogéneas de espesor despreciable.
Medir experimentalmente el factor de inercia rotacional de placas homogéneas con respecto
al c.g, mediante el periodo de oscilación respecto a un eje.
2. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA
Centro de masas de un sistema de partículas.
Muchas situaciones en la física deben ser analizadas considerando un sistema de varias partículas, a fin de comprender y analizar de mejor manera el comportamiento de elementos
más complejos queuna sola partícula.
Se define como un sistema de par tículas al conjunto de puntos o cuerpos materiales que
pueden inter- actuar entre si y también con cuerpos que no forman parte del sistema considerado.
Centro de masa de cuerpos solidos:
En el caso de cuerpos solidos que tienen (al menos en el nivel macroscópico) una distribución continua de materia, la suma de la ecuación del centro de masa debe sustituirse por integrales.
⃗
∫
⃗
∫
⃗
∑
Si un cuerpo homogéneo tiene un centro geométrico como una bola de billar o un cubo, el centro demasa esta en ese lugar.
Si el cuerpo tiene un eje de simetría como una rueda o una polea el centro de masa pasa por dichoeje. Ninguna ley dice que el centro de masa debe estar dentro del cuerpo, tal es el
Movimiento del centro de masas.
La velocidad del centro de masa es la derivada de la primera expresión y la aceleración es la
segunda derivada, asi que se puede escribir:
Cálculo del momento de inercia de un sistema de partículas y de partícula
planas con espesor uniforme.
Energía en el movimiento del cuerpo rotacional
Un cuerpo rí g i d o en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una cantidad llamada momento de inercia que depende de la forma en que se distribuye tal masa. La energía
cinéticatotal del cuerpo es la sumade las energías cinetecas de todas sus particular.
(∑
)
Momento de inercia de un cuerpo rígido:
Como un cuerpo tiene forma y tamaño definidos, al aplicarle un sistema de fuerzas no
concurrentes puede ocasionas que se traslade y gire.
Aquí el brazo de momento r es ladistancia perpendicular del eje z al elemento arbitrario dm. General- mente se elige un eje que pase por el centro de masa G del cuerpo y es siempre perpendicular al planode movimiento.
Si el cuerpo está construido de material con densidad variable, su masa elemental dm se puede escribir en términos de su densidad y volumen como:
∫
Sustituyendo esto en la expresión anterior tenemos:
En el caso especial que p sea constante se puede factorizar:
Teorema de Steiner.
el centro de masa y el momento de inercia alrededor de cualquier otro eje paralelo al original, pero despaldado una distancia d.
I p = ICM +M
d2
Esta ecuación muestra que un cuerpo tiene menor momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centro de masa que alrededor de cualquier otro eje paralelo.
Cálculo del momento de inercia debido a la oscilación de un cuerpo con respecto al eje de suspensión y al eje que pasa por el centro de gravedad para ´ángulos menores a 15 grados.
Los momentos de inercia de algunos cuerpos de revolución homogéneos, con respecto a sus ejes de revolución, se pueden estimar a partir de funciones sencillas de su masa y de sus medidas geométricas):
Cilindro macizo, de masa M y radio R:
Disco delgado, de masa M y radio R:
Esfera maciza, de masa M y radio R:
5
Métodos para encontrar el centro de gravedad de figuras planas de espesor uniforme:
El centro de gravedad de un cuerpo es un punto. En los pol ígonos regulares, como es el
caso delcuadrado, del rectángulo, del rombo y del paralelogramo coincide con el centro
geométrico. Así que basta con trazar las diagonales y el corte de las mismas te indicara su posición.
El centro de gravedad de u n triángulo.
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro o centro de gravedad del triángulo. Dibujamos un triángulo ABC, señalamos los puntos medios de los
lados y trazamos las medianas.
Si recortamos el triángulo y lo apoyamos sobre un lápiz , de modo que el baricentro
coincida con la punta del lápiz, podemos comprobar que el triángulo queda en equilibrio.
Esto ocurre porque el baricentro es el centro de gravedad del triángulo es decir, el punto de aplicaciónde su peso.
EL centro de gravedad de figuras complicadas.
Los centros de gravedad de figuras complicadas como la figura 1 puede calcularse analíticamente, pero también gráficamente, en el procedimiento analíticamente lo primero
es descomponer la figura complicada en figuras de las que sabemos calcular su área y pos ición del centro de gravedad mediante fórmulassimples
3. Demuestre analíticamente la inercia de u n c u e r p o r í g i d o debida a un movimiento oscilatorio con respecto a un eje para
´
ángulos menoresde 15 grados.
El subíndice V de la integral indica que se integra sobre tdi el volumen del cuerpo. Se
resuelve a travésde una integral triple.
Este concepto desempeña en el movimiento de rotación de un papel análogo al de masa
inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme.
La masa es la resistencia que presenta un cuerpo al ser acelerado en traslación y el momento de inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación.
6 Materiales: Cuerpo de prueba Eje de acero Plomada Rendija óptica Material de montaje Herramientas: Escala milimetrada Balanza Cronómetro 4. PROCEDIMIENTO Parte 1
Medir la masa de los cuerpos de prueba (placas de aluminio de cuatro lados.
Disponer el equipo de montaje tal como se muestra en el esquema auxiliar,
suspendiendo la placa de cuatro lados de uno de sus vértices.
Dejar caer la plomada desde el punto de suspensión y señalar su dirección.
Suspender el placa (cuerpo de prueba) desde otra posición y repetir el paso anterior.
El cruce de las direcciones de la plomada constituye el centro de gravedad. Medir la posición del centro de gravedad con respecto a cada uno de los puntos de
suspensión. Parte 2
Suspender del eje la placa de aluminio de manera que pueda oscilar libremente en
un plano vertical.
A partir de la posición de equilibrio del cuerpo de prueba desplazar
aproximadamente 10° de la vertical y dejar que oscile libremente.
Medimos el tiempo para 5 oscilaciones del cuerpo de prueba (placa de cuatro
lados), y medimos el periodo (T)
̅
Con el valor del periodo se determina la inercia.
El procedimiento anterior se repite para los 3 puntos de suspensión restantes.
Registramos los datos de las masas (m), distancias (d), periodo (T) en las tablas de
datos.
7 1. Tabulación de datos: Placa de aluminio M=143.8 g n=5 EJE d T1 T2 T3 T4 T5
̅
O 11.2 3.69 3.94 4.00 3.93 3.91 3.89 P 13.9 4.12 4.25 4.34 4.28 4.32 4.26 Q 15 4.19 4.28 4.34 4.37 4.32 4.30 R 10.9 4.00 3.96 4.04 4.03 3.97 4.00 Placa de aluminio M= g n=5 EJE d ̅
̅
Error % O 11.2 3.89 0.778 0.240 -17.69 P 13.9 4.26 0.852 0.358 -27.27 Q 15 4.30 0.860 0.393 -31.78 R 10.9 4.00 0.800 0.248 -16.74 ̅
Placa de aluminio M=143.8 g n=5 EJE d T1 T2 T3 T4 T5 ̅
O 7.9 3.31 3.31 3.22 3.35 3.31 3.30 P 7.9 3.41 3.43 3.44 3.44 3.37 3.42 Q 7.9 3.4 3.37 3.32 3.28 3.37 3.35 R 7.9 3.44 3.34 3.44 3.47 3.44 3.43 Placa de aluminio M=143.8 g n=5 EJE d ̅
̅
Error % O 7.9 3.30 0.66 P 7.9 3.42 0.68 Q 7.9 3.35 0.67 R 7.9 3.43 0.69 ̅
2. Cálculos:8 Tabla 1: Para el eje O:
̅
()()()
()()
Table 2: Para el eje O: ̅
()()()
()()
6. PREGUNTAS PREGUNTAS.1.1 ¿Qué interpretación merece el momento de inercia?
El momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Esto sucede cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia. La inercia rotacional es una magnitud escalar llamada momento de inercia.
Generalmente la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia.
La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos.
El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia dependerá de la
9
geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; sin embargo no dependerá de las fuerzas que intervengan en el movimiento.
En el caso del movimiento rectilíneo y uniforme, el momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial, que será el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
Un claro ejemplo del momento de inercia es cuando una catapulta lanza una piedra pequeña y otra grande, con la misma fuerza, se observará que la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. De ese modo se evidencia que el momento de inercia es la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro, desempeñando un papel equivalente al de la masa en el movimiento lineal.
5.2. Determine analíticamente el momento de inercia de sus cuerpos de prueba respecto al eje que pasa por su centro de gravedad Ig (momento de inercia baricéntrico )
Cálculo del momento inercia Ig en la placa regular.
(
)
(
)
(
)
Cálculo de momento de inercia Ig en la placa irregular
(
)
(
)
(
)
10
Primeramente, el teorema de Steiner o de ejes paralelos, establece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:
Donde:
Ieje es el momento de iner cia r es pecto al eje que no pasa por el centr o de masa
ICM de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa
M es la masa total
d es la distancia entre los dos ejes paralelos considerados. Demostración: Centro de masas:
Ieje = R v r.rdm = R v (r c2 + 2r c.d+d2)dm = R v r c.r cdm + R v 2r cd+ R v d2.dm Ieje = Ieje(C M) +2r cd+M.d2 2r cd=0 Ieje = Ieje(C M ) +M.d2El segundo término es nulo, ya que la distancia vectorial promedio de masa en torno al
centro de masa es nula.. El centro de gravedad y el centro de masa pueden no coinc idir
debido a que el centro de masa sólo depende de la geometría del cuerpo, mientras que el
centro de gravedad depende del campo gravitacional en el que está inmerso dicho cuer po.
Al combinar superficies, los momentos de inercia de cada área requieren de la transmisión del momento de inercia al nuevo eje centroidal del área compuesta, lo que se logra gracias al Teorema de los ejes.
11
Al realizar la toma de datos de forma experimental se llega a tener datos des acertados como hemos conseguido este erro se llama errores sistemáticos debido que al pulsar el cronometro se pierde tiempo y también la cuanta mucho la experiencia del observador.
Se puede concluir con los errores obtenidos en los cálculos, tiene un margen de error muy pequeño ya que la apreciación del mismo inuye y no permite que haiga un mayor error en los resultados, por lo que el rango de error q se encuentra entre 0.65 a 0.96.
5.5. Estudie que efecto produciría un efecto de oscilación grande.
El efecto de oscilación grande produciría un error en la toma de datos ya que en cada oscilación variaría perdiendo velocidad y por ende el tiempo cambiaria notablemente en cada oscilación es por eso que se aconseja tener un ángulo de oscilación de 15o ya que esta medida es óptima para poder hacer una toma de datos ideal.
Hasta un máximo de 15 grados es considerado o tomado como una amplitud pequeña ya que sabemos que la distancia recorrida por esta oscilación podemos decir que es constante, pero si aumentamos el valor del ángulo de15 grados las oscilaciones variaran y ser a difícil obtener el momento de inercia.
7. CONCLUSIONES
En esta práctica nos ha sorprendido que al contrario que en la mayoría de las demás nos hemos empezado a encontrar con resultados discordantes. Pensamos que la razón, además de todas las que podamos haber dado en los diferentes apartados esta prácticamente el final de las medidas, debía rozar por algún sitio y de vez en cuando nos obsequiaba con una oscilación frenada.
8. RECOMENDACIONES
Se debe tener mucho cuidado con los materiales utilizados en esta práctica y se los debe
colocar
de una manera correcta para que no afecte y se puedan tomar las medidas correctas.
Se debe tener mucho cuidado al tomar y contar el número de oscilaciones y el tiempo
cronometrado
para evitar un porcentaje de error muy elevado.
12
Angel Franco Garcia. Física con ordenador.Curso Interactivo de Física en Internet. [En
línea] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/rozamiento/dinamico/dinamico.htm.
Angel Franco Gracia. Fisica con ordenador . Curso Interactivo de Física en Internet. [En
línea] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/rozamiento/general/rozamiento.htm.
Ing. Guevara, F., Ing. Msc. Buitrón, P., & Ing. Lasso, C. (2012). Física Básica. Quito. Vallejo, P., & Zambrano, J. (2008). Física Vectorial 1. Quito, Ecuador: RODIN.
