Libro Digital Sesión 4.3

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(3)

© Todos los derechos de propiedad intelectual de esta obra pertenecen en exclusiva a la © Todos los derechos de propiedad intelectual de esta obra pertenecen en exclusiva a la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. Queda terminantemente prohibida la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas. Queda terminantemente prohibida la reproducción, puesta a disposición del público y en general cualquier otra forma de reproducción, puesta a disposición del público y en general cualquier otra forma de explota

explotacición de toda o paón de toda o parte de la rte de la mismis mama. L. L a utilización no a utilización no autautoriori zada zada de esde es ta obta obra, asra, as í cí c omoomo los perjuicios ocasionados en los derechos de propiedad intelectual e industrial de la los perjuicios ocasionados en los derechos de propiedad intelectual e industrial de la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas., darán lugar al ejercicio de las acciones que Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas., darán lugar al ejercicio de las acciones que le

legg alalmemente nte le corresle corres pondapondan y, en sn y, en s u casu cas o, a lao, a las s resres ponsabilidaponsabilidades que de dicho ejercides que de dicho ejerci cio cio ss ee deriven.

(4)

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(5)

Índice del tema

Introducción…………

Introducción……….…………..4.4

1.

1. Derivadas Derivadas parciales………parciales………5………5 1.1.

1.1. Derivadas parciales Derivadas parciales como pendientes de como pendientes de tangentes………tangentes……….5……….5 1.2.

1.2. Definición dDefinición de e derivadas derivadas parciales………parciales………6………6 2.

2. Plano Plano tangente………….……tangente………….………7………7 3.

3. Ejercicios Ejercicios resueltos………resueltos………9………9 4.

4. Ejercicios Ejercicios propuestos………propuestos………..5………..5 Resumen………

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(7)

Introducción

En la sesión anterior, usted definió funciones de varias variables y analizó su dominio así como En la sesión anterior, usted definió funciones de varias variables y analizó su dominio así como curvas y superficies de nivel. En esta sesión, se debe continuar con el estudio y análisis de estas curvas y superficies de nivel. En esta sesión, se debe continuar con el estudio y análisis de estas funciones.

funciones.

En cálculo I, usted definió derivada de una función

f

y estudió sus aplicaciones al interpretarse y estudió sus aplicaciones al interpretarse esta como una tasa, razón o rapidez de cambio.

esta como una tasa, razón o rapidez de cambio.

En la presente sesión de definirá derivada de manera análoga a como se hizo en cálculo I, sin En la presente sesión de definirá derivada de manera análoga a como se hizo en cálculo I, sin embargo, se debe tener en cuenta que, si se tiene una función de dos variables,

embargo, se debe tener en cuenta que, si se tiene una función de dos variables,

f

, con regla de, con regla de correspondencia

correspondencia

z



(( yy

x

,,

))

entonces es necesario hallar la derivada respecto a cada una de las entonces es necesario hallar la derivada respecto a cada una de las variables.

variables.

E

El análisis de estas derivadas es importante para determinar cómo resulta afectada la funciónl análisis de estas derivadas es importante para determinar cómo resulta afectada la función debido a cambios de cada una de sus variables. A este proceso de le llama

debido a cambios de cada una de sus variables. A este proceso de le llama derivación parcialderivación parcial y y elel resultado se llama

(8)

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(9)

1. 1. Derivadas Parciales

Derivadas Parciales

1.1 Derivadas parciales como pendientes de Tangentes

Recordemos que la ecuación

z



x

;; y

y

representa representa una una superficie. superficie. Al Al fijarfijar

y



y

₀₀ , , estamosestamos restringiendo nuestra atención a la curva de intersección de la superficie y el plano

restringiendo nuestra atención a la curva de intersección de la superficie y el plano

y



y

₀₀ dede modo que la pendiente de su recta tangente en

modo que la pendiente de su recta tangente en

x

₀₀

,,

y

₀₀

,,

f

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

es es

f

_x_x

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

..

Del mismo modo, la pendiente de la

Del mismo modo, la pendiente de la recta tangente a la curva recta tangente a la curva de intersección de la superficie con elde intersección de la superficie con el plano

plano

x



x

₀₀enen

x

₀₀

,,

y

₀₀

,,

f

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

eses

f

_y_y

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

.. Figura 1:

Figura 1: La derivadaLa derivada

f

_x_x

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

como pendiente de la recta tangente a la como pendiente de la recta tangente a la curva

curva

z



f

((

x

;;

y

₀₀

))

en el punto en el punto

x

₀₀

,,

y

₀₀

,,

f

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

..

Figura 2:

(10)

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(11)

1.2 Definición de derivadas parciales

Suponga

Suponga que que es es una una función función de de dos dos variablesvariables

x

e e

y

, si hacemos que solo, si hacemos que solo

x

varíe mientras que varíe mientras que

y

se mantiene fija, por ejemplo se mantiene fija, por ejemplo

y



y

₀₀, donde, donde

y

₀₀es una constante, entonces, realmente estamoses una constante, entonces, realmente estamos considerando una función de una sola variable, es decir,

considerando una función de una sola variable, es decir,

f

((

x

,,

y

₀₀

))

Si esta función tiene derivada en

x

₀₀ , entonces la llamaremos , entonces la llamaremos derivada parcial dederivada parcial de

f

con respectocon respecto a

a

x

en en

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

y la denotamos cony la denotamos con

f

_x_x

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

. Entonces. Entonces

h

y

x

f

y

h

x

f

y

x

f

y

x

f

h h x x

))

,,

((

))

,,

((

lliim

m

))

,,

((

))

;;

((

00 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0











 



((

1

1 ))

Análogamente, la

Análogamente, la derivada parcial dederivada parcial de

f

con respecto a con respecto a

y

enen

((

x

₀₀

;;

yy

₀₀

))

y la denotamos cony la denotamos con

))

;;

((

x

₀₀

yy

₀₀

f

_y_y se obtiene manteniendose obtiene manteniendo

x

fija ( fija (

x



x

₀₀) y hallando la derivada ordinaria de) y hallando la derivada ordinaria de

f

((

x

₀₀

,,

yy

))

.. Entonces: Entonces:

k

y

x

f

k

y

x

f

y

x

y

f

y

x

f

k k y y

))

,,

((

))

,,

((

lliim

m

))

,,

((

))

;;

((

00 00 00 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0











 



((

2

2 ))

Notación:

Si Si

z



f

((

x

,,

yy

))

entonces entonces

f

D

f

D

f

x

z

y

x

f

x

f

y

x

f

_x_x _x_x



_xx













₍₍

_,,

₎₎

₁₁ ₁₁

))

;;

((

_

((

3

3 ))

f

D

f

D

f

y

z

y

x

f

y

f

y

x

f

y y y y

_



yy













₍₍

_,,

₎₎

₂₂ ₂₂

))

;;

((

_

((

4

4 ))

Tal como lo expresa la definición, cuando se deriva respecto a una variable las demás se mantienen Tal como lo expresa la definición, cuando se deriva respecto a una variable las demás se mantienen constantes. De esta manera, se puede decir lo

(12)

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Derivadas parciales y plano tangente

Regla para encontrar las derivadas parciales de

z



f

((

x

,,

yy

))

1.

Para encontrarPara encontrar

f

_x_x, considere, considere

y

como una constante y derivecomo una constante y derive

f

((

x

,,

yy

))

x

..

2.

Para encontrarPara encontrar

f

_y_y, considere, considere

x

como una constante y derivecomo una constante y derive

f

((

x

,,

yy

))

y

..

Ejemplo:

Ejemplo: SeaSea

f

una función de dos variables definida por una función de dos variables definida por

f

((

x

,,

y

))



2

2 x

x

33



x

44

y

33



3

3 yy

22, calcule, calcule

))

2

2 ,,

1

1 ((

x x

f

y y

f

_y_y

((

1

1 ,,

2

2 ))

Solución:



 Derivando respecto aDerivando respecto a

x

( se mantiene fijo( se mantiene fijo

y

))

3 3 3 3 2 2

₄

6

6 ))

,,

((

x

y

x

yy

f

_x_x  

Evaluando en el punto solicitado:

f

_x_x

((

1

1 ,,

2

2 ))



6

6 ((

1

1 ))

22



4

4 ((

1

1 ))

33

((

2

2 ))

33



2



 Derivando respecto aDerivando respecto a

y

( se mantiene fijo( se mantiene fijo

x

))

y

x

y

x

f

_x_x

((

,,

))

____

3

44 22__

6

Evaluando en el punto solicitado:

f

_x_x

((

1

1 ,,

2

2 ))



3

3 ((

1

1 ))

44

((

2

2 ))

22

6

6 ((

2

2 ))



1

1 Nota:

Nota:

En el caso de funciones de más de dos variables, se define y calcula de forma similar como En el caso de funciones de más de dos variables, se define y calcula de forma similar como en el caso de función de dos variables.

en el caso de función de dos variables.

2. 2. Plano tangente

Plano tangente

Definición:

Definición: Suponga que la función Suponga que la función

f

de dos variables tiene derivadas parciales continuas. Lade dos variables tiene derivadas parciales continuas. La ecuación del plano tangente a la superficie

ecuación del plano tangente a la superficie

z



f

(( yy

x

;;

))

P

((

x

₀₀

,,

y

₀₀

,,

z

₀₀

))

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

f

x

,,

y

x

f

x

,,

y

yy

z

  _x_x   _yy 

))

5

5 ((

Observe que, la Observe que, la derivada respecto a derivada respecto a

x

del tercer término del tercer término de la función se de la función se anula. ¿Por qué? anula. ¿Por qué?

(14)

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Derivadas parciales y plano tangente

Ejemplo:

Ejemplo: Determinar la ecuación del plano tangente a la superficieDeterminar la ecuación del plano tangente a la superficie

z



n

x



2

2 yy

0

0 ,,

1

1 ,,

3

.. Solución: Solución:

De acuerdo a la ecuación (5), se necesita las derivadas parciales evaluadas en (3,1) De acuerdo a la ecuación (5), se necesita las derivadas parciales evaluadas en (3,1)

 

((

3

3 ,,

1

1 ))

1

2

1

1 ))

,,

((









xx x

x

y

_x

_y

f

 

((

3

3 ,,

1

1 ))

2

2 ))

,,

((









yy y

y

x

y

_x

_y

f

Por lo tanto,

Por lo tanto, en en la ecuación la ecuación del plano tangente a la la ecuación la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto (3, 1, 0):superficie dada en el punto (3, 1, 0):

))

1

1 ((

2

2 ))

3

3 ((

1

0

0 





_x

_yy

z

oo

z



x



2

2 yy



1

En la figura 4, puede observar la superficie dada y el plano tangente a dicha superficie en el punto En la figura 4, puede observar la superficie dada y el plano tangente a dicha superficie en el punto indicado.

indicado.

Figura 3

(16)

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Derivadas parciales y plano tangente

3. 3. Ejercicios resueltos

Ejercicios resueltos

Derivadas parciales

1.

1. Sea la función realSea la función real

2 2 2 2 2 2

9

4

36

2

2 ))

;;

((

y

x

y

x

y

x

f

        _{. Encuentre,}_{. Encuentre,}

f

(

;;

).

x x

0

Solución: Solución: Derivando respecto a

Derivando respecto a

x

: se aplica la regla del cociente y la regla de la cadena respecto a dicha: se aplica la regla del cociente y la regla de la cadena respecto a dicha variable: variable:

 



 

₂₂ ₂₂



22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

9

4

36

9

4

36

4

2

9

4

36

4

4 ))

;;

((

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

f

_x_x                    

 

22 22



3322 2 2 2 2

9

4

36

9

2

4

4 ))

;;

((

y

x

y

x

y

x

f

x x







Reemplazando en el punto solicitado:

f

_x_x

((

0

0 ;;

0

0 ))



0

2.

2. SiSi

f

((

x

;;

y

))



lln

n

x



y

. Determine. Determine

f

_x_x

((

x

;;

y

),

f

_yy

((

x

;;

yy

))

e indique sus dominios respectivos e indique sus dominios respectivos en forma analítica y gráfica

en forma analítica y gráfica Solución:

Solución:



 Se obtiene las derivadas parciales:Se obtiene las derivadas parciales:

y

x

y

x

f

y

x

y

x

f

x x

((

;;

))



_

1

1 ;;

yy

((

;;

))





_

1



 Si existen las derivadas parciales, deben estar definidas para Si existen las derivadas parciales, deben estar definidas para los puntos del dominio delos puntos del dominio de

f

,,

Dom

f



x

,,

y

//

x



yy



0

Por otro lado,

Dom

Do

m

f

_x_x 

Dom

Do

m

f

_yy 

x

,,

y

//

x



y

y como este conjunto está incluidoy como este conjunto está incluido en el dominio de

(18)

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(19)

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Derivadas parciales y plano tangente

3.

3. Dada Dada la la siguiente siguiente función función con con regla regla de de correspondencia:correspondencia:

 

_x

_;;

_y

_;;

_z



_ee

₁

_y

22

_z

22

_y

_yy

22

f

__ y yxx __ __ __ __ __

a)

a) Describa el dominio analíticamente y grafíquelo en el primer octante.Describa el dominio analíticamente y grafíquelo en el primer octante. b)

b) Determine las derivadas parciales de primer orden.Determine las derivadas parciales de primer orden. Solución:

Solución: a)

a)

Dom

f



x

,,

y

,,

z



R

33

//

1



y

22 

z

22 

0



y



x



0



y



yy

22 

0



1



y

22

z

22 

0



y

22

z

22 

1

1 ,,

el

sólido

es

el

cilindr



y



x



0



y



x

,,

región

sobre

el

plano

pl

ano

y



xx



y



y

22 

0



y

((

1



y

))



0



0



y



1

1 región

región

limitada

porr

po

llos

os

plano

pl

ano

y



0

0 ee

yy



1

Además, se debe graficar en el primer octante:

z



0

b)

b) Derivadas parciales de primer ordenDerivadas parciales de primer orden



 _x_x y y x x

ee

y y x x

x

y

x

y

ee

f

             

1

2

1

1 ))

1

2

1

1 ((

Figura 6

(20)

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(21)

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Derivadas parciales y plano tangente

Plano Tangente

1.

1. Considere la funciónConsidere la función

f

((

x

;;

y

))



y



coss

co

22

((

 

x

))



x

_{. Halle la ecuación del plano tangente a la}_{. Halle la ecuación del plano tangente a la}

gráfica de

gráfica de f f en el punto en el punto

P

1

1 ;;

2

2 ;;

3

y obtenga y obtenga

f

_xy_xy

((

1

1 ;;

2

2 ))

.. Solución

Solución a.

a. Se obtienen, las derivadas parcialesSe obtienen, las derivadas parciales

f

_x_x

,,

f

_y_y::

y

x

y

x

se

sen

n

x

co

coxx

y

x

f

_x_x       

))

((

cos

))

((

))

((

))

;;

((

2 2 __      

2

2 ))

2

2 ;;

1

1 ((



x x

f

x

y

x

f

_y_y     

))

((

cos

2

1

1 ))

;;

((

2 2 __

2

3

3 ))

2

2 ;;

1

1 ((

 y y

f

El plano tangente es: El plano tangente es:

 

  

 

2

4

3

2

4

2

3

1

2

3

        



x

y

x

y

z

b. b.

 

cos

((

))



1

2

2 ))

((

))

((

))

;;

((

₃₃ ₂₂ 2 2       

x

y

x

sen

x

cox

y

x

f

_xy_xy        

1

1 ))

2

2 ;;

1

1 ((

 xy xy

f

2.

2. Considere la funciónConsidere la función

2 2 2 2

_lln

_n

₂

2

2 ))

;;

((

x

y

x

y

x

yy

f









.. (a)

(a) Determine el domino deDetermine el domino de

f

y represéntelo gráficamente y represéntelo gráficamente (b)

(b) Halle la ecuación del plano tangente a la gráfica deHalle la ecuación del plano tangente a la gráfica de f f en el punto en el punto

P

1

1 ;;

0

0 ;;

1

..

Solución Solución

De acuerdo a la regla de correspondencia de la función se tiene, las siguientes restricciones: De acuerdo a la regla de correspondencia de la función se tiene, las siguientes restricciones:

(22)

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Derivadas parciales y plano tangente

(b)

(b) Se obtienen las derivadas parcialesSe obtienen las derivadas parciales

  

₂₂ ₂₂

2

1

2

2 x

x

y

x

yy

x

y

;;

x

f

_x_x              

f

_x_x

1

1 ;;

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Entonces la ecuación del plano es:

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4 x

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y

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Figura 6

Figura 6: Región D: dominio de: Región D: dominio de

f

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(24)

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Derivadas parciales y plano tangente

de superficies en un punto dado. Analíticamente, se definen como límites de razones de cambio. de superficies en un punto dado. Analíticamente, se definen como límites de razones de cambio. Para calcular la derivada parcial respecto a una variable, se debe fijar la (las) otras variable(s). La Para calcular la derivada parcial respecto a una variable, se debe fijar la (las) otras variable(s). La derivada parcial es importante debido a sus aplicaciones en la ciencia e ingeniería, pues esta mide derivada parcial es importante debido a sus aplicaciones en la ciencia e ingeniería, pues esta mide las variaciones de la función respecto a sus variables asimismo en la determinación de extremos las variaciones de la función respecto a sus variables asimismo en la determinación de extremos locales y/o relativos, etc.

locales y/o relativos, etc.

El plano tangente a la superficie en un punto, contiene las rectas tangentes a la superficie en dicho El plano tangente a la superficie en un punto, contiene las rectas tangentes a la superficie en dicho punto por lo que las pendientes de estas rectas son predominantes al momento de determinar la punto por lo que las pendientes de estas rectas son predominantes al momento de determinar la ecuación del plano tangente.

ecuación del plano tangente.

Bibliografía



 2008. STEWART, James, 2008. STEWART, James, Cálculo de varias Cálculo de varias variables. Conceptos variables. Conceptos y contextos, 4y contextos, 4e e editado poreditado por Cengage Learning. (515 STEW/C 2008)