第 30 卷 第 8 期 Vol. 30 No. 8
控
制
与
决
策
Control and Decision
2015 年 8 月 Aug. 2015
三角模糊数型不确定多指标决策的可能度关系法
文章编号: 1001-0920 (2015) 08-1365-07 DOI:10.13195/j.kzyjc.2014.0795黄智力, 罗 键
(厦门大学 信息科学与技术学院，福建 厦门 361005) 摘 要: 针对指标权重未知的三角模糊数型不确定多指标决策问题, 提出 4 种新的三角模糊数比较可能度的等价定 义, 并得到一些优良性质关系. 借鉴合作博弈中极大极小算法, 提出一种基于三角模糊数比较可能度关系的指标权重 确定方法; 集结所有决策方案比较的可能度, 并对决策方案集进行最优判定和排序, 即可得到三角模糊数型不确定多 指标决策的比较可能度关系法. 最后通过算例表明所提出算法的可行性和有效性. 关键词: 不确定多指标决策；三角模糊数；可能度关系；指标权重 中图分类号: TP182 文献标志码: APossibility degree relation method for triangular fuzzy number-based
uncertain multi-attribute decision making
HUANG Zhi-li, LUO Jian
(School of Information Science and Technology，Xiamen University，Xiamen 361005，China．Correspondent: HUANG Zhi-li，E-mail：zhili [email protected])
Abstract: In view of the unsure attribute weights problem of triangular fuzzy number-based uncertain multi-attribute decision making, four new equivalent definitions of triangular fuzzy numbers comparison possibility degree are proposed, and some good nature results are obtained. Learning the idea of min-max algorithm rules in the cooperative game theory, a method of determining the attribute weight based on the possibility degree of triangular fuzzy number comparison relation is proposed. Then the overall measured values of comparison possibility degree of the various alternatives are utilized to determine the best and sort the decision-making alternatives set, and an algorithm of comparison possibility degree relation for triangular fuzzy number-based uncertain multiple attribute decision making is presented. Finally, a numerical example illustrates the feasibility and effectiveness of the proposed algorithm.
Keywords: uncertain multi-attribute decision making；triangular fuzzy number；possibility degree relation；attribute weight
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引
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言
言
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不 确 定 多 指 标 决 策 (UMADM) 广 泛 存 在 于 经 济、工程和社会领域, 如供应商选择[1]、物流网络经 济[2]、质量与效益评估[3]、人才考核评价[4]、工程项 目投资[5]、军事决策等多个学科领域, 是现代决策科 学、管理科学的重要组成部分. 但由于人类经验知识 的局限性和主观认知的模糊性, 人们认识事物特别是 在发展变化中的事物常常具有不确定性, 往往不能明 确地给出指标评价测定的信息量. 在实际决策中, 许 多决策信息具有不确定性和模糊性, 导致决策者对指 标评价很难用一个精确的数值描述出来. 在这种情况 下, 人们提出了用区间数表示 UMADM 问题的指标值 信息, 并且发现当区间数的宽度过大时, 区间内取值 概率不均等, 指标值常常偏好于区间内某个数, 具有 偏好信息, 容易导致决策误差[6]. 鉴于此, Van 等[7]提 出了利用三角模糊数表示模糊比较判断的方法, 这与 构成元素为精确数值的比较判断[8-9]相比, 前者更符 合外部环境的不确定性和人们内部思维的模糊性, 能 够更客观、更确切地反映所研究的问题[10]. 人们在对事物进行方案优劣判定过程中为了实 现更优决策, 寻找科学简便合理的排序算法来提高科 学决策效率显得非常重要. 目前, 针对三角模糊数型 UMADM 问题在排序理论与方法等方面已取得了一 些进展, 如灰色关联分析方法[2]、最小偏差法[11]、特 收稿日期: 2014-05-20；修回日期: 2014-08-13. 基金项目: 国家自然科学基金项目(60975052)；福建省重大科技项目(2011H6027). 作者简介: 黄智力(1983−), 男, 博士生, 从事管理与决策支持系统理论与技术的研究；罗键(1954−), 男, 教授, 博士生 导师, 从事自动化智能信息系统、系统建模、优化与决策等研究.1366 征 向 量 法[12]、粗 糙 集 法[13]、VIKOR 法[3]、优 势 关 系 法[14]、可能度法[4,10,15]等. 虽然上述文献给出的方法 实用简单, 但对于指标权重未知的情形以及如何确定 没有给出详细的方法, 仅利用各自的排序方法分别进 行方案的优劣判定, 得到的往往是缺乏指标权重信 息的排序, 所得结果在缺乏客观环境信息下也不一定 是合理的. 文献 [5] 对指标权重的确定采用离差最大 化赋权算法, 其对各指标赋权的规则是: 从易于决策 方案排序和择优的角度考虑, 方案偏差越大的指标赋 予越大的权重, 方案偏差越小的指标赋予越小的权 重, 使得所有决策方案的指标值差异进一步扩大, 而 不去考虑决策指标本身的重要性程度. 鉴于三角模 糊数的特殊意义, 本文针对指标值为三角模糊数的 UMADM 问题, 从可能度[4,10]的角度, 提出一种新的 基于三角模糊数比较可能度关系的指标赋权规则: 当 所有方案在同一指标测定下合成的总指标值越大时, 表明该指标对方案择优所起重要性程度的影响成分 增多, 应重点考虑, 相应的指标赋予较大的决策权重. 当所有方案在同一指标测定下合成的总指标值越小 时, 表明该指标对方案择优所起重要性程度的影响成 分减少, 相应的指标赋予较小的决策权重. 由于决策 方案间比较的可能度值数据大的指标往往是影响最 优方案选择差异的主要条件, 是造成方案排序和择优 发生变化的根源所在, 让方案指标值在最佳赋权信息 下集结而成的反映每个决策方案属性特征的综合指 标值差异放大, 最终更利于最优方案的选取与排序. 本文借鉴离差最大化[5]赋权算法的有关思想和 三角模糊数比较可能度理论, 针对指标值为三角模糊 数的 UMADM 问题, 提出了基于三角模糊数比较可 能度关系的指标权重度量, 并给出了对决策方案集进 行优劣判定和排序的三角模糊数型 UMADM 的比较 可能度关系法. 最后通过算例表明了所提出算法的可 行性和有效性.
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三
三
三角
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角模
模
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糊数
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比较
较可
较
可
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能
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度
度关
关
关系
系
系理
理
理论
论
论
1.1 三三三角角角模模模糊糊糊数数数的的的可可可能能能度度度 定义 1 若˜𝑥 = [𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈],0 < 𝑥𝐿⩽𝑥𝑀⩽𝑥𝑈, 则称˜𝑥为一个三角模糊数[4,10,16]. 其中:𝑥𝐿和𝑥𝑈分别 为˜𝑥所支撑的下界和上界, 称为三角模糊数˜𝑥的小元 和大元; 𝑥𝑀为˜𝑥的中值 (表示信息偏好值, 即区间内 取值概率最大的数), 称为三角模糊数˜𝑥的特元. 若三 角模糊数˜𝑥满足0 < 𝑥𝐿⩽𝑥𝑀 ⩽𝑥𝑈 < 1, 则称˜𝑥为一 个规范三角模糊数. 注 1 特元𝑥𝑀在三角模糊数区间里取值的概率 最大, 由𝑥𝑀向上界的大元𝑥𝑈或向下界的小元𝑥𝐿取 值的概率均递减. 为方便起见, 给出有关三角模糊数的运算法则如 下所示: 设˜𝑥 = [𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈],˜𝑦 = [𝑦𝐿, 𝑦𝑀, 𝑦𝑈], 有: 法则 1)˜𝑥 + ˜𝑦 = [𝑥𝐿+ 𝑦𝐿, 𝑥𝑀 + 𝑦𝑀, 𝑥𝑈+ 𝑦𝑈]; 法则 2) 1 ˜𝑥= [ 1 𝑥𝑈, 1 𝑥𝑀, 1 𝑥𝐿 ] , 𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈 ∕= 0; 法则 3)𝑘˜𝑥 = [𝑘𝑥𝐿, 𝑘𝑥𝑀, 𝑘𝑥𝑈],𝑘⩾0; 法则 4)˜𝑥 × ˜𝑦 = [𝑥𝐿𝑦𝐿, 𝑥𝑀𝑦𝑀, 𝑥𝑈𝑦𝑈]. 定 义 2 设 三 角 模 糊 数˜𝑥 = [𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈], ˜𝑦 = [𝑦𝐿, 𝑦𝑀, 𝑦𝑈], 如果范数 ∥˜𝑥 − ˜𝑦∥ = ∣𝑥𝐿− 𝑦𝐿∣ + ∣𝑥𝑀 − 𝑦𝑀∣ + ∣𝑥𝑈 − 𝑦𝑈∣, (1) 则称𝑑(˜𝑥, ˜𝑦) = ∥˜𝑥 − ˜𝑦∥为三角模糊数˜𝑥和˜𝑦的相离 度[5]. 显然,𝑑(˜𝑥, ˜𝑦)越大,˜𝑥和˜𝑦相离的程度越大. 特别 地, 当𝑑(˜𝑥, ˜𝑦) = 0时,˜𝑥 = ˜𝑦, 即˜𝑥和˜𝑦相等. 定 义 3 设 三 角 模 糊 数˜𝑥 = [𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈], ˜𝑦 = [𝑦𝐿, 𝑦𝑀, 𝑦𝑈], 𝑙(1) ˜𝑥 和𝑙𝑦(1)˜ 分 别 为˜𝑥和˜𝑦的 上 半 取 值 长 度,𝑙(2)˜𝑥 和𝑙𝑦(2)˜ 分别为˜𝑥和˜𝑦的下半取值长度, 记𝑙(1)˜𝑥 = 𝑥𝑈− 𝑥𝑀,𝑙(1) ˜ 𝑦 = 𝑦𝑈− 𝑦𝑀,𝑙(2)˜𝑥 = 𝑥𝑀− 𝑥𝐿,𝑙(2)𝑦˜ = 𝑦𝑀− 𝑦𝐿, 则称 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 𝜆min{𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ , max(𝑥𝑀− 𝑦𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)˜𝑦 + (1 − 𝜆)min{𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , max(𝑥𝑈− 𝑦𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ (2) 为˜𝑥 ⩾ ˜𝑦的可能度[4,10], ˜𝑥、˜𝑦的次序关系为˜𝑥⩾ 𝑝 ˜𝑦. 类 似地, 称 𝑝(˜𝑦⩾˜𝑥) = 𝜆min{𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ , max(𝑦𝑀 − 𝑥𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)˜𝑦 + (1 − 𝜆)min{𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , max(𝑦𝑈 − 𝑥𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ (3) 为˜𝑦⩾˜𝑥的可能度,˜𝑥、˜𝑦的次序关系为˜𝑦⩾ 𝑝 ˜𝑥. 注 2 𝜆值的选择取决于决策者的风险态度: 当 𝜆 > 0.5时, 称决策者是属于风险偏好型的; 当𝜆 = 0.5 时, 称决策者是属于风险中立型的; 当𝜆 < 0.5时, 称 决策者是属于风险规避型的. 特别地, 当𝜆 = 1时, 称 𝑝(˜𝑥 ⩾ ˜𝑦)为˜𝑥 ⩾ ˜𝑦的 悲 观 可 能 度; 当𝜆 = 0时, 称 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦)为˜𝑥⩾˜𝑦的乐观可能度[4,10]. 定 义 4 设 三 角 模 糊 数˜𝑥 = [𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈], ˜𝑦 = [𝑦𝐿, 𝑦𝑀, 𝑦𝑈], 𝑙(1) ˜𝑥 和𝑙𝑦(1)˜ 分 别 为˜𝑥和˜𝑦的 上 半 取 值 长 度,𝑙(2)˜𝑥 和𝑙𝑦(2)˜ 分别为˜𝑥和˜𝑦的下半取值长度, 记𝑙(1)˜𝑥 = 𝑥𝑈− 𝑥𝑀,𝑙(1) ˜ 𝑦 = 𝑦𝑈− 𝑦𝑀,𝑙(2)˜𝑥 = 𝑥𝑀− 𝑥𝐿,𝑙(2)𝑦˜ = 𝑦𝑀− 𝑦𝐿, 则称 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) =第 8 期 黄智力 等: 三角模糊数型不确定多指标决策的可能度关系法 1367 𝜆 min{max(𝑥𝑀− 𝑦𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ , 0 ) , 1}+ (1 − 𝜆) min{max(𝑥𝑈 − 𝑦𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ , 0 ) , 1} (4) 为˜𝑥⩾ ˜𝑦的可能度,˜𝑥、˜𝑦的次序关系为˜𝑥⩾ 𝑝 ˜𝑦. 类似地, 称 𝑝(˜𝑦⩾˜𝑥) = 𝜆 min{max(𝑦𝑀− 𝑥𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ , 0 ) , 1}+ (1 − 𝜆) min{max(𝑦𝑈 − 𝑥𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , 0 ) , 1} (5) 为˜𝑦⩾˜𝑥的可能度,˜𝑥、˜𝑦的次序关系为˜𝑦⩾ 𝑝 ˜𝑥. 定 义 5 设 三 角 模 糊 数˜𝑥 = [𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈], ˜𝑦 = [𝑦𝐿, 𝑦𝑀, 𝑦𝑈], 𝑙(1) ˜𝑥 和𝑙(1)𝑦˜ 分 别 为˜𝑥和˜𝑦的 上 半 取 值 长 度,𝑙(2)˜𝑥 和𝑙(2)𝑦˜ 分别为˜𝑥和˜𝑦的下半取值长度, 记𝑙(1)˜𝑥 = 𝑥𝑈− 𝑥𝑀,𝑙(1) ˜ 𝑦 = 𝑦𝑈− 𝑦𝑀,𝑙(2)˜𝑥 = 𝑥𝑀− 𝑥𝐿,𝑙𝑦(2)˜ = 𝑦𝑀− 𝑦𝐿, 则称 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 𝜆max{0, 𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ − max(𝑦𝑀 − 𝑥𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ + (1 − 𝜆)max{0, 𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ − max(𝑦𝑈 − 𝑥𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ (6) 为˜𝑥⩾ ˜𝑦的可能度,˜𝑥、˜𝑦的次序关系为˜𝑥⩾ 𝑝 ˜𝑦. 类似地, 称 𝑝(˜𝑦⩾˜𝑥) = 𝜆max{0, 𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ − max(𝑥𝑀− 𝑦𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ + (1 − 𝜆)max{0, 𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ − max(𝑥𝑈− 𝑦𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ (7) 为˜𝑦⩾˜𝑥的可能度,˜𝑥、˜𝑦的次序关系为˜𝑦⩾ 𝑝 ˜𝑥. 定 义 6 设 三 角 模 糊 数˜𝑥 = [𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈], ˜𝑦 = [𝑦𝐿, 𝑦𝑀, 𝑦𝑈], 𝑙(1) ˜𝑥 和𝑙(1)𝑦˜ 分 别 为˜𝑥和˜𝑦的 上 半 取 值 长 度,𝑙(2)˜𝑥 和𝑙(2)𝑦˜ 分别为˜𝑥和˜𝑦的下半取值长度, 记𝑙(1)˜𝑥 = 𝑥𝑈− 𝑥𝑀,𝑙(1) ˜ 𝑦 = 𝑦𝑈− 𝑦𝑀,𝑙(2)˜𝑥 = 𝑥𝑀− 𝑥𝐿,𝑙𝑦(2)˜ = 𝑦𝑀− 𝑦𝐿, 则称 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 𝜆 max{1 − max(𝑦𝑀− 𝑥𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ , 0 ) , 0}+ (1 − 𝜆) max{1 − max(𝑦𝑈− 𝑥𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ , 0 ) , 0} (8) 为˜𝑥⩾ ˜𝑦的可能度,˜𝑥、˜𝑦的次序关系为˜𝑥⩾ 𝑝 ˜𝑦. 类似地, 称 𝑝(˜𝑦⩾˜𝑥) = 𝜆 max{1 − max(𝑥𝑀− 𝑦𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ , 0 ) , 0}+ (1 − 𝜆) max{1 − max(𝑥𝑈− 𝑦𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , 0 ) , 0} (9) 为˜𝑦⩾˜𝑥的可能度,˜𝑥、˜𝑦的次序关系为˜𝑦⩾ 𝑝 ˜𝑥. 1.2 三三三角角角模模模糊糊糊数数数比比较比较较可可可能能能度度度关关关系系系 根据上述 4 种三角模糊数比较的可能度定义, 可 以证明下列结论均成立[4]. 定 理 1 设 三 角 模 糊 数˜𝑥 = [𝑥𝐿, 𝑥𝑀, 𝑥𝑈], ˜𝑦 = [𝑦𝐿, 𝑦𝑀, 𝑦𝑈], 则: 1)0⩽𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦)⩽1,0⩽𝑝(˜𝑦⩾˜𝑥)⩽1; 2)𝑝(˜𝑥 ⩾ ˜𝑦) = 1当 且 仅 当𝑦𝑈 ⩽ 𝑥𝐿, 类 似 地, 𝑝(˜𝑦⩾˜𝑥) = 1当且仅当𝑥𝑈 ⩽𝑦𝐿; 3)𝑝(˜𝑥 ⩾ ˜𝑦) = 0当 且 仅 当𝑥𝑈 ⩽ 𝑦𝐿, 类 似 地, 𝑝(˜𝑦⩾˜𝑥) = 0当且仅当𝑦𝑈 ⩽𝑥𝐿; 4) (互补性) 𝑝(˜𝑥 ⩾ ˜𝑦) + 𝑝(˜𝑦 ⩾ ˜𝑥) = 1, 特别地, 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑥) = 0.5; 5) 当𝜆 = 1时, 𝑝(˜𝑥 ⩾ ˜𝑦) ⩾ 0.5当且仅当𝑥𝐿+ 𝑥𝑀 ⩾𝑦𝐿+ 𝑦𝑀, 特别地,𝑝(˜𝑥⩾ ˜𝑦) = 0.5当且仅当𝑥𝐿 + 𝑥𝑀 = 𝑦𝐿+ 𝑦𝑀; 6) 当𝜆 = 0时, 𝑝(˜𝑥 ⩾ ˜𝑦) ⩾ 0.5当且仅当𝑥𝑀 + 𝑥𝑈 ⩾𝑦𝑀 + 𝑦𝑈, 特别地,𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 0.5当且仅当𝑥𝑀 + 𝑥𝑈 = 𝑦𝑀+ 𝑦𝑈; 7) (传递性) 对于 3 个三角模糊数˜𝑥, ˜𝑦, ˜𝑧, 若𝑝(˜𝑥⩾ ˜𝑦)⩾0.5且𝑝(˜𝑦⩾˜𝑧)⩾0.5, 则𝑝(˜𝑥⩾˜𝑧)⩾0.5. 根据三角模糊数比较的可能度定义可知定理 1 成立, 证明过程略. 下面研究定义 3∼ 定义 6 之间的关系. 定理 2 定义 3、定义 4、定义 5 和定义 6 互为等 价关系, 即 式(2) ⇔ 式(4) ⇔ 式(6) ⇔ 式(8)或者 式(3) ⇔ 式(5) ⇔ 式(7) ⇔ 式(9). 证 证证明明明 首先证式 (2)⇔式 (4). 由式 (2) 可得 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 𝜆min{𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙(2)˜𝑦 , max(𝑥𝑀− 𝑦𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ + (1 − 𝜆)min{𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , max(𝑥𝑈− 𝑦𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)˜𝑦 = 𝜆 min{1, max(𝑥𝑀 − 𝑦𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ , 0 )} + (1 − 𝜆) min{1, max(𝑥𝑈− 𝑦𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , 0 )} , 即 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) =
1368 𝜆 min{max(𝑥𝑀 − 𝑦𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ , 0 ) , 1}+ (1 − 𝜆) min{max(𝑥𝑈− 𝑦𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , 0 ) , 1}, 因此式 (2)⇔式 (4) 成立. 由式 (4)、式 (2)⇔式 (4) 和定 理 1 可能度的互补性, 可得 𝑃 (˜𝑦⩾˜𝑥) = 1 − 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 1 − 𝜆 min{max(𝑥𝑀 − 𝑦𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ , 0 ) , 1}− (1 − 𝜆) min{max(𝑥𝑈 − 𝑦𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ , 0 ) , 1}= 𝜆 + (1 − 𝜆) − 𝜆min{𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ , max(𝑥𝑀 − 𝑦𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ − (1 − 𝜆)min{𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ , max(𝑥𝑈 − 𝑦𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ = 𝜆max{0, 𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ − max(𝑥𝑀− 𝑦𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ + (1 − 𝜆)max{0, 𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ − max(𝑥𝑈− 𝑦𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , 即 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 𝜆max{0, 𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ − max(𝑦𝑀− 𝑥𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ + (1 − 𝜆)max{0, 𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ − max(𝑦𝑈 − 𝑥𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , 因此式 (4)⇔式 (6) 成立. 由式 (6) 可得 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 𝜆max{0, 𝑙 (2) ˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ − max(𝑦𝑀 − 𝑥𝐿, 0)} 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙𝑦(2)˜ + (1 − 𝜆)max{0, 𝑙 (1) ˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ − max(𝑦𝑈 − 𝑥𝑀, 0)} 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ = 𝜆 max{0, 1 − max(𝑦𝑀− 𝑥𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ , 0 )} + (1 − 𝜆) max{0, 1 − max(𝑦𝑈 − 𝑥𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙(1)𝑦˜ , 0 )} , 即 𝑝(˜𝑥⩾˜𝑦) = 𝜆 max{1 − max(𝑦𝑀− 𝑥𝐿 𝑙(2)˜𝑥 + 𝑙(2)𝑦˜ , 0 ) , 0}+ (1 − 𝜆) max{1 − max(𝑦𝑈− 𝑥𝑀 𝑙(1)˜𝑥 + 𝑙𝑦(1)˜ , 0 ) , 0}, 因此式 (6)⇔式 (8) 成立. 同理可证式 (3)⇔式 (5)⇔式 (7)⇔式 (9).
□
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基
基
基于
于
于三
三
三角
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角
模
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糊
糊数
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较
较可
可
可能
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度
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指标
标
标
权
权
权重
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重确
确
确定
定
定
借鉴博弈论合作博弈的相关理论[15]: 在求解三 角模糊数型 UMADM 问题过程中, 不管指标本身的 重要性程度如何, 只关心方案指标值大小信息. 若最 终所有方案指标值求和而合成的总指标值越大, 则相 应地对指标权重的赋值应越大; 反之, 若最终所有方 案指标值求和而合成的总指标值越小, 则相应地对指 标权重的赋值应越小. 这样处理的目的是, 让所有决 策方案的指标值在最优赋权信息下集结完成后, 每个 方案的综合指标值可以实现数据值增大和最优化, 更 利于对方案进行排序和择优, 即任何一个决策方案与 其他决策方案比较的可能度也实现了增大和最优化. 因为在决策过程中, 每个决策方案都希望是被选中的 一方, 所以, 在消除指标值数据间的不可公度性和矛 盾性后, 本文从有利于测定决策方案间优劣的角度 考虑, 结合三角模糊数比较的可能度理论, 提出利用 指标值为三角模糊数的比较可能度关系确定指标权 重[15], 然后集结所有决策方案的指标值信息得到综合 指标值, 利用三角模糊数比较的可能度关系对决策方 案集{𝑋𝑖}(𝑖 ∈ 𝑁)进行优劣排序. 假设对于某三角模糊数型 UMADM 问题, 将决 策 方 案𝑋𝑖按 指 标𝑢𝑗测 定 得 到𝑋𝑖关 于𝑢𝑗的 指 标 值 ˜𝑥𝑖𝑗(这里˜𝑥𝑖𝑗 = [𝑥𝐿𝑖𝑗, 𝑥𝑀𝑖𝑗, 𝑥𝑈𝑖𝑗]), 从而构成初始三角模糊 数型决策矩阵𝑋 = (˜𝑥˜ 𝑖𝑗)𝑛×𝑚. 常见的评价指标类型 有评价值越大越好的效益型指标和评价值越小越好 的成本型指标[5,16], 设𝐼 𝑗(𝑗 = 1, 2)分别为效益型、成 本型的下标集, 且令𝑀 = {1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑚}, 𝑁 = {1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑛}. 为了统一不同指标值数据间的不可公度性 和矛盾性, 利用下列公式将初始三角模糊数型决策 矩阵𝑋˜转化为规范化三角模糊数型决策矩阵𝑅 =˜ (˜𝑟𝑖𝑗)𝑛×𝑚[5,16]: 对于效益型指标, 有 ˜𝑟𝑖𝑗= ˜𝑥𝑖𝑗/∥˜𝑥𝑗∥, 𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝐼1; (10) 对于成本型指标, 有 ˜𝑟𝑖𝑗 = (1/˜𝑥𝑖𝑗)/∥(1/˜𝑥𝑗)∥, 𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝐼2. (11) 其中:˜𝑟𝑖𝑗 = [𝑟𝐿𝑖𝑗, 𝑟𝑀𝑖𝑗, 𝑟𝑈𝑖𝑗]为规范化三角模糊数,∥ ⋅ ∥为 向量的范数,∥˜𝑥𝑗∥ = 𝑛 ∑ 𝑖=1 ˜𝑥𝑖𝑗, ∥(1/˜𝑥𝑗)∥ = 𝑛 ∑ 𝑖=1 (1/˜𝑥𝑖𝑗). 根据三角模糊数的运算法则, 将式 (10) 和 (11) 改写为⎧ ⎨ ⎩ 𝑟𝐿 𝑖𝑗 = 𝑥𝐿𝑖𝑗 /∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑈 𝑖𝑗, 𝑟𝑀 𝑖𝑗 = 𝑥𝑀𝑖𝑗 /∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑀 𝑖𝑗, 𝑟𝑈 𝑖𝑗 = 𝑥𝑈𝑖𝑗 /∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝐿 𝑖𝑗, 𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝐼1; (12)第 8 期 黄智力 等: 三角模糊数型不确定多指标决策的可能度关系法 1369 ⎧ ⎨ ⎩ 𝑟𝐿 𝑖𝑗 = (1/𝑥𝑈𝑖𝑗) /∑𝑛 𝑖=1 (1/𝑥𝐿 𝑖𝑗), 𝑟𝑀 𝑖𝑗 = (1/𝑥𝑀𝑖𝑗) /∑𝑛 𝑖=1 (1/𝑥𝑀 𝑖𝑗), 𝑟𝑈 𝑖𝑗 = (1/𝑥𝐿𝑖𝑗) /∑𝑛 𝑖=1 (1/𝑥𝑈 𝑖𝑗), 𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝐼2. (13) 各指标比较的可能度关系如下: 称 𝑝(𝑢𝑗 ≻ 𝑢𝑘) = 𝑛1 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑝(˜𝑟𝑖𝑢𝑗 ⩾˜𝑟𝑖𝑢𝑘) (14) 为指标𝑢𝑗优于指标𝑢𝑘的比较可能度测定值, 由其构 成的矩阵 𝑃𝑚×𝑚= 𝑝(𝑢𝑗 ≻ 𝑢𝑘)𝑚×𝑚 (15) 为决策指标相互比较的可能度测定关系矩阵. 称 𝑤𝑢𝑗 = 𝑚 ∑ 𝑘∕=𝑗 𝑝(𝑢𝑗≻ 𝑢𝑘) 𝑚 ∑ 𝑗=1 𝑚 ∑ 𝑘∕=𝑗 𝑝(𝑢𝑗≻ 𝑢𝑘) , 𝑗, 𝑘 ∈ 𝑀 (16) 为指标𝑢𝑗在所有决策方案的指标值比较的可能度测 定信息集结后规范化的综合比较可能度测定值. 根 据上述分析, 可定义式 (16) 为指标𝑢𝑗的赋权公式. 因 此, 基于三角模糊数比较可能度测定关系确定的指标 权重向量为𝑾 = (𝑤1, 𝑤2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑤𝑚), 满足0⩽𝑤𝑗⩽1, 𝑚 ∑ 𝑗=1 𝑤𝑗 = 1,𝑗 ∈ 𝑀, 其中 𝑤𝑗= 𝑚 ∑ 𝑘=1,𝑘∕=𝑗 𝑝(𝑢𝑗 ≻ 𝑢𝑘) 𝑚 ∑ 𝑗=1 𝑚 ∑ 𝑘=1,𝑘∕=𝑗 𝑝(𝑢𝑗 ≻ 𝑢𝑘) , 𝑗, 𝑘 ∈ 𝑀. (17)
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三
三
三角
角
角模
模
模糊
糊数
糊
数
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不
不确
确
确定
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决策
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策
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法
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步
步骤
骤
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和
和算
算
算例
例
例
三角模糊数型 UMADM 的可能度关系法步骤如 下. Step 1: 为了统一不同指标值数据间的不可公 度性和矛盾性, 避免对方案决策产生影响, 可将初 始三角模糊数型决策矩阵𝑋˜按式 (12) 和 (13) 转化为 规范化三角模糊数型决策矩阵𝑅 = (˜𝑟˜ 𝑖𝑗)𝑛×𝑚, 其中 ˜𝑟𝑖𝑗 = [𝑟𝑖𝑗𝐿, 𝑟𝑖𝑗𝑀, 𝑟𝑖𝑗𝑈]为规范化三角模糊数. Step 2: 根 据 式 (2)、(3) 或 (4)、(5) 或 (6)、(7) 或 (8)、(9), 对 在 规 范 化 三 角 模 糊 数 型 决 策 矩 阵𝑅 =˜ (˜𝑟𝑖𝑗)𝑛×𝑚中 反 映 各 方 案 属 性 特 征 的 不 同 指 标 值 数 据间的比较可能度进行测定, 测定后按式 (14) 进行 集结, 求出各决策指标权重的比较可能度测定值, 以 此构造出决策指标相互比较的可能度测定关系矩阵 (15), 然后按式 (17) 计算指标权重向量𝑾. Step 3: 根据 Step 1 中求得的规范化三角模糊数 型决策矩阵𝑅 = (˜𝑟˜ 𝑖𝑗)𝑛×𝑚和 Step 2 中求得的指标权 重向量𝑾, 构造加权规范化三角模糊数型决策矩阵 ˜ 𝑅(𝑾 ) = (˜𝑟𝑖𝑗⋅ 𝑤𝑗)𝑛×𝑚. (18) 计算各个决策方案𝑋𝑖(𝑖 ∈ 𝑁)的加权综合指标值 ˜𝑧𝑖(𝑾 ) = 𝑚 ∑ 𝑗=1 𝑤𝑗˜𝑟𝑖𝑗. (19) 利用式(2)、(3) 或 (4)、(5) 或 (6)、(7) 或 (8)、(9), 对 各决策方案的加权综合指标值进行两两比较的可能 度测定如下: 称 𝑝(𝑋𝑖≻ 𝑋𝑘) = 𝑝(˜𝑧𝑖(𝑾 )⩾˜𝑧𝑘(𝑾 )) (20) 为决策方案𝑋𝑖优于决策方案𝑋𝑘的比较可能度测定 值; 称利用式 (20) 构成的矩阵 𝑃𝑛×𝑛= 𝑝(𝑋𝑖≻ 𝑋𝑘)𝑛×𝑛 (21) 为决策方案相互比较的可能度测定关系矩阵; 称 𝜇(𝑋≻ 𝑖 ) =𝑛 − 11 𝑛 ∑ 𝑘∕=𝑖 𝑝(𝑋𝑖≻ 𝑋𝑘), 𝑖, 𝑘 ∈ 𝑁 (22) 为决策方案𝑋𝑖在所有决策方案的加权综合指标值比 较的可能度测定信息集结后的总体比较可能度测定 值. Step 4: 根据式 (19)∼ (22) 求出决策方案𝑋𝑖在所 有决策方案的加权综合指标值比较的可能度测定 信 息 集 结 后 的 总 体 比 较 可 能 度 测 定 值𝜇(𝑋𝑖≻), 𝑖 = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑛. Step 5: 根据总体比较可能度测定值𝜇(𝑋𝑖≻), 按从 大到小的顺序对决策方案集{𝑋𝑖} (𝑖 = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 𝑛)进 行优劣排序. 算例 1 干部考核选拔问题. 采用文献 [17] 中的干部考核选拔问题案例进行 分析. 假定经过统计处理后确定了 5 名候选人𝑋𝑖(𝑖 = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 5), 每个候选人在各指标 (属性) 下的属性值 以三角模糊数形式给出, 具体的直观数量化指标值如 表 1 所示[17]. Step 1: 由于各项指标均为效益型指标, 为了统一 不同指标值数据间的不可公度性和矛盾性, 运用式 (12) 和 (13), 将表 1 指标值数据建立的三角模糊数型 决策矩阵𝑋˜转化为规范化三角模糊数型决策矩阵𝑅˜ = (˜𝑟𝑖𝑗)𝑛×𝑚, 规范化后的决策信息如表 2 所示. Step 2: 根据式 (2)、(3) 或 (4)、(5) 或 (6)、(7) 或 (8)、 (9), 对表 2 中的不同指标值数据间的比较可能度进 行测定. 为了便于对决策方案进行优劣排序, 不妨取 𝜆 = 0.5, 即决策者是属于风险中立型的. 测定后代入 式 (14), 计算出各决策指标权重的比较可能度测定值, 并按式 (15) 构造出决策指标相互比较的可能度测定 关系矩阵𝑃𝑚×𝑚如下:1370 表 1 初始值观测数量化矩阵[17] 候选人 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 𝑋1 [0.80, 0.85, 0.90] [0.90, 0.92, 0.95] [0.91, 0.94, 0.95] [0.93, 0.96, 0.99] [0.90, 0.91, 0.92] [0.95, 0.97, 0.99] 𝑋2 [0.90, 0.95, 1.00] [0.89, 0.90, 0.93] [0.90, 0.92, 0.95] [0.90, 0.92, 0.95] [0.94, 0.97, 0.98] [0.90, 0.93, 0.95] 𝑋3 [0.88, 0.91, 0.95] [0.84, 0.86, 0.90] [0.91, 0.94, 0.97] [0.91, 0.94, 0.96] [0.86, 0.89, 0.92] [0.91, 0.92, 0.94] 𝑋4 [0.85, 0.87, 0.90] [0.91, 0.93, 0.95] [0.85, 0.88, 0.90] [0.86, 0.89, 0.93] [0.87, 0.90, 0.94] [0.92, 0.93, 0.96] 𝑋5 [0.86, 0.89, 0.95] [0.90, 0.92, 0.95] [0.90, 0.95, 0.97] [0.91, 0.93, 0.95] [0.90, 0.92, 0.96] [0.85, 0.87, 0.90] 表 2 规范化决策矩阵 (×10−1) 候选人 𝑢1 𝑢2 𝑢3 𝑢4 𝑢5 𝑢6 𝑋1 [1.702, 1.902, 2.098] [1.923, 2.031, 2.140] [1.920, 2.030, 2.125] [1.946, 2.069, 2.195] [1.907, 1.983, 2.058] [2.004, 2.100, 2.185] 𝑋2 [1.915, 2.125, 2.331] [1.902, 1.987, 2.095] [1.899, 1.987, 2.125] [1.883, 1.983, 2.106] [1.992, 2.113, 2.192] [1.899, 2.013, 2.097] 𝑋3 [1.872, 2.036, 2.214] [1.795, 1.898, 2.027] [1.920, 2.030, 2.170] [1.904, 2.026, 2.129] [1.822, 1.939, 2.058] [1.920, 1.991, 2.075] 𝑋4 [1.809, 1.946, 2.098] [1.944, 2.053, 2.140] [1.793, 1.901, 2.013] [1.799, 1.918, 2.062] [1.843, 1.961, 2.103] [1.941, 2.013, 2.119] 𝑋5 [1.830, 1.991, 2.214] [1.923, 2.031, 2.140] [1.899, 2.052, 2.170] [1.904, 2.004, 2.106] [1.907, 2.004, 2.148] [1.793, 1.883, 1.987] 𝑃6×6= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0.5 0.488 0.513 0.516 0.505 0.518 0.512 0.5 0.488 0.493 0.508 0.465 0.487 0.512 0.5 0.501 0.504 0.462 0.484 0.507 0.499 0.5 0.510 0.507 0.495 0.492 0.496 0.490 0.5 0.481 0.482 0.535 0.538 0.493 0.519 0.5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . 按式 (17) 求得指标权重向量 𝒘 = (0.169, 0.165, 0.164, 0.167, 0.164, 0.171)T. Step 3: 根据 Step 1 中求得的规范化三角模糊数 型决策矩阵𝑅 = (˜𝑟˜ 𝑖𝑗)𝑛×𝑚和 Step 2 中求得的指标权 重向量𝒘, 按式 (19) 计算出各个决策方案𝑋𝑖(𝑖 = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 5)的加权综合指标值为 ˜𝑧1(𝒘) = [1.900, 2.019, 2.134] × 10−1, ˜𝑧2(𝒘) = [1.915, 2.035, 2.158] × 10−1, ˜𝑧3(𝒘) = [1.873, 1.987, 2.113] × 10−1, ˜𝑧4(𝒘) = [1.855, 1.966, 2.090] × 10−1, ˜𝑧5(𝒘) = [1.875, 1.994, 2.127] × 10−1. 利用式 (20) 求出各决策方案加权综合指标值进 行两两比较的可能度测定值, 为了便于对决策方案进 行优劣排序, 取𝜆 = 0.5, 即决策者是属于风险中立型 的. 按式 (21) 构造出决策方案相互比较的可能度测定 关系矩阵如下: 𝑃5×5 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0.5 0.426 8 0.619 1 0.710 4 0.586 1 0.573 2 0.5 0.688 9 0.779 2 0.655 0 0.380 9 0.311 1 0.5 0.588 6 0.470 4 0.289 6 0.220 8 0.411 4 0.5 0.383 6 0.413 9 0.345 0 0.529 6 0.616 4 0.5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . Step 4: 利用式 (22) 求出决策方案𝑋𝑖在所有决策 方案的加权综合指标值比较的可能度测定信息集结 后的总体比较可能度测定值 𝜇(𝑋≻ 1 )=0.585 6, 𝜇(𝑋2≻)=0.674 1, 𝜇(𝑋3≻)=0.437 7, 𝜇(𝑋≻ 4 ) = 0.326 4, 𝜇(𝑋5≻) = 0.476 2. Step 5: 根据𝜇(𝑋𝑖≻)值, 按从大到小的顺序对决 策方案集{𝑋𝑖} (𝑖 = 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , 5)进行优劣排序, 得到 𝑋2 ≻ 0.573 2𝑋10.586 1≻ 𝑋50.529 6≻ 𝑋30.588 6≻ 𝑋4. 显然,𝑋2为最优决策方案. 为了便于比较, 采用基于离差最大化赋权的多指 标决策算法[5], 其赋权公式如下: 𝑤𝑗= 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑚 ∑ 𝑘=1 𝑑(˜𝑟𝑖𝑗, ˜𝑟𝑘𝑗) 𝑚 ∑ 𝑗=1 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑚 ∑ 𝑘=1 𝑑(˜𝑟𝑖𝑗, ˜𝑟𝑘𝑗) , 𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑀. 按 UMADM 问题中离差最大化算法的具体步骤[5]对 上述算例的各个候选人进行求解并排序为 𝑋2 ≻ 0.515 0𝑋10.507 8≻ 𝑋50.509 8≻ 𝑋30.612 0≻ 𝑋4. 所以, 最优候选人为𝑋2. 通过上述干部考核选拔案例结果分析可知, 采用 本文给出的三角模糊数比较可能度关系赋权算法和 文献 [5] 中的离差最大化赋权算法对指标权重具有不 同的度量值, 但是两者都可以求得各相邻决策方案间 两两比较可能度测定值大小的确切数据, 而且对最优 方案的判定和排序结果都是一样的. 因此, 在判别备 选决策方案的优劣时, 可以直接采用本文给出的三角 模糊数型 UMADM 的可能度关系法, 求得各决策方 案在所有决策方案的加权综合指标值比较的可能度 测定信息集结后的总体比较可能度测定值𝜇(𝑋𝑖≻)对 决策方案的优劣进行判定, 该算法计算简洁, 高效实 用.
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结
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论
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基于三角模糊数比较可能度关系的指标权重度 量是本文研究的重点内容之一, 其基本思想是在消除 指标值数据间的不可公度性和矛盾性后, 集结所有 备选方案在同一指标测定下的评价值而合成的总指 标评价值越大, 表明数据浮动大的指标对方案优劣判 定的影响越大, 相应的对指标权重的度量值便要考虑第 8 期 黄智力 等: 三角模糊数型不确定多指标决策的可能度关系法 1371 增大; 反之, 总指标评价值越小, 表明数据浮动小的指 标对方案优劣判定的影响越小, 相应的对指标权重 的度量值便要考虑减小. 本文采用上述三角模糊数 比较可能度关系赋权思想和三角模糊数比较可能度 关系理论知识, 从另一角度考虑研究三角模糊数型 UMADM 问题, 提出了 4 种新的三角模糊数比较可能 度的等价定义和优良性质关系, 改进和完善了文献 [5,10] 给出的可能度定义和算法, 以此给出对决策方 案集进行最优判定和排序的基于三角模糊数比较可 能度的关系算法. 一般情况下, 采用可能度比较互补 判断矩阵的排序算法通常需要𝑛(𝑛 − 1)次的运算量, 而本文提出的排序算法至多需要进行𝑛次比较可能 度运算. 通过上述案例验证了所提出算法对决策方案 优劣的判定和排序不但合理有效, 而且计算简洁. 参考文献(References)
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