Optimization of concrete structure using genetic algorithm

(1)

ˇ

CESK ´

E VYSOK ´

E U ˇ

CEN´I TECHNICK ´

E V PRAZE

Fakulta stavebn´ı

Katedra betonov´ych a zdˇen´ych konstrukc´ı

Optimalizace betonov´e konstrukce pomoc´ı

genetick´eho algoritmu

Diplomov´a pr´ace

(2)

Vedouc´ı pr´ace:

Ing. Martin Petˇr´ık, Ph.D. ˇ

Ceské vysoké uˇcen´ı technické v Praze Fakulta stavebn´ı

Katedra betonových a zdˇených konstrukc´ı Thákurova 7

166 29 Praha 6 ˇ

(3)

ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE

I. OSOBNÍ A STUDIJNÍ ÚDAJE

410726 Osobní číslo: Stanislav Jméno: Zažirej Příjmení: Fakulta stavební Fakulta/ústav:

Zadávající katedra/ústav: Katedra betonových a zděných konstrukcí Stavební inženýrství

Studijní program:

Konstrukce pozemních staveb

Studijní obor:

II. ÚDAJE K DIPLOMOVÉ PRÁCI

Název diplomové práce anglicky:

Optimization of concrete structure using genetic algorithm

Pokyny pro vypracování:

Seznam doporučené literatury:

Jméno a pracoviště vedoucí(ho) diplomové práce:

Ing. Martin Petřík, Ph.D., katedra betonových a zděných konstrukcí FSv

Jméno a pracoviště druhé(ho) vedoucí(ho) nebo konzultanta(ky) diplomové práce:

Termín odevzdání diplomové práce: 20.05.2018 Datum zadání diplomové práce: 22.02.2018

Platnost zadání diplomové práce: _____________

___________________________ ___________________________

___________________________

prof. Ing. Jiří Máca, CSc.

podpis děkana(ky) podpis vedoucí(ho) ústavu/katedry

Ing. Martin Petřík, Ph.D.

podpis vedoucí(ho) práce

III. PŘEVZETÍ ZADÁNÍ

Diplomant bere na vědomí, že je povinen vypracovat diplomovou práci samostatně, bez cizí pomoci, s výjimkou poskytnutých konzultací. Seznam použité literatury, jiných pramenů a jmen konzultantů je třeba uvést v diplomové práci.

.

Datum převzetí zadání Podpis studenta

Název diplomové práce:

(4)

(5)

ˇ

Cestn´e prohl´aˇsen´ı

Prohlaˇsuji, ˇze jsem diplomovou práci na téma Optimalizace betonové konstrukce pomoc´ı genetického algoritmu zpracoval samostatnˇe za pouˇzit´ı uvedené literatury a pramen˚u. Dále prohlaˇsuji, ˇze odevzdaná elektronická forma této práce je shodná s listinnou for-mou.

V Praze, Kvˇeten 2018

... Bc. Stanislav Zaˇzirej

(6)

(7)

Podˇekov´an´ı

Chtˇel bych podˇekovat vedouc´ımu práce Ing. Martinu Petˇr´ıkovi, Ph.D. za odborné veden´ı, ochotu, pˇredané znalosti a zkuˇsenosti, cenné rady a za vˇenovaný ˇcas. Dále dˇekuji rodiˇc˚um za trpˇelivost a neustálou podporu bˇehem celého mého studia.

(8)

(9)

Abstrakt

Tato diplomová práce se zabývá optimalizac´ı betonové konstrukce pomoc´ı genetického algoritmu. C´ılem je implementace algoritmu v jazyce Python a jeho následná aplikace pˇri optimalizaci konkrétn´ıch konstrukc´ı. V prvn´ı ˇcást jsou popsány vybrané metody opti-malizaˇcn´ıch technik. V dalˇs´ı je vysvˇetlen princip ˇcinnosti genetických algoritm˚u. V po-sledn´ı ˇcásti je názornˇe ukázán zp˚usob implementace algoritmu v Pythonu a ovˇeˇren´ı jeho funkˇcnosti pˇri optimalizaci vybraných konstrukc´ı.

Kl´ıˇcov´a slova:

genetický algoritmus, optimalizace, hodnocen´ı, kˇr´ıˇzen´ı, populace, Python, objektovˇe ori-entované programován´ı, metoda koneˇcných prvk˚u

Abstract

This diploma thesis deals with an optimization of concrete structure using genetic algori-thm. The aim of the thesis is to implement genetic algorithm in Python language and use it for specific structures optimization. In the first part are described chosen methods of optimization. The second explains the principle of operation of genetic algorithms. The last one illustrates the implementation of genetic algorithm in Python and verification of its functionality for specific structure optimization.

Keywords:

genetic algorithm, optimization, fitness, crossover, population, Python, object oriented programming, finite element method

(10)

(11)

Obsah

Seznam obr´azk ˚u xiii

Seznam tabulek xv

Seznam symbol ˚u a zkratek xvii

1 Uvod´ 1

2 Metody optimalizace 3

2.1 Principy ˇcinnosti v´ybran´ych algoritm˚u . . . 6

3 Genetick´e algoritmy 13 3.1 Principy ˇcinnosti genetick´ych algoritm˚u . . . 14

3.2 Genetické operátory . . . 15 3.2.1 Ohodnocen´ı . . . 16 3.2.2 Výbˇer . . . 17 3.2.3 Kˇr´ıˇzen´ı . . . 19 3.2.4 Mutace . . . 21 3.2.5 Doplnˇen´ı . . . 21

4 Implementace v jazyce Python 23 4.1 Metoda koneˇcn´ych prvk˚u . . . 23

4.2 Gener´atory stˇen . . . 29

4.2.1 Objektovˇe orientovan´e programov´an´ı . . . 32

4.3 Celkov´e nastaven´ı GA a oper´ator˚u . . . 33

4.3.1 Nastaven´ı ohodnocen´ı . . . 34

4.3.2 Nastaven´ı kˇr´ıˇzen´ı . . . 36

4.3.3 Nastaven´ı mutace . . . 36

4.4 Pˇr´ıklad 1- symetricky podepˇren´a konstrukce . . . 37

4.4.1 Gener´ator lini´ı . . . 37

4.4.2 Voronoi gener´ator . . . 39

4.5 Pˇr´ıklad 2 - nesymetricky podepˇren´a konstrukce . . . 40

4.5.1 Gener´ator lini´ı . . . 40

4.5.2 Voronoi gener´ator . . . 41

4.6 V´ypoˇcet vybran´e varianty v programu RFEM . . . 42

5 Z´avˇer 45

(12)

Pˇr´ıloha A 49

A.1 Pˇr´ıklad 1 . . . 49

A.1.1 Gener´ator lini´ı . . . 49

A.1.2 Voronoi gener´ator . . . 50

A.2 Pˇr´ıklad 2 . . . 51

A.2.1 Gener´ator lini´ı . . . 51

(13)

Seznam obr´azk ˚u

1.1 Uk´azka modern´ı architektury a pˇr´ıkladu pouˇz´ıt´ı optimalizce. . . 1

2.1 Dˇelen´ı optimalizaˇcn´ıch metod dle Vesterstrøma [1]. . . 4

2.2 Dˇelen´ı optimalizaˇcn´ıch metod dle Zelinky[1]. . . 4

2.3 Princip horolezeck´eho algoritmu [2]. . . 7

2.4 Simulovan´e ˇz´ıh´an´ı. . . 8

2.5 Princip ACO algoritmu. . . 9

3.1 Charles Robert Darwin (a), Anaximandros z Mil´etu (b). . . 13

3.2 Alan Mathison Turing (a) a John Henry Holland (b). . . 14

3.3 Dˇelen´ı evoluˇcn´ıch algoritm˚u. . . 14

3.4 Obecn´y cyklus evoluˇcn´ıho algoritmu GA [4]. . . 16

3.5 Ruletov´y v´ybˇer. . . 18

3.6 Stochastick´y v´ybˇer[5]. . . 19

4.1 Bázové funkce pro bilineárn´ı ˇctyˇrúheln´ıkový prvek. . . 24

4.2 Lokalizace prvk˚u. . . 26

4.3 Globáln´ı pásová matice tuhosti. . . 26

4.4 Izoparametrick´y prvek. . . 27

4.5 Italsk´y pavilon Expo 2015. . . 29

4.6 Tvar stˇeny vytvoˇren´y pomoc´ı gener´atoru lini´ı. . . 29

4.7 Pˇr´ıklady v´yskytu Voron´eho diagramu v architektuˇre a pˇr´ırodˇe. . . 30

4.8 Tvar stˇeny vytvoˇren´y pomoc´ı Voronoi gener´atoru. . . 31

4.9 Definice tvaru stˇeny pomoc´ı matice. . . 31

4.10 Lokalizace prvk˚u ve stˇenˇe. . . 31

4.11 Uk´azka pouˇzit´ı OOP v Pythonu. . . 32

4.12 Sch´ema vytvoˇren´eho algoritmu. . . 33

4.13 Cyklus GA v Pythonu. . . 33

4.14 Graf penalizaˇcn´ıch funkc´ı. . . 35

4.15 Kˇr´ıˇzen´ı v Pythonu. . . 36

4.16 Mutace v Pythonu. . . 36

4.17 Symetrické podepˇren´ı - okrajové podm´ınky pro generátor lini´ı. . . 37

4.18 Tvar nejlepˇs´ıho jedince v 9. generaci. . . 38

4.19 Porovn´an´ı nejlepˇs´ıho jedince v prvn´ı a posledn´ı generaci. . . 38

4.20 Vývoj hodnoty fitness pro generátor lini´ı - symetrické podepˇren´ı. . . 38

4.21 Symetrické podepˇren´ı - okrajové podm´ınky pro Voronoi generátor. . . 39

4.22 V´yvoj nejlepˇs´ıho jedince populace. . . 39

4.23 Nesymetrické podepˇren´ı - okrajové podm´ınky pro generátor lini´ı. . . 40

4.25 Vývoj hodnoty fitness pro generátor lini´ı - nesymetrické podepˇren´ı. . . 41

(14)

4.28 Vybraná konstrukce pro ovˇeˇren´ı správnosti výpoˇctu. . . 42

4.29 Definice zat´ıˇzen´ı a tvaru stˇeny pro v´ypoˇcet v RFEMu. . . 42

4.30 Porovn´an´ı pr˚uhyb˚u. . . 42

4.31 Porovn´an´ı napˇet´ı. . . 43

4.32 Vizualizace moˇzn´e aplikace stˇeny v praxi. . . 43

A.1 Pˇrehled nejlepˇs´ıch jedinc˚u populace ve vybran´ych generac´ıch. . . 49

(15)

Seznam tabulek

2.1 Analogie procesu ˇz´ıh´an´ı a kombinatorick´e optimalizace . . . 7

3.1 Binárn´ı kódován´ı jedinc˚u. . . 16

3.2 Ohodnocen´ı jedinc˚u. . . 16

3.3 Pravdˇepodobnost v´ybˇeru jedinc˚u. . . 18

3.4 Turnajov´y v´ybˇer jedinc˚u. . . 19

3.5 Jednobodov´e kˇr´ıˇzen´ı. . . 20

3.6 Dvoubodov´e kˇr´ıˇzen´ı. . . 20

3.7 Uniformn´ı kˇr´ıˇzen´ı. . . 20

3.8 Binarn´ı mutace gen˚u. . . 21

(16)

(17)

Seznam symbol ˚u a zkratek

E Young˚uv modul N B´azov´a funkce

γxy Smykov´a deformace ve rovinˇe xy

ν Poisson˚uv souˇcinitel

σx Norm´alov´e napˇet´ı ve smˇeru x

σy Norm´alov´e napˇet´ı ve smˇeru y

σ1,2 Hlavn´ı napˇet´ı

τxy Smykov´e napˇet´ı ve rovinˇe xy

εx Norm´alov´a deformace ve smˇeru x

εy Norm´alov´a deformace ve smˇeru y

k Lok´aln´ı matice tuhosti

ACO Ant Colony Optimization

BIM Building Information Model neboli Informaˇcn´ı model budovy EVT Evoluˇcn´ı v´ypoˇcetn´ı techniky

GA Genetick´y algoritmus MKP Metoda koneˇcn´ych prvk˚u

(18)

(19)

Kapitola 1

´

Uvod

Nové trendy v architektuˇre a nástup technologi´ı BIM a 3D tisku mˇen´ı pˇr´ıstup k návrhu staveb. To klade nové poˇzadavky na projektanty a statiky napˇr´ıklad v podobˇe sn´ıˇzen´ı objemu pouˇzitého materiálu nebo náklad˚u na provoz budovy. Motivac´ı pro danou práci byl zájem nauˇcit se pouˇz´ıvat zaj´ımavou optimalizaˇcn´ı metodu, která by vedla k vyˇreˇsen´ı daných problému.

(a) Budova obchodu TOD’s v Tokiu.

(b) Optimalizace konstrukˇcn´ıho prvku.

Obr´azek 1.1: Uk´azka modern´ı architektury a pˇr´ıkladu pouˇz´ıt´ı optimalizce.

C´ılem této práce je vytvoˇren´ı genetického algoritmu v jazyce Python a jeho aplikace pˇri optimalizaci betonové konstrukce. Jako pˇredmˇet optimalizace byla vybrána nosná stˇena. Aby algoritmus pracoval efektivnˇe, je nutné do nˇej zahrnout nástroj pro tvorbu náhodných tvar˚u stˇen a nástroj pro statický výpoˇcet konstrukc´ı.

(20)

(21)

Kapitola 2

Metody optimalizace

Optimalizaˇcn´ı algoritmy jsou výkonným nástrojem pro ˇreˇsen´ı celé ˇrady problém˚u inˇzenýrské praxe a obvykle se pouˇz´ıvaj´ı v pˇr´ıpadech, kdy ˇreˇsen´ı daného problému analytickou cestou je nevhodné ˇci nereálné. Vˇetˇsina tˇechto problém˚u m˚uˇze být definována jako optimalizaˇcn´ı úloha pˇrevedena na matematickou úlohu, která je dána vhodným funkˇcn´ım pˇredpisem. Optimalizace tohoto pˇredpisu vede k nalezen´ı argument˚u úˇcelové funkce.1 Pro ˇreˇsen´ı ta-kových problém˚u byla vyvinuta tˇr´ıda výkonných algoritm˚u, které umoˇzˇnuj´ı ˇreˇsit velmi efektivnˇe sloˇzité problémy. Algoritmy této tˇr´ıdy nesou název

”evoluˇcn´ı algoritmy“. Evoluˇcn´ı algoritmy patˇr´ı k heuristickým algoritm˚um,které m˚uˇzeme rozdˇelit na deter-ministické a stochastické (viz. Obr. 2.1). Algoritmy druhé skupiny se liˇs´ı v tom, ˇze nˇekteré jejich kroky vyuˇz´ıvaj´ı náhodné operace. To znamená, ˇze výsledky ˇreˇsen´ı, které z´ıskáme, se pˇri kaˇzdém spuˇstˇen´ı programu mohou liˇsit. Proto má smysl spustit program v´ıcekrát a vybrat nejlepˇs´ı z´ıskané ˇreˇsen´ı.

Stochastické heuristické metody poskytuj´ı pouze obecný rámec a jednotlivé operace algoritmu je tˇreba definovat( napˇr. operaci kˇr´ıˇzen´ı a mutace u genetických algoritm˚u, ope-raci sousedstv´ı u simulovaného ˇz´ıhan´ı, atd.) v závislosti na konkrétn´ım problému. Jelikoˇz se tyto metody ˇcasto inspiruj´ı pˇr´ırodn´ımi procesy, oznaˇcuj´ı se jako evoluˇcn´ı algoritmy. Podle strategie je lze rozdˇelit do dvou tˇr´ıd:

• Metody zaloˇzené na bodové strategii, napˇr. simulované ˇz´ıhán´ı, horolezecký algo-ritmus a zakázané prohledáván´ı. Základem tˇechto operac´ı je operace sousedstv´ı aktuáln´ıho ˇreˇsen´ı, v nˇemˇz hledáme ˇreˇsen´ı lepˇs´ı.

• Metody zaloˇzen´e na strategii populace. Sem patˇr´ı genetick´e algoritmy.

Tyto metody se liˇs´ı od klasických gradientn´ıch metod t´ım, ˇze pˇripouˇstˇej´ı pˇrijet´ı horˇs´ıho ˇreˇcen´ı do dalˇs´ı iterace. T´ım se snaˇz´ı vyhnout uváznut´ı v lokáln´ım optimu. Lze naj´ıt celou ˇradu heuristických metod, napˇr. neuronové s´ıtˇe, Lagrangeova relaxaˇcn´ı metoda.

1_{veliˇcina, jej´ıˇz minimalizac´ı nebo maximalizac´ı hledáme optimáln´ı ˇreˇsen´ı a která je rozhoduj´ıc´ı pro}

(22)

KAPITOLA 2. METODY OPTIMALIZACE

Obr´azek 2.1: Dˇelen´ı optimalizaˇcn´ıch metod dle Vesterstrøma [1].

(23)

Optimalizaˇcn´ı algoritmy slouˇz´ı k nalezen´ı minima zadané funkce tak, ˇze hledaj´ı op-timáln´ı numerickou kombinaci jejich argument˚u. Tyto algoritmy lze rozdˇelit na základˇe princip˚u jejich ˇcinnosti, podle sloˇzitosti apod. Tato rozdˇelen´ı vˇsak nejsou jediná moˇzná mohou se mezi sebou liˇsit. R˚uzné pohledy na klasifikaci evoluˇcn´ıch algoritm˚u demon-struje Obr. 2.1 a Obr. 2.2. Jednotlivé tˇr´ıdy algoritmu pˇredstavuj´ı obecnˇe zp˚usoby ˇreˇsen´ı daného problému metodami s r˚uzným stupnˇem efektivity a sloˇzitosti. Podle jejich vlast-nosti dˇel´ıme algoritmy do tˇechto kategori´ı [1]:

• Enumerativn´ı

Algoritmus provede výpoˇcet vˇsech moˇzných kombinac´ı daného problému. Tento pˇr´ıstup je vhodný pro problémy, u nichˇz jsou argumenty úˇcelové funkce diskrétn´ıho charakteru a nabývaj´ı malého mnoˇzstv´ı hodnot. Pokud by byl pouˇzit obecnˇe, je moˇzné, ˇze pro úspˇeˇsné ukonˇcen´ı by potˇreboval ˇcas, který je delˇs´ı, neˇz existence naˇseho vesm´ıru.

• Deterministick´e

Tato skupina algoritm˚u je postavená pouze na rigorózn´ıch metodách klasické ma-tematiky. Algoritmy tohoto charakteru obvykle vyˇzaduj´ı omezuj´ıc´ı pˇredpoklady, které tˇemto metodám umoˇzˇnuj´ı podávat efektivn´ı výsledky. Tyto pˇredpoklady ob-vykle jsou:

– probl´em je line´arn´ı, konvexn´ı

– prohledávaný prostor moˇzných ˇreˇsen´ı je malý a souvislý – úˇcelová funkce, pokud moˇzno, má pouze jeden extrém – mezi parametry úˇcelové funkce nejsou nelineárn´ı interakce – problém je definován v analytickém tvaru

Výsledkem deterministického algoritmu je pak jediné ˇreˇsen´ı • Stochastické

Algoritmy tohoto typu jsou zaloˇzeny na vyuˇzit´ı náhody. Jde v podstatˇe o ˇcitˇe náhodné hledán´ı hodnot argument˚u úˇcelové funkce s t´ım, ˇze výsledkem je vˇzdy to nejlepˇs´ı ˇreˇsen´ı, jenˇz bylo nalezeno bˇehem celého náhodného hledán´ı. Algoritmy tohoto typu jsou obvykle:

– pomal´e

– vhodné jen pro malé prohledávané prostory moˇzných ˇreˇsen´ı – vhodné pro hrubý odhad

(24)

• Sm´ıˇsen´e

Algoritmy této tˇr´ıdy pˇredstavuj´ı smˇes metod deterministických a stochastických, které ve vzájemné spolupráci dosahuj´ı pˇrekvapivˇe dobrých výsledk˚u. Pomˇernˇe sil-nou podmnoˇzisil-nou tˇechto algoritm˚u jsou jiˇz zm´ınˇené evoluˇcn´ı algoritmy. Algoritmy sm´ıˇseného charakteru jsou:

– robustn´ı, coˇz znamená, ˇze nezávisle na poˇcáteˇcn´ıch podm´ınkách velmi ˇcasto najdou kvalitn´ı ˇreˇsen´ı, jenˇz je reprezentováno obvykle jedn´ım ˇci v´ıce globáln´ımi extrémy

– efektivn´ı a výkonné, coˇz znamená, ˇze jsou schopny nalézt kvalitn´ı ˇreˇsen´ı bˇehem relativnˇe malého poˇctu ohodnocen´ı úˇcelové funkce

– jsou odliˇsn´e od ˇcistˇe stochastick´ych metod

– maj´ı minimáln´ı nebo ˇzádné poˇzadavky na pˇredbˇeˇzné informace – jsou schopné pracovat s problémy typu

”ˇcerná skˇr´ıˇnka“, tzn. nepotˇrebuj´ı ke své ˇcinnosti analytický popis problému

– jsou schopny nal´ezt v´ıce ˇreˇsen´ı bˇehem jednoho spuˇstˇen´ı

2.1 Principy ˇcinnosti v´ybran´ych algoritm ˚u

1. Stochastick´y horolezeck´y algoritmus (Stochastic Hill-Climbing)

Je to verze tzv. horolezeckého algoritmu, která obohacená o stochastickou sloˇzku. Patˇr´ı mezi gradientn´ı metody. To znamená, ˇze prohledává prostor moˇzných ˇreˇsen´ı ve smˇeru nejvˇetˇs´ıho spádu. Funguje následuj´ıc´ım zp˚usobem. Vˇzdy se vycház´ı z náhodného bodu v prostoru moˇzných ˇreˇsen´ı. Pro momentálnˇe navrˇzené ˇreˇsen´ı se na-vrhne urˇcité okol´ı a daná funkce se minimalizuje jen v tomto okol´ı. Z´ıskané lokáln´ı ˇreˇsen´ı se pak pouˇzije jako stˇred pro výpoˇcet nového okol´ı. Celý proces se iterativnˇe opakuje. Bˇehem procesu se zaznamenává nejlepˇs´ı nalezené ˇreˇsen´ı. Po ukonˇcen´ı slouˇz´ı toto ˇreˇsen´ı jako nalezené optimum. Nevýhodou tohoto algoritmu je to, ˇze v nˇem m˚uˇze za urˇcitých podm´ınek doj´ıt k zacyklen´ı a ˇreˇsen´ı tak uv´ızne v lokáln´ım extrému.

Na Obr. 2.3 je vidˇet, ˇze terˇc v horn´ı ˇcásti obrázku je startem algoritmu. Pro nˇej je vygenerována mnoˇzina ˇcervených ˇreˇsen´ı. Nejlepˇs´ı ˇreˇsen´ı je oznaˇceno tuˇcným ˇcerveným bodem, který slouˇz´ı jako nová pozice pro vygenerován´ı nové (b´ılé) mnoˇziny ˇreˇsen´ı. Nejlepˇs´ı ˇreˇsen´ı je oznaˇceno jako b´ılý tuˇcný bod a ten je pak pouˇzit pro vy-generován´ı zelené mnoˇziny ˇreˇsen´ı

(25)

2.1. PRINCIPY ˇCINNOSTI V ´YBRAN ´YCH ALGORITM ˚U

Obr´azek 2.3: Princip horolezeck´eho algoritmu [2].

2. Simulovan´e ˇz´ıh´an´ı

Simulované ˇz´ıhán´ı patˇr´ı mezi algoritmy, které pˇripouˇst´ı kroky, po nichˇz dojde ke zhorˇsen´ı hodnoty úˇcelové funkce. Inspirace k jeho formulaci byla nalezena ve sta-tistické mechanice v popisu fyzikáln´ıho procesu ˇz´ıhán´ı tuhého tˇelesa. Pˇri ˇz´ıhán´ı kov˚u s nestabiln´ı krystalovou mˇr´ıˇzkou docház´ı ke stabilizaci volných ˇcástic k op-timáln´ımu stavu, tj. k vytvoˇren´ı stabiln´ı krystalové mˇr´ıˇzky. Tˇeleso se nejdˇr´ıve zahˇreje na vysokou teplotu. T´ım se jeho atom˚um umoˇzn´ı dostat z lokáln´ıch minim vnitˇrn´ı energie mezi stavy s vyˇsˇs´ı energi´ı (do rovnováˇzných poloh) a postupným sniˇzován´ım teploty se polohy atom˚u fixuj´ı. To znamená, ˇze pˇri koneˇcné teplotˇe ˇz´ıhán´ı, která je podstatnˇe niˇzˇs´ı neˇz byla poˇcáteˇcn´ı, jsou vˇsechny atomy v rovnováˇzných polohách a tˇeleso neobsahuje ˇzádné vnitˇrn´ı defekty ani pnut´ı. Takový kov pak má mnohem lepˇs´ı vlastnosti. Simulované ˇz´ıhán´ı je nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı metoda pro registraci MRI ob-raz˚u.

Tabulka 2.1: Analogie procesu ˇz´ıh´an´ı a kombinatorick´e optimalizace

ˇz´ıh´an´ı kombinatorick´a optimalizace

stav syst´emu pˇr´ıpustn´e ˇreˇsen´ı

energie stavu systému hodnota úˇcelové funkce zmˇena stavu systému pˇrechod k sousedn´ımu ˇreˇsen´ı

teplota ˇr´ıd´ıc´ı parametr

ustálený stav heuristické ˇreˇsen´ı

Hledán´ı globáln´ıho minima funkce m˚uˇze být realizováno podobným zp˚usobem. Vnitˇrn´ı energii nahrazuje úˇcelová funkce a teplotu ˇr´ıd´ıc´ı parametr (viz. Tab. 2.1). Simulované ˇz´ıhán´ı postupnˇe

”ochlazuje“ pr˚ubˇeˇzný stav. V kaˇzdém kroku najde náhodný bod v okol´ı souˇcasného stavu, porovná jeho

”energii“ se souˇcasn´ym sta-vem a s urˇcitou pravdˇepodobnost´ı z´avislou na tomto rozd´ılu a na

(26)

tohoto nového stavu pˇresune.Tato pravdˇepodobnost nen´ı nulová v pˇr´ıpadˇe, ˇze nový stav je horˇs´ı neˇz p˚uvodn´ı, proto tato metoda pˇri dostateˇcné teplotˇe neuvázne v lokáln´ım minimu.

Obrázek 2.4: Simulované ˇz´ıhán´ı.

3. Zakázané prohledáván´ı (Tabu Search)

Je to vylepˇsená verze horolezeckého algoritmu, do které byla zavedena tzv. krátkodobá pamˇet’. Jej´ım úkolem je pamatovat si ty transformace, pomoc´ı kterých byl vypoˇc´ıtán aktuáln´ı stˇred. To má za následek, ˇze nedocház´ı k zacyklen´ı d´ıky zakázanému pouˇzit´ı tˇechto transformac´ı (odtud název

”zakázané prohledáván´ı“). Tato metoda byla vy-lepˇsena jeˇstˇe o tzv. dlouhodobou pamˇet’, která obsahuje transformace, které nejsou v pamˇeti krátkodobé, ale byly ˇcasto pouˇzity. Jejich pouˇzit´ı je pak penalizováno. To pak sniˇzuje ˇcetnost jejich pouˇzit´ı. Na rozd´ıl od horolezeckého algoritmu nedocház´ı tak ˇcasto k uv´ıznut´ı v lokáln´ıch extrémech.

4. Evoluˇcn´ı strategie (Evolutionary strategy)

Tento algoritmus patˇr´ı mezi prvn´ı úspˇeˇsné stochastické algoritmy v historii. Byl navrˇzen poˇcátkem ˇsedesátých let. Vycház´ı z principu pˇrirozeného výbˇeru podobnˇe jako genetické algoritmy. Na rozd´ıl od jiných stochastických algoritm˚u pracuje evoluˇcn´ı strategie pˇr´ımo s reálnými hodnotami. Jej´ım jádrem je práce s ˇreˇsen´ım ve formˇe vektoru x, které je mutováno pomoc´ı vektoru náhodných ˇc´ısel. Problém akceptace nového ˇreˇsen´ı je striktnˇe deterministický.

5. Optimalizace mravenˇc´ı koloni´ı (Ant Colony Optimization (ACO))

Je to algoritmus, jehoˇz ˇcinnost napodobuje chován´ı mravenc˚u v kolonii. Je zaloˇzen na následuj´ıc´ım principu. Je definován zdroj mravenc˚u (mraveniˇstˇe) a c´ıl jejich snaˇzen´ı (potrava). Kdyˇz jsou vypuˇstˇeni, tak po nˇejaké dobˇe dojde k tomu, ˇze vˇsichni mravenci se pohybuj´ı po kratˇs´ı (optimáln´ı) cestˇe mezi zdrojem a c´ılem (viz. Obr. 2.5). To je dáno t´ım, ˇze si svou cestu znaˇckuj´ı feromonem. Pokud doraz´ı prvn´ı mra-venec k rozcest´ı dvou cest, které vedou ke stejnému c´ıli, pak je jeho rozhodnut´ı, po které cestˇe se vydá, náhodné. Ti, kteˇr´ı najdou potravu, zaˇcnou cestu znaˇckovat a pˇri návratu jsou d´ıky tˇemto znaˇckám pˇri rozhodován´ı ovlivnˇen´ı ve prospˇech této cesty. Pˇri návratu ji oznaˇcuj´ı podruhé, coˇz opˇet zvyˇsuje pravdˇepodobnost

(27)

rozhod-2.1. PRINCIPY ˇCINNOSTI V ´YBRAN ´YCH ALGORITM ˚U

ritmu. Feromon je zde zastoupen váhou, která je pˇriˇrazena dané cestˇe vedouc´ı k c´ıli. Tato váha je aditivn´ı, coˇz umoˇzˇnuje pˇridávat dalˇs´ı

”feromony“ od dalˇs´ıch ” mra-venc˚u“. V ACO algoritmu je zohlednˇen i fakt vypaˇrován´ı feromon˚u tak, ˇze váhy u jednotlivých spoj˚u s ˇcasem slábnou. To zvyˇsuje robustnost algoritmu z hlediska na-lezen´ı globáln´ıho extrému.

”aco“ byl pouˇzit s úspˇechem na optimalizaˇcn´ı problémy, jako je problém obchodn´ıho cestuj´ıc´ıho ˇci návrh telekomunikaˇcn´ıch s´ıt´ı.[1]

Obr´azek 2.5: Princip ACO algoritmu. 6. Metoda imunitn´ıho syst´emu (Immunology System Method)

Tento algoritmus je zaloˇzen na principech fungován´ı imunitn´ıho systému v ˇzivých organizmech. Na imunitn´ı systém je nahl´ıˇzeno jako na multiagentn´ı systém, kde jednotliv´ı agenti maj´ı sv˚uj specifický úkol. Tito agenti maj´ı r˚uzné pravomoci a schopnosti komunikovat s jinými agenty. Na základˇe této komunikace a urˇcité

” svo-body“ v rozhodován´ı jednotlivých agent˚u vzniká hierarchická struktura schopná ˇreˇsit komplikované problémy. Jako pˇr´ıklad pouˇzit´ı metody lze uvést antivirovou ochranu u velkých a rozlehlých poˇc´ıtaˇcových systém˚u.

7. Memetick´e algoritmy (Memetic Algorithms)

Významnou charakteristikou tˇechto algoritm˚u je pouˇzit´ı r˚uzných aproximaˇcn´ıch algoritm˚u, technik lokáln´ıho vyhledáván´ı, speciáln´ıch rekombinaˇcn´ıch operátor˚u apod. Memetické algoritmy mohou být charakterizovány jako strategie soutˇeˇze a spolupráce, která projevuje atributy synergetiky. Jako pˇr´ıklad lze uvést hybridn´ı kombinaci genetických algoritm˚u a simulovaného ˇz´ıhán´ı nebo paraleln´ı lokáln´ı prohledáván´ı. Memetické algoritmy byly pouˇzity napˇr. pˇr´ı ˇreˇsen´ı problému ob-chodn´ıho cestuj´ıc´ıho, uˇcen´ı neuronové v´ıcevrstvé s´ıtˇe, plánován´ı údrˇzby, nelineárn´ı celoˇc´ıselné programován´ı a dalˇs´ı.

8. Rozptýlené prohledáván´ı (Scatter Search)

(28)

algoritm˚u a je dost podobný algoritmu Tabu Search. Je to vektorovˇe orientovaný al-goritmus, který má za úkol generovat nové vektory (ˇreˇsen´ı) na základˇe pomocných heuristických technik. Pˇri startu vycház´ı z ˇreˇsen´ı z´ıskaných pomoc´ı vhodné heuris-tické techniky. Poté jsou generována nová ˇreˇsen´ı na základˇe podmnoˇziny nejlepˇs´ıch ˇreˇsen´ı ze startu. Z tˇechto novˇe nalezených ˇreˇsen´ı se opˇet vybere mnoˇzina tˇech nej-lepˇs´ıch a celý proces se opakuje. Tento algoritmus byl pouˇzit k ˇreˇsen´ı problému, jako je ˇr´ızen´ı dopravy, uˇcen´ı neuronové s´ıtˇe, optimalizace bez omezen´ı a mnohé dalˇs´ı.

9. Rojen´ı ˇc´astic (Particle Swarn)

Algoritmus je zaloˇzen na práci s populac´ı jedinc˚u. Jejich pozice v prostoru moˇzných ˇreˇsen´ı je mˇenˇena pomoc´ı tzv. rychlostn´ıho vektoru. V základn´ı verzi nedocház´ı mezi jedinci k vzájemnému ovlivˇnován´ı. To je odstranˇeno ve verzi s tzv. sousedstv´ım. V rámci tohoto sousedstv´ı pak docház´ı k vzájemnému ovlivˇnován´ı tak, ˇze jedinci patˇr´ıc´ı do jednoho sousedstv´ı putuj´ı k nejhlubˇs´ımu extrému, který byl v tomto sou-sedstv´ı nalezen[1].

10. Neuronov´e s´ıtˇe

Tyto algoritmy patˇr´ı mezi nejstarˇs´ı ˇcásti umˇelé inteligence. Vznik lze datovat do druhé poloviny dvacátého stolet´ı. Lze je naj´ıt v ˇr´ızen´ı, identifikaci, modelován´ı, predikci apod. Jejich velkou nevýhodou je, ˇze neexistuje rigorózn´ı metoda, která by dokázala jednoznaˇcnˇe interpretovat informace o systému obsaˇzené ve vahách neuˇcené s´ıtˇe.

11. Fuzzy logika

Na rozd´ıl od neuronové s´ıtˇe má fuzzy logika tu výhodu, ˇze veˇskeré kroky jsou ri-goróznˇe matematizovány a podpoˇreny mnoha teorémy a d˚ukazy. Lze je naj´ıt prak-ticky vˇsude, kde se pouˇz´ıvaj´ı neuronové s´ıtˇe. Podm´ınkou vˇsak je, ˇze nˇekteré jej´ı ˇcásti mus´ı být nastaveny expertem v dané problematice, nebo pomoc´ı speciáln´ıch algoritm˚u, které vycházej´ı z namˇeˇrených dat systému.

12. Evoluˇcn´ı algoritmy

Tato ˇcást umˇelé inteligence tvoˇr´ı most mezi sobˇestaˇcnými algoritmy typu neuro-nové s´ıtˇe a tˇemi, které potˇrebuj´ı ke spuˇstˇen´ı ˇci bˇehu lidského operátora. Lze je pouˇz´ıt napˇr. pro nauˇcen´ı neuronové s´ıtˇe ˇci optimalizaci jej´ı struktury, nastaven´ı fuzzy mo-delu nebo fuzzy regulátoru apod. Pomoc´ı evoluˇcn´ıch algoritm˚u lze ˇreˇsit prakticky jakýkoliv problém, pokud je definován jako optimalizaˇcn´ı úloha. Zaj´ımavými al-goritmy z této oblasti jsou tzv. genetické programován´ı a gramatická evoluce. Tyto speciáln´ı algoritmy neslouˇz´ı k nalezen´ı parametr˚u regresn´ı funkce2, ale k nalezen´ı regresn´ı funkce samotné (vˇcetnˇe parametr˚u) tak, aby prokládala pˇr´ısluˇsná data. Oba

(29)

2.1. PRINCIPY ˇCINNOSTI V ´YBRAN ´YCH ALGORITM ˚U

algoritmy byly s úspˇechem pouˇzity na identifikaci struktury systému na základˇe namˇeˇrené pˇrechodové charakteristiky, na návrh sloˇzitých elektronických obvod˚u atd. Z jejich podstaty plyne, ˇze jsou ideáln´ı pˇri identifikaci a modelován´ı kom-plexn´ıch systému, u nichˇz je matematická nebo fyzikáln´ı analýza obt´ıˇzná.

13. Synergetika

Tento obor je sloˇzen z teori´ı, jako je teorie katastrof, teorie chaosu nebo nerov-nováˇzné termodynamiky. Má velkou budoucnost v kybernetice a chemii. Jiˇz dnes existuje tzv. ˇr´ızen´ı chaosu, kde se vyuˇz´ıvá teorie chaosu a teorie katastrof pro ˇr´ızen´ı speciáln´ı tˇr´ıdy systému nebo k návrhu ˇr´ızen´ı, které se má vyhnout chaotickým reˇzim˚um. Jej´ı potenciál leˇz´ı rovnˇeˇz v biochemických technologi´ıch, kde se rýsuje moˇznost syntetizace sloˇzitých biochemických látek vyuˇzit´ım princip˚u kybernetiky a nerovnováˇzné termodynamiky. Také ji lze vyuˇz´ıt pro vyˇsetˇrován´ı strukturáln´ı sta-bility ˇci existence reˇzim˚u, pˇri nichˇz by daný systém vykazoval chaotické ˇci kata-strofické chován´ı.

Pro optimalizaˇcn´ı algoritmy existuje jistá statisticky významná skuteˇcnost, která se v odborné terminologii nazývá

”No Free Lunch Teorém“. Je to toerém, ve kterém se tvrd´ı, ˇze neexistuje algoritmus, který by dokázal ˇreˇsit vˇsechny problémy lépe neˇz jiné algoritmy, neboli existuje podmnoˇzina problému, pro které je algoritmus A lepˇs´ı neˇz algoritmus B a naopak. Neexistuje tedy

(30)

(31)

Kapitola 3

Genetick´e algoritmy

Evoluˇcn´ı výpoˇcetn´ı techniky (EVT) jsou numerické algoritmy, které vycházej´ı ze základn´ıch princip˚u Darwinovy a Mendelovy teorie evoluce, jej´ıˇz hlavn´ı ideou je pˇredáván´ı rodiˇcovského genomu novým potomk˚um a následné uvolnˇené ˇzivotn´ıho prostoru [1]. Avˇsak ani Darwin nebyl prvn´ı, kdo pˇriˇsel s takovou myˇslenkou. Výrazným myslitelem, který jiˇz pˇred Darwi-nem propagoval myˇslenku evoluce, byl Anaximandros z Milétu, jehoˇz názory jsou shrnuty v jeho nedochovaném filosofickém spise ”O pˇr´ırodˇe”(tento název z´ıskal aˇz pozdˇeji). Podle nˇej p˚uvodn´ım principem svˇeta a pˇr´ıˇcinou vˇseho byt´ı je tzv.

”neomezeno“ (ˇrecky apeiron), z nˇehoˇz se pak vydˇeluje studené a teplé a suché a vlhké. Tento princip si lze pˇredstavit jako neomezenou a nedefinovanou vlhkost, ze které pak postupnˇe vznikaj´ı dalˇs´ı pˇr´ırodn´ı látky i jednotlivé druhy ˇzivých bytost´ı.

(a) (b)

Obr´azek 3.1: Charles Robert Darwin (a), Anaximandros z Mil´etu (b).

Technologie EVT závis´ı na existenc´ı tzv. evoluˇcn´ıch algoritm˚u. Zaˇcátek jejich historie se obvykle datuje do poloviny 70. let, kdy se poprvé objevily genetické algoritmy (GA), pˇr´ıpadnˇe do poloviny 60. let, kdy byly poprvé s úspˇechem pouˇzity tzv. evoluˇcn´ı strategie. Duchovn´ımi otci evoluˇcn´ıch algoritm˚u jsou osobnosti, jako byl matematik A. M. Turing, N. A. Barricelli a dalˇs´ı. V této dobˇe byly formulovány a definovány principy, které zcela jasnˇe popisuj´ı principy evoluˇcn´ıch algoritm˚u. To, ˇze nebyly programátorsky realizovány, bylo dáno nedostatkem výkonné výpoˇcetn´ı techniky. Pojem GA jako prvn´ı formuloval v roce 1975 John Holland. Ten na základˇe svého výzkumu navrhl genetický algoritmus, který je abstrakc´ı pˇr´ısluˇsných biologických proces˚u a pracuje s populac´ı jedinc˚u, pˇriˇcemˇz

(32)

KAPITOLA 3. GENETICK ´E ALGORITMY

kaˇzdý z jedinc˚u reprezentuje vhodným zp˚usobem zakódované ˇreˇsen´ı daného problému. Definoval také operátor kˇr´ıˇzen´ı (crossover), který je povaˇzován za hlavn´ı rozliˇsovac´ı znak.

(a) (b)

Obr´azek 3.2: Alan Mathison Turing (a) a John Henry Holland (b).

3.1 Principy ˇcinnosti genetick´ych algoritm ˚u

Genetické algoritmy spolu s genetickým programován´ım, evoluˇcn´ı strategi´ı a evoluˇcn´ım programován´ım patˇr´ı do skupiny evoluˇcn´ıch algoritm˚u (viz. Obr. 3.3). Jak jiˇz bylo uve-deno, jedná se o vyhledávac´ı algoritmus, který je zaloˇzen na darwinovském principu evo-luce. Hledán´ı optimáln´ıho (nebo dostateˇcnˇe vyhovuj´ıc´ıho) ˇreˇsen´ı prob´ıhá formou soutˇeˇze v rámci populace. Úspˇeˇsnost jedince je charakterizována schopnosti pˇreˇz´ıt, rozmnoˇzit se a pˇredat sv˚uj genom do dalˇs´ı populace. Tato schopnost mus´ı být kvalifikovatelná. Kaˇzdý jedinec je posuzován hodnotic´ı funkc´ı, jej´ıˇz velikost je vyjádˇrena hodnotou fitness. Je-dinci s lepˇs´ım ohodnocen´ım maj´ı vyˇsˇs´ı pravdˇepodobnost pˇreˇz´ıt a pod´ılet se na vytváˇren´ı následuj´ıc´ı generace. Po pouˇzit´ı rozmanitých technik kˇr´ıˇzen´ı a reprodukce vznikne nová generace, ve které jsou vlastnosti jedinc˚u ˇcásteˇcnˇe zdˇedˇeny a ˇcásteˇcnˇe ovlivnˇeny náhodnými mutacemi. Opakuje-li se tento evoluˇcn´ı cyklus mnohokrát, obvykle vznikne populace s jedinci, kteˇr´ı maj´ı vysoké ohodnocen´ı a mohou pˇredstavovat dostateˇcné nebo dokonce optimáln´ı ˇreˇsen´ı. Protoˇze tento evoluˇcn´ı proces v sobˇe zahrnuje znaˇcný d´ıl náhodnosti, je zˇrejmé, ˇze kaˇzdý bˇeh pˇr´ısluˇsného algoritmu se bude odv´ıjet odliˇsným zp˚usobem. Z téhoˇz d˚uvodu se v nˇekterých pˇr´ıpadech pomˇernˇe snadno m˚uˇze stát i to , ˇze celá populace v procesu zdegenerujea nejlepˇs´ı jedinec bude reprezentovat pouze lokáln´ı optimum [3].

Evoluˇcn´ı algoritmy

Genetick´e algoritmy

Genetick´e

programov´an´ı Evoluˇcn´ı strategie

Evoluˇcn´ı programov´an´ı

(33)

3.2. GENETICK ´E OPER ´ATORY

Z Obr. 3.4 vyplývá, ˇze populace v GA je sloˇzena z jedinc˚u, kde kaˇzdý jedinec pˇredstavuje jedno konkrétn´ı ˇreˇsen´ı problému o v´ıce promˇenných, které jsou zakódovány v genech. Chromozom je pak soubor vˇsech gen˚u jedince. Pˇri kˇr´ıˇzen´ı z´ıská nový jedinec ˇcást chro-mozomu od kaˇzdého rodiˇce a postupnˇe se prosazuje genom, který reprezentuje nejlepˇs´ı ˇreˇsen´ı daného problému. Aby nedocházelo ke kombinován´ı jiˇz existuj´ıc´ıho genofondu populace, docház´ı pˇri reprodukci k náhodné mutaci genomu, která zajiˇst’uje to, ˇze do po-pulace pˇribývaj´ı nová ˇreˇsen´ı a zvyˇsuje se diverzita popo-pulace. Selekce, kˇr´ıˇzen´ı a mutace se oznaˇcuj´ı jako genetické operátory.

Lze nalézt r˚uzné definice GA, které se liˇs´ı zejména ve zp˚usobu vytváˇren´ı nové popu-lace, obecné schéma je vˇsak patrné z Obr. 3.4 a je následuj´ıc´ı:

1. Inicializace. Náhodné vygenerován´ı poˇcáteˇcn´ı populace.

2. Ohodnocen´ı. Výpoˇcet úˇcelové funkce a pˇriˇrazen´ı fitness kaˇzdému jedinci v popu-laci

3. Selekce. Náhodný výbˇer dvojice jedinc˚u z populace a vytvoˇren´ı potomk˚u. 4. Kˇr´ıˇzen´ı (crossover).Výmˇena ˇcásti genetické informace (chromozomu). 5. Mutace. Náhodná zmˇena gen˚u v chromozomu.

6. Nov´a populace. Vytvoˇren´ı nov´e populace z potomk˚u.

7. Opakován´ı/ukonˇcen´ı. Proces se opakuje od bodu 2 dokud nen´ı splnˇena ukonˇcuj´ıc´ı podm´ınka (nejlepˇs´ı jedinec dosáhl poˇzadovaných parametr˚u nebo poˇc´ıtadlo dosáhlo zadaného poˇctu generac´ı)

3.2 Genetick´e oper´atory

Zp˚usob, kterým jsou jedinci geneticky popsána (zakódována), je velmi d˚uleˇzitý pro úspˇech nebo neúspˇech genetického algoritmu, který je pouˇzit pro konkrétn´ı úlohu. Pro lepˇs´ı názornou ukázku fungován´ı jednotlivých operátor˚u bude v této kapitole uvaˇzováno binárn´ı kódován´ı. To znamená, ˇze kaˇzdý gen jedince m˚uˇze nabývat pouze dvou hodnot (0 nebo 1) a chromozomy jsou pak tvoˇreny ˇretˇezcem tˇechto hodnot o dané délce. Binárn´ı kódován´ı patˇr´ı mezi nejstarˇs´ı a nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı druhy kódován´ı. Má vˇsak svá omezen´ı. M˚uˇze docházet ke zkreslován´ı, a to zejména pˇri kˇr´ıˇzen´ı a mutaci, kdy malá zmˇena genotypu zp˚usob´ı rozsáhlou zmˇenu fenotypu a naopak. Tento jev se nazývá Hammingova bariéra a dá se ˇreˇsit pouˇzit´ım operátoru inverze (nebo inverzn´ı matice) nebo pomoc´ı Grayova kódován´ı. V tomto ilustrativn´ım pˇr´ıkladˇe je poˇcáteˇcn´ı populace sloˇzena ze ˇctyˇr náhodnˇe vygenero-vaných jedinc˚u. Kaˇzdý má délkou chromozomu 8 (viz.Obr. 3.1). V dalˇs´ım kroku by mˇelo následovat ohodnocen´ı, selekce, kˇr´ıˇzen´ı, mutace a vytvoˇren´ı nové populace z potomk˚u.

(34)

Obrázek 3.4: Obecný cyklus evoluˇcn´ıho algoritmu GA [4]. Tabulka 3.1: Binárn´ı kódován´ı jedinc˚u.

Populace Jedinec ˇc. Chromozom 1 (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) 2 (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1) 3 (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0) 4 (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1)

3.2.1 Ohodnocen´ı

Jako hodnot´ıc´ı funkce m˚uˇze být pouˇzita pˇr´ımo úˇcelová funkce, na které hledáme mini-mum ˇci maximini-mum, nebo ji mlˇzeme sestavit jiným zp˚usobem. Zásadn´ı ovˇsem je, ˇze hod-not´ıc´ı funkce mus´ı být vytvoˇrena pro konkrétn´ı problém, který se pokouˇs´ıme pomoc´ı GA vyˇreˇsit. V naˇsem pˇr´ıpadˇe je hodnocen poˇcet jedniˇcek v chromozomu jedince. ˇC´ım vyˇsˇs´ı poˇcet jedniˇcek, t´ım vyˇsˇs´ı je ohodnocen´ı.

Tabulka 3.2: Ohodnocen´ı jedinc˚u. Populace

Jedinec ˇc. Chromozom Fitness

1 (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) 4 2 (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1) 6 3 (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0) 2 4 (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) 4

(35)

3.2.2 V´ybˇer

Operátor selekce slouˇz´ı k výbˇeru jedinc˚u vhodných k dalˇs´ı reprodukci a mˇel by napodo-bovat proces pˇrirozeného výbˇeru. Selekce by mˇela prob´ıhat tak, aby potomstvo bylo kva-litnˇejˇs´ı neˇz rodiˇce a zároveˇn aby byla zachována rozmanitost. Pˇri tom by selekce nemˇela být pˇr´ıliˇs volná, jelikoˇz by evoluˇcn´ı proces mohl postupovat pomalu a jakýkoliv pokrok by byl málo zˇretelný. Existuje nˇekolik metod selekce:

1. Ruletov´y v´ybˇer

Jedná se zˇrejmˇe o nejrozˇs´ıˇrenˇejˇs´ı selekˇcn´ı metodu. Na rozd´ıl od klasické rulety, kde kaˇzdé z ˇc´ısel m˚uˇze být vybráno se stejnou pravdˇepodobnosti, jsou v tomto pˇr´ıpadˇe favorizováni jedinci s vyˇsˇs´ım ohodnocen´ım. Tˇemto jedinc˚um je na ruletovém kole pˇriˇrazena vˇetˇs´ı výseˇc a existuje tedy vyˇsˇs´ı pravdˇepodobnost, ˇze pˇri hodu budou vybráni právˇe oni. Je nˇekolik moˇznost´ı, jak takové ruletové kolo sestrojit, a liˇs´ı pˇredevˇs´ım ve zp˚usobu urˇcován´ı velikosti výseˇc´ı. Jedna z nich je ruletový výbˇer s pravdˇepodobnosti výbˇeru pˇr´ımo úmˇernou ohodnocen´ı. K vytvoˇren´ı takového kola je potˇreba seˇc´ıst hodnoty fitness vˇsech jedinc˚u v populaci a pak kaˇzdému pˇriˇradit proporcionálnˇe odpov´ıdaj´ıc´ı kruhovou výseˇc. Pro populaci s poˇctem jedinc˚u N je velikost takové výseˇce dána vztahem:

p_i= fi N

∑

i=1 f_i ; i∈ {0, ..., N} (3.1)

Po vytvoˇren´ı ruletového kola pak staˇc´ı pˇri kaˇzdém výbˇeru vygenerovat náhodné ˇc´ıslo R ∈< 0, 1 > a vybrat i-tého jedince, právˇe kdyˇz plat´ı následuj´ıc´ı vztah:

f_i−1< R ≤ fi; i∈ {0, ..., N} (3.2)

Kde fije kumulativn´ı hodnocen´ı, kter´e je d´ano vztahem:

f_i= i

∑

j=1 p_j= i

∑

j=1 f_i N

∑

k=1 f_k ; i∈ {0, ..., N} (3.3)

Pro náˇs ilustrativn´ı pˇr´ıklad to znamená, ˇze se ruletové kolo rozdˇel´ı na ˇctyˇri výseˇce, které svou plochou odpov´ıdaj´ı hodnocen´ı jedinc˚u, jak je ukázáno v Tab. 3.3. Je zˇrejmé, ˇze napˇr. jedinec ˇc. 2 má vˇetˇs´ı ˇsanci být vybrán neˇz jedinec ˇc. 3 apod. Celý proces výbˇeru je pak znázornˇen na Obr. 3.5. Nejdˇr´ıve jsou náhodnˇe vyge-nerována ˇctyˇri ˇc´ısla: 0.102, 0.548, 0.239, 0.657. A na základˇe porovnán´ı s kumula-tivn´ım hodnocen´ım dle vztahu 3.2 jsou vybráni jedinci ˇc´ıslo: 1, 2, 1, 3. Ti následnˇe budou vystaven´ı p˚usoben´ı dalˇs´ıch genetických operátor˚u.

(36)

KAPITOLA 3. GENETICK ´E ALGORITMY Tabulka 3.3: Pravdˇepodobnost v´ybˇeru jedinc˚u.

Populace

Jedinec ˇc. Chromozom Fitness % z celkov´eho

fitness Kumulovan´e fitness 1 (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) 4 25,0% 0,250 2 (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1) 6 37,5% 0,625 3 (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0) 2 12,5% 0,750 4 (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) 4 25,0% 1,000

Nevýhodou ruletového výbˇeru je, ˇze pˇr´ıliˇs favorizuje jedince s nejlepˇs´ım ohodno-cen´ım. To pak m˚uˇze vést ke sn´ıˇzen´ı rozmanitosti v populaci a výsledek m˚uˇze kon-vergovat k lokáln´ımu extrému.

Obrázek 3.5: Ruletový výbˇer.

2. Stochastický univerzáln´ı výbˇer

Tato selekˇcn´ı metoda je podobná rulétovému výbˇeru s jedn´ım rozd´ılem. Interval < 0; 1 > je rozdˇelen na stejné ˇcásti, ale pro výbˇer napˇr. ˇctyˇr jedinc˚u (k = 4) staˇc´ı náhodnˇe vygenerovat pouze jedno ˇc´ıslo. To se následnˇe vydˇel´ı t´ımto poˇctem je-dinc˚u k. Výsledné ˇc´ıslo nám urˇcuje prvn´ıho vybraného jedince a na tuto pozici se um´ıst´ı tzv. pointer [5]. Dále jsou na osu pˇridány dalˇs´ı pointery, pˇriˇcemˇz vzdálenost mezi nimi se rovná 1_k. Schématicky tuto metodu znázorˇnuje Obr. 3.6. Tento zp˚usob výbˇeru umoˇzˇnuje ponechat rozmanitost v populaci, ale neˇreˇs´ı tzv. problém pˇredˇcasné konvergence, který je charakteristický pro selekˇcn´ı mechanismy, kde pravdˇepodobnost výbˇeru je pˇr´ımo úmˇerná ohodnocen´ı.

3. Seˇr´ıznut´y v´ybˇer

Na rozd´ıl od pˇredchoz´ıch metod je tato metoda umˇelá. Pouˇz´ıvá se pro populace s velkým poˇctem jedinc˚u, kteˇr´ı jsou seˇrazen´ı dle svého ohodnocen´ı a vybráni jsou jen nejlepˇs´ı. Parametrem pro výbˇer je tzv. ˇrezac´ı práh, který urˇcuje, jaký pod´ıl populace bude vybrán. Obvykle se tento parametr pohybuje v rozmez´ı 10% − 50%.

(37)

Obrázek 3.6: Stochastický výbˇer[5]. 4. Turnajový výbˇer

V této metodˇe se z populace vybere k jedinc˚u (nejˇcastˇeji k = 2), kteˇr´ı se setkaj´ı v simulovaném souboji. V´ıtˇez´ı jedinec s vyˇsˇs´ı hodnotou fitness a postupuje dál. Výhodou tohoto selekˇcn´ıho mechanizmu je vyˇsˇs´ı ˇsance výbˇeru jedinc˚u s hornˇs´ım ohodnocen´ım, a t´ım zachován´ı vˇetˇs´ı diverzity v populaci. Pro výbˇer jedinc˚u do turnaje se pouˇz´ıvá bud’ náhodný index nebo roletový výbˇer. Metoda je znázornˇena v Tab. 3.4:

Tabulka 3.4: Turnajov´y v´ybˇer jedinc˚u. Populace Jedinec ˇc. Fitness 1 4 2 6 3 4 4 2 Turnaj

Jedinci vybran´ı do souboje V´ıtˇez souboje

(4,1) 1

(3,2) 2

(1,3) 1

(3,1) 3

5. Poˇradov´y v´ybˇer

Pˇri pouˇzit´ı této metody jsou nejdˇr´ıve jedinci vzestupnˇe seˇrazeni dle hodnoty ness. Dále jim je pˇriˇrazená kruhová výseˇc, jej´ıˇz velikost jiˇz nen´ı závislá na fit-ness, ale na poˇrad´ı jedince. Lépe um´ıstˇen´ı jedinci maj´ı tedy vetˇs´ı ˇsanci být vybráni. Tento zp˚usob selekce ˇreˇs´ı problém napˇr. ruletového výbˇeru, kde výraznˇe silnˇejˇs´ı jedinci byli opakovanˇe vyb´ıráni do nové generace, bránili výbˇeru slabˇs´ıch jedinc˚u a sniˇzovali t´ım r˚uznorodost populace.

3.2.3 Kˇr´ıˇzen´ı

Operátor kˇr´ıˇzen´ı (crossover) slouˇz´ı k vytvoˇren´ı potomk˚u vybraných rodiˇc˚u, rozˇsiˇruje pro-hledávaný prostor t´ım, ˇze skládá nová ˇreˇsen´ı z jiˇz existuj´ıc´ıch, a sniˇzuje riziko uváznut´ı v lokáln´ı extrému. Existuje celá ˇrada technik kˇr´ıˇzen´ı, pˇriˇcemˇz jejich spoleˇcná vlastnost je ta, ˇze jde vˇzdy o vzájemnou výmˇenu chromozom˚u. N´ıˇze jsou vysvˇetleny principy nˇekolika základn´ıch metod kˇr´ıˇzen´ı.

(38)

1. Jednobodov´e kˇr´ıˇzen´ı

Jedná se o nejjednoduˇsˇs´ı a nejznámnˇejˇs´ı operátor binárn´ıho kˇr´ıˇzen´ı. Nejprve je náhodnˇe zvolen jeden gen v chromozomu, od kterého poˇc´ınaje jsou vymˇenˇeny zbylé ˇcásti chromozomu mezi rodiˇci. Vznikou t´ım dva nov´ı jedinci, kteˇr´ı maj´ı ˇcást gen˚u po prvn´ım a ˇcást po druhém z obou rodiˇc˚u [3].Pro náˇs ilustrativn´ı pˇr´ıklad, kde do prvn´ıho páru byli vybráni jedinci ˇc. 1 a 2, pˇredpokládejme, ˇze byl vybrán 3. gen jako bod kˇr´ıˇzen´ı. Výsledek celé operace je znázonˇen v Tab. 3.5. Je zˇrejmé, ˇze kˇr´ıˇzen´ım vznikl jedinec, jehoˇz ohodnocen´ı 7, a je tedy lepˇs´ı neˇz oba jeho rodiˇce. Bod kˇr´ıˇzen´ı by mˇel být pˇrirozeným ˇc´ıslem z intervalu K ∈< 1; L − 1 >; K ∈ N, kde L je délka chromozomu. Nemá smysl volit jako bod kˇr´ıˇzen´ı posledn´ı gen, jelikoˇz by nedoˇslo k ˇzádné genetické výmˇenˇe a tato operace by byla zbyteˇcná.

Tabulka 3.5: Jednobodov´e kˇr´ıˇzen´ı.

Jedinec ˇc. Chromozom Nov´y chromozom

1 (1, 1, 1 | 0, 0, 1, 0, 0) → (1, 1, 1 | 1, 0, 1, 1, 1) 2 (0, 1, 0 | 1, 0, 1, 1, 1) → (0, 1, 0 | 0, 0, 1, 0, 0)

2. Dvou a v´ıcebodov´e kˇr´ıˇzen´ı

Tato metoda je podobná jednobodovému kˇr´ıˇzen´ı s t´ım rozd´ılem, ˇze lichý zvolený bod kˇr´ıˇzen´ı mi udává zaˇcátek výmˇeny gen˚u a sudý konec výmˇeny. U dvoubodového kˇr´ıˇzen´ı tedy mezi prvn´ım a druhým bodem k výmˇenˇe nedocház´ı. Pˇredpokládejme, ˇze pro náˇs pˇr´ıpad byly zvoleny jako body kˇr´ıˇzen´ı geny ˇc´ıslo dva a ˇsest. Výsledek je ukázán v Tab. 3.6.

Tabulka 3.6: Dvoubodov´e kˇr´ıˇzen´ı.

Jedinec ˇc. Chromozom Nov´y chromozom

1 (1, 1 | 1, 0, 0, 1 | 0, 0) → (1, 1 | 0, 1, 0, 1 | 0, 0) 2 (0, 1 | 0, 1, 0, 1 | 1, 1) → (0, 1 | 1, 0, 0, 1 | 1, 1)

3. Uniformn´ı kˇr´ıˇzen´ı

Tento typ kˇr´ıˇzen´ı zobecˇnuje jednobodové a v´ıcebodové kˇr´ıˇzen´ı tak, ˇze kaˇzdý gen m˚uˇze být bodem výmˇeny. K tomu jsou pouˇzity tzv. kˇr´ıˇz´ıc´ı masky, které jsou stejnˇe dlouhé jako chromozomy jedinc˚u a na jednotlivých pozic´ıch náhodnˇe nabývaj´ı hod-not 0 nebo 1. V pˇr´ıpadˇe, kdy na dané pozici v masce je hodhod-nota 0, pˇrevezme poto-mek gen od prvn´ıho rodiˇce. Naopak kdyˇz je tato hodnota rovna 1, pˇrevezme gen od druhého rodiˇce. Pˇr´ıklad pouˇzit´ı této metody je zobrazen v Tab. 3.7.

Tabulka 3.7: Uniformn´ı kˇr´ıˇzen´ı.

Jedinec ˇc. Chromozom Maska Nov´y chromozom

1 (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) [1,1,0,0,1,1,1,0] (0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0)

(39)

4. Aritmetick´e kˇr´ıˇzen´ı

Tato metoda se pouˇz´ıvá u kˇr´ıˇzen´ı s reálnými hodnotami chromozom˚u. Potomek (O) je kombinac´ı obou rodiˇc˚u (P1, P2), jak je ukázano v rovnici 3.4, kde a je náhodnˇe

vygenerovan´e ˇc´ıslo v intervalu a ∈< 0; 1 >; a ∈ R.

O= a · P1+ (1 − a) · P2 (3.4)

3.2.4 Mutace

Tento operátor, kterému jsou vystaven´ı novˇe vytvoˇren´ı jedinci, rozˇsiˇruje prohledávaný

prostor o dalˇs´ı ˇreˇsen´ı, která nebylo moˇzné z´ıskat kˇr´ıˇzen´ım. Mutace s velmi malou pravdˇepodobnost´ı (obvykle od 0.1% do 5%) náhodnˇe mˇen´ı hodnoty jednotlivých gen˚u. Pˇr´ıklad pouˇzit´ı

mu-tace je znázornˇen v Tab. 3.8. U stagnuj´ıc´ıch generac´ı m˚uˇzeme zvýˇsit pravdˇepodobnost mutace nebo zavést dynamickou mutaci, která bude automaticky reagovat na vývoj popu-lace.

Tabulka 3.8: Binarn´ı mutace gen˚u.

Jedinec ˇc. Chromozom pˇred mutac´ı Chromozom po mutaci 1 (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) → (1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0) 2 (0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1) → (0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1) 3 (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0) → (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) 4 (1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1) → (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1)

3.2.5 Doplnˇen´ı

V pˇr´ıpadˇe, ˇze poˇcet novˇe vygenerovaných jedinc˚u je menˇs´ı neˇz v pˇredchoz´ı populaci, je tˇreba zbývaj´ıc´ı jedince doplnit. Naopak pokud je tento poˇcet vyˇsˇs´ı, mus´ı se vybrat jedinci, kteˇr´ı se dostanou do nové populace a kteˇr´ı budou zapomenuti. Jedny z moˇzných metod doplnˇen´ı jsou:

1. Ryz´ı doplnˇen´ı

Bˇehem kˇr´ıˇzen´ı byl vytvoˇren stejný poˇcet jedinc˚u jako v populaci rodiˇc˚u. Nová po-pulace se tedy skládá pouze z tˇechto potomk˚u.

2. Uniformn´ı doplnˇen´ı

Byl vytvoˇren menˇs´ı poˇcet jedinc˚u neˇz v pˇredeˇslé populaci. Nová populace se dopln´ı náhodnˇe vybranými jedinci z populace rodiˇc˚u.

3. Elitn´ı doplnˇen´ı

Byl vytvoˇren menˇs´ı poˇcet jedinc˚u neˇz v pˇredeˇslé populaci. Nová generace se dopln´ı nejlepˇs´ımi jedinci z pˇredeˇslé generace.

(40)

(41)

Kapitola 4

Implementace v jazyce Python

Tato kapitola je vˇenována vytvoˇren´ı GA v jazyce Python, který je následnˇe pouˇzit k optimalizaci ˇzelezobetonové nosné stˇeny. V jednotlivých kroc´ıch jsou pˇredstaveny prin-cipy výpoˇctu, zp˚usoby generován´ı stˇen a nastaven´ı jednotlivých operátor˚u algoritmu. V závˇeru kapitoly jsou demonstrovány pˇr´ıklady aplikace vytvoˇreného GA na konkrétn´ıch konstrukc´ıch a porovnán´ı výpoˇctu s komerˇcn´ım softwarem.

4.1 Metoda koneˇcn´ych prvk ˚u

Metoda koneˇcných prvk˚u (MKP) pˇredstavuje pˇribliˇzné numerické ˇreˇsen´ı parciáln´ıch di-ferenciáln´ıch rovnic s pˇr´ısluˇsnými okrajovými podm´ınkami. MKP nacház´ı uplatnˇen´ı v mnoha oborech - ve strojn´ım, automobilovém, leteckém, elektrotechnickém a stavebn´ım. Kromˇe problém˚u statiky a dynamiky pevných a poddajných tˇeles se bˇeˇznˇe vyuˇz´ıvá pro modelován´ı proudˇen´ı tekutin, veden´ı tepla, k analýze elektromagnetických pol´ı apod.

Pro úspˇeˇsné sestaven´ı GA je nutné opakovanˇe spoˇc´ıtat nˇekolik variant konstrukc´ı v jedné populaci. V bˇeˇzných komerˇcn´ıch softwarech urˇcených pro statickou analýzu kon-strukc´ı je tento poˇzadavek obt´ıˇznˇe proveditelný. Z tohoto d˚uvod˚u byl vytvoˇren bal´ık pro výpoˇcet konstrukc´ı pomoc´ı MKP , ve kterém byly uvaˇzovány následuj´ıc´ı pˇredpoklady:

1. Z´akladn´ı rovnice

Výpoˇcet vycház´ı ze základn´ı rovnice deformaˇcn´ı metody:

K · r = F (4.1)

kde K je matice tuhosti konstrukce, r je vektor posunut´ı a f je vektor zat´ıˇzen´ı. 2. Slab´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice a jeho diskretizace

Základem MKP se stala Galerkinova metoda. Pouˇz´ıvá se pˇri ˇreˇsen´ı soustavy parciáln´ıch diferenciáln´ıch rovnic a jej´ı princip spoˇc´ıvá v nahrazen´ı p˚uvodn´ı rovnice (tzv. silné ˇreˇsen´ı) jej´ı integráln´ı formou (tzv. slabé ˇreˇsen´ı) a následnou diskretizac´ı (pˇreveden´ı na úlohu s koneˇcným poˇctem parametr˚u). ˇReˇceno jinými slovy, m˚uˇzeme spojitou

(42)

KAPITOLA 4. IMPLEMENTACE V JAZYCE PYTHON

funkci aproximovát pomoc´ı diskrétn´ıho model˚u, který se skládá z jednoho nebo nˇekolika aproximaˇcn´ıch polynom˚u a spojitá funkce je rozdˇelena na koneˇcné ele-menty (prvky). Kaˇzdý prvek je definován pomoc´ı interpolaˇcn´ı funkce, která popi-suje jeho chován´ı mezi koncovými body, které se nazývaj´ı uzly [6]. Aproximativn´ı ˇreˇsen´ı budeme hledat jako lineárn´ı kombinaci bázových funkc´ı:

u=

n

∑

i=1

u_iN_i(x) (4.2)

Pokud bychom dosadili do ˇreˇsené rovnice tuto aproximaci, nebude ˇreˇsená rovnice splnˇena pˇresnˇe. To snaˇz´ıme vyˇreˇsit t´ım, ˇze k rovnici pˇriˇcteme zbytkovou funkci (reziduum). Abychom zbytkovou funkci minimalizovali (tzn. dostali co nejpˇresnˇejˇs´ı aproximaci), násob´ıme zbytkovou funkci funkci váhovou, integrujeme pˇres celou oblast ˇreˇsen´ı a výsledek poloˇz´ıme rovno nule. Tento postup nazýváme metodou váˇzených rezidu´ı.

3. B´azov´e funkce

Bázové funkce se obvykle znaˇc´ı p´ısmenem N. Tyto funkce jsou pˇredepsány pro kaˇzdý uzel prvku a vyuˇz´ıvá se vlastnosti, kterou má Kroneckerovo delta. To zna-mená, ˇze pro daný uzel pvku nabývá bázová funkce hodnoty 1 a ve vˇsech ostatn´ıch uzlech je rovna nule. Názornˇe je to zobrazeno na Obr. 4.1. Pˇri výpoˇctu byly pouˇzity bilineárn´ı ˇctvercovéprvky s následuj´ıc´ımi bázovými funkcemi:

N₁= 1 4(1 − x)(1 − y) N2= 1 4(1 + x)(1 − y) N₃= 1 4(1 + x)(1 + y) N4= 1 4(1 − x)(1 + y) (4.3) 0 _0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 (0) (1) (2) (3) Bázová funkce N1 0 _0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 (0) (1) (2) (3) Bázová funkce N2 0 _0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 (0) (1) (2) (3) Bázová funkce N3 0 _0.5 1 0 0.5 1 0 0.5 1 (0) (1) (2) (3) Bázová funkce N4

(43)

4.1. METODA KONE ˇCN ´YCH PRVK ˚U

4. Lok´aln´ı matice tuhosti

Lok´aln´ı matice tuhosti k je d´ana vztahem: [k] =

Z

A

[B]T[D][B]t dxdy (4.4)

kde t je tlouˇst’ka prvk˚u, B je matice derivac´ı bázových funkc´ı a D je matice tuhosti materiálu. [B] =     ∂ N1 ∂ x 0 ∂ N2 ∂ x 0 ∂ N3 ∂ x 0 ∂ N1 ∂ x 0 0 ∂ N1 ∂ y 0 ∂ N2 ∂ y 0 ∂ N3 ∂ y 0 ∂ N1 ∂ y ∂ N1 ∂ y ∂ N1 ∂ x ∂ N2 ∂ y ∂ N2 ∂ x ∂ N3 ∂ y ∂ N3 ∂ x ∂ N4 ∂ y ∂ N4 ∂ x     (4.5) [D] = E 1 − ν2    1 ν 0 ν 1 0 0 0 1−ν₂    (4.6)

Lokáln´ı matice tuhosti prvku má velikost 8x8 (dáno dvˇema neznámými posuny v kaˇzdém ze ˇctyˇr uzl˚u), je symetrická a obecnˇe se dá zapsat takto :

[k] =                 k₁₁ k₂₁ k₂₂ k₃₁ k₃₂ k₃₃ k₄₁ k₄₂ k₄₃ k₄₄ k₅₁ k₅₂ k₅₃ k₅₄ k₅₅ k₆₁ k₆₂ k₆₃ k₆₄ k₆₅ k₆₆ k71 k72 k73 k74 k75 k76 k77 k81 k82 k83 k84 k85 k86 k87 k88                 (4.7)

5. K´odov´a ˇc´ısla a lokalizace

Po vytvoˇren´ı lokáln´ı matice tuhosti je nutné ji správnˇe lokalizovat do matice globáln´ı. K tomu se vyuˇz´ıvaj´ı tzv. kódová ˇc´ısla, které pˇrestavuj´ı jednotlivé neznámé posuny uzl˚u (na Obr. 4.2 oznaˇceny ˇcervenˇe). Nejdˇr´ıve jsou oˇc´ıslovány vˇsechny prvky a uzly v konstrukci. Kaˇzdý prvek má svoje lokáln´ı ˇc´ısla uzl˚u (oznaˇceny zelenˇe), kterým odpov´ıdaj´ı globáln´ı ˇc´ısla uzl˚u (oznaˇceny modˇre) v závislosti na pozici daného prvku. Na základˇe toho pˇrevodu, jsou jednotlivé prvky lokáln´ı matice tuhosti pˇriˇcteny na pˇr´ısluˇsné pozice globáln´ı matice.

6. Glob´aln´ı matice tuhosti

Pˇri dodrˇzen´ı ˇc´ıslován´ı kódových ˇc´ısel dle Obr. 4.2, je globáln´ı matice ˇr´ıdká (vˇetˇsina prvk˚u v matici je nulová) a pásová (Obr. 4.3). Tyto vlastnosti mˇely zásadn´ı vliv na výpoˇcet a na to, jakým zp˚usobem byla MKP implementována v jazyce Python. Pˇri výpoˇctu konstrukc´ı s jemnˇejˇs´ı s´ıt´ı (a tedy s vˇetˇs´ım poˇctem neznámých a vˇetˇs´ı

(44)

ma-KAPITOLA 4. IMPLEMENTACE V JAZYCE PYTHON

Obr´azek 4.2: Lokalizace prvk˚u.

tic´ı tuhost´ı) docházelo k rychlému zaplnˇen´ı RAM pamˇet´ı a výpoˇcet byl zastaven. Zp˚usobovalo to obrovské mnoˇzstv´ı dat v podobˇe nul, které se do matice ukládalo. Tento problém se podaˇrilo vyˇreˇsit pomoc´ı pˇr´ıdavného bal´ıku scipy. Konkrétnˇe se jednalo o funkci scipy.sparse, která ukládala matici tuhosti v podobˇe souˇradnic a pˇr´ısluˇsných hodnot na tˇechto pozic´ıch (lze vyjádˇrit jako K[i,j]=data). Nulové prvky matice byly tedy zcela eliminovány. Tento pˇr´ıstup umoˇznil provádˇet výpoˇcet kon-strukc´ı s jemnˇejˇs´ı s´ıt´ı prvk˚u a taky zrychlen´ı výpoˇctu.

Obrázek 4.3: Globáln´ı pásová matice tuhosti.

7. Numerick´a integrace

Výpoˇcet matice tuhosti vyˇzaduje integraci souˇcin˚u bázových funkc´ı a tuhosti. Pro sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıpady vˇsak tuto integraci nelze provádˇet analyticky. M´ısto toho se vyuˇz´ıvá numerická integrace. Existuje nˇekolik metod, ale pro polynomy je zvláˇstˇe vhodná Gaussova numerická integrace. Princip spoˇc´ıvá v tom, ˇze se snaˇz´ıme stanovit hod-noty vah wi a souˇradnic integraˇcn´ıch bod˚u ξi tak, abychom integrovali pˇresnˇe

po-lynom co nejvyˇsˇs´ıho ˇrádu. Hledaný integrál pak m˚uˇze být vyjádˇren následovnˇe:

b Z a f(x) dx ≈ n

∑

i=1 wif(ξi) (4.8)

(45)

4.1. METODA KONE ˇCN ´YCH PRVK ˚U

pˇresná pro polynom (2n − 1) stupnˇe. Pˇri výpoˇctu byla uvaˇzována dvoubodová inte-grace s hodnotou vah 1.

Tabulka 4.1: Gaussovy integraˇcn´ı body a v´ahy.

n Integraˇcn´ı body ξi V´ahy wi

1 0 2 2 ±1/√3 1 3 0 8/9 ≈ 0.888889 ±p3/5 ≈ 0.774597 5/9 ≈ 0.555556 4 ± r 3 − 2p6/5/7 ≈ 0.339981 (18 +√30)/36 ≈ 0.652145 ± r 3 + 2p6/5/7 ≈ 0.861136 (18 +√30)/36 ≈ 0.347855 8. Izoparametrick´e prvky

Numerická integrace se zpravidla provád´ı v pˇrirozených souˇradnic´ıch ξ , η na inter-valu < −1; 1 >. Geometri´ı prvk˚u je proto tˇreba do tˇechto souˇradnic transformovat. Tzv. izoparametrické prvky pouˇz´ıvaj´ı pro aproximaci souˇradnic stejné funkce jako pro aproximaci uzlových posun˚u. Tyto funkce maj´ı stejný poˇcet parametr˚u, a proto se takové prvky oznaˇcuj´ı jako izoparametrické.

Obr´azek 4.4: Izoparametrick´y prvek.

Výpoˇcet lokáln´ı matice tuhosti je pak dán vztahem:

[k] = Z 1 −1 Z 1 −1[B] T_{[D][B]t dξ dη =} n

∑

i=1 n

∑

j=1 [B]T[D][B]t wiwj|detJ| (4.9)

kde J je Jakobián transformace, který se dá vyjádˇrit jako [6]:

J= " ∑∂ N_{∂ ξ}i ∑∂ N_{∂ η}i # h xi yi i (4.10)

(46)

KAPITOLA 4. IMPLEMENTACE V JAZYCE PYTHON J= 1 4 " −(1 − η) (1 − η) (1 + η) −(1 + η) −(1 − ξ ) −(1 + ξ ) (1 + η) (1 − ξ ) #       x₁ y₁ x2 y2 x3 y3 x4 y4       (4.11)

9. Vztahy teorie pruˇznosti pro rovinn´y probl´em

V kaˇzdém uzlu koneˇcného prvk˚u, budou dva neznáme posuny (u, v). Na celý prvek tedy bude celkem osm neznámých:

h

u₁, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4

iT

(4.12) Pro ˇreˇsen´ı problému rovinné napjatosti byly pouˇzity následuj´ıc´ı geometrické rov-nice v maticovém tvaru:

   εx εy γxy   =     ∂ ∂ x 0 0 ∂ ∂ y ∂ ∂ y ∂ ∂ x     " u v # (4.13)

Fyzikáln´ı rovnice byly uvaˇzovány v tomto maticovém tvaru:    σx σy τxy   = E 1 − ν2    1 ν 0 ν 1 0 0 0 1−ν₂       εx εy τxy    (4.14)

V´ypoˇcet hlavn´ıch napˇet´ı konstrukce, kter´e pak byly vyuˇzity pro ohodnocen´ı je-dinc˚u, byl proveden dle vztahu:

σ1,2= σx+ σy 2 ± r _σ_x− σ_y 2 2 + τ2 xy (4.15)

(47)

4.2. GENER ´ATORY ST ˇEN

4.2 Gener´atory stˇen

Jak jiˇz bylo zm´ınˇeno, pˇredmˇetem optimalizace je ˇzelezobetonová betonová nosná stˇena. Aby bylo moˇzné provést výpoˇceta a následnou optimalizace, byly vytvoˇreny dva ge-nerátory stˇen:

1. Gener´ator lini´ı

Tento generátor byl inspirován budovou Italského pavilonu na Expu 2015. Jej´ı fasáda je vyrobena z panel˚u z biodynamického cementu. Jeho bio sloˇzka je dána fo-tokatalytickými vlastnostmi materiálu, pˇri kontaktu se slunenˇc´ım svˇetlem materiál zachycuje nˇekteré zneˇcist’uj´ıc´ı látky z ovzduˇs´ı a promˇeˇnuje je v inertn´ı s˚ul. Dy-namická sloˇzka je dána tekutost´ı materiálu a umoˇzˇnuje vytváˇret sloˇzité tvary [7]. Strukturu pak tvoˇr´ı zmˇet’ ˇcar r˚uzných tlouˇstˇek, které se kˇr´ıˇz´ı pod rozliˇcnými úhly. Tento tvar má pˇripom´ınat zkamenˇelý les a pˇr´ırodu.

(a) Pohled na budovu (b) Detail fas´ady

Obr´azek 4.5: Italsk´y pavilon Expo 2015.

Na podobném principu je zaloˇzen vytvoˇrený generátor. Nejdˇr´ıve je na základˇe vstupn´ıch hodnot (výˇska a délka stˇeny, maximáln´ı a minimáln´ı hodnota tlouˇst’ky lini´ı a jejich poˇcet) vytvoˇrena matice, která obsahuje náhodnˇe vygenerované souˇradnice kon-cových bod˚u a tlouˇst’ky lini´ı. Na základˇe této matice jsou linie vykresleny do za-daného prostoru (Obr. 4.6).

(48)

2. Voronoi gener´ator

Tento generátor byl inspirován tzv. Voroného diagramem (Obr. 4.7(a)), coˇz je zp˚usob rozdˇelen´ı prostoru, který je urˇcený vzdálenostmi k mnoˇzinˇe bod˚u v tomto prostoru. Existuje nˇekolik algoritm˚u pro sestrojen´ı daného diagramu (napˇr.inkrementáln´ı, rozdˇel a panuj, Fortunova metoda, z Delaunayovy triangulace apod.), ale nejjed-noduˇsˇs´ım pˇr´ıpadem je rozdˇelen´ı roviny podle mnoˇziny bod˚u M. Voroného diagram kaˇzdému bodu b z mnoˇziny M pˇriˇrad´ı buˇnku V tak, ˇze vˇsechny body v buˇnce V jsou bl´ıˇze k bodu b neˇz k jakémukoliv bodu z mnoˇziny M.

Voroného diagram se vyuˇz´ıvá napˇr. v poˇc´ıtaˇcové grafice (mozaiky), geografii (analýza s´ıdel), chemii (3D modelován´ı bunˇek a prvk˚u) a robotice (plánován´ı cesty robot˚u). Tento vzor lze naj´ıt i v pˇr´ırodˇe napˇr. na kˇr´ıdlech váˇzky nebo na srsti ˇziraf.

(a) Voron´eho diagram (b) Kˇr´ıdla v´aˇzky

(c) Fas´ada budovy (d) Vzory na srsti ˇziraf

Obrázek 4.7: Pˇr´ıklady výskytu Voroného diagramu v architektuˇre a pˇr´ırodˇe.

Stejnˇe jako u generátoru lini´ı je i v tomto pˇr´ıpadˇe nejdˇr´ıve vytvoˇrena matice ob-sahuj´ıc´ı náhodnˇe vygenerované souˇradnice bod˚u, na základˇe kterých se vykresl´ı Voroného diagram (Obr. 4.7).

(49)

4.2. GENER ´ATORY ST ˇEN

Obrázek 4.8: Tvar stˇeny vytvoˇrený pomoc´ı Voronoi generátoru.

Aby bylo moˇzné u takto vygenerovaných stˇen pˇri tvorbˇe s´ıtˇe MKP lokalizovat jednot-livé prvky v m´ıstech, kde je materiál, a následnˇe tyto stˇeny spoˇc´ıtat, byl zvolen následuj´ıc´ı zp˚usob, jak definovat tvar stˇeny. Nejdˇr´ıve je vytvoˇrená nulová matice W o rozmˇerech:

W =H a × L a (4.16) kde H je výˇska stˇeny, L délka stˇeny a a je délka hrany koneˇcných prvk˚u. Do takto pˇripravené matice byl na základˇe jiˇz dˇr´ıve vygenerovaných souˇradnic bod˚u pˇrenesen tvar konstrukce. K tomu byl vyuˇzit pˇr´ıdavný bal´ık skimage.draw, který do matice W pˇriˇcetl 1 na m´ısta, kde je materiál. Názornˇe je tento proces ukázán na Obr. 4.9.

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Obr´azek 4.9: Definice tvaru stˇeny pomoc´ı matice.

Na Obr. 4.10 je demonstrován algoritmus, který vyhledá nenulové prvky matice W , a zaznamená jejich polohu, která se následnˇe vyuˇzije k pˇriˇcten´ı lokáln´ı matice tuhosti do globáln´ı na základˇe kódových ˇc´ısel.

(50)

4.2.1 Objektovˇe orientovan´e programov´an´ı

Hlavn´ı d˚uvodem pro zvolen´ı Pythonu jako programovac´ıho jazyka, je moˇznost vyuˇzit´ı tzv. objektovˇe orientovaného programován´ı (OOP). Jedná se o zp˚usob programován´ı, ve kterém základn´ı jednotkou je objekt, který odpov´ıdá nˇejakému objektu z reálného svˇeta (napˇr. ˇclovˇek, auto, nosná stˇena nebo databáze). Kaˇzdý objekt má své :

• vlastnosti - data, která uchovává (napˇr. vˇek, znaˇcka auta, tvar stˇeny)

• schopnosti - funkce, které um´ı vykonávat (napˇr. jdi do ˇskoly, natankuj, zapiˇs hod-notu do databáze)

Rozliˇsujeme dva typy objekt˚u: • vestavˇen´e typy (napˇr. seznam) • tˇr´ıdy (class)

Tˇr´ıdy jsou

”ˇsablony“, podle kterých se tvoˇr´ı jednotlivé objekty. ˇR´ıkáme pak, ˇze objekt je instanc´ı dané tˇr´ıdy. Na Obr. 4.11 já znázornˇena definice tˇr´ıdy individual, podle které se generuj´ı jednotlivé stˇeny v populaci. Zároveˇn je vidˇet pˇriˇrazen´ı vlastnosti fitness kaˇzdé instanci této tˇr´ıdy.

(51)

4.3. CELKOV É NASTAVENÍ GA A OPER ÁTOR ˚U

4.3 Celkov´e nastaven´ı GA a oper´ator ˚u

Vytvoˇrený algoritmus zaˇc´ıná náhodným vygenerován´ım poˇcáteˇcn´ı populace o velikosti 40 jedinc˚u. To zahrnuje vytvoˇren´ı matice souˇradnic bod˚u a matice definuj´ıc´ı tvar stˇeny pro kaˇzdého jedince (viz. Kapitola 4.2). Následnˇe je celá populace stˇen spoˇc´ıtána po-moc´ı MKP a výsledky jsou uloˇzeny jako vlastnost daného jedince. Dále jsou jednot-livé konstrukce ohodnoceny a seˇrazeny. Na základˇe poˇradového výbˇeru jsou aritmeticky zkˇr´ıˇzeny matice souˇradnic bod˚u, kterým jsou stˇeny definovány. V dalˇs´ım kroku prob´ıhá náhodná mutace, která nepatrnˇe mˇen´ı souˇradnice bod˚u. Pokud nen´ı dosaˇzen maximáln´ı zadaný poˇcet generac´ı, je vytvoˇrena nová populace, která se skládá z 28 potomk˚u, 10 novˇe náhodnˇe vygenerovaných jedinc˚u a dvou kopi´ı nejlepˇs´ıho jedinec z minulé populace. Operátor mutace je aplikován pouze na jedné z tˇechto kopi´ı. To zaruˇcuje, ˇze potenciáln´ı nejlepˇs´ı ˇreˇsen´ı nebude v pr˚ubˇehu zniˇceno. Pˇri dosaˇzen´ı maximáln´ıho poˇctu generac´ı je proces ukonˇcen. Názornˇe to ilustruje Obr. 4.12.

Obrázek 4.12: Schéma vytvoˇreného algoritmu.

Pro kaˇzdý krok algoritmu byl vytvoˇrený samostatný bal´ık - pro vytvoˇren´ı populace, výpoˇcet konstrukc´ı, ohodnocen´ı, kˇr´ıˇzen´ı, mutaci a uloˇzen´ı výsledk˚u v podobˇe obrázk˚u a .txt dokumentu. Tyto bal´ıky jsou naimportovány do centráln´ıho soubor˚u, ze kterého prob´ıhá spuˇstˇen´ı celého algoritmu (viz. Obr. 4.13).

(52)

4.3.1 Nastaven´ı ohodnocen´ı

Do hodnot´ıc´ı funkce vstupuje nˇekolik parametr˚u:

• maximáln´ı deformace - v podobˇe pomˇeru maximáln´ı deformace jedince k ma-ximáln´ı deformaci z celé populace :

de f = max de f(ind)

max de f(pop) (4.17)

Tento pomˇer u jedince s nejvˇetˇs´ı deformac´ı tedy bude roven 1. Naopak u jedince s nejmenˇs´ı deformac´ı bude tento pomˇer nejmenˇs´ı z populace.

• vylehˇcen´ı - v podobˇe pomˇeru poˇctu pouˇzitých prvk˚u (poˇcet nenulových prvk˚u v matici, kterou je definován tvar stˇeny (4.16)), k maximáln´ımu poˇctu pouˇzitých prvk˚u v populaci :

elements= elements used(ind)

max elements used(pop) (4.18)

• pr ˚umˇerná deformace - v podobˇe pomˇeru pr˚umˇerné deformace jedince k maximáln´ı pr˚umˇerné deformaci v populaci. Pr˚umˇerná deformace uprumje vyjádˇrena jako souˇcet

absolutn´ıch hodnot deformac´ı na konstrukci k poˇctu pouˇzit´ych prvk˚u.

u_prum= ∑ |u|

elements used (4.19)

prum de f = uprum(ind)

max u_prum(pop) (4.20)

Kromˇe ohodnocen´ı konstrukc´ı doch´az´ı i k jejich penalizaci, kter´a je zaloˇzena na tˇechto parametrech:

• penalizace deformace - penalizace je spoˇc´ıtána na základˇe následuj´ıc´ı funkce, ve které jako promˇenná vystupuje maximáln´ı deformace konstrukce:

pen de f = 1

1 + 100e−0.4·u max (4.21)

• penalizace vyuˇzit´ı - penalizace je spoˇc´ıtána na základˇe funkce, ve které jako promˇenná vystupuje pomˇer poˇctu málo vyuˇzitých prvk˚u k celkovému poˇctu prvk˚u. Prvek je povaˇzován za málo vyuˇzitý, pokud jeho napˇet´ı leˇz´ı v intervalu < −5; 0.5 > MPa. Penalizace je spoˇc´ıtána pro σ1i σ2a následnˇe zpr˚umˇerována.