THE RATIO BETWEEN THE FORCES OF FRICTION WINDING AND ROLLING WHEELS OF THE CRANE: EXPERIMENTAL EVALUATION

УДК 621.87

А. В. РАДКЕВИЧ, С. О. ЯКОВЛЄВ, Л. М. БОНДАРЕНКО (ДІІТ),

О. О. СТЕПАНЕНКО (В/Ч Т 0100)

СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ СИЛАМИ ТЕРТЯ РЕБОРДИ

І КОЧЕННЯ КОЛЕСА КРАНА: ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА ОЦІНКА

Для визначення коефіцієнта тертя реборд запропоновано експериментально-аналітичний спосіб, який об’єднуєаналітичнувеличинудлякоефіцієнтатертякоченнятайогоекспериментальнувеличину, отриману згідноззакономзатуханняколиваньприсухомутерті.

Кінцеваекспериментально-аналітичнаформуламаєшістьпараметрівідозволяєробитивисновокпроїх впливнавеличинутискуреборднарейкиіпроводитизаходищодойогозниження.

Для определения коэффициента трения реборд предложен экспериментально-аналитический способ,

объединяющийаналитическуювеличинудлякоэффициентатрениякаченияиегоэкспериментальнуювели

-чину, полученнуюнаоснованиизаконазатуханияколебанийприсухомтрении.

Конечнаяэкспериментально-аналитическаяформуласодержитшестьпараметровипозволяетсудитьоб ихвлияниинавеличинудавленияребордынарельсипроводитьмероприятияпоегоснижению.

To determine the ratio of flange friction, the article proposes an experimental and analytical method, combining the analytical value for the rolling friction ratio and its experimental value obtained according to the law of oscilla-tions damping in dry friction.

The final experimental & analytical formula contains six parameters and permits to judge about their influence on the value of flange pressure upon the rail and to take the measures for its reduction.

Відома формула, що визначає опір від тертя в ходових частинах крана на прямолінійному шляху, містить коефіцієнт k_р, що враховує тер-тя реборд і ступиць коліс. Його величина зале-жить від типу крана, обода ходових коліс, типу приводу, типу підведення струму тощо, при цьому його максимальна і мінімальна величини відрізняються більш, ніж в два рази. Особливо великі величини k _р при підведенні струму за допомогою тролів і гнучкого кабелю для візків кранів (k_р=2,5 і k_р=2,0 відповідно).

Значення k _р можна набути експериментально, реєструючи зусилля пересування візка з, напри-клад, безребордними і ребордними колесами. Проте, такий шлях дає результати для конкретно-го візка і не дозволяє знайти якісь узагальнені по-казники, що характеризують величину k_р.

Для прискорення знаходження його величи-ни від більшого числа параметрів пропонується установка, наведена на рис. 1.

Запишемо рівняння руху візка з урахуван-ням коефіцієнта опору руху w

..

2 2 ₀

x p x ap+ ± = , (1)

де

2 2C1

p G

= ;

G – маса візка;

1 2

wGg a

C

= .

Рис. 1. Схемаекспериментальноїустановки

Особливістю рівняння (1) є те, що перед членом, що містить коефіцієнт а може стояти як знак «мінус», так і «плюс».

Розглянемо перший інтервал руху, що по-чинається у момент t=0, коли x A= ₀, а x=0. У цьому інтервалі швидкість негативна, тому перед аповинен бути узятий знак «мінус».

Розв’язання цього рівняння за вказаними початковими умовами

(

)

x= A −a pt a+ ; (2)

для швидкості вираз приймає вигляд

(

)

.

0 sin

Неважко переконатися, що коли аргумент

pt стає рівним π, швидкість знов обертається в нуль, тобто візок досягає свого крайнього правого положення і це відхилення згідно з рівнянням (3)

(

)

1 0 cos 0 2

A = A −a π + = −a A + a, (4)

тобто за абсолютною величиною воно менше початкового на величину

2

2a gGw

C

= .

Якщо абсолютна величина A ₁ задовольняє нерівність

1 1

gw c A >

+ γ

(або A₁ >a), то сила пружності канатів більше сил тертя і візок почне рухатися у бік позитив-ного значення х.

Природно, що тепер рівняння руху (1) за-пишеться у вигляді

2 2 ₀

x p x ap+ + =

. (5)

Якщо змістити початок відліку часу і поча-ткові умови прийняти у вигляді t=0; x A= ₁;

0

x= , то розв’язання рівняння (5) запишеться у вигляді

(

)

x= A +a pt a− . (6)

Легко переконатися, що A₂= − −A₁ 2a або

0 4

A − a. З цього можна зробити висновок, що за один період коливань амплітуда зменшуєть-ся на одну і ту ж величину 4a і їх послідов-ність утворює арифметичну прогресію, а оги-наючою буде пряма лінія.

Таким чином, якщо відома амплітуда А2 ко-ливань візка в кінці першого періоду, то можна записати, що

0 2 4

A −A = a,

0 2

4Ggw

A A

C

− = . (7)

З цього рівняння може бути знайдена ве-личина w

(

)

4

C A A

w

Gg

−

= . (8)

Якщо база візка L, а ширина колії B, то тиск реборд на рейку визначиться з виразу

1 2

BC

N = ,

а опір руху від тертя реборд (при коефіцієнті тертя ковзання f) F=BCf . Оскільки розгля-даються малі коливання, то зміною F нехту-ватимемо. Тепер величину w можна подати у вигляді

2

d k BCf

w

R R Gg

µ

= + + , (9)

і вираз (8) записати так

(

)

2 4

C A A

d k BCf

R R Gg Gg

− µ

+ + = . (8а)

Звідси знайдемо величину жорсткості одно-го каната

1

0 2 2

2

4

d k

Gg

R R

C

A A

Bf

µ

⎛ ₊ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

− ₋ , (10)

де µ – коефіцієнт тертя підшипників, зведений до цапфи колеса. Якщо величина µ тут відома до другого – третього знаку, то для поняття «цапфа колеса» при підшипниках кочення не існує навіть чіткого визначення.

Оскільки в підшипнику може обертатися як внутрішнє, так і зовнішнє кільця, то оче-видно, що повинен прийматися і різний діа-метр цапфи. Якщо коефіцієнт тертя кульки по зовнішньому кільцю рівний f₂₃, а по вну-трішньому – f₁₃, то момент, необхідний для обертання внутрішнього (при нерухомому зовнішньому) кільця

(

)

1

ш

P f f D

d

+

µ = , (11)

де D_вн – діаметр доріжки катання внутрішньо-го кільця; d_ш – діаметр кульки.

При обертанні зовнішнього кільця

(

)

2

ш

P f f D

d

+

µ = . (12)

У випадку обертання, наприклад, внутріш-нього кільця і діаметру ходового колеса D візка опір обертанню колеса

(

)

1

ш

P f f D p d

w

Dd D

+ µ

З цього виразу можна укласти, що коефіці-єнт µ, який наведений у довідковій літературі, є не що інше, як

13 23 1

ш

f f

d

+

µ = , (14)

а під терміном «цапфа» при обертанні внутріш-нього кільця необхідно розуміти діаметр дорі-жки його катання, тобто

вн

d=D , (15)

а при обертанні зовнішнього кільця

нр

d =D . (16)

Наступною, нечітко визначаємою величи-ною у формулі (10) є коефіцієнт тертя кочення к. Нами [1; 2] запропонована аналітична зале-жність його визначення через півширину пля-ми контакту, яка для, наприклад, схеми конта-кту циліндр – площина визначається із спів-відношення [3]

1/ 2

1,526 PR

b

BE

⎛ ⎞

= _{⎜ ⎟}

⎝ ⎠ ,

де b – ширина головки рейки; Е– модуль пру-жності матеріалу колеса і рейки; тут же припу-скається рівність 0,3 коефіцієнта Пуассона.

Сам вираз для коефіцієнта тертя кочення має вигляд

(

)

0, 225 exp 1, 2

k= b − R . (17)

Остання величина у формулі (10) – коефіці-єнт тертя ковзання f є відомою і визначається експериментально.

Після цього величина C₁, при відомих ве-личинах A ₀ і A₂, легко визначається з такого виразу:

(

)

1/ 2

1

0 2

0,343 exp 1, 2

2 2

4

PR

R

d BE

Gg

R R

C

A A

Bf

⎡ _{⎛ ⎞} ⎤

−

⎢ _{⎜ ⎟} ⎥

µ _{⎝ ⎠}

⎢ ₊ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

− ₋ . (18)

Задавшись спочатку величиною A₀−A₂, зна-чення якої повинне бути більше 4Bf , визнача-ють C₁. Після установки канатів необхідно зада-ти візку відхилення A ₀ і відпустити без приско-рення. При знайомій величині A ₂ тиск реборд на колеса визначиться з формули

(

)

1/ 2

0 2

0,343 exp 1, 2

2

2

4

PR

R

d BE

R R

BP N

A A

Bf

⎡ _{⎛ ⎞} ⎤

−

⎢ _{⎜ ⎟} ⎥

µ _{⎝ ⎠}

⎢ ₊ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

− ₋ , (19)

де величина ВРподілена на 2 з умови, що тиск сприймається ребордами двох коліс.

Неважко переконатися, що формула (19) до-зволяє визначити тиск реборд на рейку від зміни, принаймні, 6 параметрів, що дозволить зробити висновок про ступінь їх впливу на загальний опір. Часто при проведенні описаних вище або по-дібних експериментів виникає необхідність пере-вірити їх на моделях, задаючи опори пересуван-ню, відповідні реальному співвідношенню між робочими опорами і опорами пересувного колеса. Якщо опір у підшипниках коліс може бути змодельовано за рахунок коефіцієнта тертя підшипників, зведеного до цапфи, діаметру ца-пфи, то змоделювати тертя кочення дещо скла-дніше, зважаючи на відсутність аналітичної залежності для визначення коефіцієнта тертя кочення. Одержані в [4–7] залежності вимага-ють знання коефіцієнта гістерезисних втрат, який не співпадає з його величиною, що визна-чається для випадку стиснення – розтягування, а визначення його для цього випадку вимагає складного фізичного експерименту.

Якщо, наприклад, відомо, що при первинному лінійному контакті опір катання колеса в натур-ній машині складає W₀, а в моделі він повиннен бути в n раз меншим і складати W, то для отри-мання цієї величини опору можна зробити так. Припускаємо, що в натурній машині і в моделі напруги в місці контакту рівні тим, що допуска-ються. Тоді, при наперед заданій ширині колеса B

його радіус в моделі повинен бути [3]

2 2

0, 418 PE

R

B

=

σ ,

де P – навантаження на колесо в моделі; E – модуль пружності матеріалу колеса і рейки при стисненні; σ – контактні напруги, що допус-каються при лінійному контакті; тут прийнято, що коефіцієнти Пуассона матеріалу колеса і рейки однакові і рівні 0,3.

Радіус колеса в натурній машині

2 0

0 ₂

0 0, 418 P E

R

B

=

σ ,

При лінійному контакті [1; 2] коефіцієнт те-ртя кочення може (як і у формулі Табору, але без коефіцієнта гістерезисних втрат) бути ви-ражений через статистичну півширину плями контакту b

(

)

0, 225 exp 1, 2

k= b − R . (20)

Оскільки в цьому випадку для моделі

1,526 0, 418 P

b

B

= ⋅

σ,

то

k 0, 225 1,526 0, 418 P exp 0, 21PE₂

B B

⎛ ⎞

= ⋅ ⋅ _⎜− _⎟

σ ⎝ σ ⎠ (21)

і опір кочення колеса моделі

2

0,82 0, 21

exp

P PE

W

E B

σ ⎛ ⎞

= _⎜− _⎟

σ

⎝ ⎠; (22)

для натури

0 0

0 ₂

0

0,82 0, 21

exp

P P E

W

E B

⎛ ⎞

σ

= ⎜_⎜− ⎟_⎟

σ

⎝ ⎠. (23)

Якщо відношення W0

W повинне складати λ,

то радіус колеса моделі при співвідношення

навантажень 0 1

P

P = λ , може бути визначений з

відношення

0 0

0 0

exp 1, 2 1

W P R

R

W P R

⎡ ⎛ ⎞⎤

= ⎢− ⎜ − ⎟⎥

⎢ ⎝ ⎠⎥

⎣ ⎦. (24)

Наприклад, при W0 10

W = ,

0 ₅

P

P = і P0 =300 кН;

5 2,1 10

E= ⋅ МПа; σ =900 МПа; B=40 мм,

0 340

R = мм, а величина R з цього співвідно-шення складає R=920 мм.

Нагадаємо, що ця величина R відповідає 0 ₅

P

P = і напрузі, що допускається, 900 МПа.

Звичайно, цієї величини W можна досягти за рахунок застосування матеріалів з меншою на-пругою, що допускається, при контакті. При

10

B= мм, W0 ₁₀

W = відповідатиме σ =830 МПа,

а при ширині колеса натури B=40 мм напруги, що допускаються, повинні бути 650σ = МПа.

Величину співвідношення W0

W можна

декіль-ка змінити за рахунок коефіцієнтів Пуассона ма-теріалів колеса і рейки, скориставшись формулою

(

)

0 0

2 2

1 2

1 2

0,382 exp

1 1

R R

W P

W P

E E

⎡ ⎤

⎢ ⎥

−

⎢ ⎥

= _{⎢ ⎥}

⎛ _{− µ − µ} ⎞

⎢_{σ⎜ + ⎟}⎥

⎜ ⎟

⎢ _{⎝ ⎠}⎥

⎣ ⎦

. (25)

У разі первинного точкового контакту фор-мула (24) виходить аналогічно.

При схемі торкання сферичне тіло-площина радіус сфери натури [3]

0 0 0, 242

P E

R =

σ σ

і опір кочення сфери

0

0 0, 228 0 exp 0,048

P E

W P

E

⎛ ⎞

σ

= ⎜_⎜ ⎟_⎟

σ σ

⎝ ⎠; (26)

для визначення опору кочення моделі в форму-лі (26) замість P₀ необхідно підставити P.

Відношення W0

W складе

0 0_{exp 0, 2} 0 ₁

W P R

R

W P R

⎡ ⎛ ⎞⎤

= _{⎢ ⎜} − _⎟⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦. (27)

Графічне рішення рівнянь (24) і (27) показано на рис. 2 (при точковому контакті контактна на-пруга, що допускається, приймалася 1 220 МПа).

Рис. 2. Графічнерішеннярівнянь:

1 – (5); 2 – (8); 3 – W0 W

На рис. 2 видно, що при точковому контакті

і W0 ₁₀

W = , а

0 ₅

P

P = (величина контактних

на-пруг 1 220 МПа) модельне колесо створити не-можливо. Для цього необхідно зменшити

спів-відношення 4,8 W0 5,7

W

≤ ≤ або спробувати

варі-ювати величиною σ. Аналогічно знаходяться

співвідношення W0

Аналіз наведених формул і графіків на рис. 2 дозволяє зробити такі висновки:

− запропонована методика дозволяє за ра-хунок радіусів коліс знаходити необхідні зу-силля опору пересуванню моделі при відомому тиску на колеса натури і моделі;

− при контактних допустимих напругах, необхідний опір пересуванню моделі не завжди можливо досягти.

БІБЛІОГРАФІЧНИЙ СПИСОК

1. Ловейкін В. С. Співвідношення між опором руху кочення та вершення в упорних вузлах вантажопідйомних машин / В. С. Ловейкін,

Л. М. Бондаренко // Зб. наук. працьНАУ. – К., 2000. Т. 9. – С. 243–245.

2. Бондаренко Л. М. Обґрунтування раціональ

-них конструкцій вузлів кочення підйомно

-транспортнихібудівельнихмашин / Л. М. Бон

-даренко, К. Ц. Блаватський // Зб. наук. праць ХарДАЗТ. Вип. 36. – С. 140–144.

3. ПисаренкоГ. С. Справочникпосопротивлению материалов / Г. С. Писаренко, А. П. Яковлев,

В. В. Матвеев. – Киев: Наук. дум., 1988. – 736 с. 4. Tabor D. The mechanism of rolling friction: the

elastic range. – Proc. Ray. Soc. Ser. A. Vol. 229. – p. 198 – 211.

5. Джонсон К. Механика контактного взаимодей

-ствия. – М.: Мир, 1989. – 510 с.

6. Jonson K. I. The contact of elastic wavy surfaces / K. I. Jonson, J. A. Greenwood, J. G. Higginson. – Internet. J. Mech. Sci, 1985, 27. – P. 138–146. 7. Jonson K. L. The mechanics of fretting / K. L. Jonson,

J. J. O’Connor – Proc. Inst. Mech. Engrs., Appl. Mech. Convention, Newcastle, 1964, 178, Part 3 J, – P. 7–16.