Nestabilno obratovanje rotorjev

UDK 531.3:62—13

Nestabilno obratovanje rotorjev*

V članku je obravnavano nestabilno gibanje vodoravnih rotorjev, kadar hitrost

opletanja gredi ni enaka n je n i v rtiln i hitrosti. K o t mogoča vzro ka za nestabilnost sta upoštevana notranje trenje v sistem u in drsni ležaj s hidrodinam ičnim m azanjem . Po u strezn em fizik a ln e m m odelu so- izpeljane gibalne enačbe, iz ka terih je m ogoče iz­ računati m ejo stabilnosti, to je tisto v rtiln o hitrost, nad katero postane gibanje ro­ torja nestabilno.

Izdelan program za elektro n ski računalnik omogoča izračun kritične hitrosti, m eje stabilnosti in vrtiln e hitrosti, s katero gred opleta v nesta b iln em področju, za sistem s p o lju b n im številom m asnih točk. M eja stabilnosti v odvisnosti od raznih lastnosti sistem a je prikazana grafično z u strezn im i diagrami.

1. UVOD

P ri strojih, ki im ajo sam o v rteče se dele, je obratovanje p ravilom a zelo m im o, brez tresljajev. V prim eru, da je tek nem iren, je vzrok najbolj po­ gosto v tem, da m ase niso uravnovešene. S časom pa, ko so pričeli g rad iti n ek a te re stroje, k a k o r so p arn e tu rb in e in pozneje plinske tu rb in e te r kom ­ presorji, ki o b ra tu je jo p ri velikih v rtiln ih hitrostih, se je izkazalo, da postane tek tu d i dobro u ravnove­ šenega stro ja nem iren, ko dosežemo tako' im enova­ no k ritičn o vrtilno^ h itro st sistem a. P ri tej h itro sti prične ro to r o p letati z v rtiln o h itrostjo, ki je p ra v i­ lom a enaka tre n u tn i v rtiln i h itro sti gredi, k a r se­ veda povzroča tre se n je stro ja in lahko p rid e zaradi tega do m otenj delovanja in poškodb stroja. P o ­ tre b a po h itrih , a h k ra ti upogibno prožnih ro to rjih je zato privedla do strojev, k i o b ratu jejo p ri v rtiln i hitrosti, ki je večja od p rv e k ritič n e hitrosti.

P redvsem p ri ta k ih strojih, ki delujejo v n ad k ri- tičnem območju, p a je mogoče opaziti včasih n e ­ m iren tek, k i g a z neuravnovešenim i m asam i a li k ritičnim i hitrostm i ni m oč pojasniti. O p ojavih n e ­ m irnega te k a in vibracij stro jev zaradi o pletanja ro to rjev v n adkritičnem obm očju so b ile izdelane prve eksperim entalne in teoretične štu d ije že v času m ed obem a svetovnim a vojnam a. U gotovitve pa so si bile delno nasprotujoče in k e r je p rih a ja lo p ri o b rato v an ju velikih in drag ih stro jev tu d i do nelju b ih presenečenj, so se raziskave še okrepile po d ru g i svetovni vojni. Dosežen je bil znaten n a p re ­ dek v teo riji in v praksi, v e n d a r vsi problem i še niso dokončno proučeni in rešeni.

Težave so že z opredelitvijo' raznih oblik n em ir­ nega te k a ro to rjev v n ad k ritičn em območju. G re nam reč za posledice različnih vzrokov, k a te rih m ed­ sebojna odvisnost v celoti ni znana. Izkaže se na prim er, da od dveh dinam ično na videz popolnom a enakih ro to rjev p ri enaki h itro sti eden teče m im o, drugi p a ne. S istem atične eksperim entalne raziska­ ve n a izvedenih objektih so pa tu d i izredno drage in zato zelo redke.

* R a zisk a v e sta d en a rn o p od p rla R a zisk o v a ln a sk u p n o st S lo v e n ije S k la d B . K id riča in F a k u lte ta za str o jn ištv o v L ju b lja n i iz sr e d ste v Iz o b r a žev a ln e sk u p n o sti S lo v e n ije .

B istveno nova oblika nem irn eg a te k a v n a d k ri­ tičnem obm očju ro to rje v je n estab iln o gibanje. V rtiln a hitro st, s k a te ro ro to r opleta, v tem p rim eru ni en ak a v rtiln i h itro sti ro to rja in se v glavnem n e sprem inja, če se sp re m in ja v rtiln a h itro st ro to rja. Ta v rsta opletajočega g ib a n ja kaže lastnosti, k i so značilne za sam ovzbujana n ih an ja. P o vsakem gi­ balnem ciklu im am o v sistem u presežek energ ije in se zato pom iki n ep restan o večajo. E nerg ijsk i vir, iz k a te re g a se č rp a v sistem energija, k i m ora biti pri vsakem sam ovzbujanem sistem u n a voljo, je v našem p rim eru v elik a k in etičn a en erg ija vrtečeg a se ro to rja. Te izkustvene u g otovitve je m ogoče tu d i teoretično u tem eljiti in dokazati, d a lah k o p o stan e g ib an je v rtečega se ro to rja pod določenim i pogoji nestabilno. T isto v rtiln o hitro st, p ri k a te ri postane g ib an je nekega sistem a nestabilno, im enujem o' m e­ jo stabilnosti ali tu d i p ra g nestabilnosti, saj je p ri večjih h itro stih sistem p redvidom a nestabilen. Z a­ želeno je, da poznam o m ejo stabilnosti ro to rja in tudi, d a vem o s k akšnim i u k re p i jo je m ogoče zvi­ šati in ta k o povečati stab iln o območje.

P ri v rte n ju ro to rje v je več različn ih fizikalnih pojavov, ki lahko vsak zase povzroča, d a postane gib an je ro to rja nestabilno. T u se bom o om ejili na dva, za k a te ra k ažejo tu d i izkušnje, da sta po­ m em bna p ri vodoravnih ro to rjih . N ajp rej bom o proučili, k ako lah k o p o stan e g ib an je n estab iln o za­ ra d i n o tra n je g a tr e n ja v sistem u p ri upogibnih d eform acijah gredi, k i jih povzroča o p letan je s h i­ tro stjo različno od v rtiln e h itro sti gredi. D rugi m o­ goči vzrok nestabilnosti p a je v nesim etričn i p rož­ nosti oljne p lasti v h idrodinam ično m azan ih d rsn ih ležajih za rad i enosm ernega p re ta k a n ja m azalnega olja.

2. DINAM IČNE K A R A K TERISTIK E D R SNIH LEŽA JEV

Sl. 1. Drsni ležaj pri stacionarnem obratovanju

R — polmer ležaja

D — 2 R — premer ležaja

r — polmer čepa

F p — statična sila na ležaju

l — dolžina ležaja

n — vrtilna hitrost čepa v vrt/n «9 — vrtilna hitrost čepa v vrt/s

co — kotna hitrost

a — kot nagiba

OS = e — ekscentričnost čepa

R ■— r — z — polovična zračnost ležaja

e _ _{— relativna ekscentričnost}

z

teo retičn o najbolj preprosti. O d inam ičnih lastno­ stih d ru g a če oblikovanih ležajev glej lite ra tu ro S m ith [3] in T ondl [4].

R azm ere v tak em ležaju p ri stacionarnem o bra­ to v a n ju so shem atično p rik a z a n e n a sliki 1. Na čep, ki se v rti v naznačeni sm eri s staln o v rtiln o h i­ tro stjo n, d elu je sta ln a sta tič n a sila Fr. Čep se po­ stav i v n arisa n o n esim etričn o lego, oljna p la st v spodnji polovici ležaja p rev zam e silo Ft- V sm eri prem ice 1 — 1, ki povezuje središče ležaja O s sre­ diščem čepa S, je oljna p la st najbolj prožna, v d ru ­ gih sm ereh p a je prožnost m anjša. K ot nagiba te sm eri a in ekscentričnost e s ta k a k o r vemo, odvisna od več vehčin. N avadno vpeljem o brezdim enzijsko k a ra k te ristič n o ležajno število A:

, n s . D . l / R \ 2

F'f

_{( ! ) '}

Z џ smo označili dinam ično viskoznost [kp s2 m -1]. N a sliki 2 je p rik a z a n a lega čepa v odvisnosti od ležajnega števila A.

Sl. 2. Lega središča čepa pri raznih vrednostih ležajnega števila A

Iz dosedaj povedanega izhaja, da prožnost oljne p lasti ni v vseh sm ereh en ak a in da se sm er n a j- večje prožnosti sp rem inja s sprem em bo ležajnega števila A.

V prim eru, da se poleg statičn e sile Fr pojavi n a čepu še v p rim erjav i s statično nav ad n o m ajh n a m otilna sila s kom ponentam a Fx in Fy, se čep pre­ m ak n e iz stacionarne lege za x oz. y v vsaki sm eri. Na splošno v elja

Fx f\ У> Xi У> Xt У

in (2)

F« = h ( x , y , X, y , x , y

P ik a zgoraj pom eni p rv i odvod veličine po času, dve piki zgoraj pa drugi odvod po času.

S tak im i popolnom a splošnim i nelinearnim i iz­ ra zi si m atem atičn o zelo težko kaj pomagamo'. V n a ­ ših izv aja n jih se bomo' om ejili n a naslednja po­ en ostavljena izraza

Fx = c j .i . X + C\ t2 . y

in (3)

Fy = С2д . X + C 2,2 • У

P redvsem sm o z linearizacijo izgubili enega od mo­ gočih vzrokov nestabilnega g ib an ja čepa. V pliv po­ speškov n i velik, če je p re to k olja lam inaren. Členi, ki v sebujejo h itrost, p a pom enijo d ušenje oljne pla­ sti, k i ga delom a lahko' zajam em o z zunanjim duše­ n je m n a ro tirajo č ih m asah.

V rednosti togostnih števil c je mogoče izraču­ nati, znani pa so tu d i re z u lta ti m eritev te h veličin. O bjavljene ugotovitve so sicer često m ed seboj do­ kaj različne, pom em bno in tu d i presen etljiv o pa je, da sta vrednosti za togost c\, 2 in togost C2,1 različni, v n e k a te rih obm očjih im ata celo različna p re d

-S l . 3 . Togosti oljnega filma Cj 2 in c2,1 v odvisnosti od relativne ekscentričnosti za različne vrednosti razmerja

znaka. N a sliki 3 je p rik azan a vrednost obeh togo­ sti ci,2 in C2,i v odvisnosti od re la tiv n e ekscentrič­ nosti e za ra zn a razm erja dolžine in p rem era ležaja (po S m ithu [3]). Ta n en avadna lastnost hid ro d in a­ m ičnega drsnega ležaja, ki je posledica hid ro d in a­ m ičnih vplivov p retoka m azalne o ljn e plasti, je — k ak o r bomo še videli — tu d i eden od vzrokov, da postane gibanje ro to rja nestabilno.

3. NESTABILNOSTI ZARADI NOTRANJEGA TR EN JA SISTEMA

in

F d n . i , V = — d n , i + 1 . i l 2 i -> 2 " h ( d n , 1+1 H- d n, i )Ü-2i —

*— d n> i . I l2 i— 2 d” <12[ d n ti -+ i . U2 i + l

— (dn. f i-t-:i d - d n , i ) U2i — 1 d - d n >i . U2i — 3]

P ri tem sta

, d n . d n

d n, i = --- m d n, i ■ 1 = ---(8)

li — l i - i l n v - k

Za sistem vzam em o ro to r z n diskretnim i m asni­ m i točkam i, ki so m ed seboj povezane z brezm asno upogibno prožno, a torzijsko togo gredjo, ki leži v hidrodinam ičnih drsnih ležajih. P om ik i-tega ko­ lu ta v rad ialn i sm eri x označimo z u ^i— i, pom ik v drugi, n a os 3: p ravokotni ra d ia ln i sm eri y pa z U2 Tedaj velja v sm eri x

m.j Ü2i—1 d- F d z , i , x d" F ,{ n ,i,x d- F c , i , x — 0

in ustrezno v sm eri y (4)

ТГЦ U 2 i + F dz, i, y d" F dn, i,y d“ F c, i , y = 0

k je r je d„ sorazm erno število n o tra n je g a dušenja, ki je enako za vse m ase, k—U—i je ra zd alja m ed i-to in i —-1 m aso in ustrezn o h i — h ra z d a lja m ed i + 1 in г-to maso. Z Q sm o označili kotno h itro st ro tac ije gredi.

E načbi (4) napišem o za vseh n m as. V k ra jše m m atričnem zapisu je tedaj

[ M ] { Ü } + [ D z ] { Ü \ + [ D m ] { Ü } +

(9)

+ Ü [D n2]{U} + [C]{U} = {0} Z Fdz označujem o silo zunanjega dušenja, Fdn je

sila n o tran je g a d u šen ja in F c vračajoča togostna sila, ki jo pišem o še

2 n

F c, i, X — i—1, j • Uj

r--= 1

in (5)

2 n

Fc,i,y — j * Uj

J = 1

Togost sistem a je posledica upogibne togosti gre­ di in togosti ležajev, k i pa je odvisna od velikosti to ­ gosti ležajnega film a in kota m ed smerjo* n ajm an jše togosti in osjo X . D oločanje togostnih m a trik n a ­ čelno n e povzroča težav, čeprav je včasih dokaj za­ m udno.

Z a silo zunanjega d u šen ja bom o vzeli, da je sorazm erna h itro sti p re m ik a n ja koluta, torej

Fdz,i,x — d z .

in (6)

F'dz,i,y = dz . U 21

Za silo n o tran je g a du šen ja je sicer težko n a jti p rim ere n analitičen izraz. V skladu s hipotezo, k i je v lite ra tu ri v e č k ra t u porabljana, vzamemo, da je sorazm erna h itro sti sp re m in jan ja k riv in e gredi, saj g re za tre n je v m ateria lu in za tre n je m ed koluti, n asajenim i n a gred, in gred jo zaradi upogibnega zv ijan ja gredi. V lite ra tu ri (glej npr. K uhelj [2]) je pokazano, da dobim o tedaj po krajšem ra č u n a n ju z zadostno n atančnostjo

Vse m atrik e v enačbi (9) so re d a 2 n, k je r je n šte ­ vilo m asnih točk, z {U} p a sm o označili vek to rsk i stolpec pom ikov u\ do u<>„:

(10)

V' 2 n

P odroben zapis vseh m a trik te rja precej pro­ sto ra in je podan v lite ra tu ri K uhelj [2].

Z a num erično1 isk an je la stn ih vred n o sti sistem a enačb (9) ga predelam o' še n a brezdim enzijsko obli­ ko. V peljem o p rim e rja ln i veličini

. F

m 0 = m i m f 0 = --- (Ц )

48 E l v ’

in iz n jiju izračunam o

(1 2)

Z Z sm o označili dolžino gredi, E je prožnostni m odul m ateria la gredi, I p a je v ztra jn o stn i m om ent prerezn e ploskve gredi.

U vedem o še brezdim enzijsko časovno sprem en ­ ljivko

T = co0 . t (13)

F dn, i, X — d n , t -f- i . Ü - jj+ i { d n , i- f l d- d n , i) l+2i — i

d n, i • i — 3 Q . [ d n> i +•1 • U2 i +• 2

----(d?;, H j V d n, i) i + d n , i • 33-2i—2]

te r red u ciran o kotno* h itro st Q

CO o

Sedaj pišem o enačbo (9) v brezdim enzijski obliki

[M]{U"} + [D,]{IT} + [D,„1]{U '} + + ß [ D „ 2]{ü} + [C]{U} = {0}

k je r sm o označili s črtico en k ra tn i odvod po r in (15)

[Dni]

[M] = — [M], TO0

— [Dni],

m n шп

[D J =

[D n 2]

TTLq (jJ0

__1 m 0 ü)q

m

[ D , 2] <1 6 )

[C] = fo [C].

Nalogo isk a n ja la stn ih v rednosti sistem a enačb (15) lahko, k a k o r je znano iz n u m eričn e analize, prevedem o n a isk a n je lastn ih v rednosti m a trik e [Ä], ki jo: izračunam o takole

[ Ä] = . . . M . - w

+ [C]);

to]

(17) Z [1] smo označili k v a d ra tn o m a trik o enote reda 2 n. M atrik a [Ä], k a te re la stn e v rednosti iščemo, je re d a 4 n in nesim etrična.

P ri sistem ih, izb ra n ih za num eričn o isk an je last­ n ih vrednosti, sm o se iz p ra k tič n ih razlogov om ejili n a sistem e z dvem a ležajem a n a konceh. G red je dolga l m in debela 0,100m po vsej dolžini. D ina­ m ične lastnosti obeh ležajev so enake. M odul ela­ stičnosti m a te ria la g redi je 2Д.1010 kpm ~2, velikost Vsake m asn e to čk e p a 1 kpm -1 s2. Z u n an je in no­ tra n je d u šen je sm o izbrali tako, d a sta

dz = 0,1 in dn — 0,1 .

V zam em o še, da se sm er n ajv eč je prožnosti d ru ­ gega ležaja vedno u je m a s sm erjo x, k o t m ed osjo X in sm erjo naj večje prožnosti p rv eg a ležaja pa bom o označili z ai.

V peljem o še1 ra z m e rn ik rp LP2,2

(18)

K e r je lP2,2 prožnost ležaja prav o k o tn o n a sm er n aj večje prožnosti, je <p ra zm erje m ed prožnostjo le­ žajev in p rožnostjo gredi.

Anizotropijo' prožnosti ležajev izraža razm er­ n ik yj

LPl,l

V = 7--- (19)

LPä, 2

ki je -torej razm erje m ed n ajv ečjo prožnostjo in p rožnostjo v n a n jo p ra v o k o tn i sm eri.

P okaže se, da je za stabilnost sistem a zelo po­ m em bno tu d i razm erje n o tran je g a in zunanjega d u ­ šenja, ki ga označimo z d

V ečina izračunov je b ila n a re je n a za enom asni sistem , p ri k aterem je b ila m asa n a sredini, in za trim asn i sistem , p ri k aterem so m ase zbran e n a eni četrtm i, polovici in tre h č e trtin a h dolžine gredi. Š tevilo m asnih točk je navzgor om ejeno le z ve­ likostjo računalnika.

M ejo stabilnosti Ost sistem a izračunam o tako, da izberem o neko vred n o st za O in izračunam o vseh 4 n lastn ih vrednosti w sistem a. Te so- v splošnem k o n ju g iran o kom pleksna števila. Iz teo rije nihanj je znano, da je gib an je sistem a stabilno, če so re aln i deli vseh lastn ih vrednosti m anjši od nič. 5 postopnim sprem injanjem O dosežemo m ejni p ri­ m er, ko re aln i del ene od lastn ih vrednosti postane ničen, re a ln i deli vseh d ru g ih lastn ih vrednosti pa so m anjši od nič. Im ag in arn a kom ponenta odločilne lastn e vrednosti pom eni ted aj kotno h itro st opleta­ n ja gredi, ugotovljena vrednost k o tn e hitro sti O

pa pom eni tisto m ejno v rtiln o h itro st sistem a, nad k a te ro p ostane g ib an je nestabilno.

Celotni izračun je bil izveden n a elektronskem raču n aln ik u IBM 1130. V FORTRANU IV izdelan

2,0

-Ost

J ________ I ^ I________ L

Sl. 4. Meja stabilnosti Ost trimasnega sistema v od­ visnosti od razmernika б za razne vrednosti razmernika

Sl. 5. Meja stabilnosti QST trimasnega sistema v odvis­ nosti od stopnje anizotropije ležaja yj za razne vrednosti

razmernika <p (6 = 1, a2 = 0)

Sl. 6. Meja stabilnosti QST trimasnega sistema v od­ visnosti od kota a j za razne vrednosti razmerja ep

(б = 1, y) = 1)

<p -- 0.01

<p --1,01

v = 2.01

<p = 3.01

f = 7.01

J_______ I________ L

2 3 4 5

Si. 7. Hitrost opletanja ß trimasnega sistema v odvisno­ sti od razmernika <5 za razne vrednosti cp (aj = 0, rp = 1)

p ro g ram omogoča izračun k ritič n ih hitro sti, m eje stabilnosti in u strezn e k o tn e h itro sti o p letan ja za sistem s polju b n im številom m asnih točk. V dia­ gram ih, slikah 4 do 6, je p rik az an a odvisnost m eje stabilnosti sistem a od n e k a te rih značilnih p a ra m e ­ tro v sistem a za trim a sn i sistem.

N a sliki 7 p a je p rik a z a n a še odvisnost k o tn e h itro sti o p letan ja gredi ß v nestab iln em obm očju v odvisnosti od dušilnega ra zm erja <3 za ra zn e v re d ­ nosti ra zm ern ik a <p.

Iz diagram a n a sliki 4 je razvidno, da se z veča­ njem ra zm ern ik a 6 oz. z večan jem n o tra n je g a du ­ šenja m eja stabilnosti znižuje in se asim ptotično p rib ližu je n ek i n ajn ižji vrednosti, k i je enaka, k a r se da dokazati, p rv i k ritičn i h itro sti sistem a. Za n av ad n e v rednosti p aram etrov, ko je cp m anjši od ene in б okoli ene, se m eja stab iln o sti znižuje z ve­ čanjem <5 dokaj hitro. K o se d bliža n ič in im am o sistem brez n o tra n je g a tre n ja , p a se m eja stabilnosti pom ika p ro ti Iz d iag ram a je razv id n o tudi, da se p ri n av a d n ih n ižjih v re d n o stih za <5 m eja stab il­ nosti viša, če se veča q>oz. če p ri dani g redi pove­ čujem o prožnost ležajev. To je v skladu z obnaša­ n jem ro tacijsk ih stro jev p ri poizkusih.

D iagram n a sliki 5 kaže, da p ri n av a d n ih m a jh ­ nih vred n o stih za <:p anizotropnost ležajev bolj m alo vpliva n a m ejo stab iln o sti sistem a.

D iagram n a sliki 6 p a kaže, d a ra zlik a v sm ereh glavnih prožnosti dv eh ležajev, k i jo kaže k o t сц,

znižuje p ra g nestab iln eg a obm očja sistem a. To zni­ žan je p a je znatn o sam o p ri izjem no p ro žn ih le­ žajih.

Iz diag ram a n a sliki 7 je očitno, d a se h itro st o p letan ja g redi v n estabilnem obm očju le zelo m alo sprem inja, k a r je tu d i v sk lad u z ugotovitvam i p ri poizkusih.

4. NESTABILNO STI, K I J IH POVZROČAJO D RSN I L E Ž A JI

v' hidrodinam ično m azanem d rsn em ležaju n i si­ m etrična. To pom eni, da pom ik središča čepa v navpični sm eri zarad i sile en o te n a središče čepa v vodoravni sm eri n i enak pom iku čepa v vodo­ ra v n i sm eri zarad i sile enote v navpični sm eri. Tako im enovana m ešana člena prožnostne m a trik e sta, k a k o r je razv id n o iz diag ram a n a sliki 3, n e sam o različna p o vrednosti, am p ak im a ta tu d i različna p re d zn ak a v večjem delu običajnega obm očja v red ­ nosti za značilno ležajno število A. T a n esim etrija prožnosti pom eni, d a sistem , ki g a tv o ri čep gredi na nosilni p lasti olja, ni ko n serv ativ en in — kak o r bom o videli — lah k o ta n esim etrija povzroča n esta­ bilno g ib a n je ro to rja v ležajih. V določenih okoli­ ščinah torej pro žn o stn a sila oljne p lasti n e n a sp ro ­ tu je p re m ik u čepa zarad i m a jh n e m otnje.

Vzem im o n ajp re j p re p ro st sistem ene m asne točke n a b rezm asni upogibno prožni gredi, k i se v rti v dveh ležajih n a obeh koncih gredi brez zunanjega in n o tra n je g a dušenja. V te m p rim e ru se skrči enačba (15) n a

[M]{U"} + [C]{[7} = {0} (21)

in k e r je en a sam a m asn a točka

U i" + C i.i U t + Cj,2 U2 — 0

U z ” + C2'Д U l + C 2,2 U2 = 0

Z običajnim nastavkom

(22)

Ut = Bi eicoz in U2 = B2 eimr (23) dobim o pogojno enačbo za n etriv ialn e rešitve, iz k a te re izračunam o k v a d ra ta la stn ih v rednosti co2:

m2 = h (či.i + č'2,2 +

,_______- _______ ____ _ (24)

± | / ( c t , i — C2,s ) 2 + 4c1i2 . c 2, i

Da bom o za co dobili sam e re a ln e v rednosti in s tem p eriodična g ib an je sistem a, m o ra ta b iti izpolnjena dva pogoja, in sicer:

(с1Д — č2>)2 + 4 č1>2. č2jl > 0 (25) in

(Č,,1 + Č2,2) > |A c i,l— C2,2)2 + 4 čli2. č21 (26) M edtem ko je d ru g i pogoj (26) vedno izpolnjen, pa je v p rim eru , če s ta p re d zn ak a togosti ci,2 in C2,1 različna, mogoče, da p rv i pogoj (25) n i izpolnjen.

V najbolj p re p ro stem p rim eru , ko je ro to r na sred in i gredi in sta oba ležaja dinam ično popolno­ m a enaka, je m ogoče an alitično izraču n ati m ejo’ stabilnosti. Tedaj dobim o po k ra jše m izračunu iz pogoja (25)

lP?,2 — lPi,i + 4 *-рх 2 - LPi,1> 0 , (27)

k je r s o Lp ;,i, lP\,2,lPž, t in Lp2,2 elem enti prožnostne m a trik e ležaja.

V peljem o še ra zm erje m ešanih členov prožnostne m a trik e ko t k az atelja nesim etrije

LP ž . i

LP l , 2

Pogoj za stabilen sistem je sedaj

a > _ / LP 2 ,2 - LPlAy

\ 2 Lp J>2 J

(28)

(29)

Vidimo, d a postane sistem nestabilen le za neko obm očje n eg ativ n ih vrednosti ra zm em ik a o. Poleg teg a je očitno še, da d ru g e dinam ične lastnosti si­ stem a razen prožnostne m a trik e ležaja n e vplivajo' n a njegovo stabilnost.

V peljem o poleg ra z m e m ik a yj po enačbi (19) še ra z m e rje q

Q = LP l , 2

LP 2 , 2 (30)

Tedaj je k ritičn i ra zm em ik nesim etrije k a r

Za ro to rje z m nogim i m asnim i točkam i, ki so polju b n o razm eščene po gredi, ta k prep ro st analiti­ čen izračun seveda n i mogoč.

Izhodna gibalna enačba je m atričn a enačba (21), za k a te ro sp et iščem o lastn e vrednosti, k ak o r v p rejšn jem poglavju. Že izdelan p rogram za num e­ rično v re d n o te n je enačbe (15) je mogoče uporabiti tu d i v te m prim eru, če le ustrezne veličine izena­ čimo z nič. T ako lahko izračunam o' k ritičn o vred­ nost ra z m e m ik a n esim etrije o za sistem s poljubnim številom m asnih točk, ki so kakorkoli razm eščene po gredi.

P ri najp rep ro stejšem enom asnem sistem u smo ugotovili, d a je stabilnost gib an ja odvisna le od vrednosti elem entov prožnostne m a trik e ležajev in nič od d ru g ih dinam ičnih veličin sistem a. Izračuni za p o ljubne sistem e z več m asnim i točkam i p o trju ­ jejo to ugotovitev. N obena sprem em ba dinam ičnih lastnosti n e vpliva n a stabilnost teka, razen seveda, če posredno vpliva n a sprem em bo elem entov prož­ n ostne m a trik e ležaja. T ako je n a sliki 8 prikazan k ritičn i razm em ik o za trim asni sistem v odvisnosti od ra zm em ik o v xp in g. D iagram n ata n č n a p rik a ­ zuje tu d i razm ere, ki jih pod aja enačba (31) za n a j­ prepro stejši enom asni sistem.

premoso-Sl. 8. Kritična stopnja nesimetrije prožnostne matrike oljnega filma za trimasni rotor aK v odvisnosti od raz­

merja џ> za različne vrednosti razmerja q

razm em o v rtiln i h itro sti čepa n s in obratno so­ razm erno statični sili na ležaj Ft. Velikost m as in njih o v a razporeditev n a gredi vpliv ata n a velikost sile Fr, s tem pa tu d i n a A in n a stabilnost sistema.

V prim eru, da so m ase znane in je ta k o statičn a sila n a ležaj F r k onstantna, p a je ležajno število A

le še funkcija v rtiln e h itro sti čepa oz. v rtiln e h itro ­ sti ro to rja in se to rej z večanjem v rtiln e h itro sti veča ležajno število A. Iz diagram a n a sliki 3 vi­ dimo, da se p ri večanju ležajnega števila A veča razlika m ed togostm a ci,2 in сг, i, k i im ata od neke vrednosti A d alje tu d i različna predznaka. Z ato im am o p ri ro to rju , uležajenem v d rsn ih le­ žajih s hidrodinam ičnim m azanjem , neko v rtiln o hitrost, n ad k a te ro postane gib an je ro to rja n esta­ bilno, k e r je bilo doseženo k ritičn o ležajno število, ko elem enti prožnostne m a trik e ležaja n e izpolnju­ jejo več pogojev za stabilno gibanje. A li je ta k ri­ tičn a h itro st v obm očju delavnih hitrosti, ali p a visoko n ad njim i, je odvisno, k a k o r vidimo, od cele v rste dejavnikov. N ajbolj problem atično p ri izra­ čunavanju k ritičnega p ra g a nestabilnosti je vse­ k a k o r zanesljivo u g o tav ljan je elem entov prožnostne m atrik e za ležaj v odvisnosti od ležajnega števila A.

5. SK LEPI

P ojave nestabilnega gib an ja ro to rjev zaradi no ­ tran je g a tre n ja sistem a in zaradi nesim etrične prož­ nosti drsnega ležaja so doslej obravnavali v glav­ nem n a zelo1 poenostavljenih enom asnih sistem ih. P rik azan a m etoda omogoča num erično obravnava­

n je ro to rje v s poljubnim številom m asn ih točk. Z v ariacijo p aram etro v je m ogoče zasledovati n ji­ hov vpliv na stabilnost sistem a. V p rim eru , če im a­ m o znane vse dinam ične lastn o sti sistem a, je m o­ goče izraču n ati p ra g n estabilnosti za m odel, k i se dejanskem u ro to rju precej približuje.

D obljeni re z u lta ti so predvsem pom em bni k v a­ litativno, k e r nam nakazujejo, k ak o je odvisna m eja stabilnosti od sprem em b razn ih p a ra m e tro v sistem a. V glavnem so p o trjen i rezu ltati poizkusov s tem , da so tu odvisnosti d an e bolj p regledno p re k vsega območja. Za k v a n tita tiv n e sklepe je glavni problem v določanju n e k a te rih lastn o sti sistem a. T ežave in še nerešeni problem i so predvsem p ri določanju ra zm erja m ed n o tra n jim in zu n a n jim dušenjem in p ri določanju prožnostne m a trik e za o ljno p last v drsnem ležaju.

LITERATURA

[1] Den Hartog J. P.: M echanical V ibrations. Me G raw -H ill 1956, N ew York, Toronto, London.

[2] K uhelj Anton, m l.: In stab ilitetn i problem i roti­ rajoče gredi, doktorska disertacija, Faku lteta za stroj­ n ištvo 1972, Ljubljana.

[3] Sm ith D. M.: Journal Bearings in Turbom achi­ nery, Chapman and H all Ltd 1969, London.

[4] Tondi A.: Som e Problem s of Rotor D ynam ics, Chapman and H all 1965, London.

[5] G lienicke J.: T heoretische und exp erim en telle Erm ittlung der System däm pfung gleitgelagerter Roto­ ren, Proc. of 3rd World Congress for the Theory of M achines and M echanisms, Vol. B., 1971.

[6] Gunter E. J. Jr.: The influence of Internal Fric­ tion on th e S tab ility of H igh Speed Rotors, Journal of Engineering for Industry, Nov., 1967.

[7] Gunter E. J. Jr., Trum pler P. R.: The Influence of Internal Friction on the S tab ility of H igh Speed Rotors w ith A nisotropic Supports, Journal of Engineer­ ing for Industry, Nov., 1969.

[8] Haag A. C., Sankey G. O.: Som e D ynam ic Pro­ perties of O il-F ilm Journal Bearings W ith R eference to th e U nbalance Vibration of Rotors, Journal of A p­ plied M echanics, 1956/2.

[9] Haag A. C., S ankey G. O.: E lastic and D am ping Properties of Oil F ilm Journal Bearings for A pplication to U nbalance V ibration C alculations, Journal of A p­ p lied M echanics, 1958/1.

[10] K ellenberger W.: D ie S tab ilität schnellaufender und anisotrop gelagerter W ellen m it äusserer und in ­ nerer D äm pfung, Brow n B overi M itteilungen Band 50, Nr. 11/12.

[11] Kollm ann, Som eya: L agerinstabilität eines Tur-borotors, MTZ 1964/3.

[12] K ollm ann K.: T heoretische und exp erim en telle U ntersuchungen an statisch und dynam isch belasteten G leitlagern m it beliebiger Spaltgeom etrie, Communic. of th e 3rd World Congress for the Theory of M achines and M echanisms, Vol. H, 1971.

[13] Pfützner H .: Das dynam ische V erhalten von ro­ tierenden W ellen unter B erücksichtigung der S chm ier­ film elastizität in den Lagern, Forschung im Ingenieur­ w esen, 32 (1966) Nr. 1.

[14] Sternlicht B .: S tab ility and D ynam ics of Rotors supported on F luid-F ilm Bearings, Journal of Engineer­ ing for Pow er, 1963, Oct.

A v to r je v n a slo v :